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Posts Tagged ‘Camille Jordan’

Una de las ramas más populares y elegantes de la matemática en el siglo XX ha sido la teoría de grupos de Lie. Esta disciplina combina ideas de álgebra, geometría y análisis, y es relevante para la física teórica. Sophus Lie descubrió estos objetos por primera vez y, por lo tanto, fundó una arena fructífera para futuras investigaciones. 

Marius Sophus Lie, comúnmente conocido como Sophus Lie, nació el 17 de diciembre de 1842 en Nordfjordeide, Noruega. Fue el sexto y más joven hijo de Johann Lie, un pastor luterano. Asistió a una escuela local y, desde 1857 hasta 1859, estudió en la Private Latin School de Nissen en Oslo. De 1859 a 1865 continuó su educación en la Universidad de Christiania en Oslo. Originalmente mostró poco interés en la matemática. Después de su examen en 1865, Lie dio lecciones privadas y se interesó por la astronomía. 

La vida de Lie adquirió una nueva dirección después de que descubriera en 1868 algunos artículos geométricos de los matemáticos Jean-Victor Poncelet y Julius Plücker. La idea de que el espacio podría estar formado por líneas en lugar de puntos tuvo un profundo impacto en la concepción de la geometría de Lie. Obtuvo una beca en el extranjero, viviendo en Berlín durante el invierno de 1869, donde conoció a Felix Klein. Los esfuerzos científicos de ambos hombres se beneficiaron enormemente de la amistad que siguió. Klein era un algebraista intrigado por problemas particulares, mientras que Lie era un geómetra y analista interesado en generalizar conceptos. 

Pasaron el verano de 1870 en París, donde entraron en contacto con Camille Jordan y Gaspard Monge, así como con otros matemáticos franceses. Lie descubrió su famosa transformación, que fue un importante descubrimiento geométrico inicial: fue un primer paso hacia su posterior desarrollo de la teoría de los grupos de Lie. La guerra franco-prusiana estalló el mismo año, y Lie fue arrestado como espía mientras caminaba por el campo. Pronto fue liberado y logró escapar de Francia antes del bloqueo de París. En 1871 regresó a Oslo, donde enseñó en la Private Latin School de Nissen. Obtuvo su doctorado en 1872.  

En este momento, Lie desarrolló la teoría de integración de las ecuaciones diferenciales parciales, que todavía se enseña como método clásico en textos matemáticos. Su trabajo inicial sobre geometría diferencial más tarde lo llevó a su importante trabajo sobre grupos de transformación y ecuaciones diferenciales. El grupo de transformación, más tarde conocido como grupo Lie, trajo herramientas algebraicas para abordar problemas geométricos y analíticos, y en particular resultó ser un poderoso enfoque de las ecuaciones diferenciales parciales. Aunque estas ideas no fueron aceptadas inicialmente, en gran parte debido al estilo engorroso de presentar ideas analíticas que estaba de moda en ese momento, su importancia para la matemática moderna no se puede sobreestimar. Completó su trabajo sobre los grupos de Lie en la década de 1870, pero su publicación llevó varias décadas de esfuerzo. 

En 1872 se creó una cátedra de matemática para Lie en la Universidad de Christiania. Además de la investigación mencionada sobre las transformaciones de contacto, estaba ocupado editando los trabajos recopilados de Niels Henrik Abel. Lie se casó con Anna Birch en 1874, y juntos criaron dos hijos y una hija. 

En Oslo Lie se mantuvo aislado de otros matemáticos; no tenía alumnos, y solo dos matemáticos, Klein y Emile Picard, prestaron atención a su trabajo. Friedrich Engel ayudó a Lie en la publicación de un extenso texto sobre grupos de transformación, que apareció dividido en tres partes entre 1888 y 1893. Su trabajo paralelo sobre la transformación de contacto y las ecuaciones diferenciales parciales con Felix Hausdorff no se completó. En 1886, Lie llegó a Leipzig sucediendo a Klein, y su situación de colaboración mejoró. 

La salud de Lie había sido excelente, y fue descrito como un hombre de corazón abierto y de gran estatura. Sin embargo, en 1889 fue golpeado con una enfermedad mental. Cuando reanudó el trabajo en 1890, su carácter había cambiado mucho, ahora era paranoico y beligerante. Finalmente, regresó a la Universidad de Christiania con el atractivo de una silla especial en 1898. Murió un año después, el 18 de febrero de 1899 en Oslo, por anemia. 

El trabajo de Lie revolucionó el estudio de la geometría y las ecuaciones diferenciales, ya que las técnicas teóricas y algebraicas de grupo ahora podían resolver problemas. El estudio de los grupos de Lie finalmente se convirtió en una disciplina propia. El aprecio por el trabajo de Lie creció gradualmente. Inicialmente, Engel e Issai Schur desarrollaron aún más sus ideas, y más tarde Picard, Killing, Élie-Joseph Cartan y Hermann Weyl continuaron el trabajo teórico de Lie en el siglo XX. A principios del siglo XX, se descubrieron las álgebras de Lie, y el trabajo original de Lie se ha generalizado de muchas maneras. Una razón para la popularidad perdurable de su pensamiento es la aplicación de los grupos de Lie a la física cuántica.

 


Fuente bibliográfica:

  • McElroy, Tucker (2005) A to Z of Mathematicians. Facts On File, Inc.

 

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Henri Lebesgue desempeñó un papel importante en el desarrollo de la teoría de la integración como una de las ramas más activas de la matemática del siglo XX. La llamada integral de Lebesgue ahora es clásica en la teoría de la integración y ha sido una piedra angular para la investigación, así como una ayuda en distintas aplicaciones. 

Henri Lebesgue nació el 28 de junio de 1875 en Beauvais, Francia. De joven estudió en la École Normale Supérieure de 1894 a 1897. Después de graduarse pasó los dos años siguientes trabajando en la biblioteca de su escuela, donde conoció el trabajo de René-Louis Baire sobre funciones discontinuas. Lebesgue enseñó en el Lycée Centrale en Nancy desde 1899 hasta 1902 mientras completaba su tesis doctoral para la Sorbona. Se propuso desarrollar una noción más general de integración que permitiera integrar las funciones discontinuas descubiertas por Baire. 

Durante el desarrollo de su tesis, Lebesgue se familiarizó con el trabajo de Camille Jordan y Félix Édouard Justin Émile Borel sobre la medición y la integración; desde la época de la integral de Bernhard Riemann los matemáticos introdujeron gradualmente conceptos de la teoría de la medida. El trabajo inicial de Lebesgue amplió los esfuerzos de Borel, y él construyó con éxito una definición de integración que era más general que la de Riemann. Más significativamente, Lebesgue fue capaz de aplicar su integral a varios problemas del análisis, incluida la validez de la integración término a término de una serie infinita. Además, el teorema fundamental del cálculo, que relaciona la integración y la diferenciación, no era capaz de manejar funciones no integrables con derivada acotada. La nueva integral de Lebesgue resolvió esta dificultad. También trabajó en la rectificación de curvas (calculando la longitud de una curva). 

Después de presentar su tesis, Lebesgue recibió un puesto en la Universidad de Rennes, que duró hasta 1906. Estuvo en la Universidad de Poitiers de 1906 a 1910, y luego fue nombrado profesor en la Sorbona de 1910 a 1919. Lebesgue continuó su investigación sobre la estructura de las funciones continuas y la integración, y dio los primeros pasos hacia una teoría de las integrales dobles, que más tarde fue completada por Guido Fubini. Tras el trabajo de Lebesgue se produjo una oleada de investigaciones, y este esfuerzo incluyó a matemáticos como Pierre-Joseph-Louis Fatou. A través de Frigyes Riesz, la integral de Lebesgue se convirtió en una herramienta invaluable en la teoría de las ecuaciones integrales y los espacios funcionales. Sus otras investigaciones incluyeron la estructura de conjuntos y funciones, el cálculo de variaciones y la teoría de la dimensión. 

Lebesgue recibió muchos honores, como el Prix Santour en 1917 y la elección para la Academia de Ciencias de Francia en 1922. Durante las últimas dos décadas de su vida, sus intereses cambiaron cada vez más a cuestiones pedagógicas y de geometría elemental. Murió el 26 de julio de 1941 en París. Además de sus propias contribuciones fundamentales, Lebesgue fue un activo defensor de las teorías abstractas de la medida y, por lo tanto, es en gran parte responsable de la importante posición de la teoría de la medida en la matemática moderna. Su mejora esencial en la integral básica de Riemann resolvió muchas cuestiones matemáticas sobresalientes y abrió una nueva perspectiva para la exploración futura.

 


Fuente bibliográfica:

  • McElroy, Tucker (2005) A to Z of Mathematicians. Facts On File, Inc.

 

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En la última parte del siglo XIX, una considerable actividad matemática se centró en el desarrollo de la teoría de grupos, que surgió de la brillante investigación de Evariste Galois. Entre los muchos algebraicos talentosos, Camille Jordan fue notable por su virtuosismo y liderazgo en el tema. También hizo contribuciones sustanciales a otras áreas de la matemática, como la topología combinatoria y el análisis.  

Camille Jordan nació el 5 de enero de 1838 en Lyon, Francia. Su padre era ingeniero y muchos miembros de su familia eran bien conocidos (su primo Alexis Jordan fue un famoso botánico). Camille Jordan tuvo éxito en la matemática desde muy joven, y entró en la École Polytechnique a los 17 años. Su carrera nominal como ingeniero duró hasta 1885, tiempo durante el cual escribió más de 100 trabajos. 

Jordan fue un  versátil y excelente matemático, publicando artículos notables en todos los campos de estudio. Investigó las simetrías de los poliedros desde un punto de vista puramente combinatorio, lo que resultó original para la época. La concepción de Jordan sobre el rigor en el análisis excedió la de sus pares, y su texto Cours d’analyse (Curso de análisis) se convirtió en un clásico popular. Jordan participó activamente en los primeros desarrollos de la teoría de de la medida, construyó la noción de medida exterior, inventó el concepto de una función de variación acotada y demostró que cualquier función de este tipo podía descomponerse como diferencia de dos funciones crecientes. Este resultado profundo allanó el camino para resultados avanzados posteriores sobre la descomposición de medidas positivas y signadas. En topología, se dio cuenta de que era posible descomponer un plano en dos regiones a través de una simple curva cerrada (este concepto intuitivo ya era conocido por muchos, pero Jordan fue el primero en sugerir algunas formas de demostrarlo). 

La principal fama matemática de Jordan se deriva de su talento como algebrista. Fue el primero en desarrollar sistemáticamente la teoría de grupos finitos, con las aplicaciones de la teoría de Galois en mente. Uno de sus resultados más famosos fue parte del teorema de Jordan-Hölder relacionado con la invariancia de ciertas composiciones de grupos. Jordan investigó el grupo lineal general (el grupo de matrices invertibles) y aplicó sus resultados a problemas geométricos.  

Jordan estaba interesado en la “solvencia” de los grupos finitos (la caracterización de los grupos finitos bajo ciertos invariantes numéricos). Instaló una maquinaria recursiva en un intento de resolver este problema, y en el proceso descubrió muchas nuevas técnicas y conceptos algebraicos, como los grupos ortogonales sobre un campo de característica dos. En 1870 Jordan produjo su Traité des substitutions et des écuations algébriques (Tratado de sustituciones y ecuaciones algebraicas), un valioso resumen de todos sus resultados previos sobre grupos de permutación. Este trabajo influenció fuertemente la investigación algebraica durante las siguientes tres décadas. 

Como resultado de su trabajo sobresaliente e innovador, la fama de Jordan se extendió y atrajo a numerosos estudiantes extranjeros, incluidos Felix Klein y Sophus Lie. Desde 1873 hasta 1912 enseñó (mientras todavía trabajaba como ingeniero) en la École Polytechnique y el Collège de France. Los resultados más profundos de Jordan son sus “teoremas de finitud”, que proporcionan cotas en el número de subgrupos de un grupo dado. Estos resultados y otros se han vuelto clásicos en el estudio del álgebra abstracta.

Jordan murió el 22 de enero de 1921 en París. Fue honrado durante su vida, habiendo sido elegido para la Academia de Ciencias en 1881. Fue el maestro indiscutible de la teoría de grupos durante el tiempo que estuvo activo, y su trabajo influyó enormemente en la evolución posterior del estudio moderno del álgebra. 

 


Fuente bibliográfica:

  • McElroy, Tucker (2005) A to Z of Mathematicians. Facts On File, Inc.

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