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Posts Tagged ‘Friedrich Ludwig Gottlob Frege’

Gottlob Frege realizó un trabajo sustancial en lógica matemática durante el siglo XIX; de hecho, es visto por muchos como el padre de la lógica matemática moderna. El lenguaje que creó para analizar rigurosamente la aritmética se desarrollaría luego en la sintaxis y la notación de la teoría de la demostración moderna. 

Gottlob Frege nació el 8 de noviembre de 1848 en Wismar, Alemania, hijo de Alexander Frege y Auguste Bialloblotzky. Su padre era director de una escuela secundaria para niñas en Wismar, y Gottlob asistió al Gymnasium allí. De 1869 a 1871 fue alumno en Jena, y después de este período se matriculó en la Universidad de Göttingen, donde tomó cursos de matemática, física, química y filosofía. Dos años más tarde obtuvo su doctorado en filosofía con la tesis Über eine geometrische Darstellung der imaginaren Gebilde in der Ebene (Sobre una representación geométrica de cosas imaginarias en el plano). Su disertación de 1874 se refería a ciertos grupos de funciones. En esta época, comenzó a trabajar en el proyecto de proporcionar una base rigurosa a la aritmética. Frege deseaba definir el número y la cantidad de una manera satisfactoria, y recurrió a la lógica como un vehículo apropiado.  

En este período de la historia, había poco en el camino acerca de un tratamiento coherente de la lógica matemática. Como Frege quería ser preciso en su desarrollo de la teoría de números, decidió construir un lenguaje de lógica para formular sus ideas. Las herramientas para analizar demostraciones matemáticas se publicaron en Begriffschrift en 1879, y algunas de las ideas de su disertación en Jena entraron en su concepto de cantidad. En el mismo año, fue nombrado profesor extraordinario en Jena, y fue nombrado profesor honorario en 1896. Su diligente trabajo hacia la construcción lógica de la aritmética a lo largo de los años dio lugar a su Grundgesetze der Arithmetik en dos volúmenes (Leyes básicas de la aritmética) ) (1893-1903). En 1902 Bertrand Russell señaló una contradicción en el sistema de la aritmética de Frege; este comentario resultó ser desastroso, ya que Frege no pudo encontrar ninguna forma de remediar el problema. De hecho, como demostraría el trabajo posterior de Kurt Gödel, cualquier esfuerzo para construir teorías de números completas y consistentes estaba condenado al fracaso. 

El Begriffschrift debe verse como un lenguaje formal, como un vehículo, para el pensamiento puro. Este lenguaje consistía en varios símbolos (como letras) que podían combinarse de acuerdo con ciertas reglas (la gramática) para formar enunciados. Al igual que con la aritmética, después de la cual se modeló el lenguaje de Frege, se podían realizar cálculos cuyo resultado sería un cálculo lógico en lugar de una cantidad numérica. La idea de un cálculo lógico se remonta al menos a Gottfried Leibniz, quien supuso que un día todo el debate filosófico podría reducirse a cálculos lógicos. El cálculo de Frege podía usarse para formalizar la noción de una demostración matemática, de modo que uno pudiera, esencialmente, calcular la conclusión.  

Los componentes básicos del cálculo de Frege son un símbolo de afirmación (representado por un trazo vertical), un símbolo condicional (por ejemplo, A implica B) y una regla de deducción que establece lo siguiente: si afirmamos A y A implica B, entonces podemos afirmar B. Frege también desarrolló la notación para la negación, y demostró que el “y” y el “o” podían expresarse en términos de los símbolos condicional y de negación. Además de estas nociones básicas, añadió una teoría de la cantidad, definiendo rigurosamente nociones tales como “para todo” y “existe”.

Hay una escuela de matemática llamada formalismo, cuyos partidarios creen que no hay un significado verdadero o inherente a la matemática, sino que la matemática es puramente un lenguaje formal con el cual otras ideas pueden expresarse, y la verdad matemática puede alcanzarse solo jugando de acuerdo a las reglas del juego. Frege no era un formalista y no estaba interesado en aplicar su sistema a las preguntas relacionadas con una agenda formalista. Irónicamente, su trabajo fue bastante adecuado como base para la lógica formal.

El trabajo de Frege Grundlagen der Arithmetik (Fundamentos de la aritmética) (1884) define la noción de número y se basa en el lenguaje introducido en Begriffschrift. Aquí hace una crítica a las teorías de números anteriores, señalando sus insuficiencias; él argumenta que la igualdad de número es un componente esencial de la noción de número. Grundgesetze incorpora y refina su trabajo anterior, incluidas las mejoras basadas en varios artículos. Muchas de estas ideas tuvieron una gran influencia en la discusión filosófica subsiguiente, en particular influyendo en la filosofía de Wittgenstein.

Después de 1903, la potencia del pensamiento de Frege estaba en declive; parecía incapaz de mantenerse al día con una cultura matemática cada vez más moderna y extraña. En este último período, gastó su energía reaccionando contra varios nuevos desarrollos en matemática, y especialmente entró en conflicto con David Hilbert y su programa para la axiomatización de la matemática. En 1917 Frege se retiró, y después de esto produjo Logische Untersuchungen (Investigaciones lógicas) como una extensión del trabajo anterior. Murió en Bad Kleinen, Alemania, el 26 de julio de 1925.

Frege es principalmente recordado por su trabajo en lógica matemática, que condujo a la teoría moderna de la demostración. Otros grandes lógicos como Russell y Gödel continuaron su trabajo. Aunque el esfuerzo de Frege para construir una teoría de números completa y consistente estaba condenado al fracaso, las ideas que formuló en el curso de su investigación influyeron mucho en las generaciones posteriores de matemáticos.

 


Fuente bibliográfica:

  • McElroy, Tucker (2005) A to Z of Mathematicians. Facts On File, Inc.
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El descubrimiento de Bertrand Russell de una contradicción oculta en el intento de Friedrich Frege de formalizar la teoría de conjuntos hizo que algunos matemáticos se preguntaran cómo podía asegurarse de que no existían otras contradicciones. El programa de Hilbert, llamado formalismo, debía concentrarse en el lenguaje formal de la matemática y estudiar su sintaxis. En particular, la consistencia de la matemática, que puede ser tomada, por ejemplo, como la afirmación metamatemática de que la afirmación matemática 0 = 1 no es demostrable, debía ser demostrable dentro de la sintaxis de la matemática. Este proyecto de formalización sólo tenía sentido si la sintaxis de la matemática era consistente, pues de lo contrario toda afirmación sintáctica sería demostrable, incluso aquella que afirma la consistencia de la matemática.

Desafortunadamente, una consecuencia del teorema de incompletitud de Gödel es que la consistencia de la matemática puede ser probada solamente en un lenguaje que es más fuerte que el lenguaje de la matemática misma. Sin embargo, el formalismo no está muerto -de hecho, la mayoría de los matemáticos puros son formalistas tácitos- pero el intento ingenuo de probar la consistencia de la matemática en un sistema más débil tuvo que ser abandonado.

Aunque nadie, excepto un intuicionista extremista, negará la importancia del lenguaje de la matemática, la mayoría de los matemáticos son también filosóficos realistas que creen que las palabras de este lenguaje denotan entidades en el mundo real. Siguiendo al matemático suizo Paul Bernays (1888-1977), esta posición también se llama platonismo, ya que Platón creía que las entidades matemáticas realmente existen.

Paul Isaac Bernays

 

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Otra crítica al programa Cantor-Frege fue planteada por Kronecker, quien se opuso a argumentos no constructivos, como la siguiente prueba de que existen números irracionales a y b tales que a^{b} es racional. Si \sqrt{2}^{\sqrt{2}} es racional, entonces la prueba está completa; de lo contrario tomar \sqrt{2}^{\sqrt{2}} y b=\sqrt{2}, de modo que a^{b}=2. El argumento es no constructivo, porque no nos dice qué alternativa se cumple. En el presente caso, el resultado se puede probar constructivamente tomando a=\sqrt{2} y b=2\log_{2}3. Pero hay otros teoremas clásicos para los cuales no existe ninguna prueba constructiva.

Leopold Kronecker

Consideremos, por ejemplo,

\exists_{x}(\exists_{y}\phi(y)\supset\phi(x))

que simboliza la afirmación de que existe una persona famosa si hay personas famosas. Esto se puede demostrar con la ayuda de las leyes de De Morgan, nombradas después del matemático y lógico inglés Augustus De Morgan (1806-1871). Afirma la equivalencia de \exists_{y}\phi(y) con \neg\forall_{y}\neg\phi(y), usando la lógica clásica, pero no hay manera de construir un x, por ejemplo, cuando \phi(x) afirme la existencia de un buen orden de los reales, como lo demostró Solomon Feferman. Se dice que un conjunto ordenado está bien ordenado si cada subconjunto no vacío tiene un elemento mínimo.

Augustus De Morgan

El matemático alemán Ernst Zermelo (1871-1951) demostró que todo conjunto puede ser bien ordenado, siempre y cuando se adopte otro axioma, el axioma de elección, que dice que, para toda familia no vacía de conjuntos no vacíos, hay un conjunto que se puede obtener seleccionando exactamente un elemento de cada uno de estos conjuntos. Este axioma es una fértil fuente de argumentos no constructivos.

Ernst Zermelo

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