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Posts Tagged ‘Eratóstenes de Cirene’

Pappus de Alejandría es el último de los grandes matemáticos griegos. Se le conoce principalmente por considerar ciertas preguntas geométricas que florecieron en el campo de la geometría proyectiva. Prácticamente nada se sabe de su vida personal. 

Pappus nació aproximadamente en el año 290 en Alejandría, Egipto. Las fuentes antiguas que describen las fechas de su actividad están en conflicto, pero el consenso de los estudiosos indica que estuvo activo desde 284 hasta 305, durante el reinado del emperador Diocleciano. Sin embargo, esto también puede ser demasiado temprano, ya que ahora se sabe que el Almagesto de Pappus se escribió después del año 320. Se calcula que su muerte ocurrió alrededor del 350 en Alejandría.

Al parecer, Pappus vivió en Alejandría toda su vida. Tenía una familia, ya que dedica uno de sus libros a su hijo Hermodorus. También habla sobre su amigo filósofo Heirius, y parece que Pappus dirigió una escuela en Alejandría.

El principal trabajo de Pappus sobre geometría se llama Colección matemática y se cree que fue escrito alrededor del año 340. Un manual de geometría diseñado para reavivar el interés en las obras clásicas, este volumen se divide en varios libros. El libro I, sobre aritmética está perdido, y el libro II trata la notación de Apolonio de Perga para expresar grandes números. El libro II analiza los medios armónicos, geométricos y aritméticos y las construcciones que los acompañan, así como algunas paradojas geométricas. En el Libro IV, Pappus trata algunas curvas especiales, como la espiral y la cuadratriz. Divide problemas geométricos en problemas planos, sólidos y lineales. El libro V describe la construcción de panales por abejas y la optimalidad del círculo para encerrar el área máxima con un perímetro mínimo. Revisa los 13 sólidos semirregulares de Arquímedes de Siracusa y demuestra los resultados que relacionan el área de la superficie y el volumen para varios tipos de sólidos. El libro VI considera el campo de la astronomía, repasando las obras de Euclides de Alejandría, Eratóstenes de Cirene y Apolonio.

El libro VII contiene el “Tesoro del análisis”, en el que Pappus expone el método de análisis y síntesis que se encuentra en las obras clásicas de Euclides y otros. Describe el análisis como un desglose de un problema en problemas más simples y relacionados; estos luego se sintetizan en la solución final. Este método de pensamiento fue distintivamente griego, y más tarde fue dominado por los matemáticos europeos que estudiaron los clásicos. Pappus también presenta el llamado problema de Pappus, que ha influido enormemente en la evolución de la geometría; René Descartes y Sir Isaac Newton, analizaron más adelante este tema de la geometría. El libro VIII trata la mecánica, que Pappus define como el estudio del movimiento y la fuerza. El trabajo en su conjunto demuestra el dominio de Pappus de muchas ciencias matemáticas, y su exposición es bastante buena.

Además de su Colección matemática, Pappus escribió varios comentarios de calidad variable, incluidos aquellos sobre el Almagesto de Claudio Ptolomeo y los Elementos de Euclides. Pappus también escribió un trabajo sobre geografía, y bien pudo haber escrito sobre música e hidrostática, pero las fuentes originales no han sobrevivido. 

Pappus fue influyente en los matemáticos europeos posteriores, ya que dio una visión perspicaz de todas las obras matemáticas griegas más antiguas. Después de leer a Pappus, un matemático podría rastrear las fuentes originales de grandes matemáticos como Euclides y Arquímedes. Sus propios descubrimientos matemáticos parecen limitados, aunque el problema de Pappus puede verse como la base de la geometría proyectiva.

 


Fuente bibliográfica:

  • McElroy, Tucker (2005) A to Z of Mathematicians. Facts On File, Inc.

 

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Leonardo da Vinci es una de las personas más famosas de la época medieval. Artista, ingeniero y científico, era diverso y profético. Hizo importantes contribuciones al arte, la anatomía, la tecnología, la mecánica, la geología y la matemática. 

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Leonardo da Vinci nació el 15 de abril de 1452 en Empolia, Italia. Era el hijo ilegítimo de Piero da Vinci, un ciudadano florentino. Su madre era una niña campesina llamada Caterina. El padre de Leonardo pronto se casó con una respetable mujer italiana, Albiera di Giovanni Amadori. Leonardo recibió una educación rudimentaria, y mostró su talento para la música y el arte a una edad temprana. En 1467 fue aprendiz de Andrea del Verrocchio, con quien estudió pintura, escultura y mecánica. 

Leonardo completó algunas de sus primeras pinturas durante este tiempo, incluido el Bautismo de Cristo.

En 1482 partió para trabajar para el duque de Milán; en ese momento él ya era un experto en arquitectura, pintura y escultura, así como en ingeniería militar. Permaneció en Milán hasta 1499, tiempo durante el cual se interesó más en la física y la mecánica y en las propiedades de la luz. También aumentó su escasa educación matemática, estudiando latín y geometría al mismo tiempo. 

Leonardo formuló su teoría de la supremacía de la pintura sobre los principios matemáticos de la proporción y la perspectiva. Su interés en la proporción lo llevó a realizar más investigaciones en física y matemática. Algunos de sus primeros trabajos en matemática fueron bastante erróneos, ya que no tenía una comprensión adecuada del cálculo aritmético; un ejemplo es su afirmación de que la fracción 2/2 es la raíz cuadrada de 2, ya que afirma falsamente que 2/2 por 2/2 es 4/2. 

Sus otros proyectos durante el tiempo en Milán incluyen la física de la luz, la física de la visión y el problema del vuelo mecánico. Colaboró con el matemático Pacioli en la Divina proporción. Es probable que Leonardo haya leído los Elementos de Euclides de Alejandría antes de hacer los dibujos de este libro. Los cuadernos de Leonardo contienen pruebas de varias proposiciones en los Elementos, y es probable que su amigo Pacioli lo haya alentado y lo haya ayudado en su estudio de Euclides. 

Leonardo partió para Venecia después de que los franceses capturaron al duque de Milán, y más tarde regresó a Florencia. Sirvió brevemente con Cesare Borgia como ingeniero militar, y más tarde completó su famosa Mona Lisa.

De 1500 a 1506 realizó una investigación sobre anatomía humana y dedicó una mayor parte de su tiempo a la matemática y la mecánica. Después de completar su estudio de Euclides (Leonardo estaba especialmente interesado en el tratamiento de la proporción en el Libro X de los Elementos), comenzó su propia investigación sobre la equiparación. Estaba interesado principalmente en la cuadratura de las superficies curvilíneas (transformando estas regiones curvas en cuadrados con la misma área), aunque su método de prueba era a menudo mecánico más que estrictamente geométrico. Leonardo propuso varios métodos para cuadrar el círculo; estaba familiarizado con el método de Arquímedes  de Siracusa, pero rechazó la aproximación del número pi de este último por 22/7. Intentó mejorar la aproximación al inscribir un polígono de 96 lados en el círculo. 

Animado por su supuesto descubrimiento de la cuadratura del círculo el 30 de noviembre de 1504, realizó una investigación similar sobre duplicar cuadrados y cuadruplicar círculos. También se interesó en la duplicación del cubo (problema que ya había sido resuelto por Eratóstenes de Cirene hace siglos), insatisfecho por una solución reciente dada por Valla. Eventualmente, Leonardo concibió una solución que eliminó la necesidad de un aparato mecánico, y de ese modo pudo obtener aproximaciones extremadamente precisas para la raíz cúbica de dos. Sin embargo, no pudo proporcionar una prueba rigurosa de su método. 

Muchos de sus escritos matemáticos están incluidos en el Codex Atlanticus. Leonardo continuó investigando las propiedades de las superficies curvilíneas, como las porciones que quedan entre un círculo y un cuadrado o hexágono inscrito. También exploró la posibilidad del vuelo humano mediante el estudio de la anatomía de las aves, así como el movimiento del agua.

En 1506 regresó a Milán, donde sirvió bajo el mando del gobernador francés. En este último período de su vida, produjo algunos de sus mejores dibujos anatómicos, y sus esfuerzos científicos se extendieron a la hidrología, la geología, la meteorología, la biología y la fisiología humana. En todas estas áreas, sintió que la matemática tenía las claves del conocimiento y trató de formular leyes geométricas para estas disciplinas. Los franceses fueron expulsados ​​en 1513, y Leonardo se fue a Roma, esperando encontrar trabajo con el Papa León X; esto no se materializó, y volvió al servicio de Francia en 1516, trabajando con Francisco I. Sufrió un derrame cerebral en Amboise y murió el 2 de mayo de 1519.  

El enfoque de Leonardo para el estudio de la naturaleza no puede considerarse científico en el sentido moderno. Creía en la importancia de la investigación empírica, pero muchas de sus ideas eran puramente especulativas, sin un razonamiento sólido detrás de ellas. Por supuesto, muchos de sus conceptos fueron contribuciones brillantes también. En matemática, parece haber sido un aficionado. Ciertamente hizo algunos descubrimientos valiosos, y respetó profundamente el papel de la matemática en la investigación de la naturaleza. Pero muchas de sus obras tenían fallas profundas, y su enfoque de las pruebas era más típico de su identidad como artista. Además, sus trabajos matemáticos no han influido en el progreso posterior del pensamiento matemático. Su investigación geométrica sobre áreas curvilíneas desarrolló un aspecto del trabajo de Euclides, pero sus escritos no eran muy conocidos en su época y, por lo tanto, no ejercieron influencia sobre otros pensadores matemáticos.

 


Fuente bibliográfica:

  • McElroy, Tucker (2005) A to Z of Mathematicians. Facts On File, Inc.

 

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Hipócrates de Quíos fue un matemático griego que hizo contribuciones al problema de la duplicación del cubo, la cuadratura de las lúnulas y los elementos de la geometría. De hecho, fue el primero en componer un Elements of Geometry, aunque la versión de Hipócrates no alcanzó la fama y el renombre de la obra del mismo nombre de Euclides de Alejandría

Al igual que con la mayoría de las personas de la antigüedad, las fechas específicas de su nacimiento y muerte son desconocidas, aunque los estudiosos han sido capaces de identificar su actividad en la última parte del siglo V a.C. No debe confundirse con el médico Hipócrates de Cos, nuestro Hipócrates nació en la isla de Quíos en el Mar Egeo. Según se informa, Hipócrates de Quíos era un comerciante cuya riqueza fue arrebatada por piratas. Persiguió a sus enemigos hasta Atenas, donde pasó la mayor parte del resto de su vida. 

En Atenas, Hipócrates asistió a conferencias, llegando a dominar la geometría y el análisis. Es probable que Hipócrates ya poseyera alguna educación matemática, ya que había una escuela floreciente en Quíos; es posible que al comienzo de su vida, Hipócrates cayera bajo la influencia de los pitagóricos, que tenían su base en las cercanías de Samos. Tres problemas matemáticos -la duplicación del cubo, la cuadratura del círculo y la trisección de un ángulo- llamaron la atención de los atenienses, e Hipócrates estudió los dos primeros. 

El método del análisis se refiere al proceso de reducir un problema en partes más pequeñas que pueden ser más fáciles de resolver. Hipócrates aplicó el método del análisis a la duplicación del cubo. Este famoso problema equivalía a encontrar una construcción geométrica para la raíz cúbica de 2; Hipócrates redujo esto a la tarea de encontrar dos medias proporcionales x e y entre los números a y 2a, donde a es el lado dado del cubo. Eratóstenes de Cirene completó posteriormente la solución al demostrar cómo resolver esta relación geométricamente. 

Las lúnulas son formas similares a una luna creciente. Los matemáticos griegos intentaron encontrar el área dentro de una lúnula determinada inscribiendo y circunscribiendo varias formas con áreas conocidas, un método conocido como cuadratura. Hipócrates logró cuadrar la lúnula (es decir, fue capaz de construir una figura rectangular con un área igual a la contenida dentro de ciertas lúnulas dadas), aunque no pudo cuadrar el círculo (es imposible, ya que el número pi no puede ser expresado en términos de números algebraicos). Algunos comentaristas antiguos atribuyeron erróneamente la última afirmación (que él fue capaz de cuadrar el círculo) a Hipócrates, pero Hipócrates era un matemático talentoso, y es poco probable que pudiera haber cometido tal falacia. 

Hipócrates conocía varias propiedades de los triángulos, como el teorema de Pitágoras y varias relaciones entre los ángulos. Es probable que los Elementos de Geometría de Hipócrates contuvieran ese conocimiento, cubriendo gran parte de los primeros dos libros de los Elementos de Euclides. Hipócrates también estaba familiarizado con la geometría del círculo. Por ejemplo, sabía cómo circunscribir un círculo sobre un triángulo dado, y estaba familiarizado con los ángulos dentro del círculo. Se conjetura que los Elementos de Hipócrates también contenían algo de geometría sólida, aunque desconocía la teoría de la proporción encontrada en el Libro V de los Elementos de Euclides. 

Hipócrates fue probablemente el primero en articular el teorema que relaciona el radio de un círculo con su circunferencia, aunque esto no se demostró hasta más tarde. Además de estos trabajos matemáticos, contribuyó a la astronomía a través de sus especulaciones sobre la naturaleza del cometa. 

El trabajo de Hipócrates se ha perdido debido a los estragos del tiempo, y sus logros se han reconstruido a partir de fuentes secundarias. De estas, es claro que Hipócrates no solo fue un intelectual destacado de su tiempo y uno de los matemáticos más grandes de Atenas, lo que ayudó a convertir esa ciudad en un centro de aprendizaje, sino que también contribuyó a las matemáticas griegas, cuyo trabajo perdurable estimuló a sus sucesores. 

 


Fuente bibliográfica:

  • McElroy, Tucker (2005) A to Z of Mathematicians. Facts On File, Inc.

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