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Posts Tagged ‘Conjunto potencia’

Dado un conjunto A, el conjunto potencia P(A) se refiere a la colección de todos los subconjuntos de A. Es importante entender que P(A) es en sí mismo considerado un conjunto cuyos elementos son los distintos subconjuntos posibles de A.


Teorema de Cantor. Dado un conjunto A, no existe una función f: A \rightarrow P(A) que sea sobre.

Dem. Lo demostraremos, como se ha hecho costumbre en las últimas entradas, por contradicción, es decir que suponemos que existe f: A \rightarrow P(A) sobre. A diferencia de la situación habitual en la que tenemos conjuntos de números para el dominio y el rango, f es una correspondencia entre un conjunto y su conjunto potencia. Para cada elemento a\in A, f(a) es un subconjunto de A. La suposición de que f es sobre significa que cada subconjunto de A aparece como f(a) para algún a\in A. Para llegar a una contradicción lo que haremos es producir un subconjunto B\subseteq A que no sea igual a f(a) para cualquier a\in A.

Construimos B utilizando la siguiente regla. Para cada elemento a\in A, consideremos el subconjunto f(a). Este subconjunto de A puede o no contener al elemento a. Esto depende de la función f. Si f(a) no contiene a a, entonces lo incluimos en nuestro conjunto B. Más concretamente, sea

B=\left\{a\in A:a\notin f(a)\right\}.

Debido a que hemos supuesto que nuestra función f: A \rightarrow P(A) es sobre, debe ser B=f(a') para algún a'\in A. El lector podrá convencerse fácilmente que surge una contradicción cuando consideramos si a' es un elemento de B. Por lo tanto, no existe una función f: A \rightarrow P(A) que sea sobre.  \clubsuit


Con este resultado podemos ahora profundizar nuestro análisis acerca de la cardinalidad de conjuntos.

La relación de tener la misma cardinalidad es una relación de equivalencia, es decir, más o menos, que todos los conjuntos en el universo pueden ser organizados en grupos disjuntos de acuerdo a su tamaño. Dos conjuntos aparecen en el mismo grupo, o clase de equivalencia, si y sólo si tienen la misma cardinalidad. Por lo tanto, \mathbb{N}, \mathbb{Z} y \mathbb{Q} se agrupan en una clase con todos los otros conjuntos numerables, mientras que \mathbb{R} está en otra clase que incluye al intervalo (0, 1) entre otros conjuntos no numerables (Recordar el Proceso de diagonalización de Cantor). Una consecuencia del Teorema de Cantor es que P(\mathbb{R}) –el conjunto de todos los subconjuntos de \mathbb{R}— pertenece a una clase diferente de \mathbb{R}, y no hay razón para parar aquí. El conjunto de subconjuntos de P(\mathbb{R}) –digamos P(P(\mathbb{R}))— está en otra clase, y este proceso continúa indefinidamente.

Después de haber dividido el universo de los conjuntos en grupos disjuntos, sería conveniente conectar un número a cada colección, que se podría utilizar de la misma manera que los números naturales se utilizan para referirse a los tamaños de los conjuntos finitos. Dado un conjunto X, existe algo que se llama el número cardinal de X, denotado por \text{card }X, que se comporta en gran medida de esta manera. Por ejemplo, dos conjuntos X e Y satisfacen \text{card }X=\text{ card }Y si y sólo si X\sim Y. (Definir rigurosamente a \text{card }X requiere un tratamiento más profundo de teoría de conjuntos. Una forma de hacerlo es definir \text{card }X como un conjunto muy particular que siempre se puede encontrar de forma única en la misma clase de equivalencia de X.)

Mirando hacia atrás en el Teorema de Cantor, tenemos la fuerte sensación de que hay un orden en los tamaños de los conjuntos infinitos que debería reflejarse en nuestro nuevo sistema numérico cardinal. Específicamente, si es posible mapear un conjunto X en Y de un modo 1-1, entonces queremos que \text{card }X\leq\text{ card }Y. Escribir la desigualdad estricta \text{card }X<\text{ card }Y debería indicar que es posible mapear X en Y pero que es imposible demostrar que X\sim Y. Reformulado en esta notación, el Teorema de Cantor afirma que para cada conjunto A, \text{card }A<\text{ card }P(A).

Hay algunos detalles importantes para trabajar. Un tipo de problema metafísico surge cuando nos damos cuenta de que una implicación del Teorema de Cantor es que no puede haber ningún conjunto más grande. Una declaración como, “Sea U el conjunto de todas las cosas posibles” es paradójica, porque conseguimos inmediatamente que \text{card }U<\text{ card }P(U) y por lo tanto el conjunto U no contiene todo lo que en el anuncio advierte. Cuestiones como ésta se resuelven en última instancia mediante la imposición de algunas restricciones sobre lo que se puede calificar como un conjunto. Cuando se formalizó la teoría de conjuntos, los axiomas tuvieron que ser elaborados de manera que simplemente no se permitan objetos tales como U. Un problema más con los pies en la tierra que necesita de atención es demostrar que nuestra definición de \leq entre números cardinales es realmente un ordenamiento. Esto implica demostrar que los números cardinales poseen una propiedad análoga a los números reales, que establece que si \text{card }X<\text{ card }Y y \text{card }Y<\text{ card }X entonces \text{card }X=\text{ card }Y. Al final, esto se reduce a demostrar que si existe f:X\rightarrow Y que es 1-1, y si existe g: Y\rightarrow X que es 1-1, entonces es posible encontrar una función h: X\rightarrow Y que es a la vez 1-1 y sobre. Una demostración de este hecho eludió a Cantor, pero finalmente fue suministrada de manera independiente por Ernst Schröder (en 1896) y por Félix Bernstein (en 1898), y hoy se conoce como Teorema de Schröder-Bernstein.

Había otro problema de fondo derivado de la teoría de los números cardinales en ciernes que ocupó a Cantor y que no resolvió durante su vida. Debido a la importancia de los conjuntos numerables, el símbolo \aleph_{0} (“aleph cero”) se utiliza con frecuencia para el \text{card }\mathbb{N}. El subíndice “0” es apropiado cuando recordamos que los conjuntos numerables son el tipo más pequeño de conjunto infinito. En términos de números cardinales, si \text{card }X<\aleph_{0}, entonces X es finito. Por lo tanto, \aleph_{0} es el número cardinal infinito más pequeño. La cardinalidad de \mathbb{R} también es lo suficientemente importante como para merecer la designación \text{\textbf{\textit{c}}}=\text{ card }\mathbb{R}=\text{ card }(0,1). De lo que hemos visto, \aleph_{0}<\text{\textbf{\textit{c}}}. La pregunta que atormentó a Cantor fue si existían números cardinales estrictamente entre estos dos. Dicho de otra manera, ¿existe un conjunto A\subseteq\mathbb{R} con \text{card }\mathbb{N}<\text{ card }A<\text{ card }\mathbb{R}? Cantor era de la opinión de que no existía tal conjunto. En el ordenamiento de los números cardinales, conjeturó, \text{\textbf{\textit{c}}} es el sucesor inmediato de \aleph_{0}.

La Hipótesis del continuo de Cantor, como llegó a ser llamada, fue uno de los más famosos retos matemáticos del siglo pasado. Su resolución inesperada se produjo en dos partes. En 1940, el lógico y matemático alemán Kurt Gödel demostró que, utilizando solamente el conjunto acordado de los axiomas de la teoría de conjuntos, no había manera de refutar la hipótesis del continuo. En 1963, Paul Cohen demostró con éxito que, bajo las mismas reglas, también era imposible probar esta conjetura. Tomados en conjunto, lo que estos dos descubrimientos implican es que la hipótesis del continuo es indecidible. Puede ser aceptada o rechazada como una declaración sobre la naturaleza de los conjuntos infinitos, y en ningún caso se producirán contradicciones lógicas.

Para cerrar este tema y repasar lo que hemos visto en las últimas entradas de Análisis Real, los invito a ver la siguiente recreación histórica:


Referencias bibliográficas:

  • Abbott, Stephen (2010) Understanding Analysis. Springer.
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