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Encontrando el radio de convergencia

Posted in Análisis de Variable Compleja, Producción propia, tagged Convergencia de series, Disco de convergencia, Fórmula de Cauchy-Hadamard, Fórmula de D´Alembert, Radio de convergencia, Series de potencias, Teorema de Cauchy-Hadamard, Test de la raíz, Test de la razón on 25 septiembre 2014| 1 Comment »

Dada una serie compleja de potencias $f(z)=\sum c_{j}z^{j}$ , existen varias maneras de determinar su radio de convergencia directamente a partir de sus coeficientes. Como ellas son formalmente idénticas a los métodos utilizados en las series reales, nos limitaremos aquí sólo a enunciarlas.

El test de la razón nos dice que

$R=\displaystyle\lim_{j\rightarrow\infty}\left|\frac{c_{j}}{c_{j+1}}\right|$

siempre que este límite exista. Esta fórmula es conocida como Fórmula de D’Alembert y su demostración puede encontrarse en el libro de Conway. Por ejemplo, si

$f(z)=1+z+\displaystyle\frac{z^{2}}{2^{2}}+\frac{z^{3}}{3^{2}}+\cdots$

entonces

$R=\displaystyle\lim_{j\rightarrow\infty}\left|\frac{1/j^{2}}{1/(j+1)^{2}}\right|=\lim_{j\rightarrow\infty}\left(1+\frac{1}{j}\right)^{2}=1$

Si $\displaystyle\left|\frac{c_{j}}{c_{j+1}}\right|$ tiende a infinito entonces (formalmente) $R=\infty$ , correspondiendo a la convergencia en todo el plano complejo. Por ejemplo,

$e^{z}=\displaystyle\sum^{\infty}_{j=0}\frac{z^{j}}{j!}$

converge en todo el plano complejo, dado que

$R=\displaystyle\lim_{j\rightarrow\infty}\left|\frac{1/j!}{1/(j+1)!}\right|=\lim_{j\rightarrow\infty}(j+1)=\infty.$

Cuando no es posible aplicar el test de la razón, o resulta dificil hacerlo, podemos emplear el test de la raíz, que dice que

$R=\displaystyle\lim_{j\rightarrow\infty}\frac{1}{\sqrt[j]{\left|c_{j}\right|}}$

siempre que este límite exista. Por ejemplo, si recordamos primero que la función real $e^{x}$ se expresa como

$e^{x}=\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}\left(1+\frac{x}{n}\right)^{n}$

entonces aplicando el test de la raíz a la serie

$f(z)=\displaystyle\sum^{\infty}_{j=1}\left(\frac{j-3}{j}\right)^{j^{2}}z^{j}$

obtenemos mediante un simple cálculo que $R=e^{3}$ .

Existen ocasiones en las cuales tanto el test de la razón como el test de la raíz fallan, pero existe una versión ligeramente refinada de estos que funciona en todos los casos. Es conocido como el Teorema de Cauchy-Hadamard y dice que

$R=\displaystyle\frac{1}{\lim\sup\sqrt[j]{\left|c_{j}\right|}}$

No discutiremos esto aquí pero el lector interesado puede encontrar la demostración correspondiente en el libro de Conway.

Los ejemplos anteriores de series de potencias surgen de la nada, pero a menudo el punto de partida es una función compleja conocida $f(z)$ que a continuación se expresa como una serie de potencias. El problema de determinar $R$ tiene entonces una respuesta conceptualmente mucho más satisfactoria. A grandes rasgos,

Si $f(z)$ puede expresarse como una serie de potencias centrada en $k$ , entonces el radio de convergencia es la distancia de $k$ a la singularidad más cercana de $f(z)$ .

La Figura 1 muestra esto; las singularidades de $f(z)$ son representadas como pequeñas estrellas. Para entender qué funciones pueden desarrollarse en series de potencias necesitamos resultados más profundos, pero estamos en condiciones de verificar que podemos hacerlo para una función racional (cociente de dos polinomios), y que el radio de convergencia para su desarrollo está dado por la afirmación anterior.

Figura 1

Para empezar, reconsideremos las Figuras 1 y 2 en «Un misterio detrás de las series reales de potencias«. Recordemos que en la Figura 2 simplemente nos limitamos a afirmar que $R=\sqrt{1+k^{2}}$ para el desarrollo en serie de $h_{1}(z)=1/(1+z^{2})$ centrado en el punto real $k$ . Ahora verifiquemos esto encontrando explícitamente la serie.

Para ello, primero notemos que en la entrada citada obtuvimos que

$\displaystyle\frac{1}{a-x}=\sum^{\infty}_{j=0}\frac{X^{j}}{(a-k)^{j+1}}$

si y sólo si $\left|X\right|<\left|a-k\right|$ . Generalizando tenemos que

$\displaystyle\frac{1}{a-z}=\sum^{\infty}_{j=0}\frac{Z^{j}}{(a-k)^{j+1}}$

si y sólo si $\left|Z\right|<\left|a-k\right|$ , donde $a$ y $k$ son ahora números complejos arbitrarios, y $Z=(z-k)$ es el número complejo que conecta el centro del desarrollo en $z$ . La condición $\left|z-k\right|<\left|a-k\right|$ para la convergencia significa que $z$ pertenece al interior del círculo centrado en $k$ y que pasa por $a$ . La Figura 2 abajo muestra esta situación, y además los discos de convergencia cuando elegimos desarrollar $1/(a-z)$ alrededor de $k_{1}$ o $k_{2}$ . Como la función $1/(a-z)$ tiene sólo una singularidad en $z=a$ hemos verificado la afirmación anterior para esta función particular.

Figura 2

Al principio encontramos el desarrollo de $1/(1-x^{2})$ factorizando el denominador y usando fracciones simples. Ahora estamos en condiciones de usar exactamente el mismo enfoque para hallar el desarrollo de $h_{1}(z)=1/(1+z^{2})$ centrado en un número complejo arbitrario $k$ :

$\displaystyle\frac{1}{1+z^{2}}=\frac{1}{(z-i)(z+i)}=\frac{1}{2i}\left(\frac{1}{-i-z}-\frac{1}{i-z}\right)$

Aplicando el desarrollo obtenido para $\displaystyle\frac{1}{a-z}$ en ambos términos resulta

$\displaystyle\frac{1}{1+z^{2}}=\sum^{\infty}_{j=0}\frac{1}{2i}\left(\frac{1}{(-i-k)^{j+1}}-\frac{1}{(i-k)^{j+1}}\right)Z^{j}$

La serie para $1/(\pm i-z)$ converge dentro de las circunferencias concéntricas $\left|z-k\right|=\left|\pm i-k\right|$ centradas en $k$ y que pasan por los puntos $\mp i$ , que son las singularidades de $h_{1}(z)=1/(1+z^{2})$ . Pero el desarrollo obtenido sólo convergerá cuando ambas series converjan, es decir, en el disco $\left|z-k\right|<R$ donde $R$ es la distancia del centro $k$ a la singularidad más cercana de $h_{1}$ . Esto confirma la afirmación anterior para $h_{1}(z)$ .

En particular, si $k$ es real entonces el desarrollo anterior converge en el disco que se muestra en la Figura 3 de «Un misterio detrás de las series reales de potencias». Si restringimos los valores de $z$ al eje real entonces $h_{1}(z)$ se reduce a la función real $1/(1-x^{2})$ , y el desarrollo de esta función en potencias de $X=x-k$ se deduce fácilmente del desarrollo anterior. Como $k$ ahora es real, $\left|i-k\right|=\sqrt{1+k^{2}}$ , y podemos escribir $i-k=\sqrt{1+k^{2}}e^{i\theta}$ donde $\theta=\arg(i-k)$ es el valor apropiado de $\tan^{-1}(-1/k)$ . Así,

$\displaystyle\frac{1}{1+x^{2}}=\sum^{\infty}_{j=0}\left(\frac{\sin(j+1)\theta}{(\sqrt{1+k^{2}})^{j+1}}\right)X^{j}$

lo que resulta de un simple cálculo que se bosqueja a continuación:

Nuevamente tenemos aquí un resultado concerniente a funciones reales que podría ser muy difícil de obtener usando sólo números reales.

El análisis anterior de $1/(1+z^{2})$ puede fácilmente ser generalizado para demostrar que cualquier función racional puede ser expresada como una serie de potencias, con radio de convergencia dado por la afirmación anterior.

Fuente bibliográfica:

Tristan Needham (1997) Visual Complex Analysis. Oxford University Press
John B. Conway (1978) Functions of One Complex Variable I. Springer

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El disco de convergencia complejo… pero simple

Posted in Análisis de Variable Compleja, Producción propia, tagged Convergencia absoluta, Convergencia de series, Disco de convergencia, Números complejos, Radio de convergencia, Series de potencias on 21 agosto 2014| Leave a Comment »

Vamos a considerar la convergencia de las series de potencias complejas, dejando de lado por el momento la cuestión acerca de si una función compleja dada puede ser expresada como tal serie.

Una serie de potencias complejas $p(z)$ centrada en el origen es una expresión de la forma

$p(z)=\displaystyle\sum^{\infty}_{j=0}c_{j}z^{j}=c_{0}+c_{1}z+c_{2}z^{2}+\cdots,$

donde los coeficientes $c_{j}$ son constantes complejas y $z$ es una variable compleja. Las sumas parciales de esta serie infinita son precisamente polinomios ordinarios:

$p_{n}(z)=\displaystyle\sum^{n}_{j=0}c_{j}z^{j}=c_{0}+c_{1}z+c_{2}z^{2}+\cdots+c_{n}z^{n}.$

Para un valor dado $z=a$ , se dice que la sucesión de puntos $p_{1}(a), p_{2}(a),\ldots$ converge al punto $A$ si para cualquier número positivo $\epsilon$ , sin importar cuán pequeño sea, existe un entero positivo $N$ tal que $\left|A-p_{n}(a)\right|<\epsilon$ para todo valor de $n$ mayor que $N$ . La Figura 1 ilustra que esto es mucho más simple de lo que parece: todo lo que indica es que a partir de un cierto punto $p_{N}(a)$ de la sucesión $p_{1}(a), p_{2}(a),\ldots$ , todos los puntos a continuación de él pertenecen a un disco arbitrariamente pequeño de radio $\epsilon$ centrado en $A$ .

Figura 1

En este caso decimos que la serie de potencias $p(z)$ converge a $A$ en $z=a$ , y escribimos $p(a)=A$ . Si la sucesión $p_{1}(a), p_{2}(a),\ldots$ no converge a un punto particular, entonces se dice que la serie de potencias $p(z)$ diverge en $z=a$ . De esta manera, para cada punto $z$ , $p(z)$ será convergente o divergente.

La Figura 2 muestra un zoom del disco de la Figura 1. Si $n>m>N$ , entonces $p_{m}(a)$ y $p_{n}(a)$ pertenecen ambos a este disco, y en consecuencia la distancia entre ellos debe ser menor que el diámetro del disco:

$\left|c_{m+1}a^{m+1}+c_{m+2}a^{m+2}+\cdots+c_{n}a^{n}\right|=\left|p_{n}(a)-p_{m}(a)\right|<2\epsilon.$

Figura 2

Recíprocamente, podríamos demostrar que si se cumple esta condición entonces $p(a)$ converge. Así, tenemos una nueva manera de expresar la definición de convergencia: $p(a)$ converge si y sólo si existe un $N$ tal que la desigualdad anterior se cumple (para $\epsilon$ arbitrariamente pequeño) siempre que $m$ y $n$ sean ambos mayores que $N$ .

La serie de potencias complejas $p(z)$ se dice absolutamente convergente en $z=a$ si la serie real

$\tilde{p}(z)=\displaystyle\sum^{\infty}_{j=0}\left|c_{j}z^{j}\right|=\left|c_{0}\right|+\left|c_{1}z\right|+\left|c_{2}z^{2}\right|+\cdots,$

converge. La convergencia absoluta es ciertamente diferente de la convergencia ordinaria. Por ejemplo, $p(z)=\sum z^{j}/j$ es convergente en $1$ , pero no es absolutamente convergente allí. Por otro lado,

Si $p(z)$ es absolutamente convergente en algún punto, entonces también será convergente en ese punto.

Así, la convergencia absoluta es un requerimiento mucho más fuerte que la convergencia.

Para demostrar la afirmación, supongamos que $p(z)$ es absolutamente convergente en $z=a$ , de modo que (por definición) $\tilde{p}(a)$ es convergente. En términos de las sumas parciales $\tilde{p}_{n}(z)=\displaystyle\sum^{n}_{j=0}\left|c_{j}z^{j}\right|$ de la serie real $\tilde{p}(z)$ , esto dice que para valores suficientemente grandes de $m$ y de $n$ podemos hacer $\left|\tilde{p}_{n}(a)-\tilde{p}_{m}(a)\right|$ tan pequeño como se quiera. Pero, de la Figura 2, vemos que

$\tilde{p}_{n}(a)-\tilde{p}_{m}(a)=\left|c_{m+1}a^{m+1}\right|+\left|c_{m+2}a^{m+2}\right|+\cdots+\left|c_{n}a^{n}\right|$

es la longitud total del recorrido desde $p_{m}(a)$ a $p_{n}(a)$ pasando por $p_{m+1}(a)$ , $p_{m+2}(a)$ , etc. Como $\left|p_{n}(a)-p_{m}(a)\right|$ es la longitud del recorrido más corto desde $p_{m}(a)$ a $p_{n}(a)$ ,

$\left|p_{n}(a)-p_{m}(a)\right|\leq\tilde{p}_{n}(a)-\tilde{p}_{m}(a).$

Así, $\left|p_{n}(a)-p_{m}(a)\right|$ debe tambien ser arbitrariamente pequeño para $m$ y $n$ suficientemente grande.

Habiendo demostrado la afirmación anterior, podemos ahora establecer el siguiente hecho:

Si $p(z)$ converge en $z=a$ , entonces también converge en todo punto dentro del disco $\left|z\right|<\left|a\right|$

Analicemos la Figura 3. En efecto, demostraremos que $p(z)$ es absolutamente convergente en este disco, pues así el resultado será directo de la afirmación ya demostrada.

Figura 3

Si $p(a)$ converge, de nuestro curso de análisis real seguramente sabemos que debe existir un número $M$ tal que $\left|c_{n}a^{n}\right|<M$ para todo $n$ . Si $\left|z\right|<\left|a\right|$ , entonces $\rho=\left|z\right|/\left|a\right|<1$ y así $\left|c_{n}a^{n}\right|<M\rho^{n}$ . Así,

$\displaystyle\tilde{p}_{n}(z)-\tilde{p}_{m}(z)\leq M\left(\rho^{m+1}+\rho^{m+2}+\vdots+\rho^{n}\right)=\frac{M}{1-\rho}\left(\rho^{m+1}-\rho^{n+1}\right),$

donde el miembro de la derecha es tan pequeño como se quiera para $m$ y $n$ suficientemente grandes. Esto concluye la demostración de la segunda afirmación.

Si $p(z)$ no converge en ningún punto del plano entonces debe existir al menos un punto $d$ donde diverge. Supongamos que $p(z)$ fuera a converger en algún punto $p$ cuya distancia al origen es mayor que $d$ . Retornemos a la Figura 3. Por lo que demostramos recién debería converger en todo punto dentro del disco $\left|z\right|<\left|p\right|$ , y en particular debería hacerlo en $d$ , lo que contradice nuestra hipótesis inicial. Por lo tanto,

Si $p(z)$ diverge en $z=d$ , entonces también será divergente en cada punto fuera de la circunferencia $\left|z\right|=\left|d\right|$ .

A estas alturas hemos resuelto la cuestión acerca de la convergencia en todas partes excepto en el «anillo de la duda» que aparece en la Figura 3: $\left|a\right|\leq\left|z\right|\leq\left|d\right|$ . Supongamos que tomamos un punto $q$ a medio camino del anillo de la duda, es decir, en la circunferencia $\left|a\right|=\frac{\left|a\right|+\left|d\right|}{2}$ . Analicemos si $p(q)$ es convergente o divergente. Sin importar el resultado, las dos afirmaciones anteriores nos permiten obtener un nuevo anillo de duda que es la mitad de ancho que el anterior. Por ejemplo, si $p(q)$ es convergente entonces $p(z)$ es convergente para $\left|z\right|<q$ , y el nuevo anillo de duda es $\left|q\right|\leq\left|z\right|\leq\left|d\right|$ . Reiterando entre proceso de prueba en el nuevo anillo obtendremos uno con la mitad de ancho. Continuando de esta manera, el anillo de duda se angostará hasta alcanzar una circunferencia definitiva $\left|z\right|=R$ (llamada la circunferencia de convergencia) tal que $p(z)$ converge en todo punto interior a ella y diverge en todo punto exterior a la circunferencia.

Figura 4

Al radio $R$ se lo llama el radio de convergencia, y al interior de la circunferencia se lo llama el disco de convergencia.

Nótese que este argumento nada dice acerca de la convergencia de $p(z)$ sobre la circunferencia de convergencia, y es posible encontrar en la literatura ejemplos de series de potencias para las cuales la convergencia se da sobre todos, algunos o ninguno de los puntos en ella.

Cada uno de los resultados anteriores se generaliza inmediatamente a series de potencias centradas en un punto arbitrario $k$ , de modo que resta enunciar el resultado principal (debido a Niels Abel) en forma general:

Dada una serie de potencias compleja $p(z)$ centrada en $k$ , existe una circunferencia $\left|z-k\right|=R$ centrada en $k$ tal que $p(z)$ converge en todo punto dentro de la circunferencia, y $p(z)$ diverge en todo punto fuera de ella.

De hecho, podemos tener una serie que sea convergente en todo punto del plano complejo, en cuyo caso pensamos en el caso límite en el que la circunferencia de convergencia es infinitamente grande.

Fuente bibliográfica:

Tristan Needham (1997) Visual Complex Analysis. Oxford University Press

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