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Posts Tagged ‘Carl Jacobi’

Después de la muerte de Carl Friedrich Gauss, Augustin-Louis Cauchy, Carl Jacobi y Peter Lejeune Dirichlet en la década de 1850, Europa se vio privada de sus mejores matemáticos. En las áreas de aritmética y análisis, Charles Hermite se convirtió en el único sucesor de estos gigantes, conservando su posición de gloria durante muchos años. No solo fue extremadamente influyente en su tiempo, sino que Hermite también sentó las bases para la investigación del siglo XX. 

Charles Hermite nació en Dieuze, Francia, el 24 de diciembre de 1822, siendo el sexto hijo de siete. Su madre era Madeleine Lallemand y su padre era Ferdinand Hermite, un artista e ingeniero. En 1829 la familia se mudó a Nancy, donde Charles asistió al Collège allí. Continuó sus estudios en París en el Collège Henri IV y el Collège Louis-le-Grand, pero su actuación no fue espectacular. Hermite se centraba en leer los trabajos de Leonhard Euler, Joseph-Louis Lagrange y Gauss en lugar de prepararse para sus exámenes. 

De 1840 a 1841, mientras estaba en Louis-le-Grand, Hermite publicó sus dos primeros trabajos, en los que intentaba demostrar la imposibilidad de resolver la ecuación de quinto grado mediante radicales. Cabe aclarar que desconocía los resultados de Niels Henrik Abel. A pesar de tener un puntaje bajo en sus exámenes de ingreso, Hermite fue admitido en la École Polytechnique en 1842. No se le permitió llevar a cabo estudios adicionales debido a una cojera en su pie derecho que lo obligaba a usar un bastón; sin embargo la intervención de ciertas personas influyentes permitió revertir esta situación. Aproximadamente en esta época, Hermite ingresó en el círculo social del matemático Joseph Louis François Bertrand, y más tarde se casaría con la hermana de éste. 

Hermite comenzó a trabajar seriamente en el famoso problema de inversión de Jacobi para las integrales hiperelípticas, y en 1843 logró generalizar el trabajo de Abel sobre las funciones elípticas a las funciones hiperelípicas. Comunicó su resultado a Jacobi, con quien inició una correspondencia de seis años ganando así fama en la comunidad matemática. 

Hermite se convirtió en examinador de admisiones en la École Polytechnique en 1848, y adquirió un puesto más permanente en 1862, llegando a ser profesor de análisis en 1869. Durante estos años fue enormemente productivo, y a la vez ya había ampliado su círculo de contacto epistolar con muchos matemáticos. De 1843 a 1847 se centró en la función elíptica. Uno de los problemas más intrigantes de la época era la inversión de integrales de funciones algebraicas, y Hermite avanzó en esta cuestión al introducir las funciones theta. 

Luego, en 1847, Hermite recurrió a la teoría de números, generalizando algunos de los resultados de Gauss sobre formas cuadráticas. A partir de aquí, extendió sus resultados a números algebraicos (que incluían raíces cuadradas), derivando algunas de sus propiedades fundamentales. En 1854 estudió la teoría de invariantes, descubriendo la ley de reciprocidad, que establecía una correspondencia entre formas binarias. Hermite luego aplicó la teoría de invariantes a funciones abelianas en 1855, y sus resultados se convirtieron en la base de la teoría de “grupos abelianos” de Camille Jordan. Desde 1858 hasta 1864 investigó la ecuación de quinto grado y las relaciones numéricas de clase, y en 1873 recurrió a la aproximación de funciones. Es digno de mención que Hermite demostró la trascendencia del número e en 1873; sus métodos luego se extenderían para establecer la trascendencia del número pi. Su trabajo cubrió temas tan diversos como funciones de Legendre, series para integrales elípticas, fracciones continuas, funciones de Bessel, integrales de Laplace y ecuaciones diferenciales especiales.  

Hermite era conocido como un hombre alegre, desinteresado al compartir sus descubrimientos con los demás. Cayó enfermo de viruela en 1856, y más tarde se convirtió en un devoto católico bajo la influencia de Cauchy. Durante su vida, recibió muchos honores y se le otorgó la membresía en varias sociedades científicas. Murió en París el 14 de enero de 1901. 

Hermite es principalmente recordado como algebraista y analista. Inventó las llamadas formas hermitianas, que son una generalización compleja de las formas cuadráticas, así como los polinomios hermitianos, que son útiles en la aproximación de funciones. Su trabajo ha sido absorbido por estructuras más generales, y en este sentido su pensamiento sigue vivo en la matemática más abstracta del siglo XX.

 


Fuente bibliográfica:

  • McElroy, Tucker (2005) A to Z of Mathematicians. Facts On File, Inc.
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A comienzos del siglo XIX en Alemania, Carl Friedrich Gauss ya había hecho descubrimientos sobresalientes en teoría de números. De sus muchos sucesores, Dirichlet es memorable como un matemático de gran habilidad que extendió significativamente el conocimiento de la teoría de números.  

Gustav Dirichlet nació en Düren en 1805. Su padre era un administrador de correos, y Gustav se educó en una escuela pública. Antes de los 12 años, expresó un celoso interés por la matemática, incluso gastando su dinero extra en libros de matemática. En 1817 ingresó al Gymnasium en Bonn, y progresó rápidamente en sus estudios. Dos años después, Dirichlet fue transferido a un colegio jesuita en Colonia, donde completó sus exámenes principales a los 16 años. Aunque sus padres deseaban que Dirichlet estudiara derecho, prefirió seguir su pasión: la matemática, y viajó a París en 1822 para aprender más de los grandes matemáticos franceses. 

En París, después de sobrevivir a un ataque de viruela, Dirichlet asistió a las clases en el Collège de France, y en 1823 consiguió un atractivo puesto como tutor de los hijos de un famoso general francés. A través de esta situación, Dirichlet se adentró en la vida intelectual francesa. Entre sus conocidos matemáticos, se sintió especialmente atraído por Jean Baptiste Joseph Fourier, quien continuaría ejerciendo una influencia significativa en el trabajo posterior de Dirichlet. 

Su primer interés fue la teoría de números, y esta continuó siendo la principal área de contribución de Dirichlet a la matemática. En 1825 presentó su primer artículo sobre las llamadas ecuaciones diofánticas de grado cinco (ecuaciones en más de dos variables que implican potencias quintas y que requieren soluciones enteras). Los resultados de este trabajo en la teoría de números algebraicos llevaron a un progreso adicional en el Último Teorema de Fermat, una famosa conjetura sin resolver (probada en 1994 por Andrew Wiles) de la teoría de números. 

En 1825, el empleador de Dirichlet murió y regresó a Alemania. Aunque no tenía un doctorado, obtuvo un puesto en la Universidad de Breslau; Posteriormente, Dirichlet obtuvo sus estipendios con una tesis sobre los divisores principales de ciertos polinomios. También contribuyó con la ley de la reciprocidad bicuadrática, basándose en el trabajo pionero de Gauss. El ambiente en Breslau no era propicio para la investigación, por lo que Dirichlet se trasladó a Berlín en 1828, convirtiéndose allí en profesor de la academia militar. En 1831 se casó con Rebecca Mendelsohn-Bartholdy, y también se convirtió en miembro de la Academia de Ciencias de Berlín. 

Dirichlet pasó casi tres décadas como profesor en Berlín, y durante este tiempo ejerció una profunda influencia en el desarrollo de la matemática alemana. Entrenó a muchos estudiantes y continuó escribiendo trabajos de la más alta calidad y relevancia. Dirichlet era tímido y retraído, expresando una modesta renuencia a hacer apariciones públicas. Durante estos años, Dirichlet se comunicó con Carl Jacobi, otro gran matemático alemán. 

Los primeros trabajos de Dirichlet en teoría de números ahondaron en temas que Gauss había esbozado en sus Disquisitiones Arithmeticae (Investigaciones Aritméticas) de 1801 -temas como las formas cuadráticas, las leyes cuadráticas y biquádricas de reciprocidad, y la teoría de números de enteros Gaussianos. En una reunión de 1837 de la Academia de Ciencias, Dirichlet presentó su primer trabajo sobre la teoría analítica de números, en el que estableció que cualquier progresión aritmética debe contener un número infinito de primos. Algunos documentos posteriores resolvieron la convergencia de las llamadas series de Dirichlet, así como también determinaron el número de clase para las formas cuadráticas. En esta literatura, uno encuentra por primera vez el “principio del casillero” de Dirichlet, utilizado en muchas pruebas matemáticas, que establece que si se colocan más de n objetos en n agujeros, al menos un agujero debe tener más de un objeto dentro. Dirichlet estaba buscando una teoría general de números algebraicos que fuera válida para campos de grado arbitrario. Sus técnicas incluyeron una generalización de las formas cuadráticas. 

Mientras tanto, Dirichlet estaba investigando el análisis matemático, y estaba especialmente interesado en la serie de Fourier. Estas series de potencias podían aproximar tanto funciones continuas como discontinuas, y Daniel Bernoulli y Leonhard Euler las utilizaron para modelar las vibraciones de las cuerdas. El método de Dirichlet para probar la convergencia de una serie trigonométrica difería del enfoque anterior de Augustin-Louis Cauchy, y su enfoque se convirtió luego en estándar. En un artículo de 1837, Dirichlet formula la noción moderna de una función como una correspondencia especial entre un par de variables. 

Dirichlet también es conocido por sus contribuciones a la mecánica, donde desarrolló un método para evaluar integrales a través de un factor de discontinuidad. La ecuación diferencial parcial de Laplace con una restricción en los valores límite de la solución ahora se conoce como el problema de Dirichlet; un documento de 1850 de Dirichlet trata esta ecuación, que tiene aplicaciones en calor, magnetismo y electricidad. Un artículo de 1852 trata la hidrodinámica, dando la primera integración exacta para las ecuaciones hidrodinámicas. 

Después de la muerte de Gauss en 1855, la Universidad de Göttingen solicitó a Dirichlet como reemplazo del difunto príncipe de la matemática, y Dirichlet pasó sus últimos años en el entorno superior de investigación de Göttingen. Continuó su trabajo en mecánica hasta que sufrió un ataque al corazón, muriendo más tarde el 5 de mayo de 1859. 

Dirichlet debe ser visto como sucesor de Gauss en su trabajo en teoría de números. Sin embargo, sus logros en análisis, mecánica y ecuaciones diferenciales también son bastante notables. A través de su extensa tutela, Dirichlet también transmitió su pasión y conocimiento en matemática a una nueva generación de alumnos, entre los que se incluyen Richard Dedekind y Leopold Kronecker .

 


Fuente bibliográfica:

  • McElroy, Tucker (2005) A to Z of Mathematicians. Facts On File, Inc.

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Gran parte del trabajo matemático de finales del siglo XIX se centró en establecer bases rigurosas para temas matemáticos previos, como los conceptos de función, infinito y número. Dedekind trabajó en esta última área, interesándose por la definición del número real y el concepto de continuidad.  

Richard Dedekind nació en Brunswick, Alemania, el 6 de octubre de 1831. Su padre, Julius Dedekind, era profesor de derecho en el Collegium Carolinum de Brunswick, y su madre, Caroline Emperius, era hija de otro profesor de la misma institución. Richard Dedekind era el más joven de cuatro hijos en esta familia intelectual; vivió con su segunda hermana la mayor parte de su vida. De joven, Dedekind asistió al Gymnasium local, donde finalmente cambió su enfoque de la física a la matemática, alegando que la física era demasiado desordenada. En el Collegium Carolinum, al que también asistió Carl Friedrich Gauss, Dedekind dominó la geometría analítica, el cálculo diferencial e integral y la mecánica superior. 

En 1850 ingresó a la Universidad de Göttingen, y desarrolló una estrecha amistad con Bernhard Riemann, mientras asistía a conferencias de Moritz Stern, Wilhelm Weber y Carl Gauss. Sólo dos años más tarde Dedekind obtuvo su doctorado bajo la tutoría de Gauss con una tesis sobre integrales eulerianas; fue a Berlín para asistir a las conferencias de Carl Jacobi y Peter Lejeune Dirichlet, completando el resto de su educación. En 1854 obtuvo una cátedra en la Universidad de Berlín, donde enseñó probabilidad y geometría. También en este momento Dedekind se hizo amigo de Dirichlet, quien expandió sus horizontes sociales e intelectuales. En 1858 Dedekind obtuvo un puesto en el Polytechnikum de Zurich, y cuatro años más tarde regresó a su ciudad natal, Brunswick, donde permaneció hasta su muerte. 

Dedekind es bien conocido entre los matemáticos por kas llamadas cortaduras de Dedekind, que fue un elemento en su construcción de los números reales. Ya había notado la falta de una base verdaderamente rigurosa de la aritmética; él construyó con éxito una definición puramente aritmética de continuidad, y formuló exactamente la noción de número irracional. En este sentido, el trabajo de Dedekind se basa en la antigua teoría de la proporción de Eudoxo de Cnido como base para los números reales, aunque las dos versiones no son exactamente idénticas; Dedekind estableció el hecho de que los postulados euclidianos solos, desprovistos de un principio de continuidad, no podían establecer una teoría completa de los números reales. Sus conceptos han tenido una importancia duradera para el campo del análisis matemático, especialmente a través de su uso del orden para comprender los números reales. 

Publicó estas ideas en un manuscrito de 1872 llamado Stetigkeit und Irrationale Zahlen (Continuidad y números irracionales), que estableció a Dedekind como un investigador líder en los fundamentos de la matemática, junto con George Cantor y Bernhard Bolzano. Su libro de 1888 sobre números -Was Sind und was Sollen die Zahlen (Lo que los números son y deben ser)- definió la teoría lógica de números, tratando temas como la continuidad del espacio, la esencia de la aritmética y el papel de los números en la geometría. Un descubrimiento importante fue la definición de infinitud de un conjunto a través de mapeos, que fue vital para la posterior investigación de Cantor sobre la teoría de conjuntos. 

Hay muchas similitudes entre Gauss y Dedekind, incluidas sus personalidades: al igual que Gauss, Dedekind era un trabajador intenso y disciplinado que disfrutaba de un estilo de vida frugal. Era un pensador profundo que prefería las nociones matemáticas a las notaciones útiles. Debido a su estrecho parentesco y al hecho de que Dedekind entendía el trabajo de Gauss mejor que nadie, editó varios de los manuscritos inéditos de Gauss, y pudo comentar convincentemente sobre estos trabajos. Este proyecto llevó a Dedekind al examen de los números complejos, y dio la definición general de un ideal algebraico y estableció varios resultados clásicos. Este trabajo en álgebra, por el cual Dedekind es más famoso, dio lugar a muchos desarrollos fructíferos por parte de posteriores matemáticos, como Emmy Noether y David Hilbert. 

Dedekind estuvo activo en el Polytechnikum de Brunswick, del cual asumió la dirección desde 1872 hasta 1875. Recibió muchos doctorados honorarios durante su vida y tenía un gran número de corresponsales. En 1894 se convirtió en profesor emérito, y después de su muerte el 12 de febrero de 1916, los matemáticos en muchos países lo lloraron. 

La contribución de Dedekind a la matemática podría medirse a través de la cantidad de ideas que llevan su nombre, alrededor de una docena. Sus contribuciones a los fundamentos del concepto de número permitieron el progreso del análisis real, desarrollando un conocimiento más profundo de los números reales y el concepto de continuidad; sus teoremas sobre ideales algebraicos han estimulado mucha actividad adicional en el siglo XX.

 


Fuente bibliográfica:

  • McElroy, Tucker (2005) A to Z of Mathematicians. Facts On File, Inc.

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