Eudoxo de Cnido

Nuestra teoría moderna de números reales es esencial para la solución de ecuaciones algebraicas y en todo el análisis matemático; y sin embargo, para muchos griegos, no existía el concepto de número irracional. Eudoxo, que creó una base matemática rigurosa para los números reales a través de su teoría de proporciones, eliminó este bloque conceptual. Como resultado, la matemática griega pudo continuar avanzando. 

Eudoxo nació en Cnido en el año 408 a.C., hijo de Aischines. Cuando aún era un hombre joven, estudió geometría con Arquitas de Tarento, y sus investigaciones filosóficas bien pueden haber sido inspiradas por Platón, a cuyas conferencias asistió mientras estudiaba en Atenas. Después de regresar a su ciudad natal, Eudoxo se fue de viaje a Egipto, pasando parte de su tiempo con los sacerdotes de Heliópolis. Él compuso su ciclo calendárico de ocho años, que probablemente incluyó los ascensos y configuraciones de las constelaciones. Después de un año en Egipto, se estableció en Cícico y fundó una escuela (que probablemente se ocupaba de matemática y filosofía), y más tarde hizo una segunda visita a Atenas. Parece que tuvo alguna interacción adicional con Platón en este momento, aunque Platón no ejerció mucha influencia sobre la filosofía de Eudoxo. Regresó a Cnido, donde dio conferencias, escribió libros de texto y proporcionó leyes para los ciudadanos. 

El pensamiento matemático de Eudoxo se encuentra detrás de gran parte del material de los Libros V, VI y VII de los Elementos de Euclides de Alejandría. Como ninguna de las obras escritas de Eudoxo existe, podemos confiar únicamente en el relato de Euclides. Eudoxo volvió a buscar la proporción matemática, dando por primera vez una definición sensible y rigurosa del concepto (que todavía está en uso hoy en día). También investigó el método de agotamiento (una idea de protocalculo, utilizada para calcular áreas y volúmenes), y se interesó en el desarrollo axiomático de la matemática (este enfoque influyó mucho en Euclides, quien cuidadosamente planteó varios postulados y axiomas de la geometría en los Elementos). Eudoxo pudo haber sido el primero en abordar la matemática de esta manera sistemática. 

Antes de la teoría de la proporción de Eudoxo, la matemática griega estaba inmovilizada por los números irracionales: los pitagóricos ya habían descubierto raíces cuadradas, pero a su modo de pensar estas cantidades no existían realmente. Sólo los números racionales (proporciones de enteros) existían para estos griegos anteriores. Para avanzar en la teoría de números y las soluciones de ecuaciones (y también en la geometría), era necesario incluir números irracionales; la teoría de proporciones de Eudoxo dio una definición rigurosa de los números reales, mostrando en particular la existencia de cantidades irracionales. Es interesante que las definiciones modernas de los números reales, como las propuestas por Richard Dedekind  y Karl Weierstrass, sean prácticamente idénticas a la antigua formulación de Eudoxo. 

Eudoxo trabajó en el viejo «problema de Delos» de duplicar el cubo. Según Arquímedes, Eudoxo probó que el volumen de una pirámide es un tercio del volumen del prisma que lo contiene, con resultados similares para el cono. Aunque Demócrito de Abdera ya conocía estos hechos, Eudoxo fue el primero en probarlos. Parece que también descubrió fórmulas para el área y el volumen de círculos y esferas, respectivamente. Estas proposiciones se dan en el Libro XII de los Elementos, que refleja gran parte del trabajo de Eudoxo en este campo. 

Otro aspecto importante de su trabajo fue la aplicación de la geometría esférica a la astronomía. Eudoxo, en su trabajo Sobre velocidades, expone un sistema astronómico geocéntrico que involucra esferas giratorias. Aunque el modelo estaba altamente idealizado, teniendo un ajuste pobre a los datos de observación conocidos, Aristóteles tomó la idea literalmente y la popularizó a través de su propio trabajo. Eudoxo tenía su propio observatorio y observaba cuidadosamente los cielos como parte de sus propios estudios; publicó sus resultados en el Enoptron y el Phaenomena, que fueron referencias muy utilizadas durante dos siglos. Eudoxo también era conocido como un gran geógrafo, y su Vuelta a la Tierra dio una descripción sistemática del mundo conocido, que incluye información política, histórica y etnográfica. 

Eudoxo fue sin duda uno de los mejores intelectuales de su tiempo, aunque su trabajo se conoce hoy sólo a través de relatos de segunda mano. Su contribución a la matemática a través de la formulación del sistema de los números reales no puede exagerarse; este trabajo permitió un mayor desarrollo de la matemática griega a través de personas como Arquímedes y Eratóstenes.

 

---

Fuente bibliográfica:

• McElroy, Tucker (2005) A to Z of Mathematicians. Facts On File, Inc.

Anuncio publicitario

Read Full Post »

Euclides de Alejandría

La actividad matemática de la antigua Grecia no estaba tan organizada como en los tiempos modernos, ya que había poca uniformidad de notación o esfuerzo. A Euclides de Alejandría se le atribuye la organización del vasto material de teoremas conocidos pero incoherentes y su recopilación en la única obra conocida como los Elementos. Aunque hizo algunas contribuciones propias, Euclides se distingue principalmente por reunir la gran cantidad de información geométrica producida en su tiempo. 

Solo sabemos que Euclides vivió en Alejandría durante la primera parte de la vida de esa ciudad, estando activo en los años comprendidos entre el año 325 a.C. y el 265 a.C. Trabajó después del tiempo de los discípulos de Platón, pero antes del surgimiento de Arquímedes de Siracusa. Vivió en Alejandría durante el reinado del primer Ptolomeo y fundó una próspera escuela de matemática en esa ciudad. 

Euclides pudo haber sido un platónico, ya que era amigo de los asociados de Platón, Eudoxo de Cnido y Teeteto de Atenas. Cuando un estudiante le preguntó sobre el uso de la geometría, Euclides respondió dándole tres óbolos (las monedas de ese momento), ya que «debe sacar provecho de lo que aprende». Euclides es descrito como un hombre justo, no dado a jactancia. Es probable que asistiera a la Academia en Atenas cuando era joven, donde habría estudiado matemática, y luego fue invitado a Alejandría durante la fundación de su famosa biblioteca. 

 

 

Además de los Elementos, Euclides escribió algunos trabajos matemáticos menores: Datos, Sobre divisiones de figuras, Porismas, Loci de superficies y Libro de falacias. Estos tratan una variedad de temas, tales como magnitudes, análisis, divisiones de círculos, secciones cónicas y teoremas de locus. Los Elementos, obra escrita en 13 libros, ha influido mucho en el pensamiento humano durante más de dos milenios. El trabajo se ocupa principalmente de ciertos problemas geométricos, y se propone resolverlos en una serie de proposiciones con demostraciones. El método de Euclides siempre va de lo conocido a lo desconocido a través de pasos cuidadosamente razonados. Las diversas proposiciones se ubican en un orden majestuoso, por lo que resultados anteriores se utilizan en pruebas posteriores, en una especie de progresión matemática. Los libros también contienen varias definiciones esenciales, así como ciertos postulados y axiomas, que son supuestos que deben darse por sentados. Por ejemplo, da por sentada la existencia de puntos, líneas y círculos (así como la capacidad de construirlos), y desde aquí muestra cuántas otras figuras se pueden dibujar. 

Es interesante observar que a partir de sus tres primeros postulados uno puede deducir que el espacio de la geometría de Euclides es infinito y continuo, abarcando tanto lo infinitamente grande como lo infinitamente pequeño. El quinto postulado ha llamado mucho la atención, especialmente en los últimos dos siglos, y establece que las líneas paralelas nunca se encuentran. Muchos matemáticos posteriormente intentaron deducir este quinto postulado de los otros cuatro, por lo que de lograrlo sería redundante; su falla ha resultado en las llamadas geometrías no euclidianas. 

El Libro I trata la geometría de puntos, líneas, triángulos, cuadrados y paralelogramos; esto incluye la proposición 47, más conocida como «teorema de Pitágoras». El Libro II desarrolla la transformación de áreas, y el Libro III se ocupa de intersecciones de círculos. El Libro IV se refiere a la inscripción de figuras rectilíneas en círculos, con aplicaciones a la astronomía. A continuación, Euclides desarrolla una teoría general de la proporción, que ha sido elogiada por los matemáticos por su elegancia y precisión. Su definición de proporción en el Libro V nunca ha sido reemplazada como una formulación del concepto de proporción, y se reconoce como una maravillosa contribución a la matemática. 

A continuación, el Libro VI trata la teoría general de la proporción aplicada a figuras semejantes, ilustrando la importancia de la definición de proporción previamente discutida. Los siguientes tres libros tratan de aritmética; estos presentan un enfoque más bien anticuado al estudio de los números, que Euclides probablemente incluyó por deferencia a las doctrinas tradicionales. Los temas incluyen números primos y mínimo común múltiplo, así como progresiones geométricas de números. El Libro X trata magnitudes irracionales, ya que Euclides establece el «método de agotamiento» utilizado para calcular áreas y volúmenes. Sus últimos tres libros tratan geometría sólida, como paralelepípedos, pirámides, conos y esferas. Euclides termina con la consideración de las cinco figuras platónicas, llamadas pirámide, cubo, octaedro, dodecaedro e icosaedro, que habían sido objetos de estudio ferviente para los griegos. No solo determina sus ángulos, sino que también determina que estos son los únicos sólidos regulares posibles. 

De este gran cuerpo de trabajo, a Euclides se le atribuye principalmente la organización del material ya conocido de la época y la provisión de demostraciones simplificadas en algunos casos. La teoría de la proporción y el método de agotamiento se atribuyen a Eudoxo, y el conocimiento de cantidades irracionales se debe a Teeteto. Sin embargo, Euclides fue el inventor del postulado de las paralelas, dando una definición perspicaz del concepto de línea paralela. Los Elementos introdujeron nuevos estándares de rigor en el pensamiento matemático y también llevaron la matemática aún más a la arena de la geometría. La influencia de Euclides, por estas dos razones, fue profunda y duradera; numerosos matemáticos posteriores, como Sir Isaac Newton, también lanzaron sus ideas matemáticas en el riguroso molde geométrico que Euclides estableció hace tanto tiempo.

 

 

---

Fuente bibliográfica:

• McElroy, Tucker (2005) A to Z of Mathematicians. Facts On File, Inc.

Read Full Post »

Richard Dedekind

Gran parte del trabajo matemático de finales del siglo XIX se centró en establecer bases rigurosas para temas matemáticos previos, como los conceptos de función, infinito y número. Dedekind trabajó en esta última área, interesándose por la definición del número real y el concepto de continuidad.  

Richard Dedekind nació en Brunswick, Alemania, el 6 de octubre de 1831. Su padre, Julius Dedekind, era profesor de derecho en el Collegium Carolinum de Brunswick, y su madre, Caroline Emperius, era hija de otro profesor de la misma institución. Richard Dedekind era el más joven de cuatro hijos en esta familia intelectual; vivió con su segunda hermana la mayor parte de su vida. De joven, Dedekind asistió al Gymnasium local, donde finalmente cambió su enfoque de la física a la matemática, alegando que la física era demasiado desordenada. En el Collegium Carolinum, al que también asistió Carl Friedrich Gauss, Dedekind dominó la geometría analítica, el cálculo diferencial e integral y la mecánica superior. 

En 1850 ingresó a la Universidad de Göttingen, y desarrolló una estrecha amistad con Bernhard Riemann, mientras asistía a conferencias de Moritz Stern, Wilhelm Weber y Carl Gauss. Sólo dos años más tarde Dedekind obtuvo su doctorado bajo la tutoría de Gauss con una tesis sobre integrales eulerianas; fue a Berlín para asistir a las conferencias de Carl Jacobi y Peter Lejeune Dirichlet, completando el resto de su educación. En 1854 obtuvo una cátedra en la Universidad de Berlín, donde enseñó probabilidad y geometría. También en este momento Dedekind se hizo amigo de Dirichlet, quien expandió sus horizontes sociales e intelectuales. En 1858 Dedekind obtuvo un puesto en el Polytechnikum de Zurich, y cuatro años más tarde regresó a su ciudad natal, Brunswick, donde permaneció hasta su muerte. 

Dedekind es bien conocido entre los matemáticos por kas llamadas cortaduras de Dedekind, que fue un elemento en su construcción de los números reales. Ya había notado la falta de una base verdaderamente rigurosa de la aritmética; él construyó con éxito una definición puramente aritmética de continuidad, y formuló exactamente la noción de número irracional. En este sentido, el trabajo de Dedekind se basa en la antigua teoría de la proporción de Eudoxo de Cnido como base para los números reales, aunque las dos versiones no son exactamente idénticas; Dedekind estableció el hecho de que los postulados euclidianos solos, desprovistos de un principio de continuidad, no podían establecer una teoría completa de los números reales. Sus conceptos han tenido una importancia duradera para el campo del análisis matemático, especialmente a través de su uso del orden para comprender los números reales. 

Publicó estas ideas en un manuscrito de 1872 llamado Stetigkeit und Irrationale Zahlen (Continuidad y números irracionales), que estableció a Dedekind como un investigador líder en los fundamentos de la matemática, junto con George Cantor y Bernhard Bolzano. Su libro de 1888 sobre números -Was Sind und was Sollen die Zahlen (Lo que los números son y deben ser)- definió la teoría lógica de números, tratando temas como la continuidad del espacio, la esencia de la aritmética y el papel de los números en la geometría. Un descubrimiento importante fue la definición de infinitud de un conjunto a través de mapeos, que fue vital para la posterior investigación de Cantor sobre la teoría de conjuntos. 

Hay muchas similitudes entre Gauss y Dedekind, incluidas sus personalidades: al igual que Gauss, Dedekind era un trabajador intenso y disciplinado que disfrutaba de un estilo de vida frugal. Era un pensador profundo que prefería las nociones matemáticas a las notaciones útiles. Debido a su estrecho parentesco y al hecho de que Dedekind entendía el trabajo de Gauss mejor que nadie, editó varios de los manuscritos inéditos de Gauss, y pudo comentar convincentemente sobre estos trabajos. Este proyecto llevó a Dedekind al examen de los números complejos, y dio la definición general de un ideal algebraico y estableció varios resultados clásicos. Este trabajo en álgebra, por el cual Dedekind es más famoso, dio lugar a muchos desarrollos fructíferos por parte de posteriores matemáticos, como Emmy Noether y David Hilbert. 

Dedekind estuvo activo en el Polytechnikum de Brunswick, del cual asumió la dirección desde 1872 hasta 1875. Recibió muchos doctorados honorarios durante su vida y tenía un gran número de corresponsales. En 1894 se convirtió en profesor emérito, y después de su muerte el 12 de febrero de 1916, los matemáticos en muchos países lo lloraron. 

La contribución de Dedekind a la matemática podría medirse a través de la cantidad de ideas que llevan su nombre, alrededor de una docena. Sus contribuciones a los fundamentos del concepto de número permitieron el progreso del análisis real, desarrollando un conocimiento más profundo de los números reales y el concepto de continuidad; sus teoremas sobre ideales algebraicos han estimulado mucha actividad adicional en el siglo XX.

 

---

Fuente bibliográfica:

• McElroy, Tucker (2005) A to Z of Mathematicians. Facts On File, Inc.

Read Full Post »