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Posts Tagged ‘Euclides’

Enrico Betti es conocido por sus contribuciones a la teoría de Galois (una teoría algebraica abstracta utilizada para resolver ecuaciones algebraicas, desarrollada por Evariste Galois) y a la teoría de las funciones elípticas. Su trabajo en el análisis del hiperespacio inspiró más tarde a Henri Poincaré en la fundación de la geometría algebraica. 

Betti nació el 21 de octubre de 1823 en Pistoia, Italia, y su padre murió cuando era muy joven. Como resultado, su madre supervisó su educación, y posteriormente se matriculó en la Universidad de Pisa, recibiendo un grado en ciencias físicas y matemática. Después se involucró en la guerra por la independencia italiana, participando como soldado en las batallas de Curtatone y Montanara. Su profesión posterior fue como profesor de matemática de secundaria en Pistoia, aunque simultáneamente continuó sus propias investigaciones en matemática pura.

Gran parte del trabajo de Betti era en el campo del álgebra. El trabajo de Evariste Galois, que recibió poco reconocimiento durante la breve vida de su autor, se resumió en gran medida en una carta personal de 1832 que posteriormente fue publicada por Joseph Liouville en 1846. Desde entonces, Betti promovió el trabajo de Galois sobre la solubilidad de las ecuaciones algebraicas mediante operaciones por radicales (la cuestión de determinar qué ecuaciones podrían tener sus soluciones expresadas en términos de radicales y números racionales). Conectando el trabajo de Galois con las investigaciones previas de Niels Henrik Abel y Paolo Ruffini, Betti superó la brecha entre los nuevos métodos del álgebra abstracta y los problemas clásicos (como el quíntico) tratados anteriormente. Muchos consideraban entonces que las labores de Galois eran irrelevantes y estériles, pero las elaboraciones de Betti en dos documentos de 1852 y 1855 constituyen un paso importante para revertir esas opiniones adversas; hoy en día la teoría de Galois es vista como un componente fructífero y encantador del álgebra abstracta.

También investigó la teoría de las funciones elípticas, un tema popular en el siglo XIX; Betti describió esta rama de la matemática relacionándola con la construcción de ciertas funciones trascendentales en 1861, y Karl Weierstrass desarrolló estas ideas en los años siguientes. Tomando otra mirada no-algebraica sobre el mismo tema, Betti investigó las funciones elípticas desde la perspectiva de la física matemática. Con la guía de Bernhard Riemann, con quien Betti se había reunido en Göttingen en 1858, Betti investigó los procedimientos utilizados en electricidad y en análisis matemático.

En 1865 Betti aceptó una cátedra en la Universidad de Pisa, que conservó por el resto de su vida. Más tarde se convirtió en rector de la universidad y director de la escuela de profesores en Pisa. Desde 1862 fue miembro del parlamento italiano, sirvió brevemente como subsecretario de Estado para la educación pública en 1874 y se convirtió en senador en 1884. Sin embargo, sus intereses principales no estaban en la política o la administración, sino en la investigación matemática pura; Betti sólo deseaba tener soledad para su propia reflexión intelectual y reuniones animadas con sus amigos más cercanos.

El trabajo de Betti en el campo de la física teórica condujo a una ley de reciprocidad en la teoría de la elasticidad, conocida como el teorema de Betti (1878). Primero aprendió los métodos de George Green para la integración de las ecuaciones de Pierre-Simon Laplace en la teoría de potenciales y utilizó esta metodología en el estudio de la elasticidad y el calor. También analizó el hiperespacio en 1871; Poincaré se inspiraría más tarde en Betti para ampliar estas investigaciones preliminares. Los números de Betti, acuñados por Poincaré, se utilizarían comúnmente como características mensurables de una variedad algebraica. 

Betti fue un excelente maestro, trayendo su pasión y su amplio conocimiento al aula, y fue un ferviente defensor del regreso a la educación clásica. Consideró los Elementos de Euclides de Alejandría como un texto modelo para la instrucción, y abogó firmemente por su regreso a las escuelas secundarias. Influyó en varias generaciones de estudiantes en Pisa, guiando a muchos hacia la búsqueda del conocimiento científico. Murió el 11 de agosto de 1892, en Pisa. 

El impacto de Betti en la matemática todavía se siente hoy. Su investigación temprana en topología algebraica fue fundamental, como lo atestigua la importancia duradera de los números de Betti. Tal vez aún más importante fue su desarrollo de la teoría de Galois, que se ha convertido en un gran componente de los estudios modernos en álgebra abstracta.

 


Fuente bibliográfica:

  • McElroy, Tucker (2005) A to Z of Mathematicians. Facts On File, Inc.
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Isaac Barrow fue el primero en descubrir ciertos aspectos del cálculo diferencial. Hay una cierta controversia sobre esto, y también sobre la extensión de su influencia en Sir Isaac Newton, que fue su sucesor en Cambridge. Sin embargo, las conferencias de Barrow sobre geometría contienen algunos de los primeros teoremas del cálculo, y por esto es recordado.

Barrow nació en octubre de 1630 (la fecha exacta es desconocida), hijo de Thomas Barrow, un próspero drapeador de lino y fiel realista. Su madre, Anne, murió en el parto. Un rebelde en su juventud, Barrow más tarde se disciplinó y aprendió griego, latín, lógica y retórica. En 1643 ingresó en el Trinity College, donde permanecería durante 12 años. Barrow, como su padre, era un partidario del rey, pero en Trinity la atmósfera se hizo cada vez más anti-realista. Se ganó su grado B.A. en 1648, fue elegido fellow de la universidad en 1649, y recibió su grado M.A. en matemática en 1652. Con estas credenciales, ingresó a su posición final como conferenciante y examinador en la universidad.

Es probable que su próximo puesto hubiera sido una cátedra de griego, pero Barrow fue expulsado de su posición por el gobierno de Cromwell en 1655. Barrow vendió sus libros y emprendió una gira por Europa que duró cuatro años. Cuando regresó de sus viajes, Carlos II acababa de volver al poder; Barrow tomó órdenes sagradas y obtuvo así la cátedra Regius. En 1662 él también aceptó la cátedra Gresham de geometría en Londres, y el año siguiente fue designado como primer profesor Lucasiano de matemática en Cambridge. Durante los seis años siguientes, Barrow concentró sus esfuerzos en escribir las tres series de Lectiones, una colección de conferencias.

La educación de Barrow había sido bastante tradicional, centrada en Aristóteles y los pensadores del Renacimiento, y en algunos temas seguía siendo muy conservador. Pero estaba muy intrigado por el renacimiento del atomismo y la filosofía natural de René Descartes: en la tesis de su maestría estudió a Descartes en particular. Hacia 1652 había leído muchos comentarios de Euclides de Alejandría, así como autores griegos más avanzados como Arquímedes de Siracusa. Su Euclidis elementorum libri XV (los primeros principios de Euclides en 15 libros), escrito en 1654, fue diseñado como un texto de pregrado, haciendo hincapié en la estructura deductiva sobre el contenido. Más tarde produjo comentarios sobre Euclides, Arquímedes y Apolonio de Perga. 

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Aparentemente, la fama científica de Barrow se debió a sus Lectiones, aunque no han sobrevivido. La primera serie Lucasiana, Lectiones mathematicae -dada de 1664 a 1666- se ocupa de los fundamentos de la matemática desde un punto de vista griego. Barrow considera el estado ontológico de los objetos matemáticos, la naturaleza de la deducción, la magnitud espacial y la cantidad numérica, el infinito y el infinitesimal, la proporcionalidad y la inconmensurabilidad, así como las entidades continuas y discretas. Sus Lectiones geometricae fueron un estudio técnico de geometría superior.

En 1664 encontró un método para determinar la línea tangente a una curva, problema que debía ser resuelto completamente por el cálculo diferencial; su técnica implica la rotación y la traslación de líneas. Las conferencias posteriores de Barrow son una generalización de procedimientos de tangencia, cuadratura y rectificación compilados a partir de su lectura de Evangelista Torricelli, Descartes, Frans van Schooten, Johann Hudde, John Wallis, Christopher Wren, Pierre de Fermat, Christiaan Huygens, Blaise Pascal y James Gregory. El material de estas conferencias no fue totalmente original, basándose fuertemente en los autores anteriores, especialmente en Gregory, y las Lectiones geometricae de Barrow no fueron ampliamente leídas.

Barrow también contribuyó al campo de la óptica, aunque sus Lectiones opticae pronto fue eclipsado por la obra de Newton. La introducción describe un cuerpo lúcido, que consiste en “colecciones de partículas diminutas casi imposibles de concebir”, como la fuente de los rayos de luz; el color es una dilución de grosor. El trabajo se desarrolla a partir de seis axiomas, incluyendo la ley euclidiana de la reflexión y la ley seno de la refracción. Gran parte del material se toma de Abū ‘Alī al-Ḥasan ibn al-Ḥasan ibn al-Hayṯam, Johannes Kepler y Descartes, pero el método de Barrow para encontrar el punto de refracción en una interfaz plana es original.

Mucho se ha planteado la hipótesis de la relación entre Barrow y Newton; algunos dicen que Newton derivó muchas de sus ideas sobre el cálculo de Barrow, pero hay poca evidencia de esto. A finales de 1669 los dos colaboraron brevemente, pero no está claro si tuvieron alguna interacción antes de ese tiempo. En ese año Barrow había renunciado a su silla, siendo reemplazado por Newton, con el fin de convertirse en el Real Capellán de Londres, y en 1675 se convirtió en vicerrector de la universidad.

Barrow nunca se casó, contentándose con la vida de soltero. Su personalidad era contundente y sus sermones teológicos eran extremadamente lúcidos y perspicaces, aunque no fue un predicador popular. Barrow era también uno de los primeros miembros de la sociedad real, incorporada en 1662. Era pequeño pero fuerte, y gozó de buena salud; su muerte temprana el 4 de mayo de 1677 se debió a una sobredosis de drogas.

La contribución matemática de Barrow parece algo marginal comparada con la producción prodigiosa de su contemporáneo Newton. Sin embargo, él fue un matemático importante en su tiempo, ganando fama a través de su popular  Lectiones, y fue el primero en derivar ciertas proposiciones del cálculo diferencial.

 


Fuente bibliográfica:

  • McElroy, Tucker (2005) A to Z of Mathematicians. Facts On File, Inc.

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En la Europa del siglo XIII, no había ninguna búsqueda de la ciencia como la que existe hoy en día: en la iglesia medieval, habiendo llegado a hacer irrelevante la razón en cuestiones de fe y de conocimiento, sustituyéndola por la autoridad absoluta del decreto papal y del derecho canónico, reinaba un clima intelectual sofocante. Sin embargo, el uso de la razón y el empirismo, junto con el conocimiento de la creación racional de Dios, resultaría ser la epistemología de la ciencia para los próximos siglos, lo que dio lugar a numerosos descubrimientos. Roger Bacon fue una figura temprana en este cambio de paradigma, actuando vigorosamente como un defensor clave de la utilidad de la matemática y la lógica dentro de las esferas del conocimiento humano. La filosofía natural, que en su opinión era subordinada a la teología, podía servir para el avance de la tarea humana en general (el dominio y ordenamiento de la Tierra y, más específicamente, el desarrollo de la iglesia). Un esfuerzo científico posterior, a partir de los siglos XVIII y XIX, abandonaría estas raíces teístas en favor de la razón como única autoridad en la búsqueda pedagógica del hombre; pero la promoción de Bacon de la utilización de la matemática en asociación con la fe en Dios debía seguir siendo la epistemología guiadora durante varios siglos.

El nacimiento de Bacon ha sido calculado como  aproximadamente en el año 1214, aunque los eruditos difieren en este detalle puesto que no hay una fecha exacta. Este inglés vino de una familia que había sufrido la persecución de la fiesta baronial, debido a su apoyo fallido a Enrique III. Su temprana instrucción en los clásicos latinos, incluyendo a Séneca y Cicerón, lo llevó a su fascinación por la filosofía natural y la matemática, inculcada más adelante en Oxford. Después de recibir su título de M.A. en aproximadamente 1240, aparentemente dio clases en la Facultad de Artes de París de 1241 a 1246. Discutió varios temas de las obras de Aristóteles, y fue un defensor vehemente de la instrucción completa en lenguas extranjeras. Bacon experimentó un cambio drástico en su concepción del conocimiento después de leer las obras de Robert Grosseteste (un filósofo y matemático destacado de la región) cuando volvió a Oxford en 1247; invirtió considerables sumas de dinero para equipo experimental, instrumentos y libros, y buscó el conocimiento de varias personas instruidas. Bajo la influencia de Grosseteste, Bacon desarrolló la creencia de que los lenguajes, la óptica y la matemática eran los temas científicos más importantes, una visión que él mantuvo toda su vida.

Hacia 1251 volvió a París y entró en la orden franciscana en 1257. El capítulo de Narbona fue presidido por Buenaventura, que se oponía a las investigaciones no directamente relacionadas con la teología; él discrepó agudamente con Bacon en los asuntos de la alquimia y de la astrología, que él consideraba como una pérdida completa de tiempo. Bacon, por otra parte, aunque estaba de acuerdo en que no tenían ningún impacto discernible o predecible sobre el destino de los individuos, pensó que las estrellas podían ejercer una influencia genérica sobre los asuntos del mundo; también experimentó en la alquimia, la búsqueda para transformar el plomo en oro. Debido a estas dificultades políticas, Bacon hizo varias propuestas sobre educación y ciencia al cardenal Guy de Folques, que pronto fue elegido papa Clemente IV en 1265. Como papa pidió formalmente a Bacon que presentara sus escritos filosóficos, y el inglés pronto produjo tres obras famosas: Opus maius (Gran obra), Opus minus (Obra más pequeña) y Opus tertium (Tercera obra) en los próximos años.

El Opus maius trataba sus opiniones sobre la filosofía natural y la reforma educativa. La autoridad y la costumbre fueron identificadas como impedimentos para el aprendizaje; aunque Bacon se sometía a la autoridad de las Sagradas Escrituras, creía que la sabiduría contenida allí debía ser desarrollada por la razón, correctamente informada por la fe. En esto se ven algunas semillas tempranas del pensamiento protestante sobre el equilibrio apropiado de autoridad y razón. Sin embargo, Bacon no era un creyente en la deducción pura separada del mundo observado, como los filósofos griegos y los matemáticos de la antigüedad; más bien, defendía la requisición de la experiencia. La información obtenida a través de los sentidos exteriores podría ser medida y cuantificada a través de instrumentos y dispositivos experimentales y analizada a través de la aplicación de la matemática. Al estudiar el mundo natural, era posible, según Bacon, llegar a alguna comprensión del Creador de ese mundo natural. Así, todo el conocimiento humano fue concebido en una unidad armoniosa, guiada por la teología como regente de la ciencia. Por lo tanto, era necesario profundizar la comprensión de las lenguas, la matemática, la óptica, la ciencia experimental, la alquimia, la metafísica y la filosofía moral.

La opinión de Bacon sobre la autoridad era algo progresiva: sin moderación, la autoridad impediría el arado de surcos intelectuales dada la proveniencia por la disputa racional. Sin embargo, no debe pensarse que un predecesor del nihilismo, el relativismo moral u otros sistemas antiautoritarios se puede encontrar en Bacon; creía en una verdad (el cristianismo), pero trataba de usar la razón como una herramienta apta para promover los intereses del Reino de Dios y la civilización del hombre. Los paganos deben ser convertidos por argumento y persuasión, nunca por la fuerza.

La matemática debía desempeñar un papel importante en el sistema entero de Bacon. Por supuesto, entendió el término en un sentido amplio, incluyendo la astronomía y la astrología, la óptica, la causalidad física y la reforma del calendario, incluso con aplicaciones a asuntos puramente religiosos. Su trabajo en óptica se basó en la geometría y se colocó sobre los hombros de Euclides de Alejandría, Claudio Ptolomeo y Abu Ibn al-Haytham, así como Grosseteste. Junto con Grosseteste, abogó por el uso de lentes con fines incendiarios y visuales. Las ideas de Bacon sobre la refracción y la reflexión constituían una ley completamente nueva de la naturaleza. Su trabajo en ciencias experimentales estableció tres objetivos principales: certificar el razonamiento deductivo de otros temas, como la matemática, mediante la observación experimental; añadir nuevos conocimientos no alcanzables por deducción; y para investigar los secretos de la naturaleza a través de nuevas ciencias. La última prerrogativa puede ser vista como un esfuerzo para lograr la magia práctica: la requisición de la naturaleza hacia fines espectaculares y utilitarios.

Bacon enumera cuatro ámbitos de actividad matemática: negocios humanos, asuntos divinos (tales como cronología, aritmética, música), tareas eclesiásticas (como la certificación de la fe y la reparación del calendario) y obras estatales (incluida la astrología y la geografía). La matemática, el “alfabeto de la filosofía”, no tenía límites a su rango de aplicabilidad, aunque la experiencia todavía era necesaria en la epistemología de Bacon. A pesar de su glorioso elogio de “la puerta y clave de las ciencias”, parece que la facilidad de Bacon en matemática no era grande. Aunque tiene algunos resultados originales en ingeniería, óptica y astronomía, no proporciona ninguna prueba o teorema de su propia invención.

También hizo algunas contribuciones en las áreas de geografía y reforma del calendario. Declaró la posibilidad de viajar de España a India, que pudo haber influido en Colón siglos más tarde. Las cifras de Bacon sobre el radio de la Tierra y la proporción de tierra y mar eran bastante precisas, pero basadas en una cuidadosa selección de autoridades antiguas. Su mapa del mundo conocido, ahora perdido, parece haber incluido líneas de latitud y longitud, con las posiciones de pueblos y ciudades famosas. Bacon discutió los errores del calendario juliano con gran perspicuidad, y recomendó la eliminación de un día en 125 años, similar al sistema gregoriano.

Ciertamente, después de su muerte, Bacon tuvo muchos admiradores y seguidores en los siglos posteriores. Siguió escribiendo varias comunicaciones sobre sus teorías científicas, pero en algún momento después de 1277 fue condenado y encarcelado en París por su propia orden franciscana, posiblemente por violar una censura. Su último escrito conocido fue publicado en 1292, y murió algún tiempo después.

Bacon contribuyó en general al avance de la razón y  a un enfoque racional del conocimiento en Europa; sus esfuerzos no sólo influyeron en el curso de la matemática, sino también en la historia de la ciencia en general. Los escritos de Bacon serían familiares para las generaciones posteriores de matemáticos que trabajarían a principios del siglo XVII.

 

 

 


Fuente bibliográfica:

  • McElroy, Tucker (2005) A to Z of Mathematicians. Facts On File, Inc.

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