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Isaac Barrow fue el primero en descubrir ciertos aspectos del cálculo diferencial. Hay una cierta controversia sobre esto, y también sobre la extensión de su influencia en Sir Isaac Newton, que fue su sucesor en Cambridge. Sin embargo, las conferencias de Barrow sobre geometría contienen algunos de los primeros teoremas del cálculo, y por esto es recordado.

Barrow nació en octubre de 1630 (la fecha exacta es desconocida), hijo de Thomas Barrow, un próspero drapeador de lino y fiel realista. Su madre, Anne, murió en el parto. Un rebelde en su juventud, Barrow más tarde se disciplinó y aprendió griego, latín, lógica y retórica. En 1643 ingresó en el Trinity College, donde permanecería durante 12 años. Barrow, como su padre, era un partidario del rey, pero en Trinity la atmósfera se hizo cada vez más anti-realista. Se ganó su grado B.A. en 1648, fue elegido fellow de la universidad en 1649, y recibió su grado M.A. en matemática en 1652. Con estas credenciales, ingresó a su posición final como conferenciante y examinador en la universidad.

Es probable que su próximo puesto hubiera sido una cátedra de griego, pero Barrow fue expulsado de su posición por el gobierno de Cromwell en 1655. Barrow vendió sus libros y emprendió una gira por Europa que duró cuatro años. Cuando regresó de sus viajes, Carlos II acababa de volver al poder; Barrow tomó órdenes sagradas y obtuvo así la cátedra Regius. En 1662 él también aceptó la cátedra Gresham de geometría en Londres, y el año siguiente fue designado como primer profesor Lucasiano de matemática en Cambridge. Durante los seis años siguientes, Barrow concentró sus esfuerzos en escribir las tres series de Lectiones, una colección de conferencias.

La educación de Barrow había sido bastante tradicional, centrada en Aristóteles y los pensadores del Renacimiento, y en algunos temas seguía siendo muy conservador. Pero estaba muy intrigado por el renacimiento del atomismo y la filosofía natural de René Descartes: en la tesis de su maestría estudió a Descartes en particular. Hacia 1652 había leído muchos comentarios de Euclides de Alejandría, así como autores griegos más avanzados como Arquímedes de Siracusa. Su Euclidis elementorum libri XV (los primeros principios de Euclides en 15 libros), escrito en 1654, fue diseñado como un texto de pregrado, haciendo hincapié en la estructura deductiva sobre el contenido. Más tarde produjo comentarios sobre Euclides, Arquímedes y Apolonio de Perga

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Aparentemente, la fama científica de Barrow se debió a sus Lectiones, aunque no han sobrevivido. La primera serie Lucasiana, Lectiones mathematicae -dada de 1664 a 1666- se ocupa de los fundamentos de la matemática desde un punto de vista griego. Barrow considera el estado ontológico de los objetos matemáticos, la naturaleza de la deducción, la magnitud espacial y la cantidad numérica, el infinito y el infinitesimal, la proporcionalidad y la inconmensurabilidad, así como las entidades continuas y discretas. Sus Lectiones geometricae fueron un estudio técnico de geometría superior.

En 1664 encontró un método para determinar la línea tangente a una curva, problema que debía ser resuelto completamente por el cálculo diferencial; su técnica implica la rotación y la traslación de líneas. Las conferencias posteriores de Barrow son una generalización de procedimientos de tangencia, cuadratura y rectificación compilados a partir de su lectura de Evangelista Torricelli, Descartes, Frans van Schooten, Johann Hudde, John Wallis, Christopher Wren, Pierre de Fermat, Christiaan Huygens, Blaise Pascal y James Gregory. El material de estas conferencias no fue totalmente original, basándose fuertemente en los autores anteriores, especialmente en Gregory, y las Lectiones geometricae de Barrow no fueron ampliamente leídas.

Barrow también contribuyó al campo de la óptica, aunque sus Lectiones opticae pronto fue eclipsado por la obra de Newton. La introducción describe un cuerpo lúcido, que consiste en «colecciones de partículas diminutas casi imposibles de concebir», como la fuente de los rayos de luz; el color es una dilución de grosor. El trabajo se desarrolla a partir de seis axiomas, incluyendo la ley euclidiana de la reflexión y la ley seno de la refracción. Gran parte del material se toma de Abū ‘Alī al-Ḥasan ibn al-Ḥasan ibn al-Hayṯam, Johannes Kepler y Descartes, pero el método de Barrow para encontrar el punto de refracción en una interfaz plana es original.

Mucho se ha planteado la hipótesis de la relación entre Barrow y Newton; algunos dicen que Newton derivó muchas de sus ideas sobre el cálculo de Barrow, pero hay poca evidencia de esto. A finales de 1669 los dos colaboraron brevemente, pero no está claro si tuvieron alguna interacción antes de ese tiempo. En ese año Barrow había renunciado a su silla, siendo reemplazado por Newton, con el fin de convertirse en el Real Capellán de Londres, y en 1675 se convirtió en vicerrector de la universidad.

Barrow nunca se casó, contentándose con la vida de soltero. Su personalidad era contundente y sus sermones teológicos eran extremadamente lúcidos y perspicaces, aunque no fue un predicador popular. Barrow era también uno de los primeros miembros de la sociedad real, incorporada en 1662. Era pequeño pero fuerte, y gozó de buena salud; su muerte temprana el 4 de mayo de 1677 se debió a una sobredosis de drogas.

La contribución matemática de Barrow parece algo marginal comparada con la producción prodigiosa de su contemporáneo Newton. Sin embargo, él fue un matemático importante en su tiempo, ganando fama a través de su popular  Lectiones, y fue el primero en derivar ciertas proposiciones del cálculo diferencial.

 


Fuente bibliográfica:

  • McElroy, Tucker (2005) A to Z of Mathematicians. Facts On File, Inc.

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La idea esencial de Newton y Leibniz era utilizar el álgebra cartesiana para sintetizar resultados anteriores y desarrollar algoritmos que pudieran ser aplicados de manera uniforme a una amplia clase de problemas. El período de formación de las investigaciones de Newton fue 1665-1670, mientras que Leibniz trabajó unos años más tarde, en la década de 1670. Sus contribuciones difieren en su origen, el desarrollo y la influencia, y es necesario tener en cuenta cada uno por separado.

Newton, hijo de un granjero inglés, se convirtió en 1669 en profesor lucasiano en la Universidad de Cambridge. Las primeras investigaciones de Newton en matemática surgieron en 1665 de su estudio de la edición de Van Schooten de La Géométrie y la Arithmetica Infinitorum de Wallis. Usando la ecuación cartesiana de la curva, reformuló los resultados de Wallis, presentando a tal efecto sumas infinitas en las potencias de una incógnita x, ahora conocidas como series infinitas. Posiblemente bajo la influencia de Barrow, usó los infinitesimales para establecer para diferentes curvas la relación inversa de tangentes y áreas. Las operaciones de diferenciación e integración surgieron en su trabajo como procesos analíticos que podían aplicarse en general para investigar curvas.

Inusualmente sensible a preguntas de rigor, Newton, en una etapa bastante temprana, trató de establecer su nuevo método en una base sólida usando ideas de la cinemática. Consideraba a una variable como una «fluidez», una magnitud que fluye con el tiempo. Llamó a su derivada o tasa de cambio con respecto al tiempo «fluxión», denotándola como la variable con un punto por encima de ella. El problema básico del cálculo era  investigar las relaciones entre los fluentes y sus fluxiones. Newton terminó un tratado sobre el método de fluxiones ya en 1671, aunque no se publicó hasta 1736. En el siglo XVIII este método se convirtió en el enfoque preferido para el cálculo entre los matemáticos británicos, especialmente después de la aparición en 1742 del influyente Treatise of Fluxions de Colin Maclaurin.

Newton publicó por primera vez el cálculo en el Libro I de su gran Philosophiae Naturalis Principia Mathematica de 1687. Originado como un tratado sobre la dinámica de partículas, los Principia presentó una física inercial que combinaba la mecánica de Galileo y la astronomía planetaria de Kepler. Fue escrito a principios de la década de 1680 en un momento en que Newton estaba reaccionando contra la ciencia y la matemática de Descartes. Dejando a un lado el método analítico de fluxiones, Newton introdujo en lemas su cálculo de primera y última razones, una teoría geométrica de límites que sirvió de base matemática para su dinámica.

El uso del cálculo en los Principia de Newton se ilustra en la Proposición 11 del Libro I: si la órbita de una partícula que se mueve bajo una fuerza centrípeta es una elipse con el centro de fuerza en un foco, entonces la fuerza es inversamente proporcional al cuadrado de la distancia desde el centro. Debido a que por las leyes de Kepler se sabía que los planetas se movían en elipses con el Sol en un foco, este resultado apoyaba la ley del cuadrado inverso de la gravitación. Para establecer la proposición, Newton deriva una medida aproximada de la fuerza mediante el uso de pequeñas líneas definidas en función del radio (la línea del centro de la fuerza a la partícula) y la tangente a la curva en un punto. Este resultado expresaba geométricamente la proporcionalidad de la fuerza a la aceleración del vector. Usando las propiedades de la elipse conocidas a partir de la geometría clásica, Newton calculó el límite de esta medida y demostró que era igual a una constante multiplicada por 1 más el cuadrado del radio.

 Newton evitaba procesos analíticos en los Principia al expresar magnitudes y razones directamente en términos de cantidades geométricas, tanto finitas como infinitesimales. Su decisión de abstenerse constituye un rechazo notable por los métodos algebraicos que habían sido importantes incluso en sus primeras investigaciones sobre el cálculo. A pesar de que los Principia tuvo un valor inestimable para los mecánicos posteriores, sería reelaborado por los investigadores del continente y expresado en el lenguaje matemático del cálculo de Leibniz, el que trataremos en la próxima entrada.

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El historiador Carl Boyer llama cálculo «al instrumento más eficaz para la investigación científica que la matemática haya producido jamás.» Como la matemática de la variabilidad y el cambio, el cálculo fue el producto característico de la revolución científica. El tema fue propiamente la invención de dos matemáticos, el alemán Gottfried Leibniz y el inglés Isaac Newton. Ambos publicaron sus investigaciones en la década de 1680, Leibniz en 1684 en la revista recién fundada Acta Eruditorum y Newton en 1687 en su gran tratado, los Principia. A pesar de una amarga disputa sobre la prioridad que se desarrolló más tarde entre los seguidores de los dos hombres, ahora está claro que cada uno de ellos llegó al cálculo  de manera independiente.

El cálculo se desarrolló a partir de técnicas para resolver dos tipos de problemas, la determinación de áreas y volúmenes y el cálculo de tangentes a curvas. En la geometría clásica Arquímedes había llegado bastante lejos en esta parte de la matemática, después de haber utilizado el método de agotamiento para establecer rigurosamente diferentes resultados acerca de áreas y volúmenes y de haber derivado para algunas curvas (por ejemplo, para la espiral) resultados significativos relacionados con las tangentes. A principios del siglo XVII hubo un resurgimiento sostenido del interés en ambas clases de problemas. Las décadas entre 1610 y 1670 en general son recordadas en la historia de la matemática como «el período del pre-cálculo», fueron una época de notable actividad en la que investigadores de toda Europa contribuyeron con soluciones novedosas y compitieron entre sí para llegar a importantes nuevos métodos.

El  período del  pre-cálculo

En su tratado Geometria indivisibilibus continuorum de 1635, Bonaventura Cavalieri, un profesor de matemática en la Universidad de Bolonia, formuló un método sistemático para la determinación de áreas y volúmenes.

Al igual que Arquímedes, Cavalieri consideró una figura plana compuesta de una colección de líneas indivisibles, «todas las líneas» de la figura plana. La colección fue generada por una línea fija en movimiento a través del espacio paralelo a sí mismo. Cavalieri demostró que estas colecciones podían interpretarse como magnitudes que obedecen a las reglas de la teoría de la proporción euclidiana. En la Proposición 4 del Libro II, derivó el resultado de que hoy se escribe como

\int_0^1 x^2  dx=\frac{1}{3}

Dado un paralelogramo en el que se dibuja una diagonal; entonces  «todos los cuadrados» del paralelogramo serán el triple de «todos los cuadrados» de cada uno de los triángulos determinados por la diagonal.

Cavalieri mostró que esta proposición podía interpretarse de diferentes maneras -como por ejemplo, afirma, que el volumen de un cono es un tercio del volumen del cilindro circunscrito o que el área bajo un segmento de una parábola es un tercio del área del rectángulo asociado. En un tratado posterior generalizó el resultado demostrando que

\int_0^1 x^n=\frac{1}{n+1}

desde n=3 hasta n=9. Para establecer estos resultados, introdujo transformaciones entre las variables del problema, usando un resultado equivalente al teorema binomial para exponentes enteros. Las ideas en cuestión fueron más allá de lo que había aparecido en la teoría clásica de Arquímedes.

Aunque Cavalieri tuvo éxito en la formulación de un método sistemático basado en conceptos generales, sus ideas no eran fáciles de aplicar. La derivación de resultados muy simples requería consideraciones geométricas complejas, y el estilo ampuloso de la Geometria indivisibilibus era una barrera para su recepción.

John Wallis presentó un enfoque muy diferente para la teoría de cuadraturas en su Arithmetica Infinitorum  de 1655. Wallis, sucesor de Henry Briggs como profesor savilian de geometría en Oxford,era defensor de los nuevos métodos del álgebra aritmética que había aprendido de su maestro William Oughtred. Wallis expresó el área bajo una curva como la suma de una serie infinita y utilizó inteligentes y poco rigurosas inducciones para determinar su valor. Para calcular el área bajo la parábola,

\int_0^1 x^2  dx

él consideró las sumas sucesivas

\frac{0+1}{1+1}=\frac{1}{3}+\frac{1}{6}

\frac{0+1+4}{4+4+4}=\frac{1}{3}+\frac{1}{12}

\frac{0+1+4+9}{9+9+9+9}=\frac{1}{3}+\frac{1}{18}

y por «inducción» dedujo la relación general

\frac{0^2+1^2+2^2+\ldots+n^2}{n^2+n^2+n^2+\ldots+n^2}=\frac{1}{3}+\frac{1}{6n}

Al permitir que el número de términos sea infinito, obtuvo 1/3 como el valor límite de la expresión. Con curvas más complicadas logró resultados muy impresionantes, incluyendo la expresión infinita ahora conocida como producto de Wallis:

\frac{4}{\pi }=\frac{3}{2}\cdot\frac{3}{4}\cdot\frac{5}{4}\cdot\frac{5}{6}\cdot\frac{7}{6}\ldots

La investigación sobre la determinación de tangentes, el otro tema  que condujo al cálculo, procedió a lo largo de diferentes líneas. En La Géométrie Descartes había presentado un método que podía, en principio, aplicarse a cualquier curva «geométrica» o algebraica -es decir, a cualquier curva cuya ecuación era un polinomio de grado finito en dos variables. El método dependía de la búsqueda de la normal, la línea perpendicular a la tangente, con la condición algebraica de ser el único radio que intersecta la curva en un solo punto. El método de Descartes fue simplificado por Hudde, un miembro del grupo de matemáticos de Leiden, y fue publicado en 1659 en la edición de Van Schooten de La Géométrie.

Una clase de curvas de interés cada vez mayor en el siglo XVII comprendía las generadas cinemáticamente por un punto que se mueve a través del espacio. La famosa curva cicloidal, por ejemplo, era trazada por un punto en el perímetro de una rueda que rodaba sobre una línea sin deslizamiento.

Estas curvas eran no algebraicas y por lo tanto no podían ser tratadas por el método de Descartes. Gilles Personne de Roberval, profesor en el Collège Royale de París, ideó un método tomado de la dinámica para determinar sus tangentes. En su análisis del movimiento de proyectiles Galileo había demostrado que la velocidad instantánea de una partícula está compuesta por dos movimientos distintos: un movimiento horizontal constante y un movimiento vertical en aumento debido a la gravedad. Si el movimiento del punto generador de una curva cinemática es considerado igualmente como la suma de dos velocidades, entonces la tangente estará en la dirección de su suma. Roberval aplicó esta idea a varias curvas cinemáticas diferentes, obteniendo resultados que fueron a menudo ingeniosos y elegantes.

En un ensayo de 1636 que circuló entre los matemáticos franceses, Fermat presentó un método de tangentes adaptado de un procedimiento que había ideado para determinar máximos y mínimos y lo utilizó para encontrar tangentes a varias curvas algebraicas de la forma y=x^n. Su relato era breve y no contenía ninguna explicación acerca de la base matemática del nuevo método. Es posible ver en su procedimiento un argumento que involucra a  los infinitesimales, y muchas veces se proclama a Fermat como el descubridor del cálculo diferencial. El estudio histórico moderno, sin embargo, sugiere que él estaba trabajando con conceptos introducidos por Viète y que su método se basaba en ideas algebraicas finitas.

Isaac Barrow, profesor lucasiano en la Universidad de Cambridge, publicó en 1670 su Geometrical Lectures, un tratado que más que cualquier otro anticipa las ideas unificadoras del cálculo. En él adoptó una forma puramente geométrica de exposición para mostrar cómo la determinación de áreas y tangentes son problemas inversos. Empezó con una curva y consideró la pendiente de su tangente correspondiente a cada valor de la abscisa. A continuación definió una curva auxiliar bajo la condición de que su ordenada sea igual a esta pendiente y mostró que el área bajo la curva auxiliar correspondiente a una abscisa dada es igual al rectángulo cuyos lados son la unidad y la ordenada de la curva original. Cuando se reformula analíticamente, este resultado expresa el carácter inverso de la diferenciación y la integración, el teorema fundamental del cálculo. Aunque la decisión de Barrow de proceder geométricamente le impidió tomar el paso final para un verdadero cálculo, sus lecturas influyeron tanto en Newton como en Leibniz.

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