Feeds:
Entradas
Comentarios

Posts Tagged ‘Carl Friedrich Gauss’

Pierre de Fermat es conocido como uno de los matemáticos más grandes del siglo XVI, que hizo contribuciones a los fundamentos del cálculo, la probabilidad y la teoría de números. En este último tema su influencia es particularmente famosa, ya que su investigación sobre la divisibilidad y las propiedades de los números primos alimentaría más tarde la investigación de los siglos XIX y XX. 

Pierre de Fermat nació en Beaumont-Lomagne, Francia, el 20 de agosto de 1601. Su padre, Dominique Fermat, era un próspero comerciante, mientras que su madre, Claire de Long, era una mujer noble. Como resultado del pedigrí de su madre, Fermat disfrutó de un alto estatus social y más tarde eligió la profesión de abogado. Recibió una educación secundaria clásica, y probablemente estudió en la Universidad de Toulouse. En cualquier caso, sin duda vivió en Burdeos a finales de 1620, y en este momento comenzó sus investigaciones matemáticas.  

Fermat recibió el grado de licenciado en leyes civiles de la Universidad de Orleans en 1631, y se embarcó en su carrera legal en el parlamento local. El mismo año, Fermat se casó con su prima Louise de Long, con quien tuvo cinco hijos. Parece que Fermat disfrutaba de prosperidad financiera, y se le permitió el privilegio, como miembro de la aristocracia, de agregar “de” a su apellido. Sin embargo, su actuación en su oficina no fue satisfactoria, y Fermat avanzó solo a través de la muerte de sus colegas profesionales. En 1642 ascendió a los consejos más altos del parlamento, luego sirvió como presidente de la Chambre de l’Édit, que tenía jurisdicción sobre demandas legales entre hugonotes y católicos. Fermat fue un devoto católico a lo largo de toda su vida. 

Fermat disfrutó de cierta fama como matemático durante su propia vida, aunque su renuencia a publicar lo mantuvo alejado del renombre que podría haber obtenido. También tenía fama de ser un erudito clásico, ya que dominaba varios idiomas. Gozó de buena salud, sobrevivió a un ataque de peste en 1652 y murió en Castres el 12 de enero de 1665. 

El desarrollo de Fermat como matemático puede haber comenzado durante su período de Burdeos, momento en el que se familiarizó con las obras de François Viète. De Viète fue que Fermat adquirió la nueva álgebra simbólica, así como la concepción del álgebra como una herramienta útil para problemas geométricos. Fermat buscó basarse en los conceptos de Viète, incluida la capacidad de resolver y construir ecuaciones determinadas; su método a menudo implicaba reducir un problema dado a una clase conocida de problemas (muy parecido a un tipo de inducción inversa). Al principio, Fermat dependía en gran medida de los antiguos griegos para obtener ideas sobre análisis matemático, pero a menudo generalizaba los problemas originales considerados, utilizando el análisis de reducción y su genio natural para llegar a soluciones generales. 

En la primavera de 1636, Fermat ya había completado su Ad locos planos et solidos isagoge (Introducción a planos y sólidos), un trabajo que establece una geometría analítica que era extremadamente similar a la Géométrie (Geometría) de 1639 de René Descartes. Aunque estos trabajos fueron virtualmente idénticos en el uso de ecuaciones algebraicas para describir curvas geométricas, la cuestión de la prioridad no está resuelta, ya que cada matemático estaba trabajando independientemente. Fermat partió de los trabajos de Pappus de Alejandría y Apolonio de Perga, y se dio cuenta de que los loci de puntos discutidos por este último podían describirse mediante ecuaciones algebraicas en dos incógnitas. Luego empleó un solo eje con origen y ordenada en movimiento (similar al método gráfico de Descartes, que no involucraba coordenadas) para describir una curva dada. Luego, Fermat consideró la ecuación general de segundo grado re dirigiéndola a siete formas irreducibles (o casos especiales), que incluían líneas, hipérbolas, elipses, parábolas y círculos. La presentación de Fermat difería sustancialmente de la de Descartes, quien pasó por alto el tema de la construcción y se centró en una teoría avanzada de ecuaciones. Siguiendo las implicaciones de su investigación después de 1636, Fermat demostró la solución gráfica de ecuaciones algebraicas determinadas. En 1643 trató de extender sus métodos a sólidos de revolución (los sólidos obtenidos al hacer girar una curva sobre un eje fijo). Este último esfuerzo no tuvo éxito, ya que Fermat aún no tenía las herramientas de un sistema de coordenadas tridimensional, aunque estableció la base algebraica correcta para dicho sistema de geometría sólida. Fermat estableció la conexión entre la dimensión y el número de incógnitas, una contribución conceptual importante a la matemática del siglo XVII. 

Fermat también desarrolló un método de cálculo de máximos y mínimos de curvas, que esencialmente implicaba un cálculo de la derivada de un polinomio. Sin embargo, Fermat no utilizó ningún infinitesimal en su método, y por lo tanto su trabajo fue periférico a los fundamentos del cálculo. Utilizando su técnica, Fermat pudo determinar los centros de gravedad para figuras geométricas, así como la formación de rectas tangentes para una curva determinada. Este trabajo se convirtió en un punto central en un debate de 1638 con Descartes, quien criticó el trabajo de Fermat porque rivalizaba con sus propia matemática establecida en su Géométrie. Aunque finalmente hicieron las paces cuando Descartes admitió que su crítica a la obra de Fermat era inválida, los dos hombres permanecieron en conflicto; la reputación de Fermat, quien se negó rotundamente a publicar su obra, sufrió como resultado. 

La cuadratura de curvas (es decir, el cálculo del área bajo una curva por medio de su aproximación por rectángulos) también fue estudiada por Fermat, quien amplió las labores de Arquímedes de Siracusa sobre la espiral. Fermat fue capaz de aproximar un área determinada con una precisión arbitraria (a través del número de rectángulos elegidos), y así calcular el área debajo de ciertos polinomios simples. Al principio, su estilo era geométrico, basándose en figuras cuidadosamente dibujadas, pero luego adoptó un enfoque más algebraico. Sus diversos resultados sobre cuadraturas finalmente circularon en 1679, y para entonces ya estaban obsoletos, en vista del trabajo más completo de Sir Isaac Newton y Gottfried Leibniz. Parece que Fermat no se dio cuenta de que el método de las tangentes y la cuadratura eran inversos entre sí, y este trabajo ejerció poca influencia en la matemática posterior. 

Fermat es mejor conocido por su trabajo en teoría de números, que fue en gran parte descuidado por sus colegas del siglo XVII. Sus trabajos fueron completamente ignorados hasta que Leonhard Euler revivió el interés en el número; finalmente, en el siglo XIX Carl Friedrich Gauss y otros demostraron muchos de los resultados importantes y establecieron la teoría de números como un campo moderno de investigación matemática. Fermat estaba interesado en soluciones enteras de ecuaciones algebraicas, y su investigación inicial se centró en la divisibilidad y el estudio de los números primos. Sus métodos no son conocidos, porque la mayoría de sus resultados fueron escritos en cartas a amigos o en los márgenes de otros libros; aparentemente, Fermat usó la criba de Eratóstenes de Cirene como criterio de excelencia. Derivó varios teoremas importantes (sin pruebas), investigando la descomposición de primos como sumas de cuadrados. En este sentido, Fermat estaba interesado en soluciones enteras para x^n+y^n=z^n donde n es al menos dos. El hecho (probado recientemente por Andrew Wiles en 1994) de que no hay soluciones para n mayores que dos se conoce como el Último Teorema de Fermat; él anotó esta conjetura en el margen de uno de sus libros. 

Una técnica que Fermat aplicó repetidas veces era el método del descenso infinito: argumentaba por contradicción, construyendo una sucesión infinita de enteros decrecientes (positivos), que no podían existir. La principal importancia del trabajo de Fermat en teoría de números es el estímulo que le dio a la investigación a fines del siglo XVIII y XIX. 

Fermat también contribuyó al estudio de la óptica (sobre cuyo tema también debatió con Descartes, oponiéndose a su razonamiento a priori), y se le atribuye, junto con Blaise Pascal, como el fundador de la teoría de la probabilidad. A través de una serie de cartas escritas durante 1654, estos dos matemáticos intercambiaron una variedad de preguntas sobre probabilidad, como por ejemplo, cómo dividir justamente las apuestas de un juego interrumpido. Aunque sus métodos diferían un tanto (Fermat hacía cálculos directos en lugar de derivar fórmulas generales), ambos usaron el concepto de “ganancias esperadas”, definido a través de la expectativa matemática. 

Los últimos años de la vida de Fermat vieron poca interacción con otros matemáticos, ya que dedicaba cada vez más su tiempo libre a la teoría de números. Aunque su trabajo, especialmente sus esfuerzos en teoría de números, mereció el reconocimiento de sus colegas, Fermat cayó en una oscuridad creciente debido a su renuencia a publicar. Después del siglo XVII fue completamente olvidado, hasta que fue redescubierto por Euler y otros en el siglo XIX, cuando el renovado interés en la teoría de números se inspiró en su intelecto.

 


Fuente bibliográfica:

  • McElroy, Tucker (2005) A to Z of Mathematicians. Facts On File, Inc.
Anuncios

Read Full Post »

La teoría de la integración fue un tema intensamente re-investigado a fines del siglo XIX, y Pierre-Joseph-Louis Fatou contribuyó a ciertos aspectos básicos de la teoría de integración de Henri-Louis Lebesgue. Sus resultados, más tarde desarrollados por Caratheodory y Frigyes Riesz, fueron fundamentales en la joven teoría de la integración. 

Fatou nació en Lorient, Francia, el 28 de febrero de 1878. Asistió a la École Normale Supérieure de 1898 a 1901, donde estudió matemática. Como había pocos puestos para matemáticos, Fatou aceptó un puesto en el observatorio de París, donde continuó trabajando hasta su muerte, el 10 de agosto de 1929. Mientras trabajaba allí obtuvo su doctorado en 1907 y fue nombrado astrónomo titular en 1928.  

Uno de los problemas matemáticos aplicados que fascinó a Fatou fue el cálculo de la perturbación de un planeta debido a los movimientos de un segundo planeta. Carl Friedrich Gauss había formulado algunos resultados intuitivos, pero Fatou pudo darles una base matemática rigurosa mediante el estudio de ecuaciones diferenciales. Fatou también investigó el movimiento de un planeta a través de un medio resistente, que se basaba en la suposición de que las atmósferas estelares eran más extensas en el pasado. 

En la matemática pura, Fatou contribuyó a la teoría de la serie de Taylor, y estaba particularmente interesado en el círculo de convergencia. Sus investigaciones en esta dirección lo llevaron a formular el llamado lema de Fatou, que da una condición suficiente para la convergencia de una serie de funciones. Formuló sus resultados bajo el paraguas de la teoría de integración de Lebesgue, y su teorema es también un resultado clave para determinar la validez del intercambio del límite y la integral. Fatou también estudió las funciones racionales de una variable compleja y determinó cómo los coeficientes de una serie de Taylor afectan a las singularidades de la función resultante. 

La teoría de integración de Lebesgue más tarde se convirtió en una parte extremadamente importante del análisis real, y las investigaciones de Fatou en este campo han tenido un significado perdurable.

 


Fuente bibliográfica:

  • McElroy, Tucker (2005) A to Z of Mathematicians. Facts On File, Inc.

Read Full Post »

El siglo XVIII fue testigo del desarrollo de varias ideas matemáticas del siglo XVII: el cálculo fue un ejemplo importante. Leonhard Euler fue excepcional entre sus pares no solo por la amplitud y profusión de su obra, sino también por su gran originalidad; fundó gran parte de la teoría de números, definió el concepto moderno de función y formuló una teoría general para el cálculo de variaciones. Su renombre y virtuosismo fueron tales que el siglo XVIII a veces se conoce como la “Era de Euler”. 

Leonhard Euler nació en Basilea el 15 de abril de 1707. Su padre, Paul Euler, era un ministro protestante, y su madre, Margarete Brucker, era hija de un ministro; esta base religiosa permaneció con Euler a lo largo de su vida. El padre de Euler, que se había interesado en la matemática al haber asistido a las conferencias de Jakob Bernoulli en la Universidad de Basilea, educó a su hijo en sus primeros años. Debido a que su Gymnasium no enseñaba matemática, Euler estudió en privado con un matemático aficionado, y mostró un talento notable para alguien de su edad. En 1720 ingresó en la Universidad de Basilea y pronto estuvo bajo la guía de Johann Bernoulli. En 1722 recibió su licenciatura en artes, y un año más tarde su maestría en filosofía; a los 16 años, se unió al departamento de teología. 

Sin embargo, la fuerza de Euler estaba en la matemática, y pronto abandonó su ambición de ser ministro. Por esta época comenzó su propia búsqueda en la matemática y publicó un artículo sobre trayectorias recíprocas algebraicas. Había pocas oportunidades en Suiza para matemáticos jóvenes, por lo que Euler aceptó una oferta para unirse a la nueva Academia de Ciencias de San Petersburgo en 1727. Su nombramiento oficial fue como adjunto de fisiología, aunque se le permitió trabajar en matemática. Euler se convirtió en profesor de física en 1731 y en profesor de matemática en 1733; la atmósfera en la joven academia fue estimulante para Euler, quien interactuó con Jakob Hermann, Daniel Bernoulli y Christian Goldbach. 

La vida de Euler estuvo marcada por su notable diligencia y actividad. Su investigación matemática fue informada en las sesiones de la academia; mientras tanto, participó en la formación de científicos rusos, así como en el estudio del territorio ruso (Euler ayudó en la construcción de mapas geográficos) y en el desarrollo de nueva tecnología (Euler estudió problemas de construcción naval y de navegación). Pero sus contribuciones a la matemática fueron prolíficas: Euler preparó más de 80 obras en sus primeros 14 años en San Petersburgo. 

Muchas de sus mejores ideas fueron formuladas en su juventud, incluso en Basilea, y se desarrollaron mucho después. Debido a su voluminosa correspondencia con otros científicos, los descubrimientos de Euler a menudo se hicieron públicos antes de que fueran publicados; esto le trajo una gran cantidad de fama. En 1733 se casó con Katharina Gsell, y pronto tuvo dos hijos. Su tranquila vida fue estropeada solamente por la pérdida de la visión de su ojo derecho en 1738; según Euler, esto se debió a la sobrecarga de su trabajo cartográfico. Sin embargo, en 1740 la situación política en Rusia se volvió inestable, y Euler aceptó una oferta para trabajar en la Sociedad de Ciencias de Berlín. 

Euler se quedó en Berlín durante 25 años, tiempo durante el cual fue bendecido con muchos más hijos. Durante este período, trabajó en las academias de Berlín y San Petersburgo. Fue director de la Sociedad de Ciencias de Berlín, que transformó en gran medida. Además de las numerosas tareas administrativas, se ocupó de varios problemas prácticos, como la corrección del nivel del canal de Finow. Consultó con el gobierno sobre problemas de seguros, pensiones e hidráulica, e incluso organizó algunas loterías estatales. Mientras tanto, Euler recibió una pensión de la Academia de San Petersburgo y, a cambio, editó el diario de la academia, le informó sobre nuevas ideas científicas y supervisó competiciones. Euler recibió 12 premios de la Académie des Sciences de París de 1738 a 1772. 

El período de Berlín fue fructífero, ya que Euler produjo más de 380 obras, algunas de las cuales fueron extensas, sobre temas como el cálculo de variaciones, el cálculo de órbitas, balística, análisis, movimiento lunar y cálculo diferencial. Sus famosas Lettres à une princesse d’Allemagne sur buts sujets de physique et de philosophie (Cartas a una princesa alemana sobre diversos temas de física y filosofía) se escribieron de manera popular y se convirtieron en un gran éxito en Europa. Euler participó en muchos debates académicos sobre temas como la religión de la razón pura expuesta por Gottfried Leibniz, y el principio de mínima acción. 

Después de 1759, la relación de Euler con el rey Federico de Prusia se deterioró, y finalmente regresó a San Petersburgo en 1766. Poco después de su regreso, una breve enfermedad lo dejó completamente ciego; esto dificultó su capacidad de investigar, pero con la ayuda de asistentes pudo dictar sus pensamientos y así continuar su trabajo. El único cambio parece ser que sus artículos se volvieron más concisos, y la mitad del total de sus obras se produjo después de 1765. Su memoria (podía recitar literalmente la Eneida de Virgilio) permaneció impecable, y continuó teniendo ideas originales. La actividad de Euler en la academia no disminuyó cuando murió el 18 de septiembre de 1783, de una hemorragia cerebral.   

Euler fue uno de los matemáticos más importantes desde Sir Isaac Newton. Estaba profundamente interesado en las aplicaciones, pero desarrollaría la matemática pertinente a niveles profundos de abstracción y generalidad. Su tema principal fue el análisis, contribuyendo al cálculo de variaciones, la teoría de las ecuaciones diferenciales, las funciones de una variable compleja y la teoría de funciones especiales. Se le deben muchas convenciones y notaciones modernas, como el símbolo f(x) para el valor de una función y i para la raíz cuadrada de -1. 

En teoría de números, a Euler le preocupaba la teoría de la divisibilidad, introduciendo la llamada función de Euler, que cuenta la cantidad de divisores de un entero dado. Estos estudios lo llevaron al descubrimiento de la ley de la reciprocidad cuadrática, cuya prueba completa fue luego establecida por Carl Friedrich Gauss. Euler investigó las descomposiciones de números primos como combinaciones lineales de cuadrados, y trabajó en el análisis diofántico a través de fracciones continuas. Sus métodos eran algebraicos, pero Euler fue el primero en introducir métodos analíticos a la teoría de números, en particular, dedujo una famosa identidad que relacionaba sumas de cuadrados recíprocos con un producto de números primos, que fue un primer paso en el estudio de la función zeta de Riemann. Euler estudió varias constantes matemáticas, como e y pi, así como la constante de Euler (que surge en el estudio de la serie armónica divergente). 

Euler enunció el teorema que dice que un polinomio algebraico de grado n tiene n raíces de la forma a+bi, que ahora se conoce como el teorema fundamental del álgebra. Su prueba de 1751 tuvo algunas omisiones, que luego fueron corregidas por Gauss. Euler también intentó derivar una fórmula exacta para las raíces del polinomio de quinto grado, y sus fallas lo llevaron a métodos de aproximación de análisis numérico. 

Aunque muchos matemáticos habían estudiado series infinitas, Euler fue inusualmente exitoso en su cálculo, obteniendo fórmulas simples para sumas de recíprocos de potencias pares de enteros. A través de estos estudios, Euler estudió funciones especiales (como las funciones de Bessel) y descubrió la constante de Euler para la aproximación de la serie armónica. Hizo un gran uso de las series de potencias e introdujo series trigonométricas antes que Jean Baptiste Joseph Fourier como herramienta analítica. Euler creía que las series divergentes podían ser útiles, y este esfuerzo llegaría a buen término mucho más tarde, en el siglo XX. 

Euler presentó la idea de que el análisis matemático es el estudio de las funciones; para este fin, definió más claramente el concepto de función, que se aproxima mucho a la noción moderna. A través de la consideración del logaritmo de los números negativos, Euler llegó a un entendimiento de la exponenciación de números imaginarios, derivando muchos hechos elementales cruciales. Avanzó en el conocimiento de los números complejos, descubriendo las ecuaciones diferenciales que relacionan las partes real e imaginaria de una función analítica. Euler aplicó sus técnicas al cálculo de integrales reales.  

También realizó numerosos descubrimientos en el cálculo diferencial e integral, derivando reglas de sustitución, validando el intercambio de derivadas parciales y fundando el concepto de integrales múltiples. Como resultado de los muchos casos especiales y técnicas de integración que empleó, se descubrieron las funciones beta y gamma, que son útiles en física. Euler hizo grandes contribuciones al campo de las ecuaciones diferenciales, incluido el método de variación de constantes, así como el uso de curvas características. Algunas de las aplicaciones de este trabajo incluyen problemas de cuerdas vibrantes, hidrodinámica y el movimiento del aire en las tuberías. 

Sus estudios en el cálculo de variaciones lo llevaron a la ecuación diferencial de Euler, y su exposición del tema se convirtió en un clásico. Euler fue el primero en formular los principales problemas de este tema y los principales métodos de solución. En geometría, Euler investigó la trigonometría esférica y fundó una teoría de líneas sobre una superficie, uno de los pasos iniciales hacia el moderno tema de la geometría diferencial. Analizó la curvatura de una superficie en términos de la curvatura de las curvas principales embebidas e introdujo las coordenadas gaussianas, que se usaron ampliamente en el siglo XIX. 

Euler también fue el primer autor en topología, resolviendo el famoso enigma de siete puentes de Königsberg; estudió poliedros, obteniendo lo que más tarde se conocería como la característica de Euler, una fórmula que relaciona su número de aristas, caras y vértices. 

Además de estas contribuciones a la matemática pura, Euler trabajó en mecánica, astronomía y óptica. Euler sistematizó la mecánica, introduciendo métodos analíticos que simplificaron enormemente el tema. Estudió mecánica celeste y elasticidad, derivando la famosa fórmula de pandeo de Euler, utilizada para determinar la fuerza de las columnas. En mecánica de fluidos, estudió las posiciones de equilibrio y presentó tres obras clásicas sobre el movimiento de los fluidos incompresibles; Euler también mejoró el diseño de la turbina hidráulica. 

En astronomía, Euler estaba interesado en la determinación de órbitas de cometas y planetas, en la teoría de la refracción y en la naturaleza física de los cometas. Presentó una extensa teoría lunar, que permitía un cálculo más preciso de la posición longitudinal de un barco en el mar. Euler ayudó a la física matemáticamente (es decir, al introducir muchas técnicas de análisis para comprender mejor ciertos problemas). De hecho, se le acredita como fundador de la física matemática. Estudió también la óptica, construyendo una teoría de la luz no como partícula que veía la iluminación como el producto de ciertas oscilaciones en el éter ambiental.  

Euler fue un hombre humilde, pero también uno de los mejores científicos y matemáticos de todos los tiempos, y especialmente del siglo XVIII; fue reconocido por sus compañeros como un genio sobresaliente. Su investigación matemática ha estimulado una enorme cantidad de actividad posterior, y muchas de sus ideas se adelantaron a su tiempo.

 


Fuente bibliográfica:

  • McElroy, Tucker (2005) A to Z of Mathematicians. Facts On File, Inc.

Read Full Post »

Older Posts »