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Posts Tagged ‘Carl Jacobi’

A comienzos del siglo XIX en Alemania, Carl Friedrich Gauss ya había hecho descubrimientos sobresalientes en teoría de números. De sus muchos sucesores, Dirichlet es memorable como un matemático de gran habilidad que extendió significativamente el conocimiento de la teoría de números.  

Gustav Dirichlet nació en Düren en 1805. Su padre era un administrador de correos, y Gustav se educó en una escuela pública. Antes de los 12 años, expresó un celoso interés por la matemática, incluso gastando su dinero extra en libros de matemática. En 1817 ingresó al Gymnasium en Bonn, y progresó rápidamente en sus estudios. Dos años después, Dirichlet fue transferido a un colegio jesuita en Colonia, donde completó sus exámenes principales a los 16 años. Aunque sus padres deseaban que Dirichlet estudiara derecho, prefirió seguir su pasión: la matemática, y viajó a París en 1822 para aprender más de los grandes matemáticos franceses. 

En París, después de sobrevivir a un ataque de viruela, Dirichlet asistió a las clases en el Collège de France, y en 1823 consiguió un atractivo puesto como tutor de los hijos de un famoso general francés. A través de esta situación, Dirichlet se adentró en la vida intelectual francesa. Entre sus conocidos matemáticos, se sintió especialmente atraído por Jean Baptiste Joseph Fourier, quien continuaría ejerciendo una influencia significativa en el trabajo posterior de Dirichlet. 

Su primer interés fue la teoría de números, y esta continuó siendo la principal área de contribución de Dirichlet a la matemática. En 1825 presentó su primer artículo sobre las llamadas ecuaciones diofánticas de grado cinco (ecuaciones en más de dos variables que implican potencias quintas y que requieren soluciones enteras). Los resultados de este trabajo en la teoría de números algebraicos llevaron a un progreso adicional en el Último Teorema de Fermat, una famosa conjetura sin resolver (probada en 1994 por Andrew Wiles) de la teoría de números. 

En 1825, el empleador de Dirichlet murió y regresó a Alemania. Aunque no tenía un doctorado, obtuvo un puesto en la Universidad de Breslau; Posteriormente, Dirichlet obtuvo sus estipendios con una tesis sobre los divisores principales de ciertos polinomios. También contribuyó con la ley de la reciprocidad bicuadrática, basándose en el trabajo pionero de Gauss. El ambiente en Breslau no era propicio para la investigación, por lo que Dirichlet se trasladó a Berlín en 1828, convirtiéndose allí en profesor de la academia militar. En 1831 se casó con Rebecca Mendelsohn-Bartholdy, y también se convirtió en miembro de la Academia de Ciencias de Berlín. 

Dirichlet pasó casi tres décadas como profesor en Berlín, y durante este tiempo ejerció una profunda influencia en el desarrollo de la matemática alemana. Entrenó a muchos estudiantes y continuó escribiendo trabajos de la más alta calidad y relevancia. Dirichlet era tímido y retraído, expresando una modesta renuencia a hacer apariciones públicas. Durante estos años, Dirichlet se comunicó con Carl Jacobi, otro gran matemático alemán. 

Los primeros trabajos de Dirichlet en teoría de números ahondaron en temas que Gauss había esbozado en sus Disquisitiones Arithmeticae (Investigaciones Aritméticas) de 1801 -temas como las formas cuadráticas, las leyes cuadráticas y biquádricas de reciprocidad, y la teoría de números de enteros Gaussianos. En una reunión de 1837 de la Academia de Ciencias, Dirichlet presentó su primer trabajo sobre la teoría analítica de números, en el que estableció que cualquier progresión aritmética debe contener un número infinito de primos. Algunos documentos posteriores resolvieron la convergencia de las llamadas series de Dirichlet, así como también determinaron el número de clase para las formas cuadráticas. En esta literatura, uno encuentra por primera vez el “principio del casillero” de Dirichlet, utilizado en muchas pruebas matemáticas, que establece que si se colocan más de n objetos en n agujeros, al menos un agujero debe tener más de un objeto dentro. Dirichlet estaba buscando una teoría general de números algebraicos que fuera válida para campos de grado arbitrario. Sus técnicas incluyeron una generalización de las formas cuadráticas. 

Mientras tanto, Dirichlet estaba investigando el análisis matemático, y estaba especialmente interesado en la serie de Fourier. Estas series de potencias podían aproximar tanto funciones continuas como discontinuas, y Daniel Bernoulli y Leonhard Euler las utilizaron para modelar las vibraciones de las cuerdas. El método de Dirichlet para probar la convergencia de una serie trigonométrica difería del enfoque anterior de Augustin-Louis Cauchy, y su enfoque se convirtió luego en estándar. En un artículo de 1837, Dirichlet formula la noción moderna de una función como una correspondencia especial entre un par de variables. 

Dirichlet también es conocido por sus contribuciones a la mecánica, donde desarrolló un método para evaluar integrales a través de un factor de discontinuidad. La ecuación diferencial parcial de Laplace con una restricción en los valores límite de la solución ahora se conoce como el problema de Dirichlet; un documento de 1850 de Dirichlet trata esta ecuación, que tiene aplicaciones en calor, magnetismo y electricidad. Un artículo de 1852 trata la hidrodinámica, dando la primera integración exacta para las ecuaciones hidrodinámicas. 

Después de la muerte de Gauss en 1855, la Universidad de Göttingen solicitó a Dirichlet como reemplazo del difunto príncipe de la matemática, y Dirichlet pasó sus últimos años en el entorno superior de investigación de Göttingen. Continuó su trabajo en mecánica hasta que sufrió un ataque al corazón, muriendo más tarde el 5 de mayo de 1859. 

Dirichlet debe ser visto como sucesor de Gauss en su trabajo en teoría de números. Sin embargo, sus logros en análisis, mecánica y ecuaciones diferenciales también son bastante notables. A través de su extensa tutela, Dirichlet también transmitió su pasión y conocimiento en matemática a una nueva generación de alumnos, entre los que se incluyen Richard Dedekind y Leopold Kronecker .

 


Fuente bibliográfica:

  • McElroy, Tucker (2005) A to Z of Mathematicians. Facts On File, Inc.
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Gran parte del trabajo matemático de finales del siglo XIX se centró en establecer bases rigurosas para temas matemáticos previos, como los conceptos de función, infinito y número. Dedekind trabajó en esta última área, interesándose por la definición del número real y el concepto de continuidad.  

Richard Dedekind nació en Brunswick, Alemania, el 6 de octubre de 1831. Su padre, Julius Dedekind, era profesor de derecho en el Collegium Carolinum de Brunswick, y su madre, Caroline Emperius, era hija de otro profesor de la misma institución. Richard Dedekind era el más joven de cuatro hijos en esta familia intelectual; vivió con su segunda hermana la mayor parte de su vida. De joven, Dedekind asistió al Gymnasium local, donde finalmente cambió su enfoque de la física a la matemática, alegando que la física era demasiado desordenada. En el Collegium Carolinum, al que también asistió Carl Friedrich Gauss, Dedekind dominó la geometría analítica, el cálculo diferencial e integral y la mecánica superior. 

En 1850 ingresó a la Universidad de Göttingen, y desarrolló una estrecha amistad con Bernhard Riemann, mientras asistía a conferencias de Moritz Stern, Wilhelm Weber y Carl Gauss. Sólo dos años más tarde Dedekind obtuvo su doctorado bajo la tutoría de Gauss con una tesis sobre integrales eulerianas; fue a Berlín para asistir a las conferencias de Carl Jacobi y Peter Lejeune Dirichlet, completando el resto de su educación. En 1854 obtuvo una cátedra en la Universidad de Berlín, donde enseñó probabilidad y geometría. También en este momento Dedekind se hizo amigo de Dirichlet, quien expandió sus horizontes sociales e intelectuales. En 1858 Dedekind obtuvo un puesto en el Polytechnikum de Zurich, y cuatro años más tarde regresó a su ciudad natal, Brunswick, donde permaneció hasta su muerte. 

Dedekind es bien conocido entre los matemáticos por kas llamadas cortaduras de Dedekind, que fue un elemento en su construcción de los números reales. Ya había notado la falta de una base verdaderamente rigurosa de la aritmética; él construyó con éxito una definición puramente aritmética de continuidad, y formuló exactamente la noción de número irracional. En este sentido, el trabajo de Dedekind se basa en la antigua teoría de la proporción de Eudoxo de Cnido como base para los números reales, aunque las dos versiones no son exactamente idénticas; Dedekind estableció el hecho de que los postulados euclidianos solos, desprovistos de un principio de continuidad, no podían establecer una teoría completa de los números reales. Sus conceptos han tenido una importancia duradera para el campo del análisis matemático, especialmente a través de su uso del orden para comprender los números reales. 

Publicó estas ideas en un manuscrito de 1872 llamado Stetigkeit und Irrationale Zahlen (Continuidad y números irracionales), que estableció a Dedekind como un investigador líder en los fundamentos de la matemática, junto con George Cantor y Bernhard Bolzano. Su libro de 1888 sobre números -Was Sind und was Sollen die Zahlen (Lo que los números son y deben ser)- definió la teoría lógica de números, tratando temas como la continuidad del espacio, la esencia de la aritmética y el papel de los números en la geometría. Un descubrimiento importante fue la definición de infinitud de un conjunto a través de mapeos, que fue vital para la posterior investigación de Cantor sobre la teoría de conjuntos. 

Hay muchas similitudes entre Gauss y Dedekind, incluidas sus personalidades: al igual que Gauss, Dedekind era un trabajador intenso y disciplinado que disfrutaba de un estilo de vida frugal. Era un pensador profundo que prefería las nociones matemáticas a las notaciones útiles. Debido a su estrecho parentesco y al hecho de que Dedekind entendía el trabajo de Gauss mejor que nadie, editó varios de los manuscritos inéditos de Gauss, y pudo comentar convincentemente sobre estos trabajos. Este proyecto llevó a Dedekind al examen de los números complejos, y dio la definición general de un ideal algebraico y estableció varios resultados clásicos. Este trabajo en álgebra, por el cual Dedekind es más famoso, dio lugar a muchos desarrollos fructíferos por parte de posteriores matemáticos, como Emmy Noether y David Hilbert. 

Dedekind estuvo activo en el Polytechnikum de Brunswick, del cual asumió la dirección desde 1872 hasta 1875. Recibió muchos doctorados honorarios durante su vida y tenía un gran número de corresponsales. En 1894 se convirtió en profesor emérito, y después de su muerte el 12 de febrero de 1916, los matemáticos en muchos países lo lloraron. 

La contribución de Dedekind a la matemática podría medirse a través de la cantidad de ideas que llevan su nombre, alrededor de una docena. Sus contribuciones a los fundamentos del concepto de número permitieron el progreso del análisis real, desarrollando un conocimiento más profundo de los números reales y el concepto de continuidad; sus teoremas sobre ideales algebraicos han estimulado mucha actividad adicional en el siglo XX.

 


Fuente bibliográfica:

  • McElroy, Tucker (2005) A to Z of Mathematicians. Facts On File, Inc.

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El matemático noruego Niels Abel hizo contribuciones excepcionales a la teoría de las funciones elípticas, uno de los temas matemáticos más populares del siglo XIX. La lucha, las dificultades y la incertidumbre caracterizaron su vida, pero bajo condiciones difíciles él todavía pudo producir un cuerpo prolífico y brillante de investigación matemática. Tristemente murió joven, sin poder alcanzar la gloria y el reconocimiento por los que había trabajado.

Niels Henrik Abel era hijo de Sören Abel, un pastor Luterano, y Ane Marie Simonson, hija de un rico comerciante. La primera parroquia del pastor Abel estuvo ubicada en la isla de Finnöy, donde Niels Abel nació en 1802. Poco después, el padre de Abel se involucró en política.

Hasta ese momento Abel y sus hermanos habían recibido instrucción por parte de su padre, pero en 1815 fueron enviados a la escuela en Oslo. El rendimiento de Abel en la escuela fue marginal, pero en 1817 la llegada de un nuevo profesor de matemática, Bernt Holmboe, cambió grandemente el destino de Abel. Holmboe reconoció el don de Abel para la matemática, y comenzó a estudiar a Leonhard Euler y a los matemáticos franceses. Pronto Abel había superado a su maestro. En este momento se interesó mucho por la teoría de las ecuaciones algebraicas. Holmboe estaba encantado con su descubrimiento del joven matemático.

Durante su último año en la escuela Abel intentó resolver la ecuación de quinto grado, un problema pendiente de la antigüedad, pero falló (la ecuación no tiene soluciones racionales). Sin embargo, sus esfuerzos le introdujeron en la teoría de las funciones elípticas. Mientras tanto, el padre de Abel cayó en desgracia pública debido al alcoholismo, y después de su muerte en 1820 la familia quedó en circunstancias financieras difíciles.

Abel entró en la Universidad de Suecia en 1821, y se le concedió una habitación libre debido a su extrema pobreza. La facultad incluso lo apoyó con sus propios recursos; él era huésped frecuente de la casa de Christoffer Hansteen, el principal científico de la universidad. En el primer año, Abel había terminado su grado preliminar, lo que le permitió contar con tiempo suficiente para seguir sus propios estudios avanzados. Vorazmente leyó todo lo que pudo encontrar con respecto a la matemática, y publicó sus primeros artículos en el diario de Hansteen después de 1823.

En el verano de 1823 Abel recibió ayuda de la facultad para viajar a Copenhague con el fin de conocer a los matemáticos daneses. El viaje fue inspirador; también conoció allí a su futura prometida, Christine Kemp. Cuando volvió a Oslo, Abel comenzó a trabajar una vez más en la ecuación quíntica, pero esta vez intentó demostrar que no había una expresión radical para su solución. Él tuvo éxito, y publicó su resultado en francés a sus expensas. Por desgracia no tuvo reacción por parte de su audiencia, incluso el mismísimo Carl Friedrich Gauss fue indiferente.

Los problemas financieros de Abel se complicaron por su compromiso con Kemp, pero consiguió un pequeño estipendio para estudiar idiomas con el fin de prepararse para viajar al extranjero. Después de esto, recibiría una modesta beca por dos años para estudios en el extranjero. En 1825 partió con algunos amigos hacia Berlín, y en su camino a través de Copenhague conoció a August Crelle, un influyente ingeniero con un vivo interés por  la matemáticas. Los dos se convirtieron en amigos de por vida, y Crelle acordó comenzar una revista alemana para la publicación de matemática pura. Muchos de los artículos de Abel fueron publicados en los primeros volúmenes, incluyendo una versión ampliada de su trabajo sobre la ecuación de quinto grado.

Uno de los notables artículos de Abel en el Diario de Crelle generalizaba la fórmula binomial, que da una expansión para la enésima potencia de una expresión binomial. Abel volvió su pensamiento hacia las series infinitas, y se preocupó por el hecho de que las sumas nunca habían sido rigurosamente determinadas. El resultado de su investigación fue un trabajo clásico sobre series de potencias, con la determinación de la suma de la serie binomial para exponentes arbitrarios. Mientras tanto, Abel no consiguió un puesto que estaba vacante en la Universidad de Suecia; su ex profesor Holmboe fue seleccionado. Cabe señalar que Abel mantuvo su nobleza de carácter a lo largo de su frustrante vida. 

En la primavera de 1826 Abel viajó a París y presentó un artículo a la Academia Francesa de Ciencias que consideró su obra maestra: trataba la suma de las integrales de una función algebraica dada, y por lo tanto generalizaba la relación de Euler para integrales elípticas. Este trabajo, sobre el cual Abel trabajó durante muchos meses pero nunca fue publicado, fue presentado en octubre de 1826, y Augustin-Louis Cauchy  y Adrien-Marie Legendre fueron nombrados árbitros. Ningún informe fue publicado, y nada fue publicado hasta después de la muerte de Abel. Parece que Cauchy fue el culpable de la tardanza, y al parecer perdió el manuscrito. Abel más tarde reescribió el artículo (y tampoco se publicó este trabajo), y el teorema descrito anteriormente llegó a ser conocido como el teorema de Abel.

Después de esta decepcionante temporada en Francia, Abel regresó a Berlín y cayó enfermo con su primer ataque de tuberculosis. Crelle le ayudó con su enfermedad, y trató de conseguirle un puesto en Berlín, pero Abel anhelaba regresar a Noruega. La nueva investigación de Abel transformó la teoría de las integrales elípticas en la teoría de las funciones elípticas usando sus inversas. A través de esta dualidad, las funciones elípticas se convirtieron en una importante generalización de las funciones trigonométricas. Como estudiante en Oslo, Abel ya había desarrollado gran parte de la teoría, y este artículo presentaba  su pensamiento con gran detalle.

A su regreso a Oslo en 1827, Abel no tenía perspectivas de ocupar una posición allí, y logró sobrevivir impartiendo tutorías. Por unos cuantos meses Hansteen se fue de vacaciones a Siberia y Abel se convirtió en su sustituto en la universidad. Mientras tanto, el trabajo de Abel había comenzado a estimular el interés entre los matemáticos europeos. A principios de 1828 Abel descubrió que tenía un joven competidor alemán, Carl Jacobi, en el campo de las funciones elípticas. Consciente de ello Abel escribió una rápida sucesión de artículos sobre funciones elípticas y preparó un libro de memorias que sería publicado póstumamente. 

Parece que Abel tuvo la prioridad de descubrir a Jacobi en el ámbito de las funciones elípticas; sin embargo, también se sabe que Gauss era consciente de los principios de las funciones elípticas mucho antes de Abel o Jacobi, y había decidido no publicar. En este momento Abel comenzó una correspondencia con Legendre, que también estaba interesado en las funciones elípticas. Los matemáticos de Francia, junto con Crelle, intentaron asegurarle un empleo a Abel, e incluso se lo solicitaron al monarca de Suecia.

La salud de Abel se estaba deteriorando, pero siguió escribiendo frenéticamente. Pasó el verano de 1828 con su prometida, y cuando la visitó en Navidad tuvo un cuadro febril debido a la exposición al frío. Mientras se preparaba para su regreso a Oslo, Abel sufrió una violenta hemorragia que lo obligó a estar en cama. A la edad de 26 años murió de tuberculosis el 26 de abril de 1829; dos días más tarde, Crelle le escribió con júbilo que le había asegurado un puesto en Berlín. En 1830 la Academia Francesa de Ciencias concedió su Gran Premio a Abel y Jacobi por sus brillantes descubrimientos matemáticos.

Abel fue reconocido como uno de los matemáticos más grandes después de su muerte, y realmente logró mucho a pesar de su corta vida. La teoría de las funciones elípticas se expandiría mucho durante el siglo XIX, y la obra de Abel contribuyó significativamente a este desarrollo.

En el año 2002 el gobierno noruego creó el Premio Abel en conmemoración del bicentenario de su nacimiento. La Academia Noruega de Ciencias y Letras es la encargada cada año de designar al merecedor de tal galardón, vía el consenso de un comité conformado por cinco matemáticos de varios países. El  primero en recibir el Premio Abel fue el matemático francés Jean-Pierre Serre (2003), mientras que este año, 2017, el agasajado con este honor fue también un matemático francés, Yves Meyer, por sus contribuciones al conocimiento y desarrollo de la teoría de las ondículas.

 

 


Fuente bibliográfica:

  • McElroy, Tucker (2005) A to Z of Mathematicians. Facts On File, Inc.

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