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Posts Tagged ‘Funciones elípticas’

Cuando Gauss murió en 1855, su puesto en Göttingen fue ocupado por Peter Gustav Lejeune Dirichlet. Un matemático que encontró en la presencia de Dirichlet un estímulo a la investigación fue Bernhard Riemann, y sus pocas cortas contribuciones a la matemática estuvieron entre las más influyentes del siglo. El primer trabajo de Riemann, su tesis doctoral (1851) sobre teoría de funciones complejas, proporcionó las bases para un tratamiento geométrico de las funciones de una variable compleja. Su principal resultado garantizaba la existencia de una amplia clase de funciones complejas que satisfacían sólo modestos requisitos generales y así dejaba claro que se podía esperar que las funciones complejas aparecieran ampliamente en la matemática. Más importante aún, Riemann logró este resultado uniendo  la teoría de funciones complejas con la teoría de las funciones armónicas y con la teoría del potencial. Las teorías de funciones complejas y armónicas eran ahora inseparables.

Riemann escribió entonces sobre la teoría de las series de Fourier y su integrabilidad. Su trabajo estaba directamente en la tradición que iba desde Cauchy y Fourier hasta Dirichlet, y marcó un paso considerable en la precisión con que se puede definir el concepto de integral. En 1854 abordó un tema que tanto interesaba a Gauss, las hipótesis que descansaban en la base de la geometría.

El estudio de la geometría siempre ha sido una de las preocupaciones centrales de los matemáticos. Era el lenguaje, y el tema principal, de la matemática griega; era el pilar de la educación elemental en el tema, y tenía un llamamiento visual obvio. Parece fácil de aplicar, porque uno puede proceder de una base de conceptos ingenuamente inteligibles. De acuerdo con las tendencias generales del siglo, sin embargo, fueron sólo los conceptos ingenuos los que Riemann eligió afinar. Lo que él propuso como base de la geometría era mucho más radical y fundamental que cualquier cosa que hubiera pasado antes.

Riemann tomó su inspiración del descubrimiento de Gauss de que la curvatura de una superficie es intrínseca, y argumentó que por lo tanto debemos ignorar el espacio euclidiano y tratar cada superficie por sí misma. Una propiedad geométrica, argumentó, era una que era intrínseca a la superficie. Para hacer geometría, bastaba tener un conjunto de puntos y una forma de medir longitudes a lo largo de curvas en la superficie. Para ello, las formas tradicionales de aplicar el cálculo al estudio de las curvas podrían ser suficientes. Pero Riemann no se detuvo en las superficies. Propuso que los geómetras estudien espacios de cualquier dimensión con este espíritu -incluso, dijo, espacios de dimensión infinita.

De este punto de vista se derivaron varias consecuencias profundas. Destronó la geometría euclidiana, que ahora se convertía en una de muchas geometrías. Permitió que la geometría de Bolyai y Lobachevsky fuera reconocida como la geometría de una superficie de curvatura negativa constante, resolviendo así dudas sobre la consistencia lógica de su trabajo. Destacó la importancia de los conceptos intrínsecos en la geometría. Ayudó a abrir el camino al estudio de espacios de muchas dimensiones. Por último, pero no menos importante, el trabajo de Riemann aseguró que cualquier investigación de naturaleza geométrica del espacio físico tuviera que ser en parte empírica. Ya no se podía decir que el espacio físico es euclidiano porque no existe sólo la geometría de Euclides. Esta comprensión finalmente destruyó cualquier esperanza de que las preguntas sobre el mundo pudieran ser contestadas por un razonamiento a priori.

 En 1857 Riemann publicó varios artículos que aplicaban sus métodos muy generales al estudio de funciones complejas en varias partes de la matemática. Uno de estos trabajos resolvió el problema sobresaliente de extender la teoría de las funciones elípticas a la integración de cualquier función algebraica. Inició la teoría de funciones complejas de varias variables y mostró cómo las ideas topológicas de Riemann eran esenciales en el estudio de funciones complejas. (En las conferencias posteriores Riemann mostró cómo el caso especial de la teoría de las funciones elípticas podría considerarse como el estudio de funciones complejas en un toro.)

En otro artículo Riemann trató la cuestión de cuántos números primos son menores que cualquier número dado x. La respuesta es una función de x, y Gauss había conjeturado sobre la base de una extensa evidencia numérica de que esta función era aproximadamente x /\ln(x). Esto resultó ser cierto, pero no fue probado hasta 1896, cuando tanto Charles-Jean de la Vallée Poussin de Bélgica como Jacques-Salomon Hadamard de Francia lo demostraron independientemente. Es notable que una pregunta sobre enteros llevó a una discusión de funciones de una variable compleja, pero conexiones similares habían sido hechas previamente por Dirichlet. Riemann tomó la expresión

\prod\left ( 1-p^{-s} \right )^{-1}=\sum n^{-s}

introducida por Euler el siglo anterior, donde el producto infinito se toma sobre todos los números primos p y la suma sobre todos los números enteros n, y lo trata como una función de s. La suma infinita tiene sentido cada vez que s es real y mayor que 1. Riemann procedió a estudiar esta función cuando s es complejo (ahora llamada la función zeta de Riemann), y no sólo ayudó a aclarar la cuestión de la distribución de los números primos sino también llevó a varias otras observaciones que los matemáticos posteriores encontrarían de interés excepcional. Una observación ha seguido eludiendo las pruebas y sigue siendo una de las mayores conjeturas en matemática: la afirmación de que los ceros no reales de la función zeta son números complejos cuya parte real es siempre igual a 1/2.

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La teoría de funciones de una variable compleja fue también decididamente reformulada. Al comienzo del siglo XIX, los números complejos eran discutidos desde un punto de vista cuasi-filosófico por varios escritores franceses, en particular por Jean-Robert Argand. Había consenso de que los números complejos debían ser considerados como pares de números reales, con reglas adecuadas para su adición y multiplicación, de modo que el par (0, 1) era una raíz cuadrada de -1. El significado subyacente de un tal par de números fue dado a través de su interpretación geométrica, ya sea como un punto en un plano o como un segmento dirigido uniendo el origen de coordenadas con el punto en cuestión. (Esta representación es a veces llamada diagrama de Argand.) En 1827, mientras revisaba un manuscrito antes de su publicación, Cauchy demostró cómo el problema de la integración de funciones de dos variables podía ser iluminado por la teoría de funciones de una sola variable compleja, la que entonces estaba en desarrollo. Pero la influencia decisiva en el crecimiento del tema vino del lado de la teoría de las funciones elípticas.

 El estudio de las funciones elípticas se originó en el siglo XVIII, cuando muchos autores estudiaban integrales de la forma

\int_0^x \frac{p(t) dt}{\sqrt{q(t)}},

donde p(t)q(t) son polinomios en t y q(t) es de grado 3 o 4 en t. Tales integrales surgen naturalmente, por ejemplo, como una expresión para la longitud de un arco de una elipse (de ahí el nombre). Estas integrales no pueden ser evaluadas de forma explícita. No definen una función que se pueda obtener de funciones racionales y trigonométricas, una dificultad que se añade a su interés. Las integrales elípticas fueron intensivamente  estudiadas desde hace muchos años por el matemático francés Adrien-Marie Legendre, que fue capaz de calcular tablas de valores de tales expresiones como funciones de su extremo superior, x. Pero el tema se transformó por completo a finales de 1820 por los descubrimientos independientes pero estrechamente superpuestos de dos jóvenes matemáticos, el noruego Niels Henrik Abel y el alemán Carl Jacobi. Estos hombres mostraron que, si se permitía que la variable x sea compleja y se  invertía el problema de modo que el objeto de estudio se convertía en

u=\int_0^x \frac{p(t) dt}{\sqrt{q(t)}},

considerado definiendo una función x de una variable u, entonces una notable nueva teoría se tornaba evidente. La nueva función, por ejemplo, poseía una propiedad que generaliza la propiedad básica de la periodicidad de las funciones trigonométricas seno y coseno: $latex \sin (x) = \sin (x + 2\pi)$. Cualquier función del tipo que se acaba de describir tiene dos períodos distintos, \omega_1 y \omega_2:

 x(u)=x(u+\omega_1)=x(u+\omega _2)

Estas nuevas funciones, las funciones elípticas, despertaron un considerable grado de interés. La analogía con las funciones trigonométricas caló muy profundo (de hecho las funciones trigonométricas resultaron ser casos especiales de las funciones elípticas), pero su mayor influencia fue en el creciente estudio general de las funciones de una variable compleja. La teoría de las funciones elípticas se convirtió en el paradigma de lo que podría ser descubierto al permitir que las variables sean complejas en lugar de reales. Sin embargo, su natural generalización de funciones definidas por integrandos más complicados, aunque arrojó resultados parciales, se resistió al análisis hasta la segunda mitad del siglo XIX.

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