Norbert Wiener

Norbert Wiener fue uno de los grandes matemáticos estadounidenses del siglo XX. Sus ideas fueron profundas y ricas, aunque mal expresadas, y aún así revolucionaron la teoría de las comunicaciones y el análisis armónico. Wiener también es famoso por fundar la disciplina de la cibernética o la aplicación de ideas estadísticas a la comunicación.

Norbert Wiener nació el 26 de noviembre de 1894 en Columbia, Missouri. Su padre, Leo Wiener, era un judío ruso que había emigrado a los Estados Unidos, y ejercía como profesor de idiomas modernos en la Universidad de Missouri en el momento del nacimiento de su hijo. La madre de Wiener era una judía alemana originalmente llamada Bertha Kahn. Tenía una hermana menor. Debido a los extensos intereses intelectuales de su padre (publicó varios libros y fue ampliamente leído en ciencias), Wiener recibió una excelente educación en su hogar que lo situó mucho más allá de los niños de su misma edad. De hecho, Wiener comenzó la escuela secundaria a la edad de nueve años y se graduó en 1906.

Parece que el padre de Wiener fue en gran parte responsable del desarrollo del genio de su hijo. De niño era bastante torpe y tenía problemas en la vista; cuando el médico le recomendó que dejara de leer durante seis meses, su padre continuó su educación matemática. Como resultado, Wiener desarrolló grandes capacidades para la memorización y el cálculo mental a una edad temprana. La familia de Wiener se había mudado a Boston, Leo Wiener enseñaba en Harvard, y el niño asistió al Tufts College. Se graduó en 1909 con una licenciatura en matemática, y comenzó la escuela de posgrado en Harvard con solo 14 años de edad.

Originalmente Wiener estudió zoología, pero luego cambió a filosofía, obteniendo su doctorado en Harvard a los 18 años. Luego viajó a Inglaterra para continuar sus estudios filosóficos con Bertrand Arthur William Russell, quien le dijo que necesitaba aprender más matemática. Entonces Wiener estudió con Godfrey Harold Hardy, y pasó la mayor parte de 1914 en la Universidad de Gotinga estudiando ecuaciones diferenciales con David Hilbert. Regresó a los Estados Unidos antes del estallido de la Primera Guerra Mundial, y emprendió varios trabajos extraños: enseñó filosofía en Harvard, trabajó para la General Electric y también fue redactor de la Encyclopedia Americana. Al final de la guerra obtuvo un puesto en el Instituto de Tecnología de Massachusetts (MIT).

Fue en el MIT que Wiener comenzó a estudiar el movimiento browniano, un concepto importante en la probabilidad (es un proceso estocástico de tiempo continuo utilizado para modelar una variedad de fenómenos, desde el movimiento de pequeñas partículas hasta la evolución del mercado de valores) y otros temas de probabilidad También investigó el análisis armónico y su aplicación a la teoría estadística de series de tiempo. Gran parte del trabajo que encontró Wiener resultó de conversaciones con sus colegas de ingeniería, que estaban ansiosos por obtener asistencia matemática con sus propios problemas de ingeniería.

Wiener viajaba con frecuencia a Francia, Alemania e Inglaterra para colaborar con matemáticos europeos: trabajó con René-Maurice Fréchet y Paul-Pierre Lévy. Se casó con Margaret Engemann en 1926. Pasó 1931–32 en Inglaterra trabajando con Hardy, donde también conoció a Kurt Gödel.

El genio de Wiener ciertamente cumplió muchos de los estereotipos comunes de los matemáticos. Sus artículos a menudo eran difíciles de leer, y los descubrimientos brillantes no eran suficientes; a veces, se lanzaba con gran detalle sobre asuntos triviales. A pesar de sus pobres habilidades de escritura, las contribuciones de Wiener fueron sobresalientes. Su trabajo de 1921 sobre el movimiento browniano estableció esta importante idea de la física de partículas sobre una base teórica sólida; su investigación adicional sobre el espacio de curvas continuas y unidimensionales condujo a la intuitivamente atractiva medida de Wiener, que facilitó el cálculo de las probabilidades de los caminos del movimiento browniano. En 1923 investigó la ecuación diferencial parcial conocida como problema de Dirichlet, y esto condujo a grandes avances en la teoría del potencial. Desde 1930 trabajó en análisis armónico, ganando el premio Bôcher de la American Mathematical Society en 1933. Wiener profundizó en las diversas aplicaciones de la transformada de Fourier: una gran aplicación fue el llamado análisis espectral de series de tiempo. Con las herramientas que desarrolló fue posible filtrar, pronosticar y suavizar los flujos de datos. Su Cybernetics: Or, Control and Communication in the Animal and the Machine de 1948 aplicó ideas en campos tales como sistemas mecánicos hasta biología. Aparentemente, este trabajo fue un desastre caótico de texto mal escrito y destellos brillantes de perspicacia.

Wiener murió el 18 de marzo de 1964 en Estocolmo, Suecia. Este niño prodigio fue un conferenciante notoriamente pobre, un escritor descuidado y un pensador sobresaliente. Su trabajo más importante fue en la teoría de la probabilidad y el análisis armónico, y su influencia todavía se siente hoy en temas como ecuaciones diferenciales parciales, procesos estocásticos y el análisis estadístico de series de tiempo.

 

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Fuente bibliográfica:

• McElroy, Tucker (2005) A to Z of Mathematicians. Facts On File, Inc.

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Hermann Weyl

Hermann Weyl, uno de los grandes matemáticos de principios del siglo XX, desarrolló con éxito las ideas de otros en teorías rigurosas. Sus documentos son notables por su originalidad y profundidad de conocimiento, y su trabajo ha ejercido una gran influencia en la investigación actual.

Hermann Weyl nació el 9 de noviembre de 1885 en Elmshorn, Alemania. Cuando era niño, asistió al Gymnasium en Altona e ingresó a la Universidad de Gotinga a los 18 años. Permaneció allí durante varios años estudiando matemática. Después de obtener su título, se convirtió en profesor en la Universidad de Zurich en 1913.

Weyl había estudiado con David Hilbert en Gotinga y seguramente fue uno de sus alumnos más talentosos. El primer trabajo importante de Weyl, que data de 1910, fue sobre la teoría espectral de las ecuaciones diferenciales, que era un área que Hilbert también estaba investigando. En 1911 comenzó a estudiar la teoría espectral de ciertos operadores en los llamados espacios de Hilbert. Sus métodos proporcionaron una idea geométrica de estos espacios abstractos y se convirtieron en técnicas importantes dentro del análisis funcional.

En 1916 Weyl publicó un famoso artículo sobre teoría analítica de números, que trata la distribución de ciertas secuencias especiales de números. Con un ingenio característico, dio una solución novedosa a preguntas no resueltas haciendo conexiones con la teoría de la integración. Sus técnicas han seguido siendo relevantes para la teoría aditiva de números.

Después de este trabajo en teoría de números, Weyl volvió a la geometría (anteriormente, en 1913, había dado una base rigurosa para la definición intuitiva de una variedad riemanniana). En 1915 atacó un problema relacionado con ciertas deformaciones de superficies convexas, y describió un método de demostración que finalmente resultaría fructífero. Weyl vió interrumpido su trabajo a raíz de la Primera Guerra Mundial, pero fue liberado del servicio militar en 1916. En Zurich trabajó con Albert Einstein y, en consecuencia, se interesó en la teoría general de la relatividad. Se propuso proporcionar una base matemática para las ideas físicas, descubriendo el concepto de conexión lineal. Élie-Joseph Cartan desarrolló aún más esta importante idea.

En la década de 1920, Weyl se interesó en los grupos de Lie, y sus artículos sobre este tema son probablemente los más importantes e influyentes. Parte del genio de su enfoque fue el uso de métodos topológicos sobre objetos algebraicos como los grupos de Lie. Sophus Lie había introducido los grupos de Lie como un nuevo e interesante campo de la matemática, pero Weyl avanzó mucho en esta rama a través de su nueva metodología.

Como matemático, Weyl creía en la importancia de las teorías abstractas, y creía que eran capaces de resolver problemas clásicos cuando se combinaban con un pensamiento cuidadoso y penetrante. Difirió con el formalista Hilbert en la filosofía de los fundamentos matemáticos, y en su lugar aceptó el intuicionismo de Luitzen Egbertus Jan Brouwer. Sin embargo, en muchos otros aspectos, mostró la influencia de Hilbert. En 1930 sucedió a Hilbert en Gotinga, pero decidió abandonar la Alemania nazi en 1933, llegando al Instituto de Estudios Avanzados de Princeton. Permaneció en los Estados Unidos hasta que se retiró en 1951. Dividió los últimos años de su vida entre Princeton y Zurich. Murió el 8 de diciembre de 1955.

Hermann Weyl realizó varias contribuciones significativas a la teoría de números, la geometría y las ecuaciones diferenciales. Cuando resolvía un problema difícil, a menudo ideaba una técnica completamente nueva para la demostración; Estos nuevos métodos generalmente se convirtieron en herramientas estándar o, a veces, condujeron a nuevas áreas de investigación. Su trabajo sobre la teoría de los grupos de Lie proporcionó una base para avances posteriores.

 

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Fuente bibliográfica:

• McElroy, Tucker (2005) A to Z of Mathematicians. Facts On File, Inc.

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Bertrand Arthur William Russell

Bertrand Russell fue una de las personalidades matemáticas más coloridas del siglo XX, y se encuentra entre los lógicos más importantes de la era moderna. Creía en el potencial de que toda la matemática se redujera a la lógica y ejerció mucho esfuerzo para validar este paradigma. Russell también fue un activo filósofo y revolucionario social, aplicando sus ideas lógicas a la ciencia, la ética y la religión.

Bertrand Russell nació el 18 de mayo de 1872 en Ravenscroft, Gales. Era nieto de lord John Russell. Su madre y su padre murieron en 1874 y 1876, respectivamente, por lo que sus abuelos lo criaron. Este abuelo había servido dos veces como primer ministro bajo la reina Victoria, pero murió en 1878 y su abuela continuó con la educación del niño. Recibió educación privada al principio, y luego fue instruido en el Trinity College, en Cambridge, donde obtuvo los primeros logros en la matemática.

Russell se convirtió en académico, y finalmente fue elegido miembro de la Royal Society en 1908. Pasó sus primeros años en su programa centrado en la lógica, creyendo que toda la matemática podía reducirse a afirmaciones lógicas. En este sentido, era seguidor de Friedrich Ludwig Gottlob Frege, quien tenía una filosofía similar. El trabajo de Russell de 1910 sobre los Principia Mathematica, escrito junto con Alfred North Whitehead, estableció que las pruebas matemáticas podrían reducirse a pruebas lógicas. Los primeros volúmenes de este trabajo trataron sobre teoría de conjuntos, aritmética y lateoría de la medida; un cuarto volumen, sobre geometría, no fue completado. Parte de este enfoque, inspirado en las ideas de Frege, fue expresar los números y otros objetos matemáticos como conjuntos de clases que comparten una propiedad común. Este ambicioso proyecto perdió fuerza en los últimos años, probablemente debido a las tendencias filosóficas que se alejan del logicismo.

Antes de los Principia, Russell adquirió fama a través de la construcción de la llamada paradoja de Russell. Formó el conjunto (conjunto A) de todos los conjuntos que tienen la propiedad de que no son miembros de sí mismos. Luego uno hace la pregunta: ¿Es A (visto como un elemento) un miembro del conjunto A? Esto no se puede resolver como verdadero o falso, ya que cualquiera de las respuestas conduce a una contradicción. Esto demostró el problema fundamental de tomar colecciones de conjuntos y suponer que dicha colección es en sí misma un conjunto. Kurt Gödel utilizará posteriormente este concepto de autorreferencia para producir sus teoremas de incompletitud. 

La solución de Russell a la paradoja fue desarrollar su teoría de tipos, principalmente desarrollada en su lógica matemática de 1908, basada en la teoría de tipos. En esto Russell describió una jerarquía de clases para la cual la idea de conjunto está especialmente definida en cada nivel. Otras resoluciones a la paradoja han resultado del debilitamiento del poder del axioma básico de comprensión formulado por George Cantor, que establece que siempre se pueden reunir objetos que comparten una propiedad común en un conjunto. La consecuencia inmediata de la paradoja fue poner en duda el programa lógico propuesto por David Hilbert, que buscaba establecer rigurosamente los fundamentos de la lógica matemática y la teoría de conjuntos. Parecía que incluso el concepto intuitivo de conjunto se proyectaba en la sombra.

Además de estas importantes contribuciones a la lógica, Russell también fue famoso por su «filosofía analítica», que intentaba plantear cuestiones filosóficas en el riguroso marco de la lógica matemática. Por supuesto, este enfoque computacional de la filosofía tiene una larga historia, que se remonta a René Descartes y otros matemáticos.

La vida personal y pública de Russell interfirió con el avance de su carrera. Fue declarado culpable de actividad contra la guerra en 1916, y esto resultó en su despido del Trinity College. Dos años más tarde fue nuevamente condenado y sometido a una breve pena de prisión. Durante su encarcelamiento, escribió su famosa Introducción a la Filosofía Matemática (1919). Tropezó con cuatro matrimonios que estuvieron plagados de asuntos extra matrimoniales, e incluso fue despedido de un puesto de profesor en el City College de Nueva York en 1940 después de que un juez dictaminó que era moralmente incapaz. Se postuló (pero no fue elegido) para el Parlamento tres veces; se convirtió en Earl Russell en 1931 después de la muerte de su hermano. Abrió una escuela experimental con su segunda esposa a finales de los años veinte. Sus sentimientos contra la guerra ganaron una mejor aceptación en las décadas de 1950 y 1960, cuando fue reconocido como líder en el movimiento antinuclear. El manifiesto de Russell-Einstein de 1955 exigía el abandono de las armas nucleares. En 1957, Russell organizó la Conferencia Pugwash, una convención de científicos contra las armas nucleares, y se convirtió en presidente de la Campaña por el Desarme Nuclear en 1958. Russell fue arrestado nuevamente en 1961 por protestas nucleares. 

Después de una vida llena de matemática, filosofía y protesta pública, Russell murió el 2 de febrero de 1970 en Penrhyndeudraeth, Gales. Fue reconocido por sus extensas contribuciones a la literatura y la ciencia, ganando el Premio Nobel de literatura en 1950. Es mejor conocido por su paradoja y su posterior resolución a través de la teoría de tipos, pero también a través de sus investigaciones posteriores sobre el logicismo y el problema de la incompletitud estudiado por Gödel. El pensamiento de Russell ha sido enormemente influyente en la lógica, la matemática y la filosofía, así como en la ética, la religión y la responsabilidad social. 

 

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Fuente bibliográfica:

• McElroy, Tucker (2005) A to Z of Mathematicians. Facts On File, Inc.

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