El comentario del siglo III de Liu Hui sobre Los Nueve Capítulos es el texto más importante que data de antes del siglo XIII que contiene pruebas en el sentido moderno. Su comentario sobre los algoritmos para calcular los volúmenes de cuerpos ejemplifica el tipo de trabajo matemático que llevó a cabo a lo largo del libro por el bien de la exégesis. Liu demostró los algoritmos ya presentados en Los Nueve Capítulos, y también proporcionó y probó nuevos algoritmos para los mismos volúmenes tridimensionales. Además, organizó estos algoritmos, dados uno tras otro sin comentario en Los Nueve Capítulos, en un sistema en el que las pruebas de un algoritmo utilizan sólo algoritmos que ya se habían establecido de forma independiente. Utilizó un pequeño conjunto de técnicas de demostración, incluyendo la disección (incluso para un número infinito de piezas), la descomposición en piezas conocidas y la recomposición, y una versión simplificada de lo que se conoció más tarde en Occidente como el principio de Cavalieri, que establece que si dos sólidos de la misma altura son tales que sus correspondientes secciones en cualquier nivel tienen la misma área, entonces ellos tienen el mismo volumen. Liu dedujo el volumen de un sólido cuyas secciones transversales son círculos circunscribiendo cada sección con un cuadrado (una versión más fina del principio de Cavalieri fue utilizada por Zu Gengzhi en el siglo V para establecer la corrección del algoritmo de cálculo del volumen de una esfera.)
La gran importancia del comentario de Liu Hui sobre Los Nueve Capítulos reside en el hecho de que demostró la exactitud de algoritmos no sólo en geometría sino también en aritmética y álgebra. En el curso de probar los algoritmos dados en varias secciones del trabajo, él los comparó con otros y demostró cómo las mismas operaciones formales, que él llamó los «pasos claves» del cálculo, se ponen en juego en diversos algoritmos. Por ejemplo, al comparar los procedimientos de adición de fracciones y de resolución de ecuaciones lineales simultáneas -una comparación que se lleva a cabo al establecer su corrección- Liu mostró que los conjuntos de números que están involucrados (numerador y denominador para una fracción, coeficientes de una ecuación para sistemas de ecuaciones) comparten la propiedad de que todos los números de un conjunto pueden multiplicarse por el mismo número sin alterar el significado matemático de ese conjunto. Ambos algoritmos, demuestra Liu, proceden de multiplicar los conjuntos de números que entran en un problema, cada uno por un factor apropiado, de tal manera que algunos números correspondientes de los conjuntos se hacen iguales y otros números se multiplican para mantener intacto el significado de los conjuntos en su totalidad. En el caso de las fracciones, los denominadores se hacen iguales, y los numeradores se cambian apropiadamente. Para las ecuaciones lineales, el procedimiento es el mismo cuando dos números en la misma fila pero en diferentes columnas se tornan iguales mediante una multiplicación apropiada, de modo que uno de ellos pueda eliminarse mediante una resta de columna a columna. Las columnas completas se multiplican por el mismo número para que las ecuaciones sigan siendo válidas. Liu procedió a partir de estas analogías para establecer nuevos algoritmos para los mismos problemas.
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