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Mirando «funciones complejas»

Posted in Análisis de Variable Compleja, Producción propia, tagged Funciones complejas, Representación gráfica de funciones complejas, Superficie de Riemann, Superficie modular, Transformaciones del plano on 12 mayo 2014| Leave a Comment »

Una función compleja $f$ es una regla que asigna a un número complejo $z$ un número complejo imagen $w = f (z)$ . Con el fin de investigar estas funciones es esencial que seamos capaces de visualizarlas. Existen varios métodos para hacer esto, pero por el momento nos centraremos casi exclusivamente en el método introducido en las entradas anteriores. Es decir, vamos a ver a $z$ y a su imagen $w$ como puntos en el plano complejo, de modo que $f$ se convierte en una transformación del plano.

Por convención, los puntos imagen $w$ se dibujan en una copia nueva de $\mathbb{C}$ , llamada el plano imagen o el plano $w$ . Esta convención se ilustra en la Figura 1, que representa la transformación que aplica $z\mapsto w=f(z)=(1+i\sqrt{3})z$ .

Figura 1

Por lo general, las partes real e imaginaria de $z$ se denotan con $x$ e $y$ , y las del punto imagen $w$ se denotan con $u$ y $v$ , de modo que $w=f(z)=u(z)+i v(z)$ , donde $u(z)$ y $v(z)$ son funciones reales de $z$ . Las formas precisas de estas funciones dependerán de si describimos $z$ con coordenadas cartesianas o polares. Por ejemplo, escribiendo $z = x + iy$ en el ejemplo anterior resulta

$u(x+iy)=x-\sqrt{3}y$

$v(x+i y)=\sqrt{3}x+y$

mientras que escribiendo $z=r e^{i\theta}$ y $(1+i\sqrt{3})=2 e^{i\pi/3}$ tenemos

$u(r e^{i\theta})=2r\cos\left[\theta+\frac{\pi}{3}\right]$

$v(r e^{i\theta})=2r\sin\left[\theta+\frac{\pi}{3}\right].$

Por supuesto, también podemos escribir el plano $w$ en coordenadas polares de modo que $w=f(z)=R e^{i\phi}$ , donde $R(z)$ y $\phi(z)$ son funciones reales de $z$ . Considerando el ejemplo anterior tenemos

$R(r e^{i\theta})=2r$

$\phi(r e^{i\theta})=\theta+\frac{\pi}{3}$

Veremos que podremos lograr una considerable luz respecto de la performance de la función $f$ si dibujamos su efecto sobre puntos, curvas y distintas figuras. Sin embargo, sería bueno si pudieramos simultáneamente captar el comportamiento de $f$ para todos los valores de $z$ . Un método para alcanzar este objetivo es representar a $f$ a través de su campo vectorial, donde $f(z)$ se dibuja como un vector que va desde el punto $z$ hacia el punto $f(z)$ . Pero dejaremos esto para más adelante.

Y si graficamos como siempre?

Otros métodos para visualizar funciones se basan en la idea de grafo. En el caso de una función real $f(x)$ de una variable real $x$ estamos acostumbrados a la conveniencia de visualizar la conducta completa de $f$ mediante su grafo, es decir, la curva en el plano bidimensional $xy$ configurada por los puntos $(x,f(x))$ . En el caso de una función compleja este acercamiento no parece posible dado que para representar el par de números complejos $(z,f(z))$ necesitaríamos contar con cuatro dimensiones: dos para $z=x+i y$ y dos para $f(z)=u+i v$ .

En realidad, la situación no es tan desesperante como parece. En primer lugar debemos notar que aunque se necesita un espacio bidimensional para dibujar el grafo de una función real $f$ , el grafo en sí [el conjunto de puntos $(x,f(x))$ ] es tan sólo una curva unidimensional, lo que signifca que sólo se necesita un número real (digamos $x$ ) para identificar cada punto dentro de ella. De la misma manera, aunque se necesita un espacio de cuatro dimensiones para dibujar el conjunto de puntos con coordenadas $(x,y,u,v)=(z,f(z))$ , el grafo en sí mismo es bidimensional, lo que significa que sólo se necesitan dos números reales (digamos $x$ e $y$ ) para identificar cada punto en él. Así, intrínsecamente, el grafo de una función compleja es simplemente una superficie bidimensional (también conocida como superficie de Riemann), y es por tanto suceptible de ser visualizada en el espacio ordinario tridimensional. Este enfoque es particularmente interesante y en un futuro se espera abordarlo en este sitio.

Pero también hay otra salida…

Existe otro tipo de grafo de una función compleja que es útil en muchas ocasiones. La imagen $f(z)$ de un punto $z$ puede ser descrita mediante su distancia $\left|f(z)\right|$ desde el origen, y el ángulo $\mbox{arg}[f(z)]$ que forma con el eje real. Vamos a descartar la mitad de esta información (el ángulo) y trataremos de describir cómo el módulo $\left|f(z)\right|$ varía con $z$ .

Para ello, imaginemos el plano complejo $z$ viviendo horizontalmente en el espacio, y construyamos un punto de altura $\left|f(z)\right|$ verticalmente sobre cada punto $z$ en el plano, produciendo así una superficie conocida como superficie modular de $f$ . La Figura 2 ilustra la superficie modular cónica de la función $f(z)=z$ , mientras que la Figura 3 ilustra la superficie modular paraboloide de $f(z)=z^{2}$ .

Figura 2 – Clic sobre la imagen para explorar

Figura 3 – Clic sobre la imagen para explorar

Como vemos, existen varias alternativas para intentar comprender el comportamiento de una función compleja. Ahondaremos en ello en sucesivas entradas.

Fuente bibliográfica:

Tristan Needham (1997) Visual Complex Analysis. Oxford University Press

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Calculando derivadas de orden 100 con teoría compleja

Posted in Análisis de Variable Compleja, Producción propia, tagged Derivada, Fórmula de Euler, Función exponencial, Funciones complejas, Números complejos on 31 marzo 2014| Leave a Comment »

En entradas anteriores de este blog exploramos algunos ejemplos que muestran la importancia del análisis complejo en la geometría y en la trigonometría. Hoy haremos lo propio en el área del cálculo. Más precisamente veremos cómo resolver el problema de encontrar la derivada de orden 100 de $e^{x}\sin x$ a través de la teoría de las funciones complejas. En términos más generales, vamos a mostrar cómo los números complejos pueden usarse para encontrar la derivada $n$ -ésima de $e^{ax}\sin bx$ .

En «La fórmula de Euler – Parte 2» vimos que $e^{it}$ puede ser pensado como la ubicación en el tiempo $t$ de una partícula que viaja alrededor del círculo unitario con velocidad unitaria. De la misma manera, $e^{ibt}$ puede ser pensado como un número complejo unitario girando alrededor del origen con velocidad (angular) $b$ . Si estiramos este número complejo unitario por $e^{at}$ , entonces su punta describe el movimiento de una partícula que está alejándose en espiral del origen.

Figura 1

La relevancia de este hecho para resolver el problema inicialmente planteado es que la ubicación de la partícula en el tiempo $t$ es

$Z(t)=e^{at}e^{ibt}=e^{at}\cos bt+i e^{at}\sin bt.$

Por lo tanto la derivada de $e^{at}\sin bt$ es simplemente la componente vertical (imaginaria) de la velocidad $V$ de $Z$ .

Podríamos encontrar $V$ simplemente diferenciando las componentes de $Z$ en la expresión anterior, pero vamos a utilizar en su lugar este ejemplo para introducir un enfoque geométrico. En la Figura 2 consideramos el movimiento $M=Z(t+\delta)-Z(t)$ de la partícula entre el tiempo $t$ y $(t+\delta)$ .

Figura 2

Recordemos que $V$ se define como el límite de $(M/\delta)$ cuando $\delta$ tiende a cero. Por lo tanto $V$ y $(M/\delta)$ son casi iguales si $\delta$ es muy pequeño. Esto sugiere dos formas intuitivas de hablar: (i) diremos que « $V=(M/\delta)$ cuando $\delta$ es infinitesimal» o (ii) que « $V$ y $(M/\delta)$ son finalmente iguales» (cuando $\delta$ tiende a cero).

Más precisamente, si dos cantidades $X$ e $Y$ dependen de una tercera cantidad $\delta$ , entonces

Se sigue de los teoremas básicos sobre límites que «finalmente iguales» hereda muchas de las propiedades de la igualdad ordinaria. Por ejemplo, si $V$ y $(M/\delta)$ son finalmente iguales, también lo son $V\delta$ y $M$ .

Ahora volvamos al problema de encontrar la velocidad de la partícula moviéndose en espiral. Como se ilustra en la Figura 2, dibujamos rayos de $0$ a $Z(t)$ y $Z(t+\delta)$ , junto con arcos circulares (centrados en $0$ ) a través de esos puntos. Sean $A$ y $B$ los números complejos que conectan $Z(t)$ con los puntos de intersección de estos rayos y arcos. Si $\delta$ es infinitesimal, entonces $B$ está en ángulo recto con $A$ y $Z$ , y $M = A + B$ .

Vamos a encontrar las longitudes finales de $A$ y $B$ . Durante el intervalo de tiempo $\delta$ , el ángulo de $Z$ aumenta por $b\delta$ , por lo que los dos rayos cortan un arco de longitud $b\delta$ en el círculo unitario, y un arco de longitud $\left|Z\right|b\delta$ en el círculo a través de $Z$ . Así $\left|B\right|$ es finalmente igual a $\left|Z\right|b\delta$ . A continuación, notemos que $\left|A\right|$ es el aumento en $\left|Z(t)\right|$ que aparece en el intervalo de tiempo $\delta$ . Por lo tanto, como

$\frac{d}{dt}\left|Z(t)\right|=\frac{d}{dt}e^{at}=a\left|Z\right|,$

$\left|A\right|$ es finalmente igual a $\left|Z\right|a\delta.$

Por tanto, el triángulo sombreado en $Z$ es finalmente similar al triángulo rectángulo sombreado con hipotenusa $a + ib$ . Al girar el último triángulo por el ángulo de $Z$ , ahora debería ser capaz de ver que si $\delta$ es infinitesimal entonces

Por lo tanto todos los rayos desde el origen cortan a la espiral en el mismo ángulo [el ángulo de $(a + ib)$ ], y la velocidad de la partícula es proporcional a su distancia desde el origen.

Usando el resultado obtenido, ahora es fácil tomar otras derivadas. Por ejemplo, la aceleración de la partícula es

$\frac{d^{2}}{dt^{2}}Z=\frac{d}{dt}V=(a+ib)^{2}Z=(a+ib)V.$

Continuando de esta manera, cada nueva derivada se obtiene multiplicando la anterior por $(a + ib)$ . Escribiendo $(a + ib)=R e^{i\phi}$ , donde $R=\sqrt{a^{2}+b^{2}}$ y $\phi$ es el valor apropiado de $\tan^{-1}(b/a)$ , encontramos que

$\frac{d^{n}}{dt^{n}}Z=(a+ib)^{n}Z=R^{n}e^{in\phi}e^{at}e^{ibt}=R^{n}e^{at}e^{i(bt+n\phi)}.$

Así,

$\frac{d^{n}}{dt^{n}}[e^{at}\sin bt]=(a^{2}+b^{2})^{\frac{n}{2}}e^{at}\sin[bt+n\tan^{-1}(b/a)].$

Fuente bibliográfica:

Tristan Needham (1997) Visual Complex Analysis. Oxford University Press

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Geometría asistida por complejos

Posted in Análisis de Variable Compleja, Producción propia, tagged Funciones complejas, Geometría, Números complejos, Rotaciones, Traslaciones on 24 marzo 2014| Leave a Comment »

Tener habilidad en el trabajo con números complejos se constituye en una ventaja al momento de demostrar muchas propiedades geométricas. Veamos algunos ejemplos concretos a continuación.

En la Figura 1 hemos construido cuadrados en los lados de un cuadrilátero arbitrario. Veamos lo que sugiere esta imagen: los segmentos lineales que unen los centros de cuadrados opuestos son perpendiculares y de igual longitud. Se requeriría una gran cantidad de ingenio para encontrar una demostración puramente geométrica de este resultado sorprendente, así que en vez de confiar en nuestra propia inteligencia, invoquemos la inteligencia de los números complejos!

Figura 1 – Clic sobre la imagen para escenario de exploración

Introduciendo un factor $2$ por conveniencia, sean $2a$ , $2b$ , $2c$ , y $2d$ números complejos que se desplazan a lo largo de los lados del cuadrilátero. La única condición es que el cuadrilátero sea cerrado, es decir, que

$a+b+c+d=0.$

Como se ilustra, elegimos el origen de $\mathbb{C}$ como el vértice donde comienza $2a$ . Para llegar al centro $p$ del cuadrado construido en ese lado, vamos a lo largo de $a$ , y luego nos desplazamos una distancia igual en ángulo recto a $a$ . Por lo tanto, como $ia$ rota a $a$ respecto de un ángulo recto, $p=a+ia=(1+i)a$ . Del mismo modo,

$q=2a+(1+i)b,\quad r=2a+2b+(1+i)c,\quad s=2a+2b+2c+(1+i)d.$

Los números complejos $A=s-q$ (de $q$ a $s$ ) y $B=r-p$ (de $p$ a $r$ ) están por lo tanto dados por

$A = (b + 2c + d) + i(d-b)$

$B = (a + 2b + c) +i(c-a).$

Queremos demostrar que $A$ y $B$ son perpendiculares y de igual longitud. Estas dos afirmaciones se pueden combinar en el único enunciado complejo $B = iA$ , que dice que $B$ es $A$ rotado por $(\pi/2)$ . Para finalizar la demostración, tengamos en cuenta que esto es lo mismo que decir que $A + iB = 0$ , cuya verificación se trata de un simple cálculo rutinario:

$A + iB = (a + b + c + d) + i (a + b + c + d) = 0.$

Como un primer paso hacia una explicación puramente geométrica del resultado de la Figura 1, consideremos la Figura 2.

Figura 2 – Clic sobre la imagen para abrir el escenario de exploración

Aquí los cuadrados se han construido en dos lados de un triángulo arbitrario y, como sugiere la imagen, los segmentos lineales de sus centros al punto medio $m$ del lado restante son perpendiculares y de igual longitud. La Figura 1 puede ser rápidamente deducida de la Figura 2 (lo que se basa en el artículo de Finney de título Dynamic Proofs of Euclidean Theorems [1970]). Este último resultado puede, por supuesto, ser demostrado de la misma manera que arriba, pero en su lugar consideraremos un argumento puramente geométrico.

Para ello tomaremos un desvío interesante, investigando las traslaciones y las rotaciones del plano en términos de funciones complejas. En realidad, este «desvío» es mucho más importante que el rompecabezas geométrico al que aplicaremos los resultados.

Sea $T_{v}$ una traslación del plano por $v$ , de modo que un punto cualquiera $z$ se mapea en $T_{v}(z)=z+v$ . La Figura 3 muestra el efecto de la traslación en un triángulo.

Figura 3 – Clic sobre la imagen para ir al escenario de exploración

La inversa de $T_{v}$ , escrita como $T_{v}^{-1}$ , es la transformación que deshace el movimiento anterior; más formalmente, $T_{v}^{-1}$ se define por $T_{v}^{-1}\circ T_{v}=I=T_{v}\circ T_{v}^{-1}$ , donde $I$ es la transformación «que no hace nada» (llamada identidad), es decir, que mapea cada punto en sí mismo: $I(z)=z$ . Claramente, $T_{v}^{-1}=T_{-v}$ .

Si aplicamos $T_{v}$ seguida por otra traslación $T_{w}$ , entonces el mapeo compuesto $T_{w}\circ T_{v}$ del plano es otra traslación:

$T_{w}\circ T_{v}(z)=T_{w}(z+v)=(z+v)+w=z+(w+v)=T_{w+v}(z).$

Figura 4 – Clic sobre la imagen para abrir el escenario de exploración

Sea $R_{a}^{\theta}$ una rotación del plano respecto de un ángulo $\theta$ alrededor del punto $a$ . Por ejemplo, $R_{a}^{\phi}\circ R_{a}^{\theta}=R_{a}^{\theta+\phi}$ , y $\left(R_{a}^{\theta}\right)^{-1}=R_{a}^{-\theta}$ . Como un primer paso hacia expresar rotaciones como funciones complejas, notemos que la interpretación geométrica de la multiplicación de números complejos:

«la multiplicación por un número complejo $A=R\angle\phi$ es una rotación del plano a través de un ángulo $\phi$ , y una expansión del plano por el factor $R$ «

dice que una rotación alrededor del origen puede ser escrita como $R_{0}^{\theta}=e^{i\theta}z$ .

Como se muestra en la Figura 5, la rotación general $R_{a}^{\theta}$ puede llevarse a cabo mediante la traslación de $a$ hasta $0$ , seguida de una rotación de ángulo $\theta$ alrededor de $0$ , y a continuación la traslación de $0$ de nuevo a $a$ :

$R_{a}^{\theta}=\left(T_{a}\circ R_{0}^{\theta}\circ T_{a}^{-1}\right)(z)=e^{i\theta}(z-a)+a=e^{i\theta}z+k,$

donde $k=a(1-e^{i\theta})$ .

Figura 5 – Clic sobre la imagen para seguir el paso a paso

Por lo tanto nos encontramos con que una rotación alrededor de cualquier punto se puede expresar también como una rotación alrededor del origen seguida de una traslación: $R_{a}^{\theta}=(T_{k}\circ R_{0}^{\theta})$ . Recíprocamente, una rotación de ángulo $\alpha$ alrededor del origen seguida de una traslación por $v$ siempre se puede reducir a una sola rotación:

$T_{v}\circ R_{0}^{\alpha}=R_{c}^{\alpha},$

donde

$c=v/(1-e^{i\alpha}).$

De la misma manera, se puede comprobar fácilmente que si realizamos la traslación antes que la rotación, la transformación neta puede volver a llevarse a cabo mediante una sola rotación: $R_{0}^{\theta}\circ T_{v}=R_{p}^{\theta}$ . ¿Quién es $p$ ?

Los resultados obtenidos no son por cierto geométricamente evidentes [intente demostrarlos], y sirven para ilustrar el poder de pensar las traslaciones y las rotaciones como funciones complejas. Como un ejemplo adicional, consideremos el efecto neto de efectuar dos rotaciones alrededor de diferentes puntos. Representando las rotaciones como funciones complejas, un cálculo fácil nos dice que

$\left(R_{b}^{\phi}\circ R_{a}^{\theta}\right)(z)=e^{i(\phi+\theta)}z+v,$

donde

$v=a e^{i\phi}(1-e^{i\theta})+b(1-e^{i\phi}).$

A menos que $(\theta+\phi)$ sea un múltiplo de $2\pi$ , el párrafo anterior nos dice entonces que

$R_{b}^{\phi}\circ R_{a}^{\theta}=R_{c}^{(\theta+\phi)}$

donde

$c=\frac{v}{1-e^{i(\theta+\phi)}}=\frac{a e^{i\phi}(1-e^{i\theta})+b(1-e^{i\phi})}{1-e^{i(\theta+\phi)}}.$

[¿Cuánto debe valer $c$ si $b = a$ o si $\phi=0$ ? Compruebe la fórmula.] Este resultado se ilustra en la Figura 6.

Figura 6

Si, por otro lado, $(\theta+\phi)$ es un múltiplo de $2\pi$ , entonces $e^{i(\theta+\phi)}=1$ , y

$R_{b}^{\phi}\circ R_{a}^{\theta}=T_{v},$

donde

$v=(1-e^{i\phi})(b-a).$

Por ejemplo, tomando $\theta=\phi=\pi$ , esto predice que $R_{b}^{\pi}\circ R_{a}^{\pi}=T_{2(b-a)}$ es una traslación por el doble del número complejo que conecta el primer centro de rotación con el segundo. Que esto es cierto se puede deducir directamente de la Figura 7.

Figura 7

El resultado anterior de la composición de dos rotaciones implica lo siguiente:

Sea $M=R_{a_{n}}^{\theta_{n}}\circ\cdots\circ R_{a_{2}}^{\theta_{2}}\circ R_{a_{1}}^{\theta_{1}}$ la composición de $n$ rotaciones, y sea $\Theta=\theta_{1}+\theta_{2}+\cdots+\theta_{n}$ la cantidad total de la rotación. En general, $M=R_{c}^{\Theta}$ (para algún $c$ ), pero si $\Theta$ es un múltiplo de $2\pi$ entonces $M = Tv$ , para algún $v$ .

Retornando a nuestro problema original, ahora podemos dar una elegante explicación geométrica del resultado en la Figura 2. Refiriéndonos a la Figura 6, sea $M=R_{m}^{\pi}\circ R_{p}^{(\pi/2)}\circ R_{s}^{(\pi/2)}$ . Según el resultado ya obtenido, $M$ es una traslación. Para averiguar qué traslación, sólo necesitamos descubrir el efecto de $M$ en un solo punto. Claramente, $M (k) = k$ , así que $M$ es la traslación nula, es decir, la transformación identidad $I$ . Así

$R_{p}^{(\pi/2)}\circ R_{s}^{(\pi/2)}=\left(R_{m}^{\pi}\right)^{-1}\circ M=R_{m}^{\pi}.$

Figura 8

Si definimos $s'=R_{m}^{\pi}(s)$ entonces $m$ es el punto medio de $ss'$ . Pero, por otra parte,

$s'=\left(R_{p}^{(\pi/2)}\circ R_{s}^{(\pi/2)}\right)(s)=R_{p}^{(\pi/2)}(s).$

Por lo tanto, el triángulo $sps'$ es isósceles y tiene un ángulo recto en $p$ , por lo que $sm$ y $pm$ son perpendiculares y de igual longitud. Así hemos logrado demostrar la conclusión extraída de la Figura 2.