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Posts Tagged ‘Función exponencial compleja’

El hecho de que las series de potencias puedan ser aproximadas con precisión arbitrariamente alta mediante polinomios implica que

Dos series de potencia con el mismo centro pueden ser sumadas, multiplicadas y divididas de la misma manera que lo hacemos con los polinomios.

No nos detendremos aquí en la demostración formal de este hecho, y el lector interesado puede recurrir a los libros de Lang o Conway. Centraremos nuestra atención en apropiarnos de una idea intuitiva del resultado y en cómo puede ayudarnos en la práctica.

Si dos series f(z) y g(z) tienen discos de convergencia D_{1} y D_{2}, respectivamente, entonces las series resultantes para f+g y para fg serán convergentes en el disco más pequeño de los dos, aunque de hecho pueden converger dentro de un disco aún mayor. No es posible una afirmación general en el caso de la serie resultante para f/g=f(1/g), debido a que la convergencia de la serie para 1/g está limitada no sólo por la frontera de la circunferencia de D_{2} sino también por aquellos puntos dentro de D_{2} para los cuales g(z)=0.

Ilustremos la afirmación inicial con algunos ejemplos. Anteriormente hemos asumido como válida la afirmación para hallar la serie para 1/(1-z^{2}) centrada en k. Usamos la descomposición en fracciones simples

\displaystyle\frac{1}{1-z^{2}}=\frac{1}{2}\frac{1}{1-z}+\frac{1}{2}\frac{1}{1+z},

y los desarrollos en serie de cada una de las funciones en el miembro de la derecha, y asumimos que podíamos sumar estas series de potencias tal como lo hacemos con dos polinomios, sumando los coeficientes.

En el caso en que k=0 es fácil chequear que este procedimiento funciona, porque ya conocemos la respuesta correcta para la serie centrada en el origen:

\displaystyle\frac{1}{1-z^{2}}=1+z^{2}+z^{4}+\cdots.

Como

\displaystyle\frac{1}{1-z}=1+z+z^{2}+z^{3}+\cdots

y

\displaystyle\frac{1}{1+z}=1-z+z^{2}-z^{3}+\cdots,

vemos que sumando los coeficientes de estas series obtenemos la serie correcta para 1/(1-z^{2}).

Como

\displaystyle\frac{1}{1-z^{2}}=\left(\frac{1}{1-z}\right)\left(\frac{1}{1+z}\right),

podemos reciclar este ejemplo para ilustrar la exactitud de la multiplicación de series de potencias como si se tratara de polinomios:

(1+z+z^{2}+z^{3}+\cdots)(1-z+z^{2}-z^{3}+\cdots)=1+(1-1)z+(1-1+1)z^{2}+(1-1+1-1)z^{3}+\cdots,

que nuevamente nos da la respuesta correcta para la serie de potencias de 1/(1-z^{2}).

También podemos valernos de nuestra afirmación inicial para hallar el desarrollo de 1/(1-z)^{2}:

(1+z+z^{2}+z^{3}+\cdots)(1+z+z^{2}+z^{3}+\cdots)=1+(1+1)z+(1+1+1)z^{2}+(1+1+1+1)z^{3}+\cdots,

y así

\displaystyle\frac{1}{(1-z)^{2}}=\sum^{\infty}_{j=0}(j+1)z^{j}.

Las series obtenidas para 1/(1-z) y 1/(1-z)^{2} son casos especiales del Teorema Binomial general, que establece que si n es cualquier número real (no necesariamente un entero positivo), entonces en el disco unitario,

(1+z)^{n}=1+nz+\displaystyle\frac{n(n-1)}{2!}z^{2}+\frac{n(n-1)(n-2)}{3!}z^{3}+\cdots.

Históricamente, este resultado fue una de las armas clave de Newton para el desarrollo del cálculo, y más tarde desempeñó un papel igualmente central en la obra de Euler.

Ahora describiremos cómo dividir dos series de potencias f(z) y g(z). Para hallar la serie f(z)/g(z)=\sum c_{j}z^{j} multiplicamos ambos miembros por g(z) para obtener f(z)=g(z)\sum c_{j}z^{j}, y luego multiplicamos las dos series de la derecha. Por la unicidad de las series de potencia, los coeficientes de esta serie deben ser iguales a los conocidos coeficientes de f(z), y esto no permite calcular los c_{j}. Un ejemplo hará este proceso mucho más claro.

Con el objetivo de hallar los coeficientes c_{j} en la serie 1/e^{z}=\sum c_{j}z^{j}, multiplicamos ambos miembros de e^{z} obteniendo

1=\left(1+z+\displaystyle\frac{z^{2}}{2!}+\frac{z^{3}}{3!}+\cdots\right)\left(c_{0}+c_{1}z+c_{2}z^{2}+c_{3}z^{3}+\cdots\right)

o bien

1=c_{0}+(c_{0}+c_{1})z+\left(\displaystyle\frac{c_{0}}{2!}+\frac{c_{1}}{1!}+\frac{c_{2}}{0!}\right)+\cdots

Por el resultado de la unicidad, podemos igualar los coeficientes en ambos miembros obteniendo un conjunto infinito de ecuaciones lineales:

1=c_{0}

0=c_{0}+c_{1}

0=\displaystyle\frac{c_{0}}{2!}+\frac{c_{1}}{1!}+\frac{c_{2}}{0!}

\vdots

Resolviendo sucesivamente las primeras ecuaciones rápidamente deducimos que c_{j}=(-1)^{j}/j!. Así encontramos que

\displaystyle\frac{1}{e^{z}}=1-z+\frac{1}{2!}z^{2}-\frac{1}{3!}z^{3}+\cdots=e^{-z},

tal como ocurre para la función real e^{x}.

Como vemos, es muy conveniente tener este resultado en cuenta al momento de desear el desarrollo en serie de algunas funciones particulares.


Fuente bibliográfica:

  • Tristan Needham (1997) Visual Complex Analysis. Oxford University Press
  • Serge Lang (1999) Complex Analysis, Springer
  • John B. Conway (1978) Functions of One Complex Variable I. Springer

 

 


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Trabajar en el mundo del análisis complejo puede no ser tan complejo como parece. Por el contrario, en muchas ocasiones simplifica mucho las cosas. Veremos aquí un ejemplo de ello.

Todas las identidades trigonométricas pueden ser vistas como resultado de la regla para la multiplicación compleja. En lo que sigue vamos a hacer uso de las siguientes abreviaturas para simplificar la notación: C\equiv\cos\theta, S\equiv\sin\theta, c\equiv\cos\phi y s\equiv\sin\phi.

Para encontrar una identidad para \cos(\theta+\phi), lo conveniente es verlo como una componente de e^{i(\theta+\phi)}.

Figura 1

Como

obtenemos no sólo una identidad para \cos(\theta+\phi), sino que también es posible deducir una para \sin(\theta+\phi):

\cos(\theta+\phi)=\cos\theta\cos\phi-\sin\theta\sin\phi

\sin(\theta+\phi)=\sin\theta\cos\phi+\cos\theta\sin\phi

Esto ilustra otra característica del gran alcance de la utilización de los números complejos: toda ecuación compleja dice dos cosas a la vez.

Para encontrar al mismo tiempo las identidades para \cos 3\theta y \sin 3\theta, consideremos e^{3i\theta}:

\cos 3\theta+i\sin 3\theta=e^{3i\theta}=(e^{i\theta})^{3}=(C+iS)^{3}=(C^{3}-3CS^{2})+i(3C^{2}S-S^{3}).

Como C^{2}+S^{2}=1, podemos reescribir la identidad, e igualando las partes reales e imaginarias, obtener las formas familiares:

\cos 3\theta=4\cos^{3}\theta-3\cos\theta

\sin 3\theta=-4\sin^{3}\theta+3\sin\theta

De esta manera vemos cómo expresar funciones trigonométricas de múltiplos de \theta en términos de potencias de funciones trigonométricas de \theta, pero también podemos ir en la dirección opuesta. Por ejemplo, supongamos que deseamos contar con una identidad para \cos^{4}\theta en términos de funciones trigonométricas de múltiplos de \theta. Dado que 2\cos\theta=e^{i\theta}+e^{-i\theta} como vimos en “Seno y Coseno a partir de la Fórmula de Euler“,

Por lo tanto,

\cos^{4}\theta=\frac{1}{8}\left(\cos 4\theta+4\cos 2\theta+3\right).

Aunque la fórmula de Euler es muy conveniente para hacer estos cálculos, no es esencial: en realidad todo lo que estamos utilizando es la equivalencia de las formas geométricas y simbólicas de la multiplicación compleja, que vimos en “Aritmética simbólica versus aritmética geométrica“. Para subrayar este punto vamos a hacer un ejemplo sin emplear la fórmula de Euler.

Supongamos que deseamos encontrar una identidad para \tan 3\theta en términos de T=\tan \theta. Consideremos entonces z=1+iT.

Figura 2

Dado que \theta es el ángulo o argumento de z, el argumento de z^{3} será 3\theta, y así \tan 3\theta=\mbox{Im}(z^{3})/\mbox{Re}(z^{3}). Como

z^{3}=(1+iT)^{3}=(1-3T^{2})+i(3T-T^{3})

resulta que

\tan 3\theta=\frac{3T-T^{3}}{1-3T^{2}}

o bien

\tan 3\theta=\frac{3\tan\theta-\tan^{3}\theta}{1-3\tan^{2}\theta}.

Queda así ejemplificado cómo trabajar en el conjunto de los números complejos para simplificar la trigonometría en el campo real.


Fuente bibliográfica:

  • Tristan Needham (1997) Visual Complex Analysis. Oxford University Press

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A lo largo de las últimas tres entradas hemos estado recorriendo puntos de vista vinculados a la Fórmula de Euler. Sin embargo, aún nos queda un detalle no menor relacionado a ella.

Una consecuencia simple pero importante de la fórmula de Euler es que las funciones seno y coseno pueden ser construidas a partir de la función exponencial. Más precisamente, una mirada a conciencia de la Figura 1 nos revela que

e^{i\theta}+e^{-i\theta}=2\cos\theta

Figura 1

mientras que de la Figura 2 deducimos que

e^{i\theta}-e^{-i\theta}=2i\sin\theta

Figura 2

Así, obtenemos las tan conocidas fórmulas del campo complejo:

\cos\theta=\frac{e^{i\theta}+e^{-i\theta}}{2}

\sin\theta=\frac{e^{i\theta}-e^{-i\theta}}{2i}

La perspectiva de ver gráficamente estos hechos nos permite ahorrarnos el sencillo pero un tanto tedioso hecho de deducirlas trabajando unos minutos algebraicamente…


Fuente bibliográfica:

  • Tristan Needham (1997) Visual Complex Analysis. Oxford University Press

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