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Posts Tagged ‘Euclides’

Leonardo da Vinci es una de las personas más famosas de la época medieval. Artista, ingeniero y científico, era diverso y profético. Hizo importantes contribuciones al arte, la anatomía, la tecnología, la mecánica, la geología y la matemática. 

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Leonardo da Vinci nació el 15 de abril de 1452 en Empolia, Italia. Era el hijo ilegítimo de Piero da Vinci, un ciudadano florentino. Su madre era una niña campesina llamada Caterina. El padre de Leonardo pronto se casó con una respetable mujer italiana, Albiera di Giovanni Amadori. Leonardo recibió una educación rudimentaria, y mostró su talento para la música y el arte a una edad temprana. En 1467 fue aprendiz de Andrea del Verrocchio, con quien estudió pintura, escultura y mecánica. 

Leonardo completó algunas de sus primeras pinturas durante este tiempo, incluido el Bautismo de Cristo.

En 1482 partió para trabajar para el duque de Milán; en ese momento él ya era un experto en arquitectura, pintura y escultura, así como en ingeniería militar. Permaneció en Milán hasta 1499, tiempo durante el cual se interesó más en la física y la mecánica y en las propiedades de la luz. También aumentó su escasa educación matemática, estudiando latín y geometría al mismo tiempo. 

Leonardo formuló su teoría de la supremacía de la pintura sobre los principios matemáticos de la proporción y la perspectiva. Su interés en la proporción lo llevó a realizar más investigaciones en física y matemática. Algunos de sus primeros trabajos en matemática fueron bastante erróneos, ya que no tenía una comprensión adecuada del cálculo aritmético; un ejemplo es su afirmación de que la fracción 2/2 es la raíz cuadrada de 2, ya que afirma falsamente que 2/2 por 2/2 es 4/2. 

Sus otros proyectos durante el tiempo en Milán incluyen la física de la luz, la física de la visión y el problema del vuelo mecánico. Colaboró con el matemático Pacioli en la Divina proporción. Es probable que Leonardo haya leído los Elementos de Euclides de Alejandría antes de hacer los dibujos de este libro. Los cuadernos de Leonardo contienen pruebas de varias proposiciones en los Elementos, y es probable que su amigo Pacioli lo haya alentado y lo haya ayudado en su estudio de Euclides. 

Leonardo partió para Venecia después de que los franceses capturaron al duque de Milán, y más tarde regresó a Florencia. Sirvió brevemente con Cesare Borgia como ingeniero militar, y más tarde completó su famosa Mona Lisa.

De 1500 a 1506 realizó una investigación sobre anatomía humana y dedicó una mayor parte de su tiempo a la matemática y la mecánica. Después de completar su estudio de Euclides (Leonardo estaba especialmente interesado en el tratamiento de la proporción en el Libro X de los Elementos), comenzó su propia investigación sobre la equiparación. Estaba interesado principalmente en la cuadratura de las superficies curvilíneas (transformando estas regiones curvas en cuadrados con la misma área), aunque su método de prueba era a menudo mecánico más que estrictamente geométrico. Leonardo propuso varios métodos para cuadrar el círculo; estaba familiarizado con el método de Arquímedes  de Siracusa, pero rechazó la aproximación del número pi de este último por 22/7. Intentó mejorar la aproximación al inscribir un polígono de 96 lados en el círculo. 

Animado por su supuesto descubrimiento de la cuadratura del círculo el 30 de noviembre de 1504, realizó una investigación similar sobre duplicar cuadrados y cuadruplicar círculos. También se interesó en la duplicación del cubo (problema que ya había sido resuelto por Eratóstenes de Cirene hace siglos), insatisfecho por una solución reciente dada por Valla. Eventualmente, Leonardo concibió una solución que eliminó la necesidad de un aparato mecánico, y de ese modo pudo obtener aproximaciones extremadamente precisas para la raíz cúbica de dos. Sin embargo, no pudo proporcionar una prueba rigurosa de su método. 

Muchos de sus escritos matemáticos están incluidos en el Codex Atlanticus. Leonardo continuó investigando las propiedades de las superficies curvilíneas, como las porciones que quedan entre un círculo y un cuadrado o hexágono inscrito. También exploró la posibilidad del vuelo humano mediante el estudio de la anatomía de las aves, así como el movimiento del agua.

En 1506 regresó a Milán, donde sirvió bajo el mando del gobernador francés. En este último período de su vida, produjo algunos de sus mejores dibujos anatómicos, y sus esfuerzos científicos se extendieron a la hidrología, la geología, la meteorología, la biología y la fisiología humana. En todas estas áreas, sintió que la matemática tenía las claves del conocimiento y trató de formular leyes geométricas para estas disciplinas. Los franceses fueron expulsados ​​en 1513, y Leonardo se fue a Roma, esperando encontrar trabajo con el Papa León X; esto no se materializó, y volvió al servicio de Francia en 1516, trabajando con Francisco I. Sufrió un derrame cerebral en Amboise y murió el 2 de mayo de 1519.  

El enfoque de Leonardo para el estudio de la naturaleza no puede considerarse científico en el sentido moderno. Creía en la importancia de la investigación empírica, pero muchas de sus ideas eran puramente especulativas, sin un razonamiento sólido detrás de ellas. Por supuesto, muchos de sus conceptos fueron contribuciones brillantes también. En matemática, parece haber sido un aficionado. Ciertamente hizo algunos descubrimientos valiosos, y respetó profundamente el papel de la matemática en la investigación de la naturaleza. Pero muchas de sus obras tenían fallas profundas, y su enfoque de las pruebas era más típico de su identidad como artista. Además, sus trabajos matemáticos no han influido en el progreso posterior del pensamiento matemático. Su investigación geométrica sobre áreas curvilíneas desarrolló un aspecto del trabajo de Euclides, pero sus escritos no eran muy conocidos en su época y, por lo tanto, no ejercieron influencia sobre otros pensadores matemáticos.

 


Fuente bibliográfica:

  • McElroy, Tucker (2005) A to Z of Mathematicians. Facts On File, Inc.

 

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Al-Khwarizmi es un árabe importante en la historia de la matemática de Oriente Medio, ya que desempeñó un papel en la transmisión del conocimiento hindú a Arabia, desde donde se abrió camino a Europa. Su desarrollo del álgebra, aunque rudimentario, fue una base importante para matemáticos posteriores como al-Karaji

La vida de al-Khwarizmi es bastante oscura, pero probablemente nació poco antes del año 800 en Qutrubbull, un distrito entre los ríos Tigris y Éufrates cerca de Bagdad. Bajo el reinado del califa al-Mamun de 813 a 833, al-Khwarizmi se convirtió en miembro de la Casa de la Sabiduría, una academia de científicos en Bagdad. Al-Khwarizmi escribió libros que trataban sobre astronomía, álgebra, números hindúes, calendario judío, geografía e historia. 

Su Algebra fue un trabajo elemental, diseñado para proporcionar ayuda práctica con cálculos comunes utilizados en el comercio. La primera parte se ocupa de la solución de las ecuaciones algebraicas reales, mientras que la segunda y tercera secciones tratan la medición y aplicaciones. Al-Khwarizmi da seis tipos básicos de ecuaciones que incluyen ecuaciones lineales y cuadráticas en una variable. En esta etapa no hay noción de cero o número negativo, y una parte sustancial de las técnicas se refiere a la eliminación de cantidades negativas. De hecho, la palabra álgebra proviene de al-jabr, que significa “restauración”. Esto se refiere a la operación de agregar una cantidad positiva a ambos lados de una ecuación para eliminar una cantidad negativa. También se usa una operación similar llamada balanceo. El nombre completo del libro es The Compendious Book on Calculation by Completion and Balancing. Además de estas reglas básicas, el autor proporcionó información sobre cómo encontrar el área de varias figuras planas, como triángulos y círculos, así como el volumen de sólidos como el cono y la pirámide. 

Se cree que el Álgebra de Al-Khwarizmi es el primer trabajo árabe sobre el tema. Existe cierta controversia entre los estudiosos acerca de si obtuvo su información de fuentes griegas o hindúes. Su uso de diagramas indica que puede haber estado familiarizado con los Elementos de Euclides de Alejandría

El tratado de Al-Khwarizmi sobre los números hindúes también es bastante importante para la historia de la matemática, ya que es uno de los primeros trabajos en exponer el sistema numérico superior de los hindúes. Este es esencialmente el sistema moderno, que involucra 10 símbolos numéricos en un sistema posicional. Se les llama erróneamente “números arábigos”, ya que llegaron a los europeos a través de los árabes. Es probable que el sistema numérico hindú ya haya sido introducido a los árabes, pero al-Khwarizmi fue el primero en presentar una exposición sistemática. 

Además de estos trabajos matemáticos, al-Khwarizmi compuso un trabajo sobre astronomía que se derivó del conocimiento de los hindúes. Su Geografía fue una mejora con respecto a la de Ptolomeo, ya que incluía el mayor conocimiento de los árabes. 

Al-Khwarizmi murió en algún momento del siglo IX, quizás alrededor del año 850. El Álgebra de Al-Khwarizmi se utilizó ampliamente tanto en Arabia como en Europa después del siglo XII. Más importante, tal vez, es el impacto de su tratado sobre los números hindúes, que facilitó la explosión de la matemática europea después del siglo XII.

 


Fuente bibliográfica:

  • McElroy, Tucker (2005) A to Z of Mathematicians. Facts On File, Inc.

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Al-Karaji hizo grandes contribuciones al álgebra al ser el primero en tratar los números independientemente de la geometría. A este respecto, difería de los griegos y de sus predecesores árabes. Por ende pudo desarrollar muchas de las propiedades algebraicas básicas de los números racionales e irracionales, y por lo tanto representa un paso importante en la evolución del cálculo algebraico. Al-Karaji es conocido como el primer autor del álgebra de polinomios. 

Hay mucha disputa entre los estudiosos sobre la ortografía del nombre de este hombre. De traducciones anteriores se le conocía como al-Karkhi, pero esto fue discutido más tarde, y fue propuesto el nombre al-Karaji.  La controversia es de cierta relevancia, ya que el nombre al-Karkhi indicaría Karkh, un suburbio de Bagdad, mientras que al-Karaji es indicativo de una ciudad iraní. En cualquier caso, al-Karaji vivió en Bagdad, donde produjo la mayor parte de su trabajo matemático, y sus libros se escribieron desde finales del siglo X hasta principios del siglo XI. Algunos eruditos creen que nació el 13 de abril del año 953. Después de este período, aparentemente partió para los “países de montaña” para escribir obras de ingeniería. 

Su tratado sobre álgebra ofrece la primera teoría del cálculo algebraico desarrollada por los árabes. Al-Karaji se basó en las técnicas de matemáticos árabes anteriores, pero su enfoque era completamente nuevo. Buscó separar las operaciones algebraicas de la representación geométrica que les dieron los griegos. La Aritmética de Diofanto de Alejandría influyó en al-Karaji y desempeñó un papel en la aritmetización del álgebra de al-Karaji. 

En su obra al-Karaji primero estudia la aritmética de los exponentes: la multiplicación y división de monomios se traduce en suma y resta de sus exponentes. Sus sucesores pudieron aplicar estas reglas a la extracción de raíces cuadradas. Al-Karaji dio un paso audaz en la producción de reglas algebraicas para números reales, independientemente de cualquier interpretación geométrica. Por un lado, se sabía que las operaciones algebraicas (como la suma y la multiplicación) y sus reglas básicas (como la asociatividad y la conmutatividad) eran ciertas para los números racionales, pero no se había desarrollado una teoría para los números irracionales (como las raíces cuadradas). Al-Karaji definió la noción de número irracional del Libro X de los Elementos de Euclides de Alejandría. Para Euclides, esta teoría de la inconmensurabilidad se aplicaba solo a cantidades geométricas, no a números. Así, al-Karaji extendió este concepto de irracionalidad a los números en un acto de fe, y extendió las operaciones algebraicas a esta clase. Los matemáticos modernos más tarde desarrollarían rigurosamente un álgebra de números reales que era puramente aritmética. 

Una consecuencia de este salto conceptual fue que los Elementos de Euclides ya no serían considerados como un libro puramente geométrico. Al-Karaji continuó desarrollando el cálculo de radicales, derivando reglas que permitían el cálculo de expresiones simples con raíces cuadradas. En una vía similar, al-Karaji dio fórmulas para el desarrollo de binomios. En su demostración del llamado teorema binomial se pueden ver los inicios de la inducción matemática. Al-Karaji también obtuvo fórmulas para la suma de enteros consecutivos y cuadrados consecutivos. 

Al-Karaji estaba interesado en aplicar estos métodos a la solución de ecuaciones polinómicas. Consideró las ecuaciones lineales, cuadráticas y ciertas ecuaciones especiales de grado superior: en esta área es evidente la influencia de Diofanto en al-Karaji. En el área del análisis indeterminado, al-Karaji pudo aclarar y extender el trabajo de Diofanto y consideró problemas que involucran tres ecuaciones no lineales en tres incógnitas. Diofanto fue conocido por su ingenio para derivar trucos especiales para problemas individuales. En contraste, al-Karaji se esforzó por desarrollar métodos generales que pudieran manejar incluso más casos. 

Poco se sabe de los  últimos días de la vida de Al-Karaji, pero algunos eruditos creen que murió en 1029. Al-Karaji produjo una nueva perspectiva sobre el álgebra. Bajo su guía, el álgebra se hizo independiente de la geometría y más estrechamente vinculado al análisis. Esta actitud divergió significativamente del pensamiento griego y se convirtió en normativa para los matemáticos árabes posteriores. Su transformación del álgebra más tarde tuvo un impacto en Europa a través de Leonardo Fibonacci, quien importó ideas y métodos árabes a Italia en el siglo XII.

 


Fuente bibliográfica:

  • McElroy, Tucker (2005) A to Z of Mathematicians. Facts On File, Inc.

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