Madhava of Sangamagramma

Los grandes matemáticos europeos tenían muchos predecesores dentro de las culturas árabe, india y china, pero los últimos grupos no suelen ser reconocidos como los descubridores originales porque su conocimiento no se difundió tan ampliamente. Madhava de Sangamagramma es un ejemplo de esto, ya que comenzó la exploración del cálculo infinitesimal y los llamados desarrollos de Taylor dos siglos antes de que Colin Maclaurin comenzara sus investigaciones. En este sentido, Madhava debe ser reconocido como el primer analista, a pesar de que sus ideas no florecieron tan plenamente en la India.

Ninguna de las obras originales de Madhava permanece, y su vida y sus contribuciones matemáticas deben reconstruirse a partir de los relatos de matemáticos indios posteriores. Nació alrededor de 1350 en Sangamagramma, en el estado de Kerala, India. En aproximadamente 1400, Madhava descubrió el desarrollo de la serie para varias funciones trigonométricas, como seno y coseno. Estas fórmulas son similares a las series de Taylor que se descubrieron más tarde en Europa y se pueden usar para desarrollar aproximaciones computables de senos y cosenos de ángulos. 

Madhava provenía de una tradición matemática que enfatizaba los procedimientos finitos; la idea misma de una suma infinita de términos es una innovación novedosa que se aleja completamente de los conceptos precedentes de la matemática. Madhava aplicó estas series a la trigonometría, desarrollando tablas altamente precisas para valores trigonométricos. Al desarrollar la serie infinita para la función arcoseno, Madhava pudo producir una excelente aproximación para pi, produciendo su valor con 11 decimales. También analizó los términos restantes cuando la serie infinita exacta se trunca a una suma finita. Los eruditos creen que Madhava usó el método de fracciones continuas para derivar estos términos restantes.

Poco se sabe de la vida de Madhava, pero se cree que murió alrededor de 1425 en la India. Es sorprendente que Madhava haya desarrollado tales técnicas mucho antes que los europeos, dado que tenían el beneficio de una progresión intelectual. En Europa, el progreso hacia el cálculo se puede rastrear a través de varios personajes que participaron en este proceso matemático. En la India, la comunidad escolar era escasa, y hubo menos de un esfuerzo concertado para producir matemática útil para la ciencia. Muchos historiadores creen que el descubrimiento de Madhava de los desarrollos de series infinitas es similar a una técnica de integración término a término del cálculo: ¡unos pocos cientos de años antes del descubrimiento oficial del cálculo!

 

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Fuente bibliográfica:

• McElroy, Tucker (2005) A to Z of Mathematicians. Facts On File, Inc.

 

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Colin Maclaurin

Inglaterra sufrió una sequía de matemáticos en la última parte del siglo XVIII, y Maclaurin representa al último gran matemático de la era newtoniana. Contribuyó a la defensa del cálculo de Sir Isaac Newton e hizo algunos descubrimientos impresionantes, incluida el desarrollo de la serie de una función. 

Colin Maclaurin nació en febrero de 1698, en Kilmodan, Escocia. Era el menor de tres hijos y su padre, John Maclaurin, era el ministro local. Poco después del nacimiento de Maclaurin, su padre murió, y su madre murió cuando él tenía nueve años. Después de la muerte de sus padres Maclaurin fue criado por su tío. En 1709 ingresó en la Universidad de Glasgow donde se interesó por la matemática. Defendió su tesis en 1715, On the Power of Gravity, obteniendo su título de maestría. En 1717 fue nombrado profesor de matemática en el Marischal College, aunque todavía era muy joven.

Visitó Londres en 1719 y conoció a Newton, cuyo trabajo le causó una profunda impresión. Para 1720 Maclaurin publicó su Geometrica organica, que contenía muchas pruebas de los resultados no demostrados de Newton, así como muchos de los propios descubrimientos de Maclaurin. Su enfoque, como el de Newton, fue altamente geométrico. 

En 1722, Maclaurin dejó Escocia para servir como tutor del hijo de Lord Polwarth. Viajaron a Francia, donde Maclaurin continuó su investigación, ganando un premio de la Academia de Ciencias de Francia en 1724. En este año, su alumno murió inesperadamente, y Maclaurin se vio obligado a regresar a Escocia, donde obtuvo la cátedra de matemática en el Universidad de Edimburgo a través de la intervención de Newton. Allí, Maclaurin dio una conferencia sobre Euclides de Alejandría, trigonometría esférica, secciones cónicas, fortificación, astronomía y perspectiva. También fue uno de los principales expositores del cálculo de Newton. En 1733 se casó con Anne Stewart, con quien crió a siete hijos.

En 1742 Maclaurin publicó su Tratado de Fluxiones, que era una defensa de los métodos de Newton y una respuesta a las críticas de George Berkeley. Muchos científicos y matemáticos se mostraban escépticos de los infinitesimales, y Maclaurin se comprometió a proporcionar a la teoría de las fluxiones una base lógica rigurosa. Cabe destacar que Maclaurin rechazó la ventajosa notación de Gottfried Leibniz en favor de la torpe nomenclatura de Newton, debido a su lealtad y partidismo. Como resultado, el estilo newtoniano llegó a dominar el pensamiento en Inglaterra y, en consecuencia, afectó las capacidades computacionales y analíticas de los matemáticos posteriores. En este sentido, Maclaurin fue hasta cierto punto responsable de retrasar el progreso matemático en Inglaterra.

El tratado contenía las soluciones de una serie de problemas en geometría, estática y series infinitas. Tenía también  la prueba de Maclaurin para la convergencia y, más importante, el desarrollo en serie de una función diferenciable en torno al origen. Aunque la serie de Taylor es más general, la serie de Maclaurin fue el primer paso para desarrollar una herramienta analítica de gran utilidad.

Maclaurin también investigó cuerpos de atracción, y compitió por un premio francés con su «On the Tides» en 1740, compartiendo el premio con Leonhard Euler y Daniel Bernoulli. También es reconocido por ser el primer matemático en distinguir correctamente entre máximos y mínimos de una función. Era un experto experimentalista e inventor, y realizó observaciones astronómicas y cálculos actuariales. En 1745 un ejército de las Tierras Altas marchó en Edimburgo, y Maclaurin organizó vigorosamente la defensa de la ciudad. Como resultado de sus esfuerzos su salud comenzó a fallar. Murió el 14 de enero de 1746 en Edimburgo. 

Maclaurin fue descrito como un hombre benevolente y piadoso, y en sus controversias fue cortés con sus adversarios. Su defensa de los métodos y la notación newtoniana condujo en parte al abandono inglés del cálculo, que privó a Inglaterra de buenos analistas para el próximo siglo. Sin embargo, contribuyó positivamente al desarrollo riguroso del cálculo newtoniano, y fue fácilmente uno de los matemáticos británicos más talentosos de su época.

 

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Fuente bibliográfica:

• McElroy, Tucker (2005) A to Z of Mathematicians. Facts On File, Inc.

 

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Análisis y Mecánica en el Siglo XVIII

La revolución científica había legado a la matemática un importante programa de investigación en análisis y mecánica. El período de 1700 a 1800, «el siglo del análisis», fue testigo de la consolidación del cálculo y su aplicación extensiva a la mecánica. Con la expansión llegó la especialización como diferentes partes de la asignatura adquiriendo su propia identidad: ecuaciones diferenciales ordinarias y parciales, cálculo de variaciones, series infinitas y geometría diferencial. Las aplicaciones del análisis también fueron variadas, incluyendo la teoría de la cuerda vibrante, la dinámica de partículas, la teoría de los cuerpos rígidos, la mecánica de medios flexibles y elásticos y la teoría de fluidos compresibles e incompresibles. El análisis y la mecánica se desarrollaron en estrecha asociación, con problemas en uno dando lugar a conceptos y técnicas en el otro, y todos los principales matemáticos de la época hicieron importantes contribuciones a la mecánica.

La estrecha relación entre la matemática y la mecánica en el siglo XVII tenía raíces que se extienden profundamente en el pensamiento de la Ilustración. En el organigrama del conocimiento al comienzo del discurso preliminar de la Enciclopedia, Jean Le Rond d’Alembert distingue entre la matemática «pura» (geometría, aritmética, álgebra, cálculo) y la matemática «mixta» (mecánica, astronomía, óptica geométrica, arte de la conjetura). La matemática generalmente era clasificada como una «ciencia de la naturaleza» y era separada de la lógica, una «ciencia del hombre». La división disciplinaria moderna entre la física y la matemática y la asociación de esta última a la lógica todavía no se había desarrollado.

La propia mecánica matemática como se practicaba en el siglo XVIII difería en aspectos importantes de la física posterior. El objetivo de la física moderna es explorar la estructura de partículas de la materia y llegar a las leyes fundamentales de la naturaleza para explicar fenómenos físicos. El carácter de la investigación aplicada en el siglo XVIII era bastante diferente. Las partes del material de un sistema dado y su interrelación eran idealizadas para fines del análisis. Un objeto material podía ser tratado como una masa puntual (un punto matemático en el que se supone que está concentrada toda la masa del objeto), como un cuerpo rígido, tal como un medio continuamente deformable, y así sucesivamente. La intención era obtener una descripción matemática del comportamiento macroscópico del sistema en lugar de determinar la base física final de los fenómenos.

La investigación matemática en el siglo XVIII era coordinada por las academias de París, Berlín y, San Petersburgo, así como por varias academias y sociedades científicas provinciales más pequeñas. Aunque Inglaterra y Escocia eran importantes centros a comienzos del siglo, con la muerte de Maclaurin en 1746 la llama británica fue casi extinguida.

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