Feeds:
Entradas
Comentarios

Posts Tagged ‘Felix Klein’

Karl Weierstrass ha sido descrito como el padre del análisis moderno. De hecho, sus rigurosos estándares de rigor se han incorporado a la disciplina moderna del análisis, y muchos de los métodos y temas se deben a él. Weierstrass también hizo contribuciones fundamentales al análisis complejo y la teoría de las funciones elípticas.

Karl Theodor Wilhelm Weierstrass nació el 31 de octubre de 1815 en Ostenfelde, Alemania. Su padre, Wilhelm Weierstrass, era un funcionario público altamente educado. La madre de Weierstrass se llamaba Theodora Vonderforst, y Weierstrass era el mayor de cuatro hijos. Cuando Weierstrass tenía ocho años su padre se convirtió en inspector de impuestos, lo que implicaba una constante reubicación. En 1827 murió su madre.

La familia se estableció en 1829 cuando el padre de Weierstrass consiguió un puesto más permanente en Paderborn, y Weierstrass asistió a la escuela secundaria local. Allí se destacó en matemática por encima de todas las materias, y desarrolló una facilidad inusual y amor por esta disciplina. Ya estaba leyendo el famoso Journal de Crelle en 1834 cuando ingresó a un programa de finanzas en la Universidad de Bonn. La carrera de finanzas no era elección de Weierstrass sino de su padre; en rebeldía y con espíritu de aflicción Weierstrass desperdició sus años universitarios con exceso de alcohol y mucho tiempo de dedicación a la esgrima. Aunque no asistía a la mayoría de sus clases, Weierstrass continuó con sus clases privadas.

En 1840, Weierstrass aprobó sus exámenes con excelentes resultados, habiendo demostrado una cierta derivación de Niels Henrik Abel a partir de una ecuación diferencial; su examinador pensó que la prueba era digna de publicación. Weierstrass pasó a enseñar en la escuela secundaria de Münster, y escribió tres artículos entre 1841 y 1842 sobre variables complejas. En estos documentos reformuló el concepto de función analítica en términos de series de potencias convergentes, en oposición al típico enfoque a través de la diferenciación. Mientras tanto, enseñó una variedad de temas, como historia, geografía e incluso gimnasia, y se aburrió por completo. La carga de trabajo era bastante pesada, porque realizaba investigaciones sobre matemática teórica en cada momento libre. Este ajetreo puede haber causado sus problemas de salud posteriores, que comenzaron en 1850: sufrió ataques de mareos, seguidos de náuseas.

Weierstrass trabajó en Brauensberg desde 1848, pero después de la publicación en 1854 de su Toward the Theory of Abelian Functions, que fue ampliamente aclamado por los matemáticos, recibió varias ofertas de universidades destacadas. Este artículo esbozaba la representación de funciones abelianas como series de potencias convergentes, y la Universidad de Königsberg le confirió un doctorado honorario en 1854. Ernst Eduard Kummer intentó conseguir un puesto para Weierstrass en la Universidad de Breslau, pero este intento fracasó. Weierstrass permaneció como profesor titular en Brauensberg hasta 1856, cuando aceptó el trabajo de sus sueños en la Universidad de Berlín. Mientras tanto, publicó un seguimiento de su artículo de 1854, que daba todos los detalles de su método de inversión de integrales hiperelípticas.

El mandato de Weierstrass en Berlín, junto con Kummer y Leopold Kronecker, convirtió a esa escuela en la meca matemática de Alemania en ese momento. Las concurridas conferencias de Weierstrass de los próximos años dan una idea de la diversidad y la profundidad de su investigación matemática: en 1856 discutió la teoría de las funciones elípticas aplicadas a la geometría y la mecánica, en 1859 abordó los fundamentos del análisis y en 1860 impartido conferencias sobre cálculo integral. Sus investigaciones produjeron una función continua que no era diferenciable en ninguna parte; la existencia de una función tan extraña destrozó la excesiva dependencia de la mayoría de los analistas en la intuición, ya que hasta ese momento los matemáticos solo podían concebir la no diferenciabilidad que ocurre en puntos aislados. El curso de Weierstrass de 1863 fundó la teoría de los números reales, un área en la que otros matemáticos como Richard Dedekind y George Cantor, también trabajarían. Él demostró que los números complejos son la única extensión algebraica conmutativa de los números reales, un resultado que Carl Friedrich Gauss declaró anteriormente pero nunca probó.

Los problemas de salud de Weierstrass continuaron y experimentó un colapso total en 1861; se tomó el año siguiente para recuperarse, pero nunca fue el mismo. A partir de ese momento, tuvo un asistente para escribir sus conferencias, y los dolores crónicos en el pecho reemplazaron su mareo.

Weierstrass organizó sus diversas conferencias en cuatro cursos principales: funciones analíticas, funciones elípticas, funciones abelianas y el cálculo de variaciones. Los cursos eran frescos y estimulantes, ya que gran parte del material era su propia investigación innovadora. Es un testimonio del legado de su estilo que los cursos modernos de análisis siguen la progresión de temas de Weierstrass, incluido el concepto de serie de potencia de una función, continuidad y diferenciabilidad y continuación analítica.

Weierstrass colaboró con Kummer y Kronecker de manera rentable durante muchos años, pero luego él y Kronecker se separaron de las ideas radicales de Cantor; Weierstrass apoyaba las ideas innovadoras de Cantor en teoría de conjuntos, pero Kronecker no podía aceptar las construcciones patológicas. Weierstrass tuvo muchos estudiantes excelentes, algunos de los cuales se convirtieron en matemáticos famosos, como Cantor, Sophus Lie y Felix Klein. Instruyó en privado a Sofia Vasilyevna Kovalévskaya, a quien no se le permitió inscribirse formalmente debido a su género. Weierstrass tuvo una gran relación intelectual con esta mujer, a quien ayudó a encontrar un puesto adecuado.

Weierstrass estaba muy preocupado por el rigor matemático. Sus altos estándares quedaron impresos para la generación siguiente y provocaron una intensiva investigación sobre los fundamentos de la matemática, como la construcción del sistema de números reales. Los estudios de convergencia de Weierstrass lo llevaron a distinguir diferentes tipos, lo que provocó la investigación en varias topologías para espacios de funciones. Estudió el concepto de convergencia uniforme, que preserva la continuidad, e ideó varias pruebas para la convergencia de series y productos infinitos. Su enfoque de publicación fue cuidadoso y metódico, por lo que sus publicaciones fueron pocas pero extremadamente profundas y exactas.

Weierstrass continuó enseñando hasta 1890. Sus últimos años se dedicaron a publicar los trabajos recopilados de Jakob Steiner y Carl Jacobi. Murió de neumonía el 19 de febrero de 1897 en Berlín, Alemania. Sus contribuciones a la matemática, en particular al análisis real y complejo, fueron extensas y de gran alcance, lo que le valió el epíteto de “padre del análisis moderno”. Su influencia también se extendió a través de la gran cantidad de estudiantes talentosos a quienes dirigió y que además desarrolló sus ideas en varias nuevas direcciones. Desde sus humildes comienzos como profesor de secundaria, Weierstrass logró grandes cosas para el campo de la matemática.

 


Fuente bibliográfica:

  • McElroy, Tucker (2005) A to Z of Mathematicians. Facts On File, Inc.

Read Full Post »

George Pólya es una de las figuras más conocidas del siglo XX para los matemáticos debido a su trabajo pedagógico en la resolución de problemas. Su trabajo matemático notablemente diverso, que logró resultados de destacar en probabilidad y combinatoria, entre otros campos, le merece un lugar entre los de los mejores investigadores de su tiempo.

George Pólya nació el 13 de diciembre de 1887 en Budapest, Hungría, en el hogar de Jakab Pólya y Anna Deutsch. Los padres de Pólya eran judíos húngaros que habían cambiado su apellido a Pólya de Pollák por razones políticas. El padre de Pólya originalmente había sido abogado, pero estaba más interesado en los estudios académicos, y obtuvo un puesto en la Universidad de Budapest mientras que George Pólya aún era joven. Pólya tuvo un hermano mayor, Jenö, dos hermanas mayores, Ilona y Flóra, y un hermano menor, Lásló. 

Aunque los padres de Pólya eran judíos, toda la familia se convirtió al catolicismo romano antes de que naciera Pólya. Su padre murió cuando Pólya tenía 10 años, y toda la familia trabajó para ayudar con la educación de Pólya. El  niño se desempeñó bien en la escuela primaria, pero era indiferente a la matemática; más tarde afirmó que sus profesores de matemática eran terribles. Se matriculó en la Universidad de Budapest en 1905, con el apoyo de su hermano mayor, Jenö, que por entonces era cirujano. La madre de Pólya lo alentó a estudiar derecho, pero encontró el tema aburrido y, en cambio, recurrió a los idiomas, la literatura y la filosofía. Sus profesores de filosofía informaron a Pólya que carecía de una formación adecuada en matemática y física, por lo que comenzó a estudiar estos temas. Posteriormente, asistió a la Universidad de Viena de 1910 a 1911 y, a su regreso a Budapest, recibió un título de doctor tras resolver un problema de probabilidad. Pasó los años 1912 y 1913 en la Universidad de Göttingen, realizando estudios adicionales con matemáticos como Felix Klein, David Hilbert y Hermann Weyl.

La experiencia de Pólya en Alemania forjó en gran medida su desarrollo como matemático, pero se vio obligado a abandonar Göttingen después de estar involucrado en la anarquía. En un tren se involucró en un altercado con un hombre joven, y Pólya tapó sus oídos para provocarlo aún más. El joven era estudiante en Göttingen, y su padre era un funcionario político con el poder de prohibir a Pólya salir del campus. Más tarde, Pólya modificó su temperamento luchador, convirtiéndose en un pacifista y esquivador de líos al comienzo de la Primera Guerra Mundial.

Pólya viajó un poco más, visitando a los matemáticos Charles-Émile Picard y Jacques-Salomon Hadamard en París. Más tarde recibió un puesto en la Universidad de Zúrich en 1914, donde colaboró con Adolf Hurwitz, cuyo trabajo encontró bastante influyente. Pólya también tuvo a Weyl y Ernst Zermelo como colegas, y su investigación fue bastante fructífera en este momento. Cuando estalló la Primera Guerra Mundial, Pólya evitó el servicio militar en su Hungría natal a través de una lesión previa en el fútbol; más tarde, fue reclutado de todos modos, pero se negó a servir, convirtiéndose en ciudadano suizo. Se casó con Stella Vera Weber, la hija de un profesor de física, en 1918.

Pólya había conocido al matemático Gábor Szego en 1913 en Budapest, y poco después de la guerra se contactó con él con la idea de escribir un libro sobre la resolución de problemas matemáticos. Aunque hay muchos libros de este tipo ahora, su Aufgaben und Lehrsätze aus der Analysis (Problemas y teoremas del análisis) de 1925 fue el primer texto de este tipo. Los autores clasificaron los problemas en el análisis de una manera novedosa: agruparon el material según el método de solución en lugar del desarrollo natural e histórico. Este libro fue un gran éxito y ayudó a Pólya a alcanzar cierta fama.

En 1920 Pólya fue promovido a profesor, y en 1924 obtuvo una beca para trabajar con Godfrey Harold Hardy en Cambridge; ellos (junto con Littlewood) comenzaron a trabajar en el libro Desigualdades, publicado más tarde en 1934. Pólya publicó más de 30 artículos entre 1926 y 1928 sobre una amplia gama de temas matemáticos, y como resultado fue ascendido a profesor titular en 1928. La investigación de Pólya versó sobre probabilidad, geometría, análisis complejo, física y combinatoria. También trabajó en teoría de números, astronomía y muchos problemas aplicados, como la matemática de la votación. Algunos de sus logros de investigación incluyen el estudio de la caminata aleatoria, el análisis de Fourier aplicado a la probabilidad, el teorema del límite central y teselados geométricos. La caminata aleatoria es un modelo de movimiento, donde un objeto en una línea se mueve hacia adelante o hacia atrás con las mismas oportunidades. Esto se puede generalizar a espacios de dimensiones superiores, dando caminatas aleatorias en el plano y en el espacio. Pólya demostró que un caminante aleatorio regresa a su ubicación inicial solo si la dimensión de la caminata aleatoria es de al menos tres: uno puede perderse en el espacio pero no en una línea o en un plano.

El trabajo de Pólya sobre configuraciones geométricas en el plano se relacionó con los diversos teselados del plano, una partición del plano en figuras (como triángulos o hexágonos) que eran invariantes bajo ciertas rotaciones y cambios. Maurits Cornelis Escher utilizó más tarde las ideas de Pólya para crear su bella obra de arte. Pólya contribuyó enormemente al conocimiento de esta disciplina, llamada cristalografía, que tiene muchas aplicaciones en química y arte. En combinatoria, el mayor resultado de Pólya fue su teorema de enumeración, que proporcionó un método para contar objetos que comparten ciertas propiedades; Esto llevó más tarde al nuevo campo de la teoría de grafos enumerativos. En el análisis complejo, Pólya contribuyó a la teoría potencial y a la temática de mapeos conformes, y exploró las singularidades de las series de potencias.

Pólya visitó Princeton en 1933 con otra beca, y mientras estuvo en los Estados Unidos también visitó Stanford. En 1940, el clima político en Europa llevó a Pólya a emigrar, y trabajó primero en la Universidad Brown antes de establecerse en Stanford. Alrededor de este tiempo Pólya estaba publicando su nuevo libro, How to Solve It, que se convirtió en un éxito instantáneo entre los matemáticos. Pólya hizo hincapié en la idea de aprendizaje heurístico, la colección de métodos y técnicas que se utilizan para resolver clases de problemas. Esto fue un hito en la teoría de la educación matemática y, a lo largo de los años Pólya continuó presentando libros similares. Una de sus tesis principales fue que la matemática implica pensar; es un tema profundamente intelectual, no una colección mecánica de métodos y técnicas. El enfoque mecanicista que prevalece hoy en día en las escuelas secundarias de los EE.UU. difiere mucho de la filosofía de Pólya, y las consecuencias de esto apenas comienzan a experimentarse.

Pólya recibió muchos premios y distinciones a lo largo de su vida, incluida la elección a la Academia Nacional de Ciencias y la pertenencia a diversas sociedades matemáticas. Se retiró de Stanford en 1953, pero continuó investigando en la matemática, especialmente interesado en la educación matemática. El último curso que impartió fue una conferencia sobre combinatoria en Stanford en 1978, cuando tenía más de 90 años. Murió el 7 de septiembre de 1985 en Palo Alto, California.

Pólya fue uno de los matemáticos más talentosos del siglo XX, como lo demuestran sus diversos y profundos logros en investigación. Su trabajo sobre el aprendizaje y la enseñanza de la matemática fue profundo, y quizás sea el padre de los estudios modernos en esta área. Sus libros de resolución de problemas siguen siendo clásicos, y su influencia se prolonga hasta nuestros días.

 


Fuente bibliográfica:

  • McElroy, Tucker (2005) A to Z of Mathematicians. Facts On File, Inc.

Read Full Post »

Henri Poincaré ha sido descrito como el último de los grandes matemáticos adeptos en varias ramas de la matemática y la ciencia; sin embargo, podría hacerse una afirmación similar sobre David Hilbert. Poincaré fue un genio de primer rango, cuyas innovadoras contribuciones moldearon (y en algunos casos, esencialmente, fundaron) varias áreas de la matemática, incluida la geometría algebraica, la topología algebraica, la teoría de las funciones automórficas en el análisis complejo y la dinámica no lineal. Su trabajo continúa ejerciendo influencia en estudios modernos de topología y geometría.

Jules-Henri Poincaré nació el 29 de abril de 1854 en Nancy, Francia, hijo de Léon Poincaré, profesor de medicina en la Universidad de Nancy, y Eugénie Launois. Henri Poincaré era físicamente débil, sufría de miopía y falta de coordinación; estuvo enfermo por un tiempo de difteria. Sin embargo, sus dones intelectuales compensaron con creces estas deficiencias. Su madre le enseñó a escribir a una edad temprana, y Poincaré más tarde se convirtió en un poderoso autor.

Cuando Poincaré aún era joven, comenzó a trabajar en la escuela local de Nancy en 1862 (esta escuela más tarde pasó a llamarse Lycée Henri Poincaré en su honor). Durante los siguientes 11 años, Poincaré demostró ser el mejor estudiante, sobresaliendo en todos los temas, especialmente en matemática; a menudo ganaba el primer premio en las competiciones a las que se presentaba. Ingresó en la École Polytechnique en 1873 y se graduó dos años después. Poincaré fue mucho más allá de sus compañeros en la mayoría de los temas intelectuales; también le interesaba mucho la música, especialmente el piano. Leyó ampliamente sobre ciencia, y así obtuvo un conocimiento profundo de electricidad, óptica y termodinámica.

A continuación, Poincaré realizó estudios adicionales en la École des Mines y trabajó brevemente como ingeniero de minas mientras trabajaba en su doctorado en la Universidad de París. Su mentor fue Charles Hermite, y Poincaré completó una tesis sobre ecuaciones diferenciales en 1879. Desde aquí, Poincaré pasó por varios puestos: profesor de análisis en la Universidad de Caen, catedrático en la Facultad de Ciencias de París en 1881, y profesor de la cátedra de física matemática y probabilidad en la Sorbona en 1886. Sus conferencias eran desorganizadas, pero abordaban material nuevo cada año; Poincaré condimentó sus temas matemáticos con aplicaciones de óptica, astronomía, electricidad y otras ciencias afines.

Además de su trabajo científico, que incluye contribuciones a la mecánica celeste, la fluidez de canales y filosofía de la ciencia, también se le acreditó como co-inventor de la teoría especial de la relatividad junto con Albert Einstein: Poincaré profundizó en varias de las más grandes ramas de la matemática pura. Su trabajo de tesis condujo a la definición de función automórfica, que ahora es un componente clásico de la teoría del análisis complejo (los automorfismos también desempeñan un papel importante en el álgebra abstracta). Estas son funciones complejas cuyos valores son invariantes en ciertos grupos de transformaciones del espacio dominio. Poincaré tuvo una correspondencia fluida con Felix Klein en relación con estas funciones nuevas e intrigantes, que tenían conexiones con la geometría no euclidiana.

El Analysis Situs de Poincaré de 1895 fue un tratamiento sistemático de topología (el estudio de mapeos continuos que operan en superficies de alta dimensión), un tema incipiente a fines del siglo XIX. En este y en otros artículos de la próxima década, Poincaré desarrolló el tema de la topología algebraica. Esencialmente, esta asignatura usa herramientas algebraicas, como grupos y anillos, para describir y clasificar objetos topológicos. La famosa  conjetura de Poincaré, probada en 2003 por Grigori Perelman, establece que cualquier variedad tridimensional con un grupo de homotopía igual al de una esfera debe ser topológicamente equivalente (es decir, puede deformarse continuamente sin desgarrarse) en una forma de esfera tridimensional. Poincaré lo conjeturó después de probarlo en el campo intuitivo de dos dimensiones, y lo conjeturó para dimensión tres. Es intrigante que la conjetura haya sido verificada para dimensiones más altas, pero una prueba para la dimensión tres fue eludida por tanto tiempo. El trabajo de Poincaré dominó la escena de la topología algebraica durante las siguientes cuatro décadas: sus métodos, sus preguntas y sus resultados fueron enormemente influyentes.

Poincaré inició el estudio de las funciones de varias variables complejas a través de su trabajo de 1883 sobre el principio de Dirichlet. Este  difícil tema todavía está siendo estudiado hoy. Trabajó en el campo de la geometría algebraica, el estudio de variedades dadas como solución de ecuaciones algebraicas en varias variables. En 1910 y 1911 desarrolló métodos poderosos que le permitieron probar resultados conjeturados previamente relacionados con curvas algebraicas embebidas en superficies algebraicas. Poincaré estudió la teoría de números en 1901 examinando ecuaciones diofánticas. Más tarde afirmó que un enfoque axiomático de los fundamentos de la aritmética sería incapaz de proporcionar una prueba rigurosa de la consistencia de la teoría de números; su opinión fue reivindicada décadas más tarde a través del trabajo de Kurt Gödel.

Poincaré también estudió óptica, electricidad, telegrafía, capilaridad, elasticidad, termodinámica, teoría del potencial, teoría cuántica y teoría de la relatividad y cosmología. En una competencia de 1889 en Suecia, desarrolló nuevas ideas en dinámicas no lineales sobre el problema de los tres cuerpos de la mecánica celeste. Aunque ganó el premio, un error percibido en su manuscrito lo condujo a una extensa correspondencia con el matemático Magnus Mittag-Leffler. Algunos datan el nacimiento de la teoría del caos en esta comunicación. Además de su otro trabajo sobre mecánica de fluidos, Poincaré también escribió artículos científicos dirigidos a un público popular, y avanzó un largo camino hacia la matemática y la ciencia de interés para la gente común de Francia.

Poincaré también contribuyó a la filosofía de la ciencia, y fue una influencia guía en la lógica matemática, donde destacó la importancia de la intuición sobre la axiomatización. El proceso de pensamiento de Poincaré fue el tema de un estudio psicológico realizado por Toulouse, quien lo describió como un verdadero genio que se basa en una sorprendente intuición matemática. Poincaré dejaba los problemas por un tiempo, dejando que su mente reflexionara inconscientemente sobre ellos; luego, volvía al proyecto con vigor, dando saltos repentinos del intelecto. De esta manera pudo lograr una notable diversidad y profundidad de material matemático. Por lo tanto, la lógica sola era infructuosa según Poincaré, y solo era útil como herramienta para la corrección de la intuición. Esta mentalidad es bastante similar a la filosofía de Luitzen Egbertus Jan Brouwer.

Poincaré fue muy honrado durante su vida, recibió muchos premios: fue elegido para la Academia de Ciencias en 1887 y se convirtió en presidente en 1906. Debido a la amplitud de sus investigaciones fue el único miembro de la academia elegido para las cinco secciones: geometría, física, geografía, navegación y mecánica. Murió de manera algo prematura el 17 de julio de 1912, en París, Francia. Aunque sus contribuciones a la matemática fueron fenomenales, no tuvo su propia escuela, ya que no fue mentor de estudiantes. Sin embargo, las ideas y los métodos de Poincaré han demostrado tener una gran influencia en la matemática moderna, especialmente en la topología algebraica, el análisis complejo y la geometría diferencial.

 


Fuente bibliográfica:

  • McElroy, Tucker (2005) A to Z of Mathematicians. Facts On File, Inc.

Read Full Post »

Older Posts »