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Posts Tagged ‘Carl Friedrich Gauss’

Un cambio de paradigma importante en la intuición geométrica tuvo lugar en el siglo XIX, cuando Carl Friedrich Gauss, János Bolyai y Lobachevsky desarrollaron, independientemente, geometrías alternativas al espacio plano. Lobachevsky fue el primero en publicar este descubrimiento. Sus generalizaciones de la noción intuitiva de espacio han demostrado ser extremadamente relevantes dentro de la matemática (allanando el camino para la definición abstracta y el estudio de la geometría) y la física, a través del modelado del efecto de la gravedad en la forma del universo. 

Nikolai Lobachevsky nació el 2 de diciembre de 1792 en Gorki, Rusia. Su padre, Ivan Maksimovich, era empleado administrativo, y su madre se llamaba Praskovia Aleksandrovna Lobachevskaya. En 1800, la madre de Lobachevsky se trasladó, junto con Lobachevsky y sus dos hermanos, a Kazan. Allí los tres chicos se inscribieron en el Gymnasium con becas. En 1807 Lobachevsky ingresó a la Universidad de Kazan, donde estudió matemática y física, obteniendo su maestría en 1812. 

En 1814 Lobachevsky dio una conferencia sobre matemática y mecánica como adjunto y se convirtió en profesor el mismo año; fue promovido en 1822 y ocupó diversos cargos en la Universidad de Kazan, incluido el de decano del departamento de física y matemática, bibliotecario de la universidad, rector y asistente del fideicomisario del distrito de Kazan. Su primer trabajo importante, escrito en 1823, se llamó Geometriya (Geometría), y sus estudios geométricos básicos lo condujeron a sus investigaciones posteriores sobre geometría no euclidiana. Informó de sus primeros descubrimientos en 1826 y publicó estas ideas en 1829–1830. 

Lobachevsky intentó inicialmente probar el quinto postulado de Euclides de Alejandría, como muchos antes que él (incluyendo Claudio Ptolomeo, Thabit ibn Qurra, Abu Ali al-Haytham, Adrien-Marie Legendre y John Wallis) lo habían intentado y fracasado. Pronto recurrió a la construcción de una geometría más general que no requería el quinto postulado, que establece que dada una recta y un punto fuera de ella, existe una única recta a través del punto que es paralela a la recta dada. La geometría resultante, que Lobachevsky denominó “geometría imaginaria”, permitió la construcción de múltiples rectas paralelas distintas a través del punto dado. Desde aquí pudo deducir varias propiedades interesantes: la más importante es que la geometría era consistente(no había contradicción en sus reglas, por más que fueran intuitivas sus características). Curiosamente, la suma de los ángulos en un triángulo es menor que 180 grados; posteriormente, Lobachevsky intentó deducir la geometría del universo midiendo los ángulos de un vasto triángulo cósmico atravesado por estrellas distantes. Concluyó que, dentro de los márgenes del error de medición, los ángulos sumaban 180 grados y, por lo tanto, el universo es euclidiano. 

Lobachevsky produjo varios artículos más sobre este tema; dio tanto una definición axiomática como una constructiva de su “pangeometría”, que más tarde se conocería como geometría hiperbólica. Sus ideas no fueron aceptadas inicialmente en el extranjero, aunque fue promovido en Kazán y convertido en noble en 1837. Se casó en 1832 con una adinerada aristócrata, Lady Varvara Aleksivna Moisieva, y tuvieron siete hijos. 

Además de su importante trabajo geométrico, Lobachevsky contribuyó en álgebra, series infinitas y teoría de la integración. Sin embargo, este trabajo estaba condimentado por sus ideas geométricas y se relacionaba con su “geometría imaginaria”. Gauss apreció los esfuerzos de Lobachevsky, que eran similares a su propio trabajo sobre geometría no euclidiana, y ayudó a su elección a la Academia de Ciencias de Göttingen después de 1842. 

Lobachevsky, a pesar de su matrimonio ventajoso, experimentó dificultades financieras en sus últimos años, debido al costo de su familia numerosa y al mantenimiento de su patrimonio. Sus ojos se deterioraron con la edad hasta que quedó totalmente ciego. Murió el 24 de febrero de 1856, en Kazán. 

El reconocimiento del trabajo pionero de Lobachevsky llegó lentamente. Muchos matemáticos, como Arthur Cayley, no pudieron comprender su significado y lo denigraron. En la década de 1860, las obras de Bolyai y Lobachevsky ganaron cada vez más renombre entre los franceses, y Eugenio Beltrami más tarde dio una construcción de la geometría lobachevskiana en un círculo cerrado del plano. Después de 1870 Karl Weierstrass y Felix Klein se interesaron por el trabajo de Lobachevsky, y Klein finalmente formuló las diversas geometrías (elíptica, plana e hiperbólica) en términos de invariantes de transformaciones de grupo. Posteriormente se demostró que la geometría lobachevskiana era un caso especial de las geometrías de Cayley. Henri Poincaré, junto con Klein, se basó en las ideas de Bernhard Riemann y Lobachevsky. En el siglo XX se demostró que la geometría no euclidiana era relevante para la teoría general de la relatividad. Es intrigante que luego se demostró que el espacio del universo tiene curvatura variable, con la urdimbre y la trama de su tejido definidas por fuerzas gravitacionales. Esta realidad está modelada por la geometría de Lobachevsky.

 

 

 


Fuente bibliográfica:

  • McElroy, Tucker (2005) A to Z of Mathematicians. Facts On File, Inc.

 

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Legendre fue una figura importante en la transición de la matemática de los siglos XVIII al XIX. Sus contribuciones a la teoría de números y al análisis plantearon muchas preguntas importantes que los futuros matemáticos tendrían que resolver. También fue uno de los fundadores de la teoría central de las funciones elípticas. 

Adrien-Marie Legendre nació el 18 de septiembre de 1752 en París, Francia. Su familia era rica, y Legendre recibió una excelente educación científica en las escuelas de París. En 1770 defendió sus tesis sobre matemáticas y física en el Collège Mazarin. 

Legendre tenía una modesta fortuna, lo que le daba la libertad de seguir una investigación matemática en su tiempo libre. Sin embargo, enseñó matemática en la École Militaire de París de 1775 a 1780. Legendre ganó un premio de la Academia de Berlín en 1782, con un artículo sobre la trayectoria de las balas de cañón y las bombas, teniendo en cuenta la fricción aérea. En los próximos años aumentó su producción científica, intentando ganar más renombre entre los científicos franceses; estudió las atracciones mutuas de los cuerpos planetarios, ecuaciones indeterminadas de segundo grado, fracciones continuas, probabilidad y la rotación de los cuerpos en aceleración. A lo largo de su vida, las áreas de investigación favoritas de Legendre fueron la mecánica celeste, la teoría de números y las funciones elípticas. 

En 1786, Legendre publicó Traité des functions elliptiques (Tratado sobre funciones elípticas) donde describía los métodos para discriminar entre máximos y mínimos en el cálculo de variaciones, y las llamadas condiciones de Legendre dieron lugar a una extensa literatura. También estudió la integración por medio de arcos elípticos, que fue realmente un primer paso en la teoría de las funciones elípticas. Alrededor de este tiempo fue promovido en la Academia de Ciencias y contribuyó a algunos problemas geodésicos, aportando su experticia en el ámbito la trigonometría esférica. 

Luego Legendre estudió las ecuaciones diferenciales parciales, expresando la llamada transformación de Legendre. Él autoeditó su trabajo de 1792 sobre los trascendentales elípticos, ya que el gobierno francés suprimió las academias. Este fue un tiempo agotador para Legendre. Se casó con una joven, Marguerite Couhin, mientras que la Revolución Francesa destruyó su fortuna personal. Su joven esposa pudo darle estabilidad emocional mientras él continuaba escribiendo nuevos trabajos científicos. 

En 1794, Legendre recibió un nuevo puesto relacionado con pesos y medidas. Mientras tanto, publicó sus Elementos de Geometría, que dominarían la instrucción elemental en geometría durante el próximo siglo. En la siguiente década dirigió el cálculo de nuevas tablas trigonométricas altamente precisas; éstas se basaban en las nuevas técnicas matemáticas del cálculo de variaciones.  

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Legendre publicó su Ensayo sobre la teoría de números en 1798, que amplió su trabajo anterior de 1785, con material sobre ecuaciones indeterminadas, la ley de reciprocidad de los residuos cuadráticos, la descomposición de los números en tres cuadrados y las progresiones aritméticas. Su trabajo de 1806 sobre las órbitas de los cometas dio la primera exposición pública del método de los mínimos cuadrados. Sin embargo, Legendre se enfureció al saber que Carl Friedrich Gauss había estado usando el método en privado desde 1795. 

En las décadas siguientes, Legendre amplió la teoría de las funciones elípticas, las ecuaciones indeterminadas y la trigonometría esférica. Su trabajo en teoría de números fue notable por la ley de reciprocidad cuadrática. Hizo una demostración imperfecta de esta ley en 1785, y Gauss la probó rigurosamente en 1801. Legendre contribuyó al conocimiento del Último Teorema de Fermat, estableciendo el resultado en un caso especial, y fue un precursor de la teoría analítica de números: estudió la distribución de los números primos, declarando sus asintóticos en 1798. Sus mejores logros se encuentran en la teoría de las funciones elípticas; expandiendo el trabajo de Leonhard Euler y Joseph-Louis Lagrange, Legendre esencialmente fundó esta teoría en 1786 al expresar integrales elípticas en términos de ciertos tipos más básicos llamados trascendentales. Como calculadora maestra, Legendre desarrolló extensas tablas para los valores de estas funciones elípticas. Niels Henrik Abel y Carl Jacobi, desarrollaron sustancialmente sus primeros trabajos en los años siguientes. Legendre sucedió a Pierre-Simon Laplace en 1799 como examinador de matemática en la escuela de artillería, y renunció en 1815, sucediendo a Lagrange en el Bureau de Longitudes en 1813. Recibió varios honores, incluida la membresía en la Legión de Honor. El 9 de enero de 1833 murió en París después de una dolorosa enfermedad.  

El enfoque de Legendre hacia la matemática era típico del siglo XVIII. Muchos de sus argumentos carecían de rigor, y era muy escéptico ante innovaciones tales como la geometría no euclidiana. Fue, en muchos aspectos, un discípulo de Euler y Lagrange, cuya visión de la matemática lo influenció enormemente. Pero las contribuciones de Legendre a la teoría de números y las funciones elípticas llevaron a arenas de investigación completamente nuevas, y es aquí donde su impacto fue tan pronunciado.

 


Fuente bibliográfica:

  • McElroy, Tucker (2005) A to Z of Mathematicians. Facts On File, Inc.

 

 

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Pierre-Simon Laplace fue sin duda uno de los científicos y matemáticos más eminentes de finales del siglo XVIII en París, y puede ser considerado como uno de los principales fundadores de la teoría de la probabilidad. Sus teorías científicas, notables por su modernidad y sofisticación, dominaron durante muchos años e influyeron profundamente en la evolución posterior del pensamiento. Laplace tuvo un talento notable como matemático, y fue un destacado intelectual en Francia durante su vida. 

Pierre-Simon Laplace nació el 23 de marzo de 1749 en Beaumont-en-Auge, en la provincia de Normandía, Francia, hijo de Pierre Laplace, un próspero comerciante de sidra, y Marie-Anne Sochon, que provenía de una familia adinerada de terratenientes. . Aunque la familia de Laplace estaba financieramente en una cómoda posición, no contaba con un pedigrí intelectual. En sus primeros años asistió a un priorato benedictino, mientras su padre intentaba una carrera en la iglesia. A los 16 años Laplace se inscribió en la Universidad de Caen donde estudió teología; sin embargo, algunos de sus profesores reconocieron su excepcional talento matemático y lo estimularon a desarrollar sus dones innatos en París. 

Así fue que a los 19 años Laplace se fue de Caen sin su licenciatura y llegó a París, con una carta de presentación para presentar al eminente Jean Le Rond d’Alembert, quien aceptó cálidamente a Laplace y cumpliría el rol de mentor del brillante joven matemático. D’Alembert también consiguió un puesto para Laplace como profesor en la École Militaire. Esta posición le dio un pequeño estímulo intelectual, además de permitirle permanecer en París, donde pudo interactuar con la comunidad matemática parisina y producir sus primeros trabajos. Estas obras, leídas ante la Academia de Ciencias en 1770, se basaban en la obra de Joseph-Louis Lagrange sobre los extremos de curvas y ecuaciones en diferencias. 

Laplace era un joven ambicioso muy consciente de su propio talento, y esto resultaba evidente para sus colegas con dotes inferiores. Esta arrogancia le generó muchos enemigos, aunque al mismo tiempo éstos se vieron obligados a admitir su brillantez. Laplace estaba indignado por no haber sido elegido para la Academia de Ciencias debido a su juventud, pero en 1773 se convirtió en miembro de esa institución después de haber leído 13 artículos en tres años ante la comunidad. El trabajo inicial de Laplace fue de alta calidad en una variedad de temas, incluyendo ecuaciones diferenciales, ecuaciones en diferencias, cálculo integral, astronomía matemática y probabilidad. Estos dos últimos temas formarían un tema recurrente en el trabajo de toda la vida de Laplace. 

En la década de 1770, Laplace se ganó su reputación como matemático y científico, y en la década de 1780 hizo sus contribuciones más importantes. Laplace demostró que la respiración era una forma de combustión, estudió el impacto de las lunas sobre las órbitas de sus planetas y formuló la teoría matemática clásica del calor. El operador de Laplace (conocido como “laplaciano” por los matemáticos) tiene un papel importante en la ecuación diferencial básica del calor. Su trabajo en astronomía sentó las bases de su obra maestra sobre la estructura y la dinámica del sistema solar. 

En 1784 Laplace se convirtió en examinador del Royal Artillery Corps y formó parte de varios comités científicos. Utilizó su experiencia en probabilidad para comparar las tasas de mortalidad entre hospitales, uno de los primeros ejercicios en el análisis de supervivencia. En 1785 Laplace fue ascendido a una posición de alto nivel en la Academia de Ciencias, y poco después Lagrange se unió a la misma institución. La proximidad de estos dos eminentes científicos llevó a una explosión de actividad científica en París. 

El 15 de mayo de 1788, Laplace se casó con Marie-Charlotte de Courty de Romanges, que era 20 años menor; tuvieron dos hijos. Laplace se involucró en un comité para estandarizar pesos y medidas en 1790 que defendía el sistema métrico. Para entonces la Revolución Francesa ya había comenzado, y Laplace se hizo pasar por republicano y antimonarquista para evitar la persecución política. Era algo así como un oportunista, alterando estratégicamente sus opiniones políticas a lo largo de la Revolución para escapar del ataque. En 1793 huyó del Reino del Terror, pero más tarde fue consultado por el gobierno sobre el nuevo calendario francés; aunque este calendario era incompatible con los datos astronómicos, Laplace se abstuvo de efectuar críticas para protegerse. 

Laplace enseñó probabilidad en la École Normale, pero su nivel de abstracción hizo que sus conferencias fueran inaccesibles para los estudiantes allí. Estas conferencias se publicaron más tarde como una colección de ensayos sobre probabilidad en 1814, y brindan definiciones básicas y una gran cantidad de aplicaciones a las tasas de mortalidad, juegos de azar, filosofía natural y decisiones judiciales. En 1795 se reabrió la Academia de Ciencias, que había sido clausurada por los revolucionarios, y Laplace se convirtió en miembro fundador del Bureau des Longitudes y jefe del Observatorio de París. Sin embargo, en la última capacidad, Laplace demostró ser demasiado teórico, ya que estaba más preocupado por desarrollar su teoría planetaria para la dinámica del sistema solar que por la observación astronómica. En 1796 presentó su famosa hipótesis nebular en su Exposition du système du monde (El sistema del mundo), donde definió la génesis del sistema solar a partir de una nube de gas refrigerante aplanada y giratoria en su forma actual. En cinco libros Laplace describió el movimiento de los cuerpos celestes, las mareas del mar, la gravitación universal, los conceptos mecánicos de fuerza y ​​momento, y una historia del sistema solar. Gran parte de su material es notablemente moderno en lo que respecta a su descripción del mundo, siendo un testimonio del perdurable legado de su pensamiento científico.  

Este importante trabajo fue seguido por la Traité du Mécanique Céleste (Tratado sobre la mecánica celeste), que dio una explicación más matemática de su hipótesis nebular. Aquí Laplace formula y resuelve las ecuaciones diferenciales que describen los movimientos de los cuerpos celestes y, de manera más general, aplica la mecánica a problemas astronómicos. Aquí aparece la ecuación de Laplace, que presenta el laplaciano, aunque esta ecuación diferencial era ya conocida anteriormente. Característico en él, no pudo dar crédito a sus progenitores intelectuales. Sin embargo, está claro que Laplace fue fuertemente influenciado por Lagrange y Adrien-Marie Legendre. 

Laplace recibió una variedad de honores bajo el imperio de Bonaparte, incluida la Legión de Honor en 1805; fue canciller del senado y sirvió brevemente como ministro del interior. En 1806 se convirtió en conde, y después de la restauración se convirtió en marqués en 1817. En 1812 publicó su Théorie Analytique des Probabilités (Teoría analítica de la probabilidad), que resumía sus contribuciones a la probabilidad. En esta obra detalla el teorema de Bayes, el concepto de expectativa matemática y el principio de mínimos cuadrados (inventado simultáneamente por Carl Friedrich Gauss); estas tres ideas han tenido un impacto trascendental en la ciencia y en la estadística. Aplicó sus técnicas a una amplia variedad de temas, como la esperanza de vida y asuntos legales. Aunque otros (como Blaise Pascal) habían contribuido a la probabilidad previamente, Laplace dio un tratamiento más sistemático y demostró claramente su utilidad en problemas prácticos. 

Las ideas científicas de Laplace fueron profundas. Buscó reducir el estudio de la física a las interacciones entre moléculas individuales, actuando a distancia. Esta formulación singularmente moderna fue revolucionaria en su amplia gama de aplicaciones, incluido el estudio de presión, densidad, refracción y gravedad. Su trabajo también se distingue de las teorías moleculares anteriores en su precisa formulación matemática. En las primeras décadas del siglo XIX, Laplace aplicó sus principios a una variedad de problemas científicos, como la velocidad del sonido, la forma de la Tierra y la teoría del calor. También fundó la Société d’Arcueil en 1805, en la que también tuvo una activa participación Siméon Denis Poisson; este grupo abogó con vehemencia por un papel prominente de la matemática en la exploración científica. Después de 1812 la energía de este grupo se desvaneció y las ideas de Laplace fueron atacadas a medida que avanzaban nuevos paradigmas. Por ejemplo, Laplace se aferró a la teoría de fluidos del calor y la luz, y estas cayeron en desgracia con el avance de las ideas de Jean Baptiste Joseph Fourier. 

La decadencia de la hegemonía científica de Laplace también fue acompañada por un aislamiento social cada vez mayor, ya que sus colegas se disgustaron con su infidelidad política. En la vida posterior apoyó la restauración de los Borbones y se vio obligado a huir de París durante el regreso de Bonaparte. Murió el 5 de marzo de 1827 en París, Francia. La Academia de Ciencias, en honor a su fallecimiento, canceló su reunión y dejó su puesto vacante durante varios meses. 

Laplace contribuyó a la ola de pensamiento científico en París a finales del siglo XVIII. Aunque muchas de sus ideas pronto fueron descartadas, otras han perdurado hasta los tiempos modernos; incluso sus anticuadas teorías influyeron en la próxima generación de científicos. Más notable fue su defensa de un papel más fuerte de la matemática en la empresa científica, y su precisa formulación de las leyes matemáticas para los fenómenos científicos. Su trabajo matemático ha demostrado ser duradero; en particular, sus esfuerzos en ecuaciones diferenciales, probabilidad y mecánica se han vuelto clásicos en estas disciplinas. De particular interés es la teoría matemática del calor y su trabajo fundamental sobre la probabilidad básica.

 


Fuente bibliográfica:

  • McElroy, Tucker (2005) A to Z of Mathematicians. Facts On File, Inc.

 

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