François Viète

François Viète, junto con Pierre de Fermat, René Descartes y Blaise Pascal, fue uno de los principales fundadores de las matemáticas europeas. Se le conoce como el «padre del álgebra» debido a su introducción de tantos conceptos y notaciones importantes que todavía están en uso. Sin embargo, su trabajo matemático no se limitó al álgebra, sino que también contribuyó con la geometría, la trigonometría y el análisis.

Viète nació en 1540 en Fontenay-le-Comte, una ciudad en la provincia de Poitou, Francia. Su padre, Étienne Viète, era abogado en Fontenay-le-Comte, y su madre era Marguerite Dupont. Viète siguió la profesión de su padre y se graduó con una licenciatura en derecho de la Universidad de Poitiers en 1560. Durante cuatro años siguió una carrera legal antes de abandonarla para dedicarse a la ciencia y la matemática. Viète se convirtió en tutor de la hija de un noble en la ciudad de La Rochelle.

En los años siguientes, las guerras de religión francesas continuaron causando furor entre los católicos romanos y los protestantes. Viète era un hugonote, y naturalmente se alió con los protestantes. Más tarde en su vida se convirtió en víctima de persecución religiosa. Antes de 1570, cuando se fue de La Rochelle a París, trabajó en varios temas de matemática y ciencias, y publicó su primer trabajo matemático, el Canon Mathematicus seu ad triangular, en 1571. Este libro fue diseñado para proporcionar material matemático introductorio pertinente al área de la astronomía; incluía varias tablas trigonométricas, así como técnicas para estudiar triángulos planos y esféricos. Aquí, Viète primero da una notación para las fracciones decimales siendo un precursor de las notaciones modernas. La notación, especialmente en esta etapa inmadura en la historia de la matemática, era tremendamente importante para el avance del conocimiento, ya que daba un lenguaje conveniente y apropiado para expresar ideas sutiles. Podría decirse que la buena notación sigue siendo de vital importancia para las matemáticas abstractas modernas. Un ejemplo destacado de este punto es el sistema de números arábigos, que es esencialmente una notación que ha facilitado enormemente el cálculo y la teoría de números; otro ejemplo son las notaciones de ecuaciones algebraicas (con exponentes para potencias de cantidades desconocidas y letras para designar variables o constantes) introducidas en gran parte por el propio Viète.

En 1572, el rey Carlos IX autorizó la masacre de los hugonotes, pero Viète escapó y fue nombrado consejero del gobierno de Bretaña en 1573. En los años posteriores de inestabilidad política trabajó para Enrique III y, después de su asesinato, para Enrique IV. Viète fue nombrado primer consejero real de Enrique III en 1580 pero, después del ascenso del poder católico en París, fue desterrado en 1584 por su fe protestante. Pasó los siguientes cinco años en Beauvoir-sur-Mer, dedicándose a actividades matemáticas.

Enfocó sus labores iniciales en la astronomía, pues deseaba publicar un libro importante, que se convertiría en su Ad harmonicon coeleste, sobre astronomía. Esto nunca se completó, pero cuatro versiones manuscritas han sobrevivido a los estragos del tiempo. Estos manuscritos muestran que Viète se preocupaba principalmente por la geometría y las teorías planetarias de Copérnico y Claudio Ptolomeo.

En 1588, los católicos obligaron a Enrique III a huir de París, y instaron a Viète para que lo acompañara en el exilio. Viète fue nombrado miembro del parlamento del rey en su gobierno en Tours. Un fraile católico asesinó a Enrique III en 1589, y Viète entró al servicio del heredero, Enrique IV. Enrique IV, anteriormente protestante, se basó en gran medida en las habilidades de Viète, quien finalmente decodificó las transmisiones secretas del rey de España, que estaba tramando una invasión de Francia. Es interesante señalar que el rey español Felipe II, confiado en su cifrado, creyó que el conocimiento francés de sus planes militares se logró mediante magia negra. En este caso, fue la matemática en lugar de la brujería quien contribuyó en la tarea.

Estos eventos tuvieron lugar en 1590, y Viète, por su parte, dio conferencias en Tours. Éstas trataron varios supuestos avances en matemática, por ejemplo, había por entonces una prueba de que el círculo podía cuadrarse, y Viète demostró que estos argumentos eran erróneos. Quizás muestra una debilidad de carácter en él que se convirtiera al catolicismo romano en 1593, siguiendo el ejemplo de su señor, que probablemente se convirtió por razones políticas. Como resultado, Viète regresó a París.

Poco después, Viète participó en una competencia con el matemático holandés Adriaan von Roomen, quien planteó un problema que involucraba una ecuación de grado 45. Viète resolvió este problema y planteó una pregunta geométrica propia. Como resultado de este intercambio, surgió una amistad entre Roomen y Viète. Este último  continuó al servicio del rey hasta su despido en 1602. Murió el 13 de diciembre de 1603 en París, Francia.

Viète es considerado el fundador preeminente del álgebra. Por supuesto, hay numerosos matemáticos árabes (sin mencionar a los griegos) que hicieron contribuciones fundamentales al dar forma a las concepciones de lo que constituye la aritmética (por ejemplo, la introducción del número cero y los números negativos). Sin embargo, Viète ciertamente produjo el primer sistema algebraico completo con una notación consistente. En Introduction to the Analytic Art, publicado en Tours en 1591, Viète usó símbolos alfabéticos familiares para designar variables y constantes, usando vocales para incógnitas y consonantes para cantidades conocidas. Más tarde, Descartes introdujo la convención de que las letras del final del alfabeto deberían designar incógnitas, mientras que las letras del principio del alfabeto debían indicar cantidades conocidas. Sin embargo, Viète hizo una defensa convincente de su sistema de notación; la literatura anterior sobre ecuaciones algebraicas se basaba en expresiones inconvenientes, y con frecuencia las ecuaciones se describían con oraciones en lugar de símbolos abstractos. El uso de símbolos facilitó el cómputo.

Viète hizo poco uso de la matemática árabe, prefiriendo el estilo de los algebraistas italianos como Girolamo Cardano. Debería haber investigado los escritos árabes con más cuidado, ya que muchas de las ideas que presentó ya eran conocidas por los árabes. Sin embargo, Viète estableció un marco algebraico superior para los matemáticos europeos. Además, desarrolló la teoría de las ecuaciones algebraicas, aunque todavía adjuntaba una interpretación geométrica a las cantidades, como lo hacían los griegos. En esencia, esto limitaba los tipos de ecuaciones que podía examinar (por ejemplo, ecuaciones homogéneas). El siguiente nivel de abstracción algebraica fue iniciado por la siguiente generación, incluidos Descartes y Fermat. Sin embargo, la anotación de Viète para las ecuaciones algebraicas fue adoptada con ajustes menores por estos sucesores. Uno puede medir su influencia observando que el término coeficiente para la constante conocida que multiplica una variable desconocida se debe a Viète.

Además del trabajo estrictamente algebraico, Viète también investigó sobre análisis, geometría y trigonometría. Produjo métodos numéricos tempranos para resolver ecuaciones algebraicas, dio una nueva aproximación decimal para pi (así como una caracterización infinita del producto) y presentó métodos geométricos para duplicar el cubo y trisecar un ángulo.

El trabajo matemático de Viète es claramente parte de un movimiento intelectual de Arabia a Italia a Francia, y sus ideas dependían de varios contemporáneos, así como de sus predecesores, como Cardano y Leonardo Fibonacci. Pero su sistema algebraico representa la siguiente etapa en el pensamiento matemático sobre el álgebra, ya que proporcionó una base para futuras exploraciones y generalizaciones. A pesar de que se consideraba a sí mismo como un aficionado (y, de hecho, carecía de formación formal en matemáticas), pudo hacer contribuciones intelectuales que afectarían un cambio de paradigma en los círculos matemáticos.

 

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Fuente bibliográfica:

• McElroy, Tucker (2005) A to Z of Mathematicians. Facts On File, Inc.

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Sir Isaac Newton

Sir Isaac Newton bien pudo haber sido el mejor científico de la civilización occidental. Hizo contribuciones sobresalientes a óptica, mecánica, gravitación y astronomía, utilizando su recién descubierto «método de fluxiones», una forma geométrica de cálculo diferencial, para respaldar sus conclusiones originales. Newton no solo unificó muchas ramas de la física bajo el paraguas de su cálculo diferencial, que proporcionó una herramienta cuantitativa de gran poder para explicar los fenómenos físicos, sino que también hizo sorprendentes descubrimientos que revolucionaron la forma en que los científicos entendían el mundo natural. Su intelecto era altamente creativo, y su genio fue capaz de ocuparse del corazón de un problema científico para proporcionar una explicación novedosa y viable.

Isaac Newton nació el 4 de enero de 1643 en Woolsthorpe, Inglaterra. Su padre, también llamado Isaac Newton, provenía de una larga lista de agricultores ricos. Murió pocos meses antes del nacimiento de su hijo. La madre del joven Isaac, Hannah Ayscough, pronto se volvió a casar, y esto resultó en una infeliz infancia para el niño, esencialmente tratado como huérfano. Newton fue enviado a vivir con sus abuelos maternos, y al parecer no le gustaba su abuelo. Él también estaba resentido con su madre, y llegó a amenazarla con quemarla junto a su nuevo esposo. Newton era de un carácter volátil, propenso a ataques de furia caprichosa.

Cuando el padrastro de Newton murió en 1653, vivió con su madre, medio hermano y dos medias hermanas por un tiempo. En este momento comenzó a asistir a la Free Grammar School en Grantham, pero los informes iniciales indicaban que Newton era un estudiante pobre y desatento. Su madre infligió una pausa en la educación de Newton, llevándolo a casa para administrar su patrimonio. Este fue otro fracaso, ya que Newton no tenía interés en los negocios, y reanudó su educación en 1660. Habiendo mostrado un poco más de predisposición en sus últimos años en Grantham, se permitió que Newton continuara su educación universitaria. Él era mayor y menos preparado que la mayoría de los estudiantes en el Trinity College de Cambridge en 1661.

A pesar de la extensa propiedad y riqueza de su madre, Newton se convirtió en un sizar de Cambridge, esto es, un servidor de los otros estudiantes. Estudió derecho y se familiarizó con la filosofía clásica de Aristóteles y Platón, así como con las ideas más modernas de René Descartes. La revista científica personal de Newton, Certain Philosophical Questions, revela la formulación temprana de sus ideas más profundas. La pasión de Newton por la verdad científica (en aquellos días, la investigación científica se limitaba dogmáticamente al desarrollo de las ideas de Aristóteles) desempeñó un papel en su notable profundidad como pensador.

El interés de Newton por la matemática se desarrolló más tarde. Se cuenta la historia que en 1663 compró un texto de astrología que era incomprensible para él. Esta experiencia llevó a Newton a estudiar geometría, comenzando con los Elementos de Euclides de Alejandría. A continuación, devoró las obras geométricas de Descartes y Francois Viete, así como el Álgebra de John Wallis. En 1663, Isaac Barrow asumió una cátedra en Cambridge y ejerció cierta influencia sobre el joven Newton. Sin embargo, el genio de Newton no surgió en este momento. El florecimiento de su intelecto ocurrió después de su graduación de 1665, cuando regresó a casa durante el verano para escapar de una plaga que cerró Cambridge. Durante los dos años siguientes en Lincolnshire, Newton logró tremendos avances científicos en matemática, física, óptica y astronomía.

El desarrollo de Newton del cálculo diferencial tuvo lugar en este momento, mucho antes de que Gottfried Leibniz hiciera descubrimientos similares e independientes. Newton llamó a su cálculo el «método de fluxiones», y era muy geométrico (mientras que el cálculo de Leibniz es más algebraico). El centro de la técnica de Newton fue la visión de la diferenciación y la integración como procesos inversos. Su método fue capaz de resolver muchos problemas clásicos de una manera más elegante y unificada, mientras que también fue capaz de resolver problemas totalmente nuevos que no se pueden abordar con metodologías más antiguas. El resultado de sus trabajos, De Methodis Serierum et Fluxionum (Sobre los métodos de series y fluxiones), no se publicó hasta 1736, muchos años después de su muerte.

Cambridge volvió a abrir sus puertas en 1667 después de que cesó la plaga, y Newton obtuvo una beca menor, poco tiempo después de obtener su maestría y la silla Lucasiana en 1669, que había sido recientemente abandonada por Barrow. Éste examinó gran parte del trabajo de Newton y ayudó a difundir sus ideas novedosas. También ayudó a Newton a obtener su nuevo puesto. En 1670, Newton incursionó por la óptica, avanzando en una teoría de partículas de la luz, así como en la idea de que la luz blanca estaba compuesta realmente de un espectro de colores diferentes. Ambas ideas eran contrarias a las creencias existentes sobre la naturaleza de la luz, pero aún así fueron bien recibidas. Newton fue elegido miembro de la Royal Society en 1672 después de donar un telescopio reflector de su propia invención. Surgió cierta controversia sobre sus ideas, y Newton no manejó bien las críticas. A lo largo de su vida, experimentó una tensión entre su deseo de publicar y obtener reconocimiento por su genio, y su aversión a las disputas y la política en el ámbito académico.

En 1678, Newton sufrió una crisis nerviosa, probablemente como resultado del exceso de trabajo combinado con el estrés de sus debates escolares. Al año siguiente, su madre murió y Newton se retiró aún más de la sociedad. Su trabajo sobre la gravedad y la mecánica celestial le ha valido la mayor reputación, y sus primeras ideas sobre estos temas se remontan a 1666. Basándose en su propia ley de fuerza centrífuga y la tercera ley del movimiento planetario de Kepler, Newton pudo deducir su ley de cuadratura inversa para la fuerza de gravedad entre dos objetos. Este trabajo se publicó en Philosophiae naturalis principia mathematica (Principios matemáticos de la filosofía natural) en 1687, comúnmente conocido como los Principia. Muchos piensan que este trabajo es el mayor tratado científico de todos los tiempos: presenta un análisis de las fuerzas centrípetas, con aplicaciones en proyectiles y péndulos. Newton demostró la ley del cuadrado inverso para la fuerza gravitacional y formuló el principio general (y universal) de la gravedad como un artefacto fundamental de nuestro universo. Siglos más tarde, Einstein describiría la fuerza de la gravedad como el tejido del espacio mismo. Por supuesto, los Principia tuvieron un éxito enorme, y Newton se convirtió en el científico más famoso de su época.

En la última parte de su vida, Newton se alejó de la investigación científica y se involucró en el gobierno. Cuando Jacobo I intentó nombrar católicos poco calificados para cátedras universitarias, Newton (quien era un ferviente protestante) lo resistió públicamente. Después de la deposición del rey en 1689, Newton fue elegido para el Parlamento y reconocido como un héroe académico. Sufrió una segunda crisis emocional en 1693, tal vez provocada por sustancias químicas de laboratorio, y se retiró oficialmente de la investigación. Se convirtió en guardián de la casa de la moneda en 1696, ascendiendo a un cargo mayor en 1699, y trabajó diligentemente para evitar la falsificación de la nueva moneda.

Los científicos y matemáticos de toda Europa reconocieron a Newton como uno de los más grandes intelectos, aunque la controversia con Leibniz que estalló sobre el tema de la prioridad en la invención del cálculo restó valor a su reinado intelectual. Gran parte de su energía se dedicó a este prolongado debate, llevado a cabo por los discípulos de ambos hombres, y ciertamente el feroz temperamento de Newton fue evidente en su tratamiento de su competidor. Newton ocupó la presidencia de la Royal Society desde 1703 hasta su muerte, y también tiene la distinción de ser el primer inglés en ser nombrado caballero (en 1705 por la reina Ana) por sus logros científicos. Murió el 21 de marzo de 1727 en Londres, Inglaterra.

Es difícil sobreestimar la importancia del trabajo de Newton por lo grande que ha sido su impacto en la ciencia y la matemática. Debe entenderse que su invención del cálculo nació de una larga progresión de esfuerzo intelectual de figuras como Arquímedes, Blaise Pascal y John Wallis, entre otros. Sin embargo, la voz de Newton sonó como una llamada de atención a través de un murmullo de voces desorganizadas e incoherentes. Su cálculo no sólo proporcionó un sistema general que reveló que las metodologías anteriores eran variaciones sobre un tema, sino que también fue una herramienta práctica y poderosa capaz de abordar espinosas preguntas científicas. Su cálculo colocó a las ciencias aún más bajo la sombra de la matemática y el razonamiento cuantitativo, y así aumentó la precisión y el rigor de la física y la astronomía. Solo por su matemática, Newton habría sido considerado una de las mentes más grandes de la historia humana. 

 

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Fuente bibliográfica:

• McElroy, Tucker (2005) A to Z of Mathematicians. Facts On File, Inc.

 

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Christiaan Huygens

Entre el momento de René Descartes y Sir Isaac Newton, se dice que Christiaan Huygens fue el matemático más grande de Europa. Hizo contribuciones sustanciales a la mecánica, la astronomía, la medición del tiempo, la teoría de la luz y la geometría. Su trabajo demostró la eficacia de un enfoque matemático para el estudio de la naturaleza, y Huygens desarrolló muchas herramientas matemáticas sofisticadas. 

Christiaan Huygens nació en La Haya, Países Bajos, el 14 de abril de 1629. Su familia era prominente y tenía una larga historia de servicio diplomático a la casa real. El padre de Christiaan, Constantijn Huygens, educó a sus dos hijos personalmente, cubriendo temas como música, idiomas antiguos, matemática y mecánica. Christiaan Huygens mostró sus considerables talentos intelectuales a una edad temprana, y tenía un don para aplicar la teoría a las construcciones reales: a los 13 años construyó un torno. 

En 1645 Huygens asistió a la Universidad de Leiden, donde estudió Derecho y Matemática. Durante sus dos años allí, se familiarizó con las obras recientes de Francois Viète, Pierre de Fermat y Descartes. Huygens comenzó a investigar la mecánica de la caída de los cuerpos y comenzó una correspondencia con Marin Mersenne. Después de completar sus estudios universitarios, se matriculó en el Colegio de Orange de 1647 a 1649, donde ejerció la abogacía. Sin embargo, Huygens no siguió una carrera en la diplomacia, sino que eligió ser un científico. 

Huygens vivió en su casa hasta 1666, recibiendo el apoyo financiero de su padre que le permitió centrarse en su investigación científica. Primero investigó sobre matemática, considerando cuadraturas de curvas y problemas algebraicos. Las contribuciones matemáticas de Huygens son importantes, ya que mejoró los métodos existentes y tuvo éxito en la aplicación de estos a fenómenos naturales. También desarrolló la nueva teoría de las evolutas y fue uno de los fundadores de la teoría de la probabilidad. 

En 1651, Huygens produjo un manuscrito que refutaba la cuadratura del círculo de Gregory de St. Vincent. En el mismo trabajo, derivó una conexión entre la cuadratura y el centro de gravedad para círculos, elipses e hipérbolas. Su próxima publicación, en 1654, aproxima el centro de gravedad de cualquier arco de un círculo y así obtiene una cuadratura aproximada. Una técnica similar, desarrollada más de una década después, produjo un método rápido para calcular logaritmos.  

Al enterarse del trabajo de probabilidad de Blaise Pascal, Huygens comenzó a estudiar problemas de juego en 1656, como la división justa de apuestas en un juego interrumpido. Inventó el concepto de expectativa matemática, que representa las ganancias a largo plazo en un juego de azar. Esta idea, expresada por Huygens en una forma primitiva, ahora es de importancia central para la teoría moderna de la probabilidad. 

En 1657 Huygens relacionó la longitud del arco de la parábola con la cuadratura de la hipérbola, y utilizó esta propiedad para encontrar el área de la superficie de un paraboloide de revolución. Un año después, descubrió un teorema vital del cálculo moderno: que el cálculo del área superficial de una superficie de revolución podía reducirse a encontrar la cuadratura de la curva normal. 

Su teoría de las evolutas, que se refiere a la geometría de las cuerdas que cuelgan de una superficie convexa, se desarrolló en 1659 como un componente de su investigación sobre los relojes de péndulo. Su método de evolutas determina esencialmente el radio de curvatura de una curva algebraica dada. Huygens también estudió logaritmos, comenzando en 1661, y en este sentido introdujo la función exponencial natural.  

Huygens también contribuyó a otras áreas de la ciencia. Completó un manuscrito sobre hidrostática en 1650, en el cual derivó la ley de Arquímedes de Siracusa a partir de un axioma básico. En 1652 formuló las reglas de la colisión elástica y comenzó su estudio sobre óptica. Más tarde, en 1655, junto con su hermano, recurrió al pulido de lentes y la construcción de telescopios y microscopios. Construyó algunos de los mejores telescopios de su época y pudo detectar los anillos de Saturno. Huygens también observó bacterias y otros objetos microscópicos. 

En 1656 Huygens inventó el reloj de péndulo como una herramienta para medir el tiempo. Se había vuelto cada vez más importante medir con precisión el tiempo, ya que esta tecnología era necesaria para la astronomía y la navegación. La invención de Huygens tuvo mucho éxito. En su investigación teórica de la oscilación del péndulo, Huygens descubrió que el período podía hacerse independiente de la amplitud si la trayectoria del péndulo fuera cicloide. Luego construyó el reloj de péndulo de forma tal que se induciría que el balanceo del péndulo tuviera una trayectoria cicloidal. Este llamado tautocronismo de la cicloide es uno de los descubrimientos más famosos de Huygens.  

A continuación, Huygens comenzó a estudiar la fuerza centrífuga y el centro de oscilación en 1659, obteniendo varios resultados fundamentales. Derivó rigurosamente las leyes de descenso a lo largo de planos y curvas inclinadas y obtuvo el valor de la aceleración debida a la gravedad en la Tierra, que es de aproximadamente 9,8 metros por segundo al cuadrado. Huygens volvió a considerar caídas resistiendo distintos medios (como el aire) en 1668, y concibió la resistencia (o fricción) como proporcional a la velocidad del objeto. Huygens también investigó la teoría ondulatoria de la luz; explicó la reflexión y la refracción en 1676 mediante su concepción de la luz como una serie de ondas de choque de movimiento rápido.  

Es interesante que Huygens no aceptara el concepto newtoniano de fuerza, y fue capaz de eludirlo por completo. También criticó el concepto de fuerza de Gottfried Leibniz, aunque estaba de acuerdo con el principio de la conservación en los sistemas mecánicos. En su filosofía natural, estuvo de acuerdo con Descartes, tratando de llegar a una explicación mecanicista del mundo. Una de sus obras más populares especuló sobre la existencia de vida inteligente en otros planetas, lo que Huygens pensó que era altamente probable. 

Durante el período 1650-1666, Huygens conoció a muchos científicos y matemáticos franceses, y visitó París varias veces. En 1666 Huygens aceptó la membresía en la recién fundada Académie Royale des Sciences y se mudó a París, donde permaneció hasta 1681. Fue el miembro más destacado de la academia y recibió un estipendio generoso. Pasó este tiempo desarrollando un programa científico para el estudio de la naturaleza, observando los cielos y exponiendo sus teorías de la gravedad y la luz.  

Huygens sufría de mala salud y varias veces se vio obligado a regresar a La Haya. En 1681 se fue de nuevo debido a una enfermedad y, debido a tensiones políticas y religiosas, no fue invitado a regresar a Francia. Huygens nunca se casó, pero pudo vivir en la propiedad familiar. En la última década de su vida, regresó a la matemática, habiéndose convencido de la fecundidad del cálculo diferencial de Leibniz. Sin embargo, el conservadurismo matemático de Huygens lo llevó a emplear sus viejos métodos geométricos, y esto de alguna manera inhibió su progreso y comprensión del cálculo. Sin embargo, Huygens pudo resolver varios problemas matemáticos planteados públicamente, como la isócrona de Leibniz, la tractriz y la catenaria. 

Huygens finalmente sucumbió a su constitución enferma, y murió el 8 de julio de 1695. Fue el científico y matemático más prominente de su tiempo (al menos antes que Newton y Leibniz se volvieran más productivos), e hizo contribuciones brillantes a diversas áreas de la ciencia. Sin embargo, la renuencia de Huygens a publicar teorías insuficientemente desarrolladas limitó su influencia en el siglo XVIII; tampoco tuvo ningún alumno para que llevara a cabo su pensamiento. Su trabajo en mecánica abrió nuevas fronteras de investigación, pero su trabajo matemático extendió principalmente técnicas más antiguas en lugar de abrir nuevas perspectivas para la exploración. Sin embargo, Huygens fue un maestro en la aplicación de métodos matemáticos a problemas científicos, como lo demuestra su trabajo sobre la medición del tiempo.

 

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Fuente bibliográfica:

• McElroy, Tucker (2005) A to Z of Mathematicians. Facts On File, Inc.

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