Inglaterra sufrió una sequía de matemáticos en la última parte del siglo XVIII, y Maclaurin representa al último gran matemático de la era newtoniana. Contribuyó a la defensa del cálculo de Sir Isaac Newton e hizo algunos descubrimientos impresionantes, incluida el desarrollo de la serie de una función.
Colin Maclaurin nació en febrero de 1698, en Kilmodan, Escocia. Era el menor de tres hijos y su padre, John Maclaurin, era el ministro local. Poco después del nacimiento de Maclaurin, su padre murió, y su madre murió cuando él tenía nueve años. Después de la muerte de sus padres Maclaurin fue criado por su tío. En 1709 ingresó en la Universidad de Glasgow donde se interesó por la matemática. Defendió su tesis en 1715, On the Power of Gravity, obteniendo su título de maestría. En 1717 fue nombrado profesor de matemática en el Marischal College, aunque todavía era muy joven.
Visitó Londres en 1719 y conoció a Newton, cuyo trabajo le causó una profunda impresión. Para 1720 Maclaurin publicó su Geometrica organica, que contenía muchas pruebas de los resultados no demostrados de Newton, así como muchos de los propios descubrimientos de Maclaurin. Su enfoque, como el de Newton, fue altamente geométrico.
En 1722, Maclaurin dejó Escocia para servir como tutor del hijo de Lord Polwarth. Viajaron a Francia, donde Maclaurin continuó su investigación, ganando un premio de la Academia de Ciencias de Francia en 1724. En este año, su alumno murió inesperadamente, y Maclaurin se vio obligado a regresar a Escocia, donde obtuvo la cátedra de matemática en el Universidad de Edimburgo a través de la intervención de Newton. Allí, Maclaurin dio una conferencia sobre Euclides de Alejandría, trigonometría esférica, secciones cónicas, fortificación, astronomía y perspectiva. También fue uno de los principales expositores del cálculo de Newton. En 1733 se casó con Anne Stewart, con quien crió a siete hijos.
En 1742 Maclaurin publicó su Tratado de Fluxiones, que era una defensa de los métodos de Newton y una respuesta a las críticas de George Berkeley. Muchos científicos y matemáticos se mostraban escépticos de los infinitesimales, y Maclaurin se comprometió a proporcionar a la teoría de las fluxiones una base lógica rigurosa. Cabe destacar que Maclaurin rechazó la ventajosa notación de Gottfried Leibniz en favor de la torpe nomenclatura de Newton, debido a su lealtad y partidismo. Como resultado, el estilo newtoniano llegó a dominar el pensamiento en Inglaterra y, en consecuencia, afectó las capacidades computacionales y analíticas de los matemáticos posteriores. En este sentido, Maclaurin fue hasta cierto punto responsable de retrasar el progreso matemático en Inglaterra.
El tratado contenía las soluciones de una serie de problemas en geometría, estática y series infinitas. Tenía también la prueba de Maclaurin para la convergencia y, más importante, el desarrollo en serie de una función diferenciable en torno al origen. Aunque la serie de Taylor es más general, la serie de Maclaurin fue el primer paso para desarrollar una herramienta analítica de gran utilidad.
Maclaurin también investigó cuerpos de atracción, y compitió por un premio francés con su «On the Tides» en 1740, compartiendo el premio con Leonhard Euler y Daniel Bernoulli. También es reconocido por ser el primer matemático en distinguir correctamente entre máximos y mínimos de una función. Era un experto experimentalista e inventor, y realizó observaciones astronómicas y cálculos actuariales. En 1745 un ejército de las Tierras Altas marchó en Edimburgo, y Maclaurin organizó vigorosamente la defensa de la ciudad. Como resultado de sus esfuerzos su salud comenzó a fallar. Murió el 14 de enero de 1746 en Edimburgo.
Maclaurin fue descrito como un hombre benevolente y piadoso, y en sus controversias fue cortés con sus adversarios. Su defensa de los métodos y la notación newtoniana condujo en parte al abandono inglés del cálculo, que privó a Inglaterra de buenos analistas para el próximo siglo. Sin embargo, contribuyó positivamente al desarrollo riguroso del cálculo newtoniano, y fue fácilmente uno de los matemáticos británicos más talentosos de su época.
Fuente bibliográfica:
McElroy, Tucker (2005) A to Z of Mathematicians. Facts On File, Inc.
Christian Goldbach era un matemático aficionado, que no poseía ningún entrenamiento formal. Sin embargo, mantuvo correspondencia con muchos científicos y matemáticos de toda Europa, y fue una de las pocas personas que comprendió los trabajos de Pierre de Fermat y Leonhard Euler. Sus contribuciones a la matemática fueron esporádicas con destellos de brillantez. También hubo lagunas sorprendentes en su conocimiento. Sin embargo, a través de sus comunicaciones matemáticas, pudo participar en las investigaciones matemáticas de su tiempo y estimular a otros hacia resultados fundamentales.
Christian Goldbach nació en Königsberg, Prusia, el 18 de marzo de 1690. Su padre era ministro, y Goldbach recibió una buena educación, estudiando matemática y medicina en la Universidad de Königsberg. Alrededor de 1710 comenzó a viajar por Europa y conoció a varios matemáticos destacados, como Gottfried Leibniz, Abraham de Moivre y Daniel Bernoulli. Algún tiempo después de 1725 Goldbach recibió un puesto como profesor de matemática en la Academia Imperial de Rusia.
Goldbach era un político hábil, y avanzó rápidamente en círculos políticos en detrimento de su investigación matemática. En 1728 se mudó a Moscú para convertirse en tutor del hijo del rey, Pedro II; regresó a San Petersburgo en 1732 y rápidamente se elevó a una posición poderosa en la Academia Imperial. En 1737 tenía la administración de la academia, pero estaba escalando simultáneamente en círculos gubernamentales. En 1742 cortó sus lazos con la academia, y finalmente ascendió al rango de consejero privado en 1760, supervisando la educación de la familia real.
El conocimiento de Goldbach sobre matemática avanzada llegó a él de manera informal a través de discusiones con matemáticos en lugar de una lectura consistente. Se sintió intrigado por las series infinitas en 1712 después de conocer a Nikolaus Bernoulli, y esta fecha probablemente marque el comienzo de su propia investigación sobre ese tema. De sus varios trabajos, algunos de los cuales repiten material ya publicado por otros, dos muestran genuina originalidad: uno trata la manipulación de series infinitas, y el otro se refiere a una teoría de ecuaciones. Goldbach desarrolló un método para transformar una serie en otra sumando y restando ciertos términos sucesivamente. Se permitió que estos nuevos términos fueran divergentes, siempre y cuando el resultado final fuera convergente. En el segundo, Goldbach aplica algunos resultados de la teoría de números para probar si una ecuación algebraica dada tiene una raíz racional. Este método fue desarrollado a partir de una correspondencia con Leonhard Euler, con quien Goldbach comenzó a comunicarse en 1729.
Además de estas contribuciones originales a la matemática, Goldbach se mantuvo al tanto de los desarrollos actuales y entró en el diálogo de los matemáticos con respecto a los nuevos resultados. Por ejemplo, Goldbach comunicó a Euler una de las conjeturas de Fermat sobre los números primos, quien fue capaz de construir un contraejemplo. También es famoso por la conjetura de Goldbach de que cada entero par podría expresarse como la suma de dos números primos.
Goldbach murió el 20 de noviembre de 1764, en Moscú. Aunque Goldbach indudablemente poseía un talento matemático considerable, este no se desarrolló debido a su éxito en asuntos cívicos. Sin embargo, Goldbach fue capaz de estimular la investigación de ideas matemáticas en su propio tiempo, y también en la era moderna a través de su misteriosa conjetura.
Fuente bibliográfica:
McElroy, Tucker (2005) A to Z of Mathematicians. Facts On File, Inc.
El siglo XVIII fue testigo del desarrollo de varias ideas matemáticas del siglo XVII: el cálculo fue un ejemplo importante. Leonhard Euler fue excepcional entre sus pares no solo por la amplitud y profusión de su obra, sino también por su gran originalidad; fundó gran parte de la teoría de números, definió el concepto moderno de función y formuló una teoría general para el cálculo de variaciones. Su renombre y virtuosismo fueron tales que el siglo XVIII a veces se conoce como la «Era de Euler».
Leonhard Euler nació en Basilea el 15 de abril de 1707. Su padre, Paul Euler, era un ministro protestante, y su madre, Margarete Brucker, era hija de un ministro; esta base religiosa permaneció con Euler a lo largo de su vida. El padre de Euler, que se había interesado en la matemática al haber asistido a las conferencias de Jakob Bernoulli en la Universidad de Basilea, educó a su hijo en sus primeros años. Debido a que su Gymnasium no enseñaba matemática, Euler estudió en privado con un matemático aficionado, y mostró un talento notable para alguien de su edad. En 1720 ingresó en la Universidad de Basilea y pronto estuvo bajo la guía de Johann Bernoulli. En 1722 recibió su licenciatura en artes, y un año más tarde su maestría en filosofía; a los 16 años, se unió al departamento de teología.
Sin embargo, la fuerza de Euler estaba en la matemática, y pronto abandonó su ambición de ser ministro. Por esta época comenzó su propia búsqueda en la matemática y publicó un artículo sobre trayectorias recíprocas algebraicas. Había pocas oportunidades en Suiza para matemáticos jóvenes, por lo que Euler aceptó una oferta para unirse a la nueva Academia de Ciencias de San Petersburgo en 1727. Su nombramiento oficial fue como adjunto de fisiología, aunque se le permitió trabajar en matemática. Euler se convirtió en profesor de física en 1731 y en profesor de matemática en 1733; la atmósfera en la joven academia fue estimulante para Euler, quien interactuó con Jakob Hermann, Daniel Bernoulli y Christian Goldbach.
La vida de Euler estuvo marcada por su notable diligencia y actividad. Su investigación matemática fue informada en las sesiones de la academia; mientras tanto, participó en la formación de científicos rusos, así como en el estudio del territorio ruso (Euler ayudó en la construcción de mapas geográficos) y en el desarrollo de nueva tecnología (Euler estudió problemas de construcción naval y de navegación). Pero sus contribuciones a la matemática fueron prolíficas: Euler preparó más de 80 obras en sus primeros 14 años en San Petersburgo.
Muchas de sus mejores ideas fueron formuladas en su juventud, incluso en Basilea, y se desarrollaron mucho después. Debido a su voluminosa correspondencia con otros científicos, los descubrimientos de Euler a menudo se hicieron públicos antes de que fueran publicados; esto le trajo una gran cantidad de fama. En 1733 se casó con Katharina Gsell, y pronto tuvo dos hijos. Su tranquila vida fue estropeada solamente por la pérdida de la visión de su ojo derecho en 1738; según Euler, esto se debió a la sobrecarga de su trabajo cartográfico. Sin embargo, en 1740 la situación política en Rusia se volvió inestable, y Euler aceptó una oferta para trabajar en la Sociedad de Ciencias de Berlín.
Euler se quedó en Berlín durante 25 años, tiempo durante el cual fue bendecido con muchos más hijos. Durante este período, trabajó en las academias de Berlín y San Petersburgo. Fue director de la Sociedad de Ciencias de Berlín, que transformó en gran medida. Además de las numerosas tareas administrativas, se ocupó de varios problemas prácticos, como la corrección del nivel del canal de Finow. Consultó con el gobierno sobre problemas de seguros, pensiones e hidráulica, e incluso organizó algunas loterías estatales. Mientras tanto, Euler recibió una pensión de la Academia de San Petersburgo y, a cambio, editó el diario de la academia, le informó sobre nuevas ideas científicas y supervisó competiciones. Euler recibió 12 premios de la Académie des Sciences de París de 1738 a 1772.
El período de Berlín fue fructífero, ya que Euler produjo más de 380 obras, algunas de las cuales fueron extensas, sobre temas como el cálculo de variaciones, el cálculo de órbitas, balística, análisis, movimiento lunar y cálculo diferencial. Sus famosas Lettres à une princesse d’Allemagne sur buts sujets de physique et de philosophie (Cartas a una princesa alemana sobre diversos temas de física y filosofía) se escribieron de manera popular y se convirtieron en un gran éxito en Europa. Euler participó en muchos debates académicos sobre temas como la religión de la razón pura expuesta por Gottfried Leibniz, y el principio de mínima acción.
Después de 1759, la relación de Euler con el rey Federico de Prusia se deterioró, y finalmente regresó a San Petersburgo en 1766. Poco después de su regreso, una breve enfermedad lo dejó completamente ciego; esto dificultó su capacidad de investigar, pero con la ayuda de asistentes pudo dictar sus pensamientos y así continuar su trabajo. El único cambio parece ser que sus artículos se volvieron más concisos, y la mitad del total de sus obras se produjo después de 1765. Su memoria (podía recitar literalmente la Eneida de Virgilio) permaneció impecable, y continuó teniendo ideas originales. La actividad de Euler en la academia no disminuyó cuando murió el 18 de septiembre de 1783, de una hemorragia cerebral.
Euler fue uno de los matemáticos más importantes desde Sir Isaac Newton. Estaba profundamente interesado en las aplicaciones, pero desarrollaría la matemática pertinente a niveles profundos de abstracción y generalidad. Su tema principal fue el análisis, contribuyendo al cálculo de variaciones, la teoría de las ecuaciones diferenciales, las funciones de una variable compleja y la teoría de funciones especiales. Se le deben muchas convenciones y notaciones modernas, como el símbolo para el valor de una función y para la raíz cuadrada de -1.
En teoría de números, a Euler le preocupaba la teoría de la divisibilidad, introduciendo la llamada función de Euler, que cuenta la cantidad de divisores de un entero dado. Estos estudios lo llevaron al descubrimiento de la ley de la reciprocidad cuadrática, cuya prueba completa fue luego establecida por Carl Friedrich Gauss. Euler investigó las descomposiciones de números primos como combinaciones lineales de cuadrados, y trabajó en el análisis diofántico a través de fracciones continuas. Sus métodos eran algebraicos, pero Euler fue el primero en introducir métodos analíticos a la teoría de números, en particular, dedujo una famosa identidad que relacionaba sumas de cuadrados recíprocos con un producto de números primos, que fue un primer paso en el estudio de la función zeta de Riemann. Euler estudió varias constantes matemáticas, como e y pi, así como la constante de Euler (que surge en el estudio de la serie armónica divergente).
Euler enunció el teorema que dice que un polinomio algebraico de grado n tiene n raíces de la forma a+bi, que ahora se conoce como el teorema fundamental del álgebra. Su prueba de 1751 tuvo algunas omisiones, que luego fueron corregidas por Gauss. Euler también intentó derivar una fórmula exacta para las raíces del polinomio de quinto grado, y sus fallas lo llevaron a métodos de aproximación de análisis numérico.
Aunque muchos matemáticos habían estudiado series infinitas, Euler fue inusualmente exitoso en su cálculo, obteniendo fórmulas simples para sumas de recíprocos de potencias pares de enteros. A través de estos estudios, Euler estudió funciones especiales (como las funciones de Bessel) y descubrió la constante de Euler para la aproximación de la serie armónica. Hizo un gran uso de las series de potencias e introdujo series trigonométricas antes que Jean Baptiste Joseph Fourier como herramienta analítica. Euler creía que las series divergentes podían ser útiles, y este esfuerzo llegaría a buen término mucho más tarde, en el siglo XX.
Euler presentó la idea de que el análisis matemático es el estudio de las funciones; para este fin, definió más claramente el concepto de función, que se aproxima mucho a la noción moderna. A través de la consideración del logaritmo de los números negativos, Euler llegó a un entendimiento de la exponenciación de números imaginarios, derivando muchos hechos elementales cruciales. Avanzó en el conocimiento de los números complejos, descubriendo las ecuaciones diferenciales que relacionan las partes real e imaginaria de una función analítica. Euler aplicó sus técnicas al cálculo de integrales reales.
También realizó numerosos descubrimientos en el cálculo diferencial e integral, derivando reglas de sustitución, validando el intercambio de derivadas parciales y fundando el concepto de integrales múltiples. Como resultado de los muchos casos especiales y técnicas de integración que empleó, se descubrieron las funciones beta y gamma, que son útiles en física. Euler hizo grandes contribuciones al campo de las ecuaciones diferenciales, incluido el método de variación de constantes, así como el uso de curvas características. Algunas de las aplicaciones de este trabajo incluyen problemas de cuerdas vibrantes, hidrodinámica y el movimiento del aire en las tuberías.
Sus estudios en el cálculo de variaciones lo llevaron a la ecuación diferencial de Euler, y su exposición del tema se convirtió en un clásico. Euler fue el primero en formular los principales problemas de este tema y los principales métodos de solución. En geometría, Euler investigó la trigonometría esférica y fundó una teoría de líneas sobre una superficie, uno de los pasos iniciales hacia el moderno tema de la geometría diferencial. Analizó la curvatura de una superficie en términos de la curvatura de las curvas principales embebidas e introdujo las coordenadas gaussianas, que se usaron ampliamente en el siglo XIX.
Euler también fue el primer autor en topología, resolviendo el famoso enigma de siete puentes de Königsberg; estudió poliedros, obteniendo lo que más tarde se conocería como la característica de Euler, una fórmula que relaciona su número de aristas, caras y vértices.
Además de estas contribuciones a la matemática pura, Euler trabajó en mecánica, astronomía y óptica. Euler sistematizó la mecánica, introduciendo métodos analíticos que simplificaron enormemente el tema. Estudió mecánica celeste y elasticidad, derivando la famosa fórmula de pandeo de Euler, utilizada para determinar la fuerza de las columnas. En mecánica de fluidos, estudió las posiciones de equilibrio y presentó tres obras clásicas sobre el movimiento de los fluidos incompresibles; Euler también mejoró el diseño de la turbina hidráulica.
En astronomía, Euler estaba interesado en la determinación de órbitas de cometas y planetas, en la teoría de la refracción y en la naturaleza física de los cometas. Presentó una extensa teoría lunar, que permitía un cálculo más preciso de la posición longitudinal de un barco en el mar. Euler ayudó a la física matemáticamente (es decir, al introducir muchas técnicas de análisis para comprender mejor ciertos problemas). De hecho, se le acredita como fundador de la física matemática. Estudió también la óptica, construyendo una teoría de la luz no como partícula que veía la iluminación como el producto de ciertas oscilaciones en el éter ambiental.
Euler fue un hombre humilde, pero también uno de los mejores científicos y matemáticos de todos los tiempos, y especialmente del siglo XVIII; fue reconocido por sus compañeros como un genio sobresaliente. Su investigación matemática ha estimulado una enorme cantidad de actividad posterior, y muchas de sus ideas se adelantaron a su tiempo.
Fuente bibliográfica:
McElroy, Tucker (2005) A to Z of Mathematicians. Facts On File, Inc.
para el valor de una función y 
para la raíz cuadrada de -1. 
Blog de Matemática y TIC's 