Computadoras y demostraciones

Mientras que muchos matemáticos usan computadoras sólo como procesadores de texto y con el propósito de comunicarse, los cálculos asistidos por computadora pueden ser útiles para descubrir potenciales teoremas. Por ejemplo, el teorema del número primo fue sugerido por primera vez como resultado de extensivos cálculos manuales sobre los números primos hasta 3.000.000 por el matemático suizo Leonhard Euler (1707-1783), un proceso que habría sido grandemente facilitado por la disponibilidad de una moderna computadora. Las computadoras también pueden ser útiles para completar demostraciones cuando hay un gran número de casos a considerar. La reconocida demostración asistida por ordenador del teorema de la cartografía de los cuatro colores por los matemáticos estadounidenses Kenneth Appel (1932) y Wolfgang Haken (1928) va incluso más allá, ya que el ordenador ayudó a determinar qué casos se debían considerar en el siguiente paso de la demostración. Sin embargo, en principio, no se puede pedir a las computadoras que descubran demostraciones, excepto en áreas muy restringidas de la matemática -como la geometría elemental euclidiana- donde el conjunto de teoremas pasa a ser recursivo, como lo demostró Tarski.

Leonhard Euler

Kenneth Appel y Wolfgang Haken

Como resultado de investigaciones anteriores de Alan Turing, Alonzo Church y del matemático estadounidense Haskell Brooks Curry (1900-1982) y otros, la informática se ha convertido en una rama de la matemática. Así, en la informática teórica, los objetos de estudio no son sólo los teoremas, sino también sus demostraciones, así como cálculos, programas y algoritmos. La informática teórica resulta tener una estrecha relación con la teoría de categorías.

Haskell Brooks Curry

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El método axiomático

Quizás la contribución más importante a los fundamentos de la matemática hecha por los antiguos griegos fue el método axiomático y la noción de demostración. Esto fue enfatizado en la Academia de Platón y alcanzó su punto más alto en Alejandría alrededor del año 300 a.C. con los Elementos de Euclides. Esta noción sobrevive hoy, excepto por algunos cambios cosméticos.

La idea es ésta: hay una serie de verdades matemáticas básicas, llamadas axiomas o postulados, de las cuales se pueden derivar otras afirmaciones verdaderas en un número finito de pasos. Puede ser necesario un considerable ingenio para descubrir una demostración. Pero ahora se sostiene que debe ser posible comprobar mecánicamente, paso a paso, si una pretendida prueba es realmente correcta, y hoy en día una computadora debe ser capaz de hacer esto. Los enunciados matemáticos que se pueden probar son llamados teoremas, y se deduce que, en principio, un dispositivo mecánico, como un ordenador moderno, puede generar todos los teoremas.

Dos preguntas sobre el método axiomático fueron dejadas sin respuesta por los antiguos: ¿son todas las verdades matemáticas axiomas o teoremas? (esto se conoce como completitud), y ¿se puede determinar mecánicamente si una determinada afirmación es un teorema? (esto se llama decibilidad). Estas preguntas fueron planteadas implícitamente por David Hilbert (1862-1943) alrededor del 1900 y fueron resueltas más tarde por la negativa: la completitud en manos del lógico austro-americano Kurt Gödel (1906-1978) y la decibilidad en manos del lógico estadounidense Alonzo Church (1903-95) .

El trabajo de Euclides se ocupaba de teoría de números y geometría, esencialmente toda la matemática entonces conocida. Desde mediados del siglo XX, un grupo gradualmente cambiante de matemáticos en su mayoría franceses bajo el seudónimo de Nicolas Bourbaki ha tratado de emular a Euclides en la escritura de un nuevo Elementos de Matemática basado en su teoría de las estructuras. Desafortunadamente, apenas esbozaron las nuevas ideas de la teoría de la categoría.

 

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Inducción matemática

En la entrada anterior me referí en general y de manera muy escueta a la demostración en matemática (a pesar de recomendar un buen texto referido al tema), y hablé de la Demostración por Contradicción y de la Demostración Directa. Otro método bastante conocido es el de Demostración por Inducción, y este es el eje de lo que sigue.

La inducción se utiliza en conjunción con los números naturales (o a veces con el conjunto ). El principio fundamental detrás de la inducción es que si es un subconjunto de con la propiedad de que

• contiene al y
• siempre que contiene a un número natural , también contiene a ,

entonces debe ser que . Como el siguiente ejemplo ilustra, este principio se puede utilizar para definir sucesiones de objetos así como para probar hechos acerca de ellos.

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Ejemplo. Sea , y para cada definimos

Usando esta regla, podemos calcular , , y es inmediatamente evidente cómo esto lleva a una definición de para todo .

La sucesión que hemos definido parece al principio ir en aumento. Para los términos calculados, tenemos . Vamos a usar inducción para demostrar que esta tendencia continúa; es decir, vamos a demostrar que

para todos los valores de .

Para , y , de modo que es claro que . Ahora queremos demostrar que

si tenemos que , entonces se sigue que .

Pensemos en como el conjunto de los números naturales para los cuales la afirmación en la ecuación  es cierta. Hemos demostrado que . Ahora estamos interesados en demostrar que si , entonces también . Partiendo de la hipótesis inductiva , podemos multiplicar ambos miembros de la desigualdad por y sumar para obtener

que es precisamente la conclusión deseada . Por inducción, la afirmación se prueba para todo .

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Cualquier discusión acerca de por qué la inducción es una técnica argumentativa válida inmediatamente abre una caja de preguntas acerca de cómo entendemos a los números naturales. Anteriormente, cuando hablamos de la irracionalidad de la raíz cuadrada de dos, evitamos este problema haciendo referencia a la famosa observación de Kronecker respecto de que los números naturales se dan de alguna manera divina. Aunque no vamos a mejorar esta explicación aquí, hay que señalar que es posible un enfoque más ateo y matemáticamente satisfactorio de desde el punto de vista de la teoría axiomática de conjuntos. Esto nos lleva de nuevo a un tema recurrente de discusión matemática. Pedagógicamente hablando, los fundamentos de la matemática se aprenden mejor y se aprecian en una especie de orden inverso. Un estudio riguroso de los números naturales y la teoría de conjuntos es sin duda recomendable, pero sólo después de tener una comprensión de las sutilezas del sistema de los números reales.

Para cerrar esta entrada es interesante observar una imagen muy intuitiva de la inducción matemática en el primer segmento del siguiente episodio del programa Alterados por Pi, conducido por el Dr. Adrian Paenza.

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Referencias bibliográficas:

• Abbott, Stephen (2010) Understanding Analysis. Springer.

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