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Posts Tagged ‘David Hilbert’

Gran parte del trabajo matemático de finales del siglo XIX se centró en establecer bases rigurosas para temas matemáticos previos, como los conceptos de función, infinito y número. Dedekind trabajó en esta última área, interesándose por la definición del número real y el concepto de continuidad.  

Richard Dedekind nació en Brunswick, Alemania, el 6 de octubre de 1831. Su padre, Julius Dedekind, era profesor de derecho en el Collegium Carolinum de Brunswick, y su madre, Caroline Emperius, era hija de otro profesor de la misma institución. Richard Dedekind era el más joven de cuatro hijos en esta familia intelectual; vivió con su segunda hermana la mayor parte de su vida. De joven, Dedekind asistió al Gymnasium local, donde finalmente cambió su enfoque de la física a la matemática, alegando que la física era demasiado desordenada. En el Collegium Carolinum, al que también asistió Carl Friedrich Gauss, Dedekind dominó la geometría analítica, el cálculo diferencial e integral y la mecánica superior. 

En 1850 ingresó a la Universidad de Göttingen, y desarrolló una estrecha amistad con Bernhard Riemann, mientras asistía a conferencias de Moritz Stern, Wilhelm Weber y Carl Gauss. Sólo dos años más tarde Dedekind obtuvo su doctorado bajo la tutoría de Gauss con una tesis sobre integrales eulerianas; fue a Berlín para asistir a las conferencias de Carl Jacobi y Peter Lejeune Dirichlet, completando el resto de su educación. En 1854 obtuvo una cátedra en la Universidad de Berlín, donde enseñó probabilidad y geometría. También en este momento Dedekind se hizo amigo de Dirichlet, quien expandió sus horizontes sociales e intelectuales. En 1858 Dedekind obtuvo un puesto en el Polytechnikum de Zurich, y cuatro años más tarde regresó a su ciudad natal, Brunswick, donde permaneció hasta su muerte. 

Dedekind es bien conocido entre los matemáticos por kas llamadas cortaduras de Dedekind, que fue un elemento en su construcción de los números reales. Ya había notado la falta de una base verdaderamente rigurosa de la aritmética; él construyó con éxito una definición puramente aritmética de continuidad, y formuló exactamente la noción de número irracional. En este sentido, el trabajo de Dedekind se basa en la antigua teoría de la proporción de Eudoxo de Cnido como base para los números reales, aunque las dos versiones no son exactamente idénticas; Dedekind estableció el hecho de que los postulados euclidianos solos, desprovistos de un principio de continuidad, no podían establecer una teoría completa de los números reales. Sus conceptos han tenido una importancia duradera para el campo del análisis matemático, especialmente a través de su uso del orden para comprender los números reales. 

Publicó estas ideas en un manuscrito de 1872 llamado Stetigkeit und Irrationale Zahlen (Continuidad y números irracionales), que estableció a Dedekind como un investigador líder en los fundamentos de la matemática, junto con George Cantor y Bernhard Bolzano. Su libro de 1888 sobre números -Was Sind und was Sollen die Zahlen (Lo que los números son y deben ser)- definió la teoría lógica de números, tratando temas como la continuidad del espacio, la esencia de la aritmética y el papel de los números en la geometría. Un descubrimiento importante fue la definición de infinitud de un conjunto a través de mapeos, que fue vital para la posterior investigación de Cantor sobre la teoría de conjuntos. 

Hay muchas similitudes entre Gauss y Dedekind, incluidas sus personalidades: al igual que Gauss, Dedekind era un trabajador intenso y disciplinado que disfrutaba de un estilo de vida frugal. Era un pensador profundo que prefería las nociones matemáticas a las notaciones útiles. Debido a su estrecho parentesco y al hecho de que Dedekind entendía el trabajo de Gauss mejor que nadie, editó varios de los manuscritos inéditos de Gauss, y pudo comentar convincentemente sobre estos trabajos. Este proyecto llevó a Dedekind al examen de los números complejos, y dio la definición general de un ideal algebraico y estableció varios resultados clásicos. Este trabajo en álgebra, por el cual Dedekind es más famoso, dio lugar a muchos desarrollos fructíferos por parte de posteriores matemáticos, como Emmy Noether y David Hilbert. 

Dedekind estuvo activo en el Polytechnikum de Brunswick, del cual asumió la dirección desde 1872 hasta 1875. Recibió muchos doctorados honorarios durante su vida y tenía un gran número de corresponsales. En 1894 se convirtió en profesor emérito, y después de su muerte el 12 de febrero de 1916, los matemáticos en muchos países lo lloraron. 

La contribución de Dedekind a la matemática podría medirse a través de la cantidad de ideas que llevan su nombre, alrededor de una docena. Sus contribuciones a los fundamentos del concepto de número permitieron el progreso del análisis real, desarrollando un conocimiento más profundo de los números reales y el concepto de continuidad; sus teoremas sobre ideales algebraicos han estimulado mucha actividad adicional en el siglo XX.

 


Fuente bibliográfica:

  • McElroy, Tucker (2005) A to Z of Mathematicians. Facts On File, Inc.
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Uno de los temas más controvertidos de la matemática del siglo XX fue la base lógica de la disciplina; específicamente, ciertos matemáticos estaban trabajando para demostrar que la formulación axiomática de la matemática era consistente (que cualquier proposición podría ser verdadera o falsa, pero no ambas). Brouwer representó una oposición a esta agenda, presentando su matemática intuicionista como una alternativa deseable.  

Luitzen Brouwer nació el 27 de febrero de 1881, en la ciudad de Overschie en los Países Bajos. Era intelectualmente precoz, completando su educación secundaria a la edad de 14 años; en 1897 ingresó en la Universidad de Ámsterdam, donde estudió matemática durante los siguientes siete años. Brouwer dominó rápidamente la matemática contemporánea, y obtuvo nuevos resultados con respecto a los movimientos continuos en variedades. 

Los intereses de Brouwer eran diversos. Su actividad matemática incluía topología, mapeos y lógica, así como filosofía mística. Su visión personal de la matemática como una actividad mental libre era constructivista y difería mucho del enfoque formalista defendido por David Hilbert y Bertrand Russell. Brouwer participó en el debate sobre los fundamentos de la matemática; rechazó la idea de que la lógica debería ser el pilar de la matemática; más bien, la lógica era solo una expresión de regularidades y patrones notorios en los sistemas construidos. La extrañeza de este punto de vista se hizo evidente cuando Brouwer atacó la ley del tercero excluido, que establece que o bien una declaración dada o su negación lógica debe ser verdadera (que se utiliza en el método “prueba por contradicción”). 

La tesis doctoral de Brouwer de 1907, On the Foundations of Mathematics, expresa sus opiniones. De estas ideas nació la “matemática intuicionista”, que pone énfasis en la capacidad de construir objetos matemáticos. Rechazó la ley del tercero excluido en su sistema y criticó el intento de Hilbert de probar la coherencia de la aritmética. 

En los cinco años desde 1907 hasta 1912, Brouwer descubrió varios valiosos resultados. Estudió el quinto problema de Hilbert, la teoría de grupos continuos, y en el proceso descubrió el teorema de la traslación plano y el “teorema de la bola peluda“. 

Brouwer también estudió varios mapeos topológicos, desarrollando la técnica de usar las llamadas “simplices” para aproximar mapeos continuos. El grado asociado condujo a la noción de clase de homotopía, que permitió la clasificación topológica de muchas variedades. Como resultado, la noción de dimensión (en el sentido topológico) se asentó en una posición más rigurosa.  

En 1912 fue nombrado profesor de matemática en la Universidad de Ámsterdam, y pronto reanudó su investigación sobre los fundamentos de la matemáticas En 1918 publicó una teoría de conjuntos diferente, que no se basaba en la ley del tercero excluido, seguida de nociones similares de medida y función en los años siguientes. Como era de esperar, los teoremas que obtuvo son algo diferentes (por ejemplo, las funciones reales son siempre uniformemente continuas). Por estas razones, sus resultados no fueron totalmente aceptados, y muchos matemáticos simplemente han ignorado su punto de vista. La prueba por contradicción es un método de demostración muy poderoso y comúnmente utilizado; los matemáticos no están dispuestos a renunciar a los muchos teoremas que pueden establecer abrazando el sistema potencialmente más riguroso de Brouwer. 

A partir de 1923, Brouwer se centró en su agenda intuicionista, intentando persuadir a los matemáticos para que rechazaran la ley del tercero excluido. A fines de la década de 1920, los lógicos comenzaron a investigar la conexión de la lógica de Brouwer con la lógica clásica; después de que los teoremas de incompletitud de Kurt Gödel aniquilaran el programa de David Hilbert, más personas se interesaron en el enfoque intuicionista de la matemática. 

Brouwer ganó el reconocimiento internacional de varias sociedades y academias. Murió en Blaricum, Países Bajos, el 2 de diciembre de 1966. Aunque sus esfuerzos por persuadir a los matemáticos de su propio punto de vista no tuvieron éxito (nuevamente, esto se debió en parte a la renuencia a abandonar la poderosa herramienta de la prueba por contradicción, y también porque el marco intuicionista está enraizado en la filosofía mística), Brouwer concientizó sobre las limitaciones de cualquier sistema matemático y predijo correctamente la desaparición de cualquier intento de establecer la consistencia y la integridad de un sistema axiomático. Es un personaje importante en la historia de la lógica matemática, que representa el contramovimiento antirracionalista de la mística que surgió en el siglo XX.

 


Fuente bibliográfica:

  • McElroy, Tucker (2005) A to Z of Mathematicians. Facts On File, Inc.

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Stefan Banach es conocido como el principal fundador del análisis funcional, el estudio de ciertos espacios de funciones. Él influenció a muchos estudiantes durante su intensa carrera como matemático en investigación, y muchos de los resultados más importantes del análisis funcional llevan su nombre. 

Poco se sabe de la personalidad de Banach, aparte de que era trabajador y dedicado a la matemática. Nacido en Cracovia el 30 de marzo de 1892, hijo de un funcionario ferroviario, Banach fue entregado a una lavandera por sus padres; esta mujer, que se convirtió en su madre adoptiva, lo crió y le dio su apellido, Banach. A la edad de 15 años daba lecciones particulares para apoyar su sustento. Se graduó de la escuela secundaria en 1910. Después de esto se matriculó en el Instituto de Tecnología de Lvov, en Ucrania, pero no se graduó. Cuatro años más tarde regresó a su ciudad natal. Allí conoció al matemático polaco Hugo Steinhaus en 1916. Desde entonces se dedicó a la matemática; parece que ya poseía un amplio conocimiento de la disciplina, y junto con Steinhaus escribió su primer trabajo sobre la convergencia de series de Fourier.

En 1919 Banach fue nombrado profesor en el Instituto de Tecnología de Lvov, donde enseñó matemática y mecánica. En este mismo año recibió su doctorado en matemática, a pesar de que su educación universitaria era incompleta. Su tesis, según se dice, señaló el nacimiento del análisis funcional, tratando acerca  de ecuaciones integrales. En 1922 Banach fue promovido en consideración de un excelente artículo sobre la teoría de la medida (las medidas son funciones especiales que calculan las longitudes, las áreas y los volúmenes de los conjuntos). Después de esto fue nombrado profesor asociado, y luego profesor titular en 1927 en la Universidad de Lvov. Además, en 1924 fue seleccionado para integrar la Academia Polaca de Ciencias y Artes.

Banach hizo contribuciones a series y topologías ortogonales. Investigó una versión más general de la diferenciación en los espacios de medida y descubrió resultados clásicos sobre la continuidad absoluta. El teorema de Radon-Nikodym fue estimulado por sus contribuciones en el área de medida e integración. También estableció conexiones entre la existencia de medidas y la teoría axiomática de conjuntos. 

Sin embargo, el análisis funcional fue la contribución más importante de Banach. Poco se había hecho de manera unificada en el análisis funcional: Vito Volterra tenía unos pocos papeles de las décadas de 1890 sobre ecuaciones integrales, y Erik Ivar Fredholm y David Hilbert habían observado espacios lineales. A partir de 1922, Banach investigó los espacios lineales normados con la propiedad de la completitud -ahora llamados espacios de Banach. Aunque algunos otros matemáticos contemporáneos, como Hans Hahn, Maurice René Fréchet, Eduard Helly y Norbert Wiener, desarrollaban simultáneamente conceptos de análisis funcional, ninguno realizaba la tarea tan minuciosamente y sistemáticamente como Banach y sus alumnos. Sus tres resultados fundamentales fueron el teorema sobre la extensión de funcionales lineales continuos (ahora llamado teorema de Hahn-Banach, ya que tanto Banach como Hahn lo demostraron independientemente); el teorema sobre las familias acotadas de mapeos (llamado el teorema de Banach-Steinhaus); y el teorema sobre mapeos lineales continuos de espacios de Banach. Introdujo las nociones de convergencia débil y clausura débil, que se ocupan de la topología de los espacios lineales normados.

Banach y Steinhaus fundaron la revista Studia mathematica, pero Banach se distrajo a menudo de su trabajo científico debido a su escritura de textos para la universidad y la escuela secundaria. De 1939 a 1941 se desempeñó como decano de la facultad de Lvov, y durante este tiempo fue elegido como miembro de la Academia de Ciencias de Ucrania. Sin embargo, la Segunda Guerra Mundial interrumpió su brillante carrera; en 1941 los alemanes ocuparon a Lvov. Durante tres años, Banach se vio obligado a investigar enfermedades infecciosas en un instituto alemán, donde se alimentaba de piojos. Cuando los soviéticos recapturaron Lvov en 1944, Banach regresó a su puesto en la universidad; desafortunadamente, su salud quedó destrozada por las malas condiciones bajo el ejército alemán, y murió el 31 de agosto de 1945.

La obra de Banach se hizo más ampliamente conocida por los matemáticos que trabajaban en el campo del análisis funcional. Su nombre está atado a varios objetos matemáticos y teoremas, demostrando su importancia como uno de los principales fundadores del análisis funcional.

 


Fuente bibliográfica:

  • McElroy, Tucker (2005) A to Z of Mathematicians. Facts On File, Inc.

 

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