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Posts Tagged ‘Ecuaciones cuadráticas’

La investigación parece haberse reanudado en el siglo XI en China con la reedición de los “Diez clásicos” y la producción de nuevos comentarios. En este contexto se produjeron nuevos desarrollos en ramas de la matemática que habían sido exploradas al menos desde Los Nueve Capítulos, lo que atestigua una continuidad de la práctica matemática.

Uno de los desarrollos más notables consideró la extracción de la raíz. En el siglo XI, se dice que Jia Xian dio un algoritmo para encontrar una raíz cuarta usando un método similar al ahora conocido como método de Ruffini-Horner. El algoritmo de Jia operaba sobre una columna de filas configurada sobre la superficie de conteo de tal manera que todavía implicaba una notación posicional para las ecuaciones subyacentes. Los valores intermedios obtenidos en cada fila (en realidad, los coeficientes de las ecuaciones subyacentes) resultaban de operaciones que involucraban sólo los números situados en las filas siguientes. Una vez más, el algoritmo hizo uso de la configuración dada a este conjunto de números de una manera esencial. Además, los procedimientos utilizados para calcular los números sucesivos en cualquier fila eran todos iguales. El nuevo algoritmo destacó que las filas experimentan las mismas transformaciones a lo largo del procedimiento, lo que indica un interés continuo en la homogeneidad de las operaciones por filas en las descripciones de extracción de raíz cuadrada y cúbica. Como consecuencia, la división, la extracción de la raíz cuadrada y la extracción de la raíz cúbica parecían ser casos particulares de la misma operación general, que también cubría la extracción de las raíces n-ésimas. De hecho, sólo el número de filas en las que funcionaba el algoritmo determinaba la naturaleza de la operación: tres filas para una raíz cuadrada, cuatro filas para una raíz cúbica, y así sucesivamente.

Más generalmente, la investigación sobre la solución de ecuaciones también reanudó y reveló que el mismo algoritmo básico podía extenderse para encontrar una raíz de cualquier ecuación algebraica. El primer paso documentado en esta dirección, por el erudito del siglo XI o XII, Liu Yi, fue encontrar raíces de ecuaciones cuadráticas con coeficientes positivos o negativos. Los coeficientes, cualquiera que sea su signo, eran introducidos en la tabla para la extracción de raíz, y el algoritmo de raíz cuadrada era  adaptado a cada situación.

Más tarde, el Shushu jiuzhang de Qin Jiushao (1247, “Tratado Matemático en Nueve Capítulos”) atestiguó el uso de un algoritmo que extiende el procedimiento de Jia Xian para encontrar “la” raíz de cualquier ecuación. (La mayoría de los matemáticos chinos todavía se aferraba a la idea de que una ecuación tenía sólo una solución adecuada.) En ese momento, las ecuaciones generales de cualquier grado se utilizaron y fueron representadas por una notación posicional. Esto parece indicar que fue la lenta evolución de los algoritmos de extracción de raíces y su comparación lo que produjo un concepto completamente desarrollado de ecuación. Métodos similares (con una notación ligeramente diferente) eran bien conocidos por Li Ye, y su Ceyuan haijing (“Espejo Marino de Mediciones del Círculo”), escrito sólo un año después de que Qin completara su libro, toma la búsqueda de la raíz de las ecuaciones como sabida. Li vivía en el norte de China, mientras que Qin vivía en el sur, y se cree que ha trabajado sin conocer los logros de Qin. Por lo tanto, es muy probable que estos métodos fueran bien conocidos antes de mediados del siglo XIII.

En paralelo al algoritmo de Jia Xian descrito anteriormente, se desarrolló otro método para determinar una raíz n-ésima o encontrar la raíz de una ecuación de cualquier grado, usando los coeficientes de lo que ahora se llama triángulo de Pascal y la misma representación posicional.

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El método sexagesimal desarrollado por los babilonios tiene un potencial mucho mayor de cálculo que lo que realmente se necesita para los antiguos textos de problemas. Sin embargo, con el desarrollo de la astronomía matemática en el período seléucida se hizo indispensable. Los astrónomos trataron de predecir futuras apariciones de fenómenos importantes, como los eclipses lunares y los puntos críticos en los ciclos planetarios (conjunciones, oposiciones, puntos estacionarios y primera y última visibilidad). Idearon una técnica para el cálculo de estas posiciones (expresadas en términos de grados de latitud y longitud, medidas con relación a la trayectoria del movimiento anual aparente del Sol) por sumas sucesivas de términos apropiados en progresión aritmética. Los resultados se organizaron luego en una tabla que lista las posiciones con la antelación que el escriba elegía. (Aunque el método es puramente aritmético, se puede interpretar gráficamente: los valores tabulados forman una aproximación lineal “zig-zag” a lo que es en realidad una variación sinusoidal.) Si bien se requerían observaciones que se extienden durante siglos para encontrar los parámetros necesarios (por ejemplo, períodos, rango angular entre valores máximos y mínimos y similares), sólo el aparato computacional a su disposición hizo posible la previsión de los astrónomos.

 Dentro de un tiempo relativamente corto (quizás un siglo o menos) los elementos de este sistema llegaron a manos de los griegos. Aunque Hiparco (siglo II  a.C.) favoreció el enfoque geométrico de sus predecesores griegos, se hizo cargo de los parámetros de los mesopotámicos y adoptó su estilo de cálculo sexagesimal. A través de los griegos pasó a los científicos árabes durante la Edad Media y de allí a Europa, donde permaneció prominente en la astronomía matemática durante el Renacimiento y la Edad Moderna. Al día de hoy persiste en el uso de los minutos y los segundos para medir el tiempo y los ángulos.

Aspectos de la matemática babilónica antigua pueden haber llegado a los griegos incluso antes, tal vez en el siglo V a.C., durante el período formativo de la geometría griega. Hay una serie de paralelismos que los estudiosos han observado: por ejemplo, la técnica griega de la “aplicación de áreas” correspondía a los métodos cuadráticos de Babilonia (aunque en una forma geométrica, no aritmética). Además, la regla babilónica para calcular raíces cuadradas fue ampliamente utilizada en los cálculos geométricos griegos, y también puede haber habido algunos matices compartidos de la terminología técnica. Aunque los detalles del momento y la manera de una tal transmisión son oscuros debido a la ausencia de documentación explícita, parece que la matemática occidental, derivada fundamentalmente de los griegos, está considerablemente endeudada con la matemática mesopotámica antigua.

 

 

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En una tablilla de Babilonia ahora en Berlín, la diagonal de un rectángulo de lados 40 y 10 se resuelve como 40+10^{2}/(2\times 40). Aquí se utiliza una regla de aproximación muy eficaz (que la raíz cuadrada de la suma a^{2}+b^{2} puede ser estimada como a+b^{2}/2a), la misma regla que se encuentra con frecuencia en escritos geométricos griegos posteriores. Estos dos ejemplos ilustran cómo los babilonios se acercaron a raíces aritméticas desde la geometría. También muestran que los babilonios eran conscientes de la relación entre la hipotenusa y los dos catetos de un triángulo rectángulo (ahora comúnmente conocida como teorema de Pitágoras) más de mil años antes de que los griegos la utilizaron.

Un tipo de problema que aparece con frecuencia en las tablillas babilónicas es el de buscar la base y la altura de un rectángulo, cuando su producto y su suma son valores especificados. A partir de la información proporcionada, el escriba obtenía la diferencia, ya que (b-h)^{2}=(b+h)^{2}-4bh. De la misma manera, si se dan el producto y la diferencia, se puede determinar la suma. Y una vez que se conocen tanto la suma como la diferencia, cada lado se puede determinar por 2b=(b+h)+(b-h) y 2h=(b+h)-(b-h). Este procedimiento es equivalente a una solución de la ecuación cuadrática general en una variable. En algunos lugares, sin embargo, los escribas babilónicos resolvieron problemas cuadráticos en términos de una sola incógnita, al igual que ahora se hace por medio de la fórmula cuadrática.

Aunque estos procedimientos cuadráticos babilónicos a menudo se han descrito como la primera aparición del álgebra, hay diferencias importantes. Los escribas carecían de un simbolismo algebraico. A pesar de que sin duda deben haber comprendido que sus procedimientos de solución eran generales, siempre los presentan en términos de casos particulares, en lugar de como un trabajo mediante fórmulas generales e identidades. De este modo, carecían de los medios para presentar derivaciones generales y demostraciones de sus procedimientos de solución.

 Como se mencionó, los escribas babilonios sabían que la base (b), la altura (h) y la diagonal (d) de un rectángulo satisfacen la relación b^{2}+h^{2}=d^{2}. Si uno selecciona los valores al azar para dos de los términos, el tercero será normalmente irracional, pero es posible encontrar casos en los que los tres términos son números enteros: por ejemplo, 3, 4, 5 y 5, 12, 13. ( Este tipo de soluciones se denominan a veces ternas pitagóricas.) Una tablilla de la Colección de la Universidad de Columbia, conocida como Plimpton 322, presenta una lista de 15 de estas ternas.

Los estudiosos aún debaten sobre los matices de la construcción y el uso previsto para esta tablilla, pero nadie pone en duda el alto nivel de conocimientos implícitos en ella.

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