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Posts Tagged ‘David Hilbert’

Stefan Banach es conocido como el principal fundador del análisis funcional, el estudio de ciertos espacios de funciones. Él influenció a muchos estudiantes durante su intensa carrera como matemático en investigación, y muchos de los resultados más importantes del análisis funcional llevan su nombre. 

Poco se sabe de la personalidad de Banach, aparte de que era trabajador y dedicado a la matemática. Nacido en Cracovia el 30 de marzo de 1892, hijo de un funcionario ferroviario, Banach fue entregado a una lavandera por sus padres; esta mujer, que se convirtió en su madre adoptiva, lo crió y le dio su apellido, Banach. A la edad de 15 años daba lecciones particulares para apoyar su sustento. Se graduó de la escuela secundaria en 1910. Después de esto se matriculó en el Instituto de Tecnología de Lvov, en Ucrania, pero no se graduó. Cuatro años más tarde regresó a su ciudad natal. Allí conoció al matemático polaco Hugo Steinhaus en 1916. Desde entonces se dedicó a la matemática; parece que ya poseía un amplio conocimiento de la disciplina, y junto con Steinhaus escribió su primer trabajo sobre la convergencia de series de Fourier.

En 1919 Banach fue nombrado profesor en el Instituto de Tecnología de Lvov, donde enseñó matemática y mecánica. En este mismo año recibió su doctorado en matemática, a pesar de que su educación universitaria era incompleta. Su tesis, según se dice, señaló el nacimiento del análisis funcional, tratando acerca  de ecuaciones integrales. En 1922 Banach fue promovido en consideración de un excelente artículo sobre la teoría de la medida (las medidas son funciones especiales que calculan las longitudes, las áreas y los volúmenes de los conjuntos). Después de esto fue nombrado profesor asociado, y luego profesor titular en 1927 en la Universidad de Lvov. Además, en 1924 fue seleccionado para integrar la Academia Polaca de Ciencias y Artes.

Banach hizo contribuciones a series y topologías ortogonales. Investigó una versión más general de la diferenciación en los espacios de medida y descubrió resultados clásicos sobre la continuidad absoluta. El teorema de Radon-Nikodym fue estimulado por sus contribuciones en el área de medida e integración. También estableció conexiones entre la existencia de medidas y la teoría axiomática de conjuntos. 

Sin embargo, el análisis funcional fue la contribución más importante de Banach. Poco se había hecho de manera unificada en el análisis funcional: Vito Volterra tenía unos pocos papeles de las décadas de 1890 sobre ecuaciones integrales, y Erik Ivar Fredholm y David Hilbert habían observado espacios lineales. A partir de 1922, Banach investigó los espacios lineales normados con la propiedad de la completitud -ahora llamados espacios de Banach. Aunque algunos otros matemáticos contemporáneos, como Hans Hahn, Maurice René Fréchet, Eduard Helly y Norbert Wiener, desarrollaban simultáneamente conceptos de análisis funcional, ninguno realizaba la tarea tan minuciosamente y sistemáticamente como Banach y sus alumnos. Sus tres resultados fundamentales fueron el teorema sobre la extensión de funcionales lineales continuos (ahora llamado teorema de Hahn-Banach, ya que tanto Banach como Hahn lo demostraron independientemente); el teorema sobre las familias acotadas de mapeos (llamado el teorema de Banach-Steinhaus); y el teorema sobre mapeos lineales continuos de espacios de Banach. Introdujo las nociones de convergencia débil y clausura débil, que se ocupan de la topología de los espacios lineales normados.

Banach y Steinhaus fundaron la revista Studia mathematica, pero Banach se distrajo a menudo de su trabajo científico debido a su escritura de textos para la universidad y la escuela secundaria. De 1939 a 1941 se desempeñó como decano de la facultad de Lvov, y durante este tiempo fue elegido como miembro de la Academia de Ciencias de Ucrania. Sin embargo, la Segunda Guerra Mundial interrumpió su brillante carrera; en 1941 los alemanes ocuparon a Lvov. Durante tres años, Banach se vio obligado a investigar enfermedades infecciosas en un instituto alemán, donde se alimentaba de piojos. Cuando los soviéticos recapturaron Lvov en 1944, Banach regresó a su puesto en la universidad; desafortunadamente, su salud quedó destrozada por las malas condiciones bajo el ejército alemán, y murió el 31 de agosto de 1945.

La obra de Banach se hizo más ampliamente conocida por los matemáticos que trabajaban en el campo del análisis funcional. Su nombre está atado a varios objetos matemáticos y teoremas, demostrando su importancia como uno de los principales fundadores del análisis funcional.

 


Fuente bibliográfica:

  • McElroy, Tucker (2005) A to Z of Mathematicians. Facts On File, Inc.

 

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En el programa de Hilbert estaba implícita la esperanza de que la noción sintáctica de la demostración captara la noción semántica de la verdad. Kurt Gödel se topó con el sorprendente descubrimiento de que este no era el caso de la teoría de tipos y lenguas relacionadas adecuadas para la aritmética, siempre que se insistan en las siguientes suposiciones:

  1. El conjunto de teoremas (enunciados probables) es efectivamente enumerable, en virtud de la noción de la prueba que es decidible.
  2. El conjunto de afirmaciones verdaderas de la matemática es ω-completo en el siguiente sentido: dada cualquier fórmula φ(x), que contiene una variable libre x de tipo N, la sentencia universal ∀x ε N, φ(x) será verdadera si φ(n) Es verdadera para cada número n.
  3. El lenguaje es consistente.

En realidad, Gödel también hizo una suposición algo más fuerte, que, como el matemático estadounidense John Barkley Rosser más tarde mostró, podía ser reemplazada asumiendo la consistencia. El ingenioso argumento de Gödel se basó en la observación de que las declaraciones sintácticas sobre el lenguaje de la matemática pueden traducirse en declaraciones de la aritmética, por lo tanto, en el lenguaje de la matemática. Fue inspirado en parte por un argumento que supuestamente se remonta a los antiguos griegos y que fue algo como esto: Epiménides dice que todos los cretenses son mentirosos; Epiménides es un cretense; por lo tanto Epiménides es un mentiroso. Bajo los supuestos 1 y 2, Gödel construyó una declaración matemática g que es verdadera pero no demostrable. Si se supone que todos los teoremas son verdaderos, se deduce que ni g ni ¬g es un teorema.

Ningún matemático duda de la suposición 1. Al mirar una supuesta prueba de un teorema, adecuadamente formalizado, es posible para un matemático, o incluso para un ordenador, decir si es una prueba. Al enumerar todas las pruebas en, digamos, orden alfabético, se obtiene una enumeración efectiva de todos los teoremas. Los matemáticos clásicos también aceptan la suposición 2 y, por tanto, de mala gana acuerdan con Gödel que, contrariamente a la expectativa de Hilbert, hay verdaderas declaraciones matemáticas que no son demostrables.

Sin embargo, los intuicionistas moderados podrían sacar una conclusión diferente, porque no están comprometidos con la suposición 2. Para ellos, la verdad de la afirmación universal ∀x ε N, φ(x) sólo puede conocerse si se conoce la verdad de φ(n) para cada número natural n, de manera uniforme. Este no sería el caso, por ejemplo, si la prueba de φ(n) aumenta en dificultad, por lo tanto en longitud, con n. Por lo tanto, los intuicionistas moderados podrían identificar la verdad con la probabilidad y no sentirse molestados por el hecho de que ni g ni ¬g sean verdaderos, ya que en primer lugar no creerían en el principio del tercero excluido.

Los intuicionistas siempre han creído que, para que una declaración sea verdadera, su verdad debe ser cognoscible. Por otra parte, los intuicionistas moderados podrían conceder a los formalistas que decir que una afirmación se sabe que es verdadera es decir que se ha demostrado. Sin embargo, algunos intuicionistas no aceptan el argumento anterior. Al afirmar que la matemática es independiente del lenguaje, los intuicionistas afirmarían que en la demostración metamatemática de Gödel de su teorema de la incompletitud, citar la ω-completitud para establecer la verdad de una declaración universal produce después de todo una prueba uniforme de ésta última.

Gödel se consideraba un platónico, en la medida en que creía en una noción de verdad absoluta. Él tomó por hecho, como hacen muchos matemáticos, que el conjunto de afirmaciones verdaderas es ω-completo. Otros lógicos son más escépticos y quieren reemplazar la noción de verdad por la de la verdad en un modelo. De hecho, el propio Gödel, en su teoría de la integridad, había demostrado que para que un enunciado matemático fuera demostrable es necesario y suficiente que sea cierto en cada modelo. Su teorema de la incompletitud demostró ahora que la verdad en cada modelo ω-completo no es suficiente para la demostración.

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Quizás la contribución más importante a los fundamentos de la matemática hecha por los antiguos griegos fue el método axiomático y la noción de demostración. Esto fue enfatizado en la Academia de Platón y alcanzó su punto más alto en Alejandría alrededor del año 300 a.C. con los Elementos de Euclides. Esta noción sobrevive hoy, excepto por algunos cambios cosméticos.

La idea es ésta: hay una serie de verdades matemáticas básicas, llamadas axiomas o postulados, de las cuales se pueden derivar otras afirmaciones verdaderas en un número finito de pasos. Puede ser necesario un considerable ingenio para descubrir una demostración. Pero ahora se sostiene que debe ser posible comprobar mecánicamente, paso a paso, si una pretendida prueba es realmente correcta, y hoy en día una computadora debe ser capaz de hacer esto. Los enunciados matemáticos que se pueden probar son llamados teoremas, y se deduce que, en principio, un dispositivo mecánico, como un ordenador moderno, puede generar todos los teoremas.

Dos preguntas sobre el método axiomático fueron dejadas sin respuesta por los antiguos: ¿son todas las verdades matemáticas axiomas o teoremas? (esto se conoce como completitud), y ¿se puede determinar mecánicamente si una determinada afirmación es un teorema? (esto se llama decibilidad). Estas preguntas fueron planteadas implícitamente por David Hilbert (1862-1943) alrededor del 1900 y fueron resueltas más tarde por la negativa: la completitud en manos del lógico austro-americano Kurt Gödel (1906-1978) y la decibilidad en manos del lógico estadounidense Alonzo Church (1903-95) .

El trabajo de Euclides se ocupaba de teoría de números y geometría, esencialmente toda la matemática entonces conocida. Desde mediados del siglo XX, un grupo gradualmente cambiante de matemáticos en su mayoría franceses bajo el seudónimo de Nicolas Bourbaki ha tratado de emular a Euclides en la escritura de un nuevo Elementos de Matemática basado en su teoría de las estructuras. Desafortunadamente, apenas esbozaron las nuevas ideas de la teoría de la categoría.

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