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Al-Khwarizmi es un árabe importante en la historia de la matemática de Oriente Medio, ya que desempeñó un papel en la transmisión del conocimiento hindú a Arabia, desde donde se abrió camino a Europa. Su desarrollo del álgebra, aunque rudimentario, fue una base importante para matemáticos posteriores como al-Karaji

La vida de al-Khwarizmi es bastante oscura, pero probablemente nació poco antes del año 800 en Qutrubbull, un distrito entre los ríos Tigris y Éufrates cerca de Bagdad. Bajo el reinado del califa al-Mamun de 813 a 833, al-Khwarizmi se convirtió en miembro de la Casa de la Sabiduría, una academia de científicos en Bagdad. Al-Khwarizmi escribió libros que trataban sobre astronomía, álgebra, números hindúes, calendario judío, geografía e historia. 

Su Algebra fue un trabajo elemental, diseñado para proporcionar ayuda práctica con cálculos comunes utilizados en el comercio. La primera parte se ocupa de la solución de las ecuaciones algebraicas reales, mientras que la segunda y tercera secciones tratan la medición y aplicaciones. Al-Khwarizmi da seis tipos básicos de ecuaciones que incluyen ecuaciones lineales y cuadráticas en una variable. En esta etapa no hay noción de cero o número negativo, y una parte sustancial de las técnicas se refiere a la eliminación de cantidades negativas. De hecho, la palabra álgebra proviene de al-jabr, que significa “restauración”. Esto se refiere a la operación de agregar una cantidad positiva a ambos lados de una ecuación para eliminar una cantidad negativa. También se usa una operación similar llamada balanceo. El nombre completo del libro es The Compendious Book on Calculation by Completion and Balancing. Además de estas reglas básicas, el autor proporcionó información sobre cómo encontrar el área de varias figuras planas, como triángulos y círculos, así como el volumen de sólidos como el cono y la pirámide. 

Se cree que el Álgebra de Al-Khwarizmi es el primer trabajo árabe sobre el tema. Existe cierta controversia entre los estudiosos acerca de si obtuvo su información de fuentes griegas o hindúes. Su uso de diagramas indica que puede haber estado familiarizado con los Elementos de Euclides de Alejandría

El tratado de Al-Khwarizmi sobre los números hindúes también es bastante importante para la historia de la matemática, ya que es uno de los primeros trabajos en exponer el sistema numérico superior de los hindúes. Este es esencialmente el sistema moderno, que involucra 10 símbolos numéricos en un sistema posicional. Se les llama erróneamente “números arábigos”, ya que llegaron a los europeos a través de los árabes. Es probable que el sistema numérico hindú ya haya sido introducido a los árabes, pero al-Khwarizmi fue el primero en presentar una exposición sistemática. 

Además de estos trabajos matemáticos, al-Khwarizmi compuso un trabajo sobre astronomía que se derivó del conocimiento de los hindúes. Su Geografía fue una mejora con respecto a la de Ptolomeo, ya que incluía el mayor conocimiento de los árabes. 

Al-Khwarizmi murió en algún momento del siglo IX, quizás alrededor del año 850. El Álgebra de Al-Khwarizmi se utilizó ampliamente tanto en Arabia como en Europa después del siglo XII. Más importante, tal vez, es el impacto de su tratado sobre los números hindúes, que facilitó la explosión de la matemática europea después del siglo XII.

 


Fuente bibliográfica:

  • McElroy, Tucker (2005) A to Z of Mathematicians. Facts On File, Inc.
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Al-Karaji hizo grandes contribuciones al álgebra al ser el primero en tratar los números independientemente de la geometría. A este respecto, difería de los griegos y de sus predecesores árabes. Por ende pudo desarrollar muchas de las propiedades algebraicas básicas de los números racionales e irracionales, y por lo tanto representa un paso importante en la evolución del cálculo algebraico. Al-Karaji es conocido como el primer autor del álgebra de polinomios. 

Hay mucha disputa entre los estudiosos sobre la ortografía del nombre de este hombre. De traducciones anteriores se le conocía como al-Karkhi, pero esto fue discutido más tarde, y fue propuesto el nombre al-Karaji.  La controversia es de cierta relevancia, ya que el nombre al-Karkhi indicaría Karkh, un suburbio de Bagdad, mientras que al-Karaji es indicativo de una ciudad iraní. En cualquier caso, al-Karaji vivió en Bagdad, donde produjo la mayor parte de su trabajo matemático, y sus libros se escribieron desde finales del siglo X hasta principios del siglo XI. Algunos eruditos creen que nació el 13 de abril del año 953. Después de este período, aparentemente partió para los “países de montaña” para escribir obras de ingeniería. 

Su tratado sobre álgebra ofrece la primera teoría del cálculo algebraico desarrollada por los árabes. Al-Karaji se basó en las técnicas de matemáticos árabes anteriores, pero su enfoque era completamente nuevo. Buscó separar las operaciones algebraicas de la representación geométrica que les dieron los griegos. La Aritmética de Diofanto de Alejandría influyó en al-Karaji y desempeñó un papel en la aritmetización del álgebra de al-Karaji. 

En su obra al-Karaji primero estudia la aritmética de los exponentes: la multiplicación y división de monomios se traduce en suma y resta de sus exponentes. Sus sucesores pudieron aplicar estas reglas a la extracción de raíces cuadradas. Al-Karaji dio un paso audaz en la producción de reglas algebraicas para números reales, independientemente de cualquier interpretación geométrica. Por un lado, se sabía que las operaciones algebraicas (como la suma y la multiplicación) y sus reglas básicas (como la asociatividad y la conmutatividad) eran ciertas para los números racionales, pero no se había desarrollado una teoría para los números irracionales (como las raíces cuadradas). Al-Karaji definió la noción de número irracional del Libro X de los Elementos de Euclides de Alejandría. Para Euclides, esta teoría de la inconmensurabilidad se aplicaba solo a cantidades geométricas, no a números. Así, al-Karaji extendió este concepto de irracionalidad a los números en un acto de fe, y extendió las operaciones algebraicas a esta clase. Los matemáticos modernos más tarde desarrollarían rigurosamente un álgebra de números reales que era puramente aritmética. 

Una consecuencia de este salto conceptual fue que los Elementos de Euclides ya no serían considerados como un libro puramente geométrico. Al-Karaji continuó desarrollando el cálculo de radicales, derivando reglas que permitían el cálculo de expresiones simples con raíces cuadradas. En una vía similar, al-Karaji dio fórmulas para el desarrollo de binomios. En su demostración del llamado teorema binomial se pueden ver los inicios de la inducción matemática. Al-Karaji también obtuvo fórmulas para la suma de enteros consecutivos y cuadrados consecutivos. 

Al-Karaji estaba interesado en aplicar estos métodos a la solución de ecuaciones polinómicas. Consideró las ecuaciones lineales, cuadráticas y ciertas ecuaciones especiales de grado superior: en esta área es evidente la influencia de Diofanto en al-Karaji. En el área del análisis indeterminado, al-Karaji pudo aclarar y extender el trabajo de Diofanto y consideró problemas que involucran tres ecuaciones no lineales en tres incógnitas. Diofanto fue conocido por su ingenio para derivar trucos especiales para problemas individuales. En contraste, al-Karaji se esforzó por desarrollar métodos generales que pudieran manejar incluso más casos. 

Poco se sabe de los  últimos días de la vida de Al-Karaji, pero algunos eruditos creen que murió en 1029. Al-Karaji produjo una nueva perspectiva sobre el álgebra. Bajo su guía, el álgebra se hizo independiente de la geometría y más estrechamente vinculado al análisis. Esta actitud divergió significativamente del pensamiento griego y se convirtió en normativa para los matemáticos árabes posteriores. Su transformación del álgebra más tarde tuvo un impacto en Europa a través de Leonardo Fibonacci, quien importó ideas y métodos árabes a Italia en el siglo XII.

 


Fuente bibliográfica:

  • McElroy, Tucker (2005) A to Z of Mathematicians. Facts On File, Inc.

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Los árabes heredaron las obras de famosos matemáticos griegos, como Euclides de Alejandría, Apolonio de Perga y Arquímedes de Siracusa. Una vez que dominaron las ideas que contenían, varios de ellos pudieron ampliar los métodos. Ibrahim ibn Sinan fue un árabe que empleó gran originalidad en su estudio de la matemática, y representa un punto culminante en el conocimiento científico árabe.  

Ibrahim ibn Sinan nació en el año 908, probablemente en Bagdad, en una familia de eruditos famosos. Su padre, Sinan ibn Thabit, era médico, astrónomo y matemático. Ibrahim llevó una vida breve, muriendo a los 38 años en Bagdad, pero logró una cantidad significativa de actividad científica. Además de su trabajo en matemática, Ibrahim examinó los movimientos aparentes del Sol, estudió la óptica de las sombras e investigó instrumentos astronómicos como el astrolabio. 

En matemática propiamente dicha, las obras escritas de Ibrahim cubren tangentes de círculos y geometría en general. Su cuadratura de la parábola (determinación del área encerrada por una parábola dada) implica una expansión del método de Arquímedes. El abuelo de Ibrahim, Thabit ibn Qurra, ya había generalizado la técnica de Arquímedes, que era equivalente a sumar integrales definidas, pero su exposición fue bastante larga. Por el contrario, el análisis de Ibrahim es simple y elegante. Él descompone el área de la parábola en una colección aproximada de triángulos inscritos, y demuestra una relación elemental entre las áreas de los polígonos inscritos. Como resultado, el área deseada es cuatro tercios del primer triángulo inscrito. El genio de Ibrahim es evidente en su elegante solución a este problema.  

También buscó revivir la geometría clásica, que había sido descuidada por sus contemporáneos. Ibrahim deseaba proporcionar un método práctico para resolver problemas geométricos y categorizar los problemas de acuerdo con su dificultad y método. Siguiendo la epistemología de los antiguos griegos, Ibrahim abogó por la doble importancia de la síntesis y el análisis. El trabajo de Ibrahim ibn Sinan ejerció una profunda influencia en la filosofía matemática de los posteriores matemáticos árabes.

 


Fuente bibliográfica:

  • McElroy, Tucker (2005) A to Z of Mathematicians. Facts On File, Inc.

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