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Posts Tagged ‘Euclides’

Galileo Galilei es uno de los nombres más conocidos en la historia de la ciencia. Este hombre vivió en una época en que la filosofía especulativa fue gradualmente suplantada por la matemática y la evidencia experimental, y de hecho contribuyó, tal vez más que cualquiera de sus contemporáneos, a este cambio de paradigma. La investigación de Galileo sobre matemática, mecánica, física y astronomía alteró por completo la forma en que las personas buscaban el conocimiento del mundo natural y comenzó una avalancha de investigaciones científicas en toda Europa. 

Galileo nació el 15 de febrero de 1564, en Pisa, Italia. Su padre, Vincenzio Galilei, era músico y miembro de una antigua familia patricia. Vincenzio se casó con Giulia Ammannati de Pescia en 1562, y Galileo nació dos años más tarde. Él sería uno de siete hijos. Primero fue tutelado en Pisa, pero la familia regresó a Florencia en 1575. Estudió en el monasterio de Santa María en Vallombrosa hasta 1581, cuando se matriculó en la Universidad de Pisa como estudiante de medicina. Galileo tenía poco interés en la medicina, pues prefería la matemática, en la que progresaba rápidamente a pesar de la desaprobación de su padre. En 1585 dejó la escuela sin un título y siguió el estudio de Euclides de Alejandría y Arquímedes de Siracusa en privado. 

Durante los próximos cuatro años, Galileo dio clases privadas de matemática en Florencia, mientras componía algunas obras menores sobre mecánica y geometría. Fue en este momento que el padre de Galileo se involucró en una controversia musical. Vincenzio Galilei resolvió la disputa a través de investigaciones experimentales, y este enfoque demostró tener una gran influencia en su hijo. Galileo maduraría y se convertiría en un gran experimentador que probaría las teorías matemáticas con evidencia física.

En 1589, Galileo obtuvo la cátedra de matemática en Pisa, donde realizó algunos de sus primeros experimentos sobre la caída de los cuerpos. Aproximadamente en este momento, Galileo se embarcó en una campaña de toda la vida para desacreditar la física aristotélica, la visión oficial del mundo defendido por la Iglesia Católica Romana, que, entre otras cosas, declaró que los objetos más densos caen más rápido. Galileo enfureció a muchos de sus colegas profesores al demostrar públicamente que cuerpos de diferentes pesos caían a la misma velocidad, arrojando esos objetos desde la Torre Inclinada de Pisa. Su tratado sobre estos temas fue De motu (Sobre el movimiento), y se basó en algunas ideas de Arquímedes.

Su padre murió en 1591, creando una situación financiera incierta para Galileo. Debido a la animosidad que había despertado, su puesto en Pisa no se renovó; sin embargo, sus amigos lo ayudaron a obtener un lugar en Padua, donde la comunidad era menos conservadora. Dio conferencias sobre Euclides, Claudio Ptolomeo y mecánica, pero no se interesó en la astronomía hasta mucho después. En 1597 Galileo expresó su simpatía por el sistema copernicano a Johannes Kepler, pero no promovió públicamente la astronomía anti-aristotélica en este momento.

Mientras estaba en Padua, Galileo tuvo una amante llamada Marina Gamba, que más tarde le dio dos hijas y un hijo. Su hija mayor, Virginia, sería un gran consuelo para él en años posteriores de lucha y conflicto. En 1602 se interesó en los movimientos de los péndulos y la aceleración de los cuerpos que caen, y derivó correctamente la ley de caída libre en 1604, aunque con una suposición incorrecta. En el mismo año, una supernova provocó una disputa sobre la noción aristotélica de la incorruptibilidad de los cielos, y Galileo pronunció varias conferencias públicas sobre este tema. Pronto se interesaría cada vez más en el estudio de los cielos.

En 1609 Galileo se enteró de la invención de un telescopio por Hans Lipperhey, un afilador de lentes holandés, y el profesor paduano se dispuso a construir su propia versión, que finalmente fue 30 veces más poderosa que la original. Este dispositivo, tan útil para la navegación, le valió un puesto de por vida en Padua, y comenzó a usarlo para ver el cielo. Pronto descubrió que la Luna tenía montañas y que la Vía Láctea consistía en muchas estrellas separadas. Galileo publicó muchos descubrimientos adicionales en Sidereus nuncios (1610). Su fama resultante le valió el puesto de matemático y filósofo para el gran duque de Toscana, donde podría centrarse en su investigación sin tener que enseñar.

El libro creó un furor en Europa, y muchos afirmaron que era un fraude, aunque Kepler lo aprobó. En los satélites de Júpiter, Galileo ahora vio evidencia decisiva contra la concepción aristotélica de que todos los cuerpos celestes giraban alrededor de la Tierra. En 1611 viajó a Roma, donde fue honrado por los jesuitas del Colegio Romano y admitido en la Academia Lincean.

Después de este tiempo, Galileo volvió a la física y se vio envuelto en más controversias en Florencia. La disputa se refería al comportamiento de los cuerpos flotando en el agua, y Galileo apoyó las teorías de Arquímedes contra las de Aristóteles; él pudo, usando los conceptos de momento y velocidad, extender las ideas de Arquímedes más allá de las situaciones hidrostáticas.

En 1613, Galileo publicó Letters on Sunspots, donde habló por primera vez en forma impresa sobre el sistema copernicano. Ciertos católicos no consideraron favorablemente este documento, y la oposición creció en los años siguientes. En opinión de Galileo, la teología no debía interferir con cuestiones puramente científicas, aquellas que podrían resolverse experimentalmente; y en 1615 Galileo fue a Roma para luchar contra la supresión del copernicanismo. El Papa Pablo V, molesto por los cuestionamientos de la autoridad teológica, nombró una comisión para determinar el movimiento de la Tierra: en 1616 la comisión falló contra el sistema copernicano, y se prohibió a Galileo defender esa opinión.

Volviendo a Florencia, Galileo recurrió al problema de determinar longitudes en el mar. También retomó la mecánica, definió correctamente la aceleración uniforme y presentó muchos de sus principios cinemáticos. Pero Galileo tenía una personalidad combativa, y pronto se vio envuelto en una nueva controversia sobre el movimiento de tres cometas en 1618. En una famosa polémica de la ciencia, Il saggiatore, Galileo estableció un enfoque científico general para la investigación de fenómenos celestes sin referencia directa al sistema copernicano. En este ensayo, Galileo repudia cualquier autoridad que contradiga la investigación directa y, por lo tanto, expone la ciencia empírica como el único fundamento del conocimiento del universo. Este trabajo fue publicado en 1623 y dedicado al Papa Urbano VIII. Galileo obtuvo el permiso de su viejo amigo para escribir un libro que discutiría imparcialmente los sistemas copernicano y ptolemaico, llamado algo así como Diálogo sobre los dos principales sistemas mundiales.

Este trabajo, que ocupó a Galileo durante los próximos seis años, consistió en un diálogo entre dos defensores -para los sistemas copernicano y ptolemaico, respectivamente- que intentaban ganarse a un profano para su lado. Galileo permanece oficialmente sin compromiso, excepto en el prefacio; los conceptos importantes incluyen la relatividad y la conservación del movimiento. Las manchas solares y las mareas oceánicas se presentaron como argumentos pro-copernicanos, ya que no se podían explicar sin movimiento terrestre. El libro fue impreso en Florencia en 1632, y pronto se ordenó a su autor que compareciera ante la Inquisición en Roma.

El Papa, aunque alguna vez amigo de Galileo, había sido convencido por los enemigos de Galileo de que el autor hacía deliberadamente que la perspectiva aristotélica pareciera una tontería. El juicio fue llevado a cabo con venganza, y Galileo fue sentenciado a cadena perpetua luego de renunciar a la herejía copernicana. Bajo arresto domiciliario, pasó los años que le faltaban completando su inacabado trabajo sobre mecánica. Hacia 1638, su Discurso y demostración matemática, en torno a dos nuevas ciencias había aparecido en Francia (no podía publicar en Italia, ya que sus obras estaban prohibidas). El contenido trata sobre la ciencia de la ingeniería de los materiales y la ciencia matemática de la cinemática, y subyace en gran parte la física moderna. Tanto el péndulo como el plano inclinado juegan un papel importante en Dos nuevas ciencias, y Galileo deduce el movimiento parabólico de las trayectorias.

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En los últimos cuatro años de su vida, Galileo estuvo ciego, y antes de su muerte se le negó la solicitud de asistir a los servicios de Pascua o consultar a médicos. Finalmente, el 8 de enero de 1642, en Arcetri, Italia, falleció. Sin duda fue uno de los mejores científicos de todos los tiempos, y también un matemático capaz. No solo hizo grandes contribuciones a la ciencia, sino que también avanzó en una nueva epistemología: el conocimiento del mundo natural (incluido el conocimiento matemático) debe adquirirse a través de la razón y la experimentación.

 


Fuente bibliográfica:

  • McElroy, Tucker (2005) A to Z of Mathematicians. Facts On File, Inc.
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Después del resplandor de la luz en Grecia durante la era clásica, una gran oscuridad intelectual y cultural consumió a Europa; Leonardo Fibonacci reavivó esa luz durante las primeras sacudidas del Renacimiento italiano, y esa iluminación estaba destinada a crecer más en la brillante armonía de los logros matemáticos actuales. Ciertamente, otros hicieron contribuciones importantes en siglos anteriores en otras partes del mundo, pero Fibonacci fue el primer gran matemático del Occidente cristiano. Como personaje renacentista, revivió el interés por la literatura y los valores clásicos y, en particular, renovó la apreciación del conocimiento matemático. 

Leonardo Fibonacci era un miembro de la familia Bonacci, nacido en Pisa, Italia, de Guglielmo Bonacci. Solo tenemos una estimación de la fecha de su nacimiento, 1170, ya que hay pocos registros de los detalles de su vida; una de las principales fuentes es su propio libro, Liber Abbaci (Libro del ábaco). Fue apodado Bigollo, un término que designa a un holgazán, que puede haber sido un epíteto lanzado por aquellos que pensaban ligeramente acerca del valor del trabajo matemático. Su padre era un funcionario en la República de Pisa, y en 1192 recibió una comisión para dirigir una colonia comercial pisana en Argelia. El joven Fibonacci acompañó a su padre, que esperaba educar a su hijo en las artes del cálculo para poder algún día convertirse en comerciante. Fibonacci superó con creces las expectativas de su padre. 

La instrucción en África de un maestro árabe era bastante buena, probablemente mucho mejor que en Europa, y Fibonacci encontró los “nuevos” números hindúes. Estos números eran simbólicamente bastante similares a los dígitos modernos, y consistían en 10 números distintos, que podían describir cualquier cantidad meramente a través de un arreglo apropiado (lo mismo que el sistema numérico moderno). En ese momento en Europa, la mayoría de los comerciantes aún utilizaban números romanos, por lo que los cálculos de suma y multiplicación eran mucho más difíciles. Fibonacci dominó rápidamente este sistema numérico superior. En los años siguientes, viajó extensamente, incluso por Egipto, Grecia, Sicilia, Siria y Provenza, en la búsqueda de su vocación mercantil, y en todas las ciudades se debatiría con los eruditos locales sobre sus métodos de cálculo. A través de estas disputas, Fibonnaci llegó a ver que estos otros hombres cultos, que no entendían el sistema hindú, estaban en una gran desventaja matemática, y a menudo estaban equivocados. 

Estas experiencias fueron cruciales para el crecimiento intelectual de Fibonacci. En 1200 regresó a su ciudad natal y trabajó durante los siguientes 25 años en el cálculo con números hindúes. Debido a su experiencia en los negocios, se vio impulsado por atender preocupaciones prácticas, y por lo tanto sus investigaciones se vieron motivadas por el deseo de aplicarlas a asuntos comerciales; sin embargo, también realizó un considerable trabajo teórico en álgebra y geometría. 

En 1202 se completó el Liber Abbaci de Fibonacci; como el ábaco que aparece en su título, este trabajo se centró en el cálculo. Se agregó un nuevo material en una segunda versión en 1228. La primera sección trataba sobre los números romanos y los cálculos con los dedos, luego se introdujeron los números de la India, junto con la barra de fracción. La siguiente porción era principalmente relevante para los comerciantes, y se asemejaba a un almanaque: había información sobre el precio de los bienes, el cálculo de los intereses y los salarios, la medición de cantidades y el intercambio de monedas. La tercera sección contenía acertijos y enigmas matemáticos, y reglas para la suma de series (por ejemplo, había una fórmula para la suma de una serie geométrica). 

Un problema famoso se enuncia de la siguiente manera: dado un par de conejos, tardan un mes en madurar y luego producen un par de crías cada mes, ¿cómo aumenta la población? Suponiendo que los descendientes maduran de la misma manera que sus padres, la población mensual sigue la secuencia 1, 1, 2, 3, 5, 8, . . . Estos números, ahora conocidos como la sucesión de Fibonacci, son uno de los primeros ejemplos de recursión, ya que cada término es igual a la suma de los dos términos anteriores. La recursividad, el concepto de que la definición de una cosa depende de sí misma (o al menos de su pasado), es un concepto poderoso en la matemática moderna, la informática y la filosofía. 

Aún más importante para la historia de la matemática es la introducción de Fibonacci de los números negativos. Antes de este tiempo, los comerciantes tenían un concepto de resta como una forma de mantener un registro de su inventario. Pero dado que era imposible tener un inventario negativo, el concepto de número negativo no tenía sentido para ellos. Por ejemplo, dirían que la ecuación (aunque no la escribirían de esta manera) x+2=1 no tiene solución. Sin embargo, Fibonacci usó números negativos, considerados débitos o deudas, para resolver ecuaciones, y parece que fue el primero en hacerlo. Otros que vinieron después de él formalizarían la noción de un número negativo y construirían los enteros. Es interesante notar que algunos conceptos matemáticos que ahora se dan por descontados, como los números negativos, alguna vez fueron muy misteriosos, y se requirió de genio y creatividad para llegar a la nueva idea. Ciertamente, los contemporáneos de Fibonacci captaron la idea lentamente. 

La cuarta sección de este libro trataba del cálculo de radicales, usando fórmulas de aritmética de los Elementos de Euclides de Alejandría, y contenía ejemplos del antiguo método de aproximación. Por ejemplo, para aproximar pi, los antiguos encontrarían dos fracciones, una un poco más pequeña (como 223/71) y la otra un poco más grande (como 220/70) que pi, que podían calcularse fácilmente. En general, el Liber Abbaci es notable por la riqueza de sus ejemplos y el rigor de las demostraciones. Fibonacci era un maestro en su arte, y presentaría varios métodos diferentes de solución, incluidos enfoques algebraicos y geométricos. 

Fibonacci también escribió Practica Geometriae (Práctica de la geometría) en 1220 o 1221, que obviamente se centra en geometría. Apelando a los Elementos de Euclides, resuelve problemas de raíz cuadrada y cúbica, y da varios cálculos de segmentos y superficies de figuras planas. Una aproximación de pi se da al inscribir un polígono regular de 96 lados. También hay algunas instrucciones prácticas para el inspector de campo; por ejemplo, da instrucciones para el uso del “archipendulum”, un instrumento geodésico utilizado para encontrar proyecciones horizontales de líneas rectas que se encuentran en una colina inclinada. 

Fibonacci también hizo un gran progreso en el análisis indeterminado, el estudio de varias ecuaciones en varias incógnitas. En Flos (1225) y Liber Quadratorum (Libro de números cuadrados) (1225) demuestra su facilidad con la teoría de números, planteando y resolviendo varios problemas antiguos de análisis indeterminado. En 1225 fue presentado al emperador Federico II, y sus últimos escritos fueron en respuesta a las preguntas formuladas por el filósofo imperial Teodoro. El último registro de Fibonacci data de 1240, cuando su ciudad le otorgó un salario anual por su asesoramiento sobre prácticas contables. 

Ciertamente, Fibonacci desempeñó un papel fundamental en el renacimiento de la matemática en Europa Occidental. Su presentación sistemática del conocimiento nuevo y antiguo, moviéndose fluidamente de problemas más fáciles a más difíciles, ayudó a la diseminación de ideas matemáticas. Más importante aún, a través de Fibonacci surgió un nuevo concepto de número en Occidente. Su aprobación de los numerales hindúes fue crucial para avanzar en la ciencia del cálculo, pero fue el primero en reconocer cantidades negativas, así como el cero, como números genuinos. Además, su uso de un símbolo o letra como una representación abreviada de un número genérico fue un paso importante hacia el álgebra moderna, que es abstracta y totalmente simbólica. Fibonacci estaba familiarizado con los textos árabes, que habían preservado la flor del empeño matemático griego; al transmitir y sistematizar este material, Fibonacci revivió el interés en los clásicos. En los años siguientes, los matemáticos europeos harían avances maravillosos desde los fundamentos griegos.

 


Fuente bibliográfica:

  • McElroy, Tucker (2005) A to Z of Mathematicians. Facts On File, Inc.

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A mediados del siglo XVI en Italia había mucho interés y debate sobre la solución del polinomio cúbico o de tercer grado. Antes de la publicación en aproximadamente 1545 del polémico libro de Girolamo Cardano, Artis magnae sive de regulis algebraicis liber unus (también conocido como Ars Magna), Scipione del Ferro ya había descubierto la solución general de ciertas ecuaciones cúbicas algunas décadas antes. 

Scipione del Ferro nació el 6 de febrero de 1465 en Bolonia, Italia. Su padre era Floriana Ferro, un fabricante de papel, y su madre se llamaba Filippa. De su educación temprana no se sabe nada, pero Del Ferro se convirtió en profesor de aritmética y geometría en la Universidad de Bolonia, donde permaneció desde 1496 hasta 1526. Del Ferro estuvo activo como empresario en los años 1517 a 1523. Murió el 5 de noviembre. de 1526 en Bolonia. 

No dejó escritos detrás de él, pero otras fuentes lo declaran un gran algebrista y aritmético. De todos sus logros, el más famoso es su solución de la cúbica de la forma x^3+ax=b. El descubrimiento de una fórmula para las soluciones de tal ecuación había eludido a los matemáticos desde la antigüedad; los griegos estaban fascinados por este problema. En el siglo XV, a pesar de mucho esfuerzo después de la época de Leonardo Fibonacci, se pensaba que era imposible alcanzar una fórmula tal. El camino al descubrimiento de Del Ferro solo puede conjeturarse, pero probablemente se basó en el Liber abbaci (Libro del ábaco) de Fibonacci. Parece que su logro tuvo lugar dentro de las dos primeras décadas del siglo XVI, pero Del Ferro no dio ninguna evidencia impresa. Más bien transmitió su técnica en forma oral a ciertas personas. 

Uno de estos herederos, Antonio Maria Fior, se vio involucrado en una disputa en 1535 con Niccolò Tartaglia, en la cual Fior usó su conocimiento de la solución de la cúbica para obtener ventaja. Este último fue incitado a hacer su propio descubrimiento de la solución a la cúbica, aunque sin que Tartaglia lo supiera, Del Ferro tenía prioridad. En 1542, Annibale dalla Nave -el sucesor de Del Ferro- reveló el método a Cardano, quien posteriormente lo incluyó en su Ars Magna de 1545.  

Del Ferro también contribuyó al conocimiento del álgebra mediante el estudio de fracciones con denominadores irracionales. El problema de racionalizar el denominador se remonta a Euclides de Alejandría, que consideró las raíces cuadradas, pero Del Ferro fue el primero en considerar números irracionales más complicados, como los relacionados con las raíces cúbicas. Del testimonio de Ludovico Ferrari, se sabe que Del Ferro también investigó la geometría del compás, aunque no está claro qué contribuciones hizo. 

Del Ferro fue sin duda uno de los algebraicos más exitosos de su tiempo, aunque todo el conocimiento moderno de él es de segunda mano. Su solución de la cúbica fue el primer gran paso en una larga progresión de intereses matemáticos; el interés en preguntas relacionadas a esta temática eventualmente daría lugar a la elegante teoría de campos numéricos de Galois.

 


Fuente bibliográfica:

  • McElroy, Tucker (2005) A to Z of Mathematicians. Facts On File, Inc.

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