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Posts Tagged ‘Geometría euclideana’

Cuando Gauss murió en 1855, su puesto en Göttingen fue ocupado por Peter Gustav Lejeune Dirichlet. Un matemático que encontró en la presencia de Dirichlet un estímulo a la investigación fue Bernhard Riemann, y sus pocas cortas contribuciones a la matemática estuvieron entre las más influyentes del siglo. El primer trabajo de Riemann, su tesis doctoral (1851) sobre teoría de funciones complejas, proporcionó las bases para un tratamiento geométrico de las funciones de una variable compleja. Su principal resultado garantizaba la existencia de una amplia clase de funciones complejas que satisfacían sólo modestos requisitos generales y así dejaba claro que se podía esperar que las funciones complejas aparecieran ampliamente en la matemática. Más importante aún, Riemann logró este resultado uniendo  la teoría de funciones complejas con la teoría de las funciones armónicas y con la teoría del potencial. Las teorías de funciones complejas y armónicas eran ahora inseparables.

Riemann escribió entonces sobre la teoría de las series de Fourier y su integrabilidad. Su trabajo estaba directamente en la tradición que iba desde Cauchy y Fourier hasta Dirichlet, y marcó un paso considerable en la precisión con que se puede definir el concepto de integral. En 1854 abordó un tema que tanto interesaba a Gauss, las hipótesis que descansaban en la base de la geometría.

El estudio de la geometría siempre ha sido una de las preocupaciones centrales de los matemáticos. Era el lenguaje, y el tema principal, de la matemática griega; era el pilar de la educación elemental en el tema, y tenía un llamamiento visual obvio. Parece fácil de aplicar, porque uno puede proceder de una base de conceptos ingenuamente inteligibles. De acuerdo con las tendencias generales del siglo, sin embargo, fueron sólo los conceptos ingenuos los que Riemann eligió afinar. Lo que él propuso como base de la geometría era mucho más radical y fundamental que cualquier cosa que hubiera pasado antes.

Riemann tomó su inspiración del descubrimiento de Gauss de que la curvatura de una superficie es intrínseca, y argumentó que por lo tanto debemos ignorar el espacio euclidiano y tratar cada superficie por sí misma. Una propiedad geométrica, argumentó, era una que era intrínseca a la superficie. Para hacer geometría, bastaba tener un conjunto de puntos y una forma de medir longitudes a lo largo de curvas en la superficie. Para ello, las formas tradicionales de aplicar el cálculo al estudio de las curvas podrían ser suficientes. Pero Riemann no se detuvo en las superficies. Propuso que los geómetras estudien espacios de cualquier dimensión con este espíritu -incluso, dijo, espacios de dimensión infinita.

De este punto de vista se derivaron varias consecuencias profundas. Destronó la geometría euclidiana, que ahora se convertía en una de muchas geometrías. Permitió que la geometría de Bolyai y Lobachevsky fuera reconocida como la geometría de una superficie de curvatura negativa constante, resolviendo así dudas sobre la consistencia lógica de su trabajo. Destacó la importancia de los conceptos intrínsecos en la geometría. Ayudó a abrir el camino al estudio de espacios de muchas dimensiones. Por último, pero no menos importante, el trabajo de Riemann aseguró que cualquier investigación de naturaleza geométrica del espacio físico tuviera que ser en parte empírica. Ya no se podía decir que el espacio físico es euclidiano porque no existe sólo la geometría de Euclides. Esta comprensión finalmente destruyó cualquier esperanza de que las preguntas sobre el mundo pudieran ser contestadas por un razonamiento a priori.

 En 1857 Riemann publicó varios artículos que aplicaban sus métodos muy generales al estudio de funciones complejas en varias partes de la matemática. Uno de estos trabajos resolvió el problema sobresaliente de extender la teoría de las funciones elípticas a la integración de cualquier función algebraica. Inició la teoría de funciones complejas de varias variables y mostró cómo las ideas topológicas de Riemann eran esenciales en el estudio de funciones complejas. (En las conferencias posteriores Riemann mostró cómo el caso especial de la teoría de las funciones elípticas podría considerarse como el estudio de funciones complejas en un toro.)

En otro artículo Riemann trató la cuestión de cuántos números primos son menores que cualquier número dado x. La respuesta es una función de x, y Gauss había conjeturado sobre la base de una extensa evidencia numérica de que esta función era aproximadamente x /\ln(x). Esto resultó ser cierto, pero no fue probado hasta 1896, cuando tanto Charles-Jean de la Vallée Poussin de Bélgica como Jacques-Salomon Hadamard de Francia lo demostraron independientemente. Es notable que una pregunta sobre enteros llevó a una discusión de funciones de una variable compleja, pero conexiones similares habían sido hechas previamente por Dirichlet. Riemann tomó la expresión

\prod\left ( 1-p^{-s} \right )^{-1}=\sum n^{-s}

introducida por Euler el siglo anterior, donde el producto infinito se toma sobre todos los números primos p y la suma sobre todos los números enteros n, y lo trata como una función de s. La suma infinita tiene sentido cada vez que s es real y mayor que 1. Riemann procedió a estudiar esta función cuando s es complejo (ahora llamada la función zeta de Riemann), y no sólo ayudó a aclarar la cuestión de la distribución de los números primos sino también llevó a varias otras observaciones que los matemáticos posteriores encontrarían de interés excepcional. Una observación ha seguido eludiendo las pruebas y sigue siendo una de las mayores conjeturas en matemática: la afirmación de que los ceros no reales de la función zeta son números complejos cuya parte real es siempre igual a 1/2.

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Echemos un vistazo más de cerca al papel de la distancia en la geometría euclidiana. Supongamos que tenemos dos triángulos rectángulos T y \tilde{T} dibujados en el mismo plano, y supongamos que Jack mide T mientras Jill mide \tilde{T}. Si Jack y Jill informan que sus triángulos tienen lados de medida 3, 4 y 5, entonces se tiene la tentación de decir que se trata de los mismos  triángulos, en el sentido de que existe un movimiento \mathcal{M} tal que \tilde{T}=\mathcal{M}(T). ¡Pero espere! Supongamos que la regla de Jack está marcada en centímetros, mientras que la de Jill está marcada en pulgadas. Los dos triángulos son semejantes, pero no son congruentes. ¿Cuál es el «verdadero» triángulo de 3, 4, 5? Por supuesto que ambos lo son.

El punto es que cuando hablamos numéricamente de distancias, estamos presuponiendo una unidad de medida. Esta puede ser representada como una cierta línea-segmento  U, y cuando decimos, por ejemplo, que algún otro segmento tiene una longitud igual a 5 nos referimos a que precisamente se pueden superponer sobre él 5 copias de U. Pero en nuestro plano plano cualquier elección de U es tan buena como cualquier otra -no existe una unidad de medida absoluta, y nuestros teoremas geométricos deben reflejar ese hecho.

Meditando sobre esto, reconocemos de hecho que los teoremas euclidianos no dependen de esta elección (arbitraria) de U, porque ellos sólo se ocupan de las razones de las longitudes, que son independientes de U. Por ejemplo, Jack puede verificar que su triángulo T satisface  el Teorema de Pitágoras escribiendo

(3\mbox{ cm})^{2}+(4\mbox{ cm})^{2}=(5\mbox{ cm})^{2},

pero, dividiendo ambos miembros por (5\mbox{ cm})^{2}, esto puede ser reescrito en términos de las razones de los lados, que son números puros:

(3/5)^{2}+(4/5)^{2}=1.

Dado que los teoremas de la geometría euclidiana no se preocupan de los tamaños reales de las figuras, nuestra definición anterior de  igualdad geométrica en términos de movimientos es claramente demasiado restrictiva: dos figuras deben ser consideradas las mismas si son semejantes. Más precisamente, ahora consideramos que dos figuras son la misma si existe un mapeo semejante de una a la otra, donde

Una semejanza \mathcal{S} es un mapeo del plano en sí mismo que preserva razones de distancias.

Es fácil ver que una semejanza \mathcal{S} dada expande cada distancia por un mismo factor (no-nulo) r, que vamos a llamar la expansión de \mathcal{S}. Por tanto, podemos refinar nuestra notación incluyendo la expansión como un exponente, de modo que una semejanza general de expansión r se escribe como \mathcal{S}^{r}. Es evidente que: la transformación identidad es una semejanza, \mathcal{S}^{k}\circ\mathcal{S}^{r}=\mathcal{S}^{kr}, y (\mathcal{S}^{r})^{-1}=\mathcal{S}^{(1/r)}, por lo que es bastante claro que el conjunto de todas las semejanzas forma un grupo. Llegamos así a la definición de la geometría euclidiana que Klein dio en su discurso de Erlangen:

La geometría euclidiana es el estudio de las propiedades de las figuras geométricas que son invariantes bajo el grupo de las semejanzas.

Dado que los movimientos son sólo las semejanzas \mathcal{S}^{1} de expansión unitaria, el grupo de los movimientos es un subgrupo del grupo de semejanzas; nuestro intento anterior de definir la geometría euclidiana, por tanto, conduce a una «subgeometría» de la geometría definida en el párrafo anterior.

Un ejemplo simple de una semejanza \mathcal{S}^{r} es una dilatación central \mathcal{D}_{o}^{r}. Como se ilustra en la Figura 1, ésta deja o fijo y extiende radialmente cada segmento oA por r.

Figura 1

Figura 1

Tenga en cuenta que la inversa de una dilatación central es otra dilatación central con el mismo centro: \left(\mathcal{D}_{o}^{r}\right)^{-1}=\mathcal{D}_{o}^{(1/r)}. Si esta dilatación central es seguida por (o precedida por) una rotación \mathcal{R}_{o}^{\theta} con el mismo centro, entonces se obtiene la rotación dilatada

\mathcal{D}_{o}^{r,\theta}\equiv\mathcal{R}_{o}^{\theta}\circ\mathcal{D}_{o}^{r}=\mathcal{D}_{o}^{r}\circ\mathcal{R}_{o}^{\theta},

que se muestra en la Figura 2. Tenga en cuenta que una dilatación central puede ser vista como un caso especial de una rotación dilatada: \mathcal{D}_{o}^{r}=\mathcal{D}_{o}^{r,0}.

Figura 2

Figura 2

Esta figura debe estar haciendo sonar ruidosas campanas. Tómese o como el origen de \mathbb{C}. Recordemos que en Aritmética simbólica «versus» aritmética geométrica dijimos que

Geométricamente, la multiplicación por un número complejo A=R\angle\phi es una rotación del plano a través de un ángulo \phi, y una expansión del plano por el factor R.

lo que nos dice que \mathcal{D}_{o}^{r,\theta} corresponde a la multiplicación por r e^{i\theta}:

\mathcal{D}_{o}^{r,\theta}(z)=\left(r e^{i\theta}\right)z.

Recíprocamente, y este es el punto clave, la regla para la multiplicación compleja puede ser vista como una consecuencia del comportamiento de rotaciones dilatadas.

Concentrémonos en el conjunto de rotaciones dilatadas con un centro común fijo o, que se considerará como el origen del plano complejo. Cada \mathcal{D}_{o}^{r,\theta} está determinada de forma única por su expansión r y rotación \theta, y así puede ser representada por un vector de longitud r en ángulo \theta. Del mismo modo, \mathcal{D}_{o}^{R,\phi} se puede representar por un vector de longitud R en ángulo \phi. ¿Qué vector representará la composición de estas rotaciones dilatadas? Geométricamente, está claro que

\mathcal{D}_{o}^{R,\phi}\circ\mathcal{D}_{o}^{r,\theta}=\mathcal{D}_{o}^{r,\theta}\circ\mathcal{D}_{o}^{R,\phi}=\mathcal{D}_{o}^{Rr,\theta+\phi},

por lo que el nuevo vector se obtiene a partir de los vectores originales multiplicando sus longitudes y sumando sus ángulos -la multiplicación compleja!

En Geometría asistida por complejos hemos visto que si los números complejos son considerados como traslaciones entonces la composición conduce a la adición compleja. Ahora vemos que si en cambio los números complejos son considerados como rotaciones dilatadas entonces la composición conduce a la multiplicación compleja. Para completar nuestra «explicación» de los números complejos en términos geométricos, vamos a demostrar que estas traslaciones y rotaciones dilatadas son fundamentales para la geometría euclidiana definida como arriba.

Para comprender la semejanza general \mathcal{S}^{r} involucrada en la definición de geometría euclidiana dada notemos que si p es un punto arbitrario, \mathcal{M}\equiv\mathcal{S}^{r}\circ\mathcal{D}_{p}^{(1/r)} es un movimiento. Así, cualquier semejanza es la composición de una dilatación y un movimiento:

\mathcal{S}^{r}=\mathcal{M}\circ\mathcal{D}_{p}^{r}.

Nuestra clasificación de los movimientos en Movimientos… directo u opuesto?, por tanto, implica que las semejanzas son de dos tipos: si \mathcal{M} preserva ángulos entonces lo hará \mathcal{S}^{r} [una semejanza directa]; si \mathcal{M} invierte ángulos entonces también lo hará \mathcal{S}^{r} [una semejanza opuesta].

Del mismo modo que nos concentramos en el grupo de los movimientos directos, ahora vamos a concentrarnos en el grupo de semejanzas directas. El papel fundamental de las traslaciones y las rotaciones dilatadas en la geometría euclidiana finalmente emerge en el siguiente sorprendente teorema:

Toda semejanza directa es una rotación dilatada o (excepcionalmente) una traslación.

Para comenzar a entender esta última afirmación acerca de la semejanza directa, observemos que en Movimientos… directo u opuesto? dijimos que

Hay exactamente un movimiento directo \mathcal{M} (y exactamente un movimiento opuesto \widetilde{\mathcal{M}}) que mapea un segmento de recta dado AB en otro segmento de recta A'B' de igual longitud. Por otra parte, \widetilde{\mathcal{M}}=(\mathcal{M} seguida de la reflexión respecto de la recta A'B'

y vimos aquí que \mathcal{S}^{r}=\mathcal{M}\circ\mathcal{D}_{p}^{r}, lo que implica que una semejanza directa está determinada por la imagen A'B' de cualquier segmento de recta AB. Primero consideremos el caso excepcional en el que A'B' y AB son de igual longitud. Tenemos pues tres casos presentados en la Figura 3, todos ellos consistentes con la afirmación acerca de la semejanza directa.

Figura 3

Figura 3

Por otro lado, si A'B' y AB son paralelos, pero no de la misma longitud, entonces tenemos los dos casos que aparecen en las Figuras 4 y 5, en los cuales hemos dibujado las líneas AA' y BB' de modo que se crucen en p. Al apelar a los triángulos semejantes en estas figuras, vemos que en la Figura 4 la semejanza es \mathcal{D}_{p}^{r,0}, mientras que en la Figura 5 es \mathcal{D}_{p}^{r,\pi}, donde en ambos casos r=(pA'/pA)=(pB'/pB).

Figura 4

Figura 4

Figura 5

Figura 5

Consideremos ahora el caso general mucho más interesante donde A'B' y AB no tienen la misma longitud y tampoco son paralelos. Echemos un vistazo a la Figura 6, que ilustra esto. Aquí n es el punto de intersección de los dos segmentos (producidos de ser necesario), y \theta es el ángulo entre ellos. Para esclarecer nuestra afirmación respecto de la semejanza directa tenemos que demostrar que podemos llevar AB a A'B' con una sola rotación dilatada. Por el momento, observemos que para que AB tenga la misma dirección que A'B' bastaría girarlo \theta, por lo que la afirmación es realmente la siguiente: Existe un punto q, y un factor de expansión r, tal que \mathcal{D}_{q}^{r,\theta} lleva  A en A' y B en $latexB’$.

Figura 6

Figura 6

Consideremos la parte de la Figura 6 que se reproduce en la Figura 7. Claramente, tomando r=(nA'/nA), \mathcal{D}_{n}^{r,\theta} aplicará A en A'. Más generalmente, vemos que podemos mapear A en A' con \mathcal{D}_{q}^{r,\theta} si y sólo si AA' subtiende el ángulo \theta en $q$. Así, con el valor apropiado de r, \mathcal{D}_{q}^{r,\theta} mapea A en A' si y sólo si q se encuentra en el arco circular AnA'. La figura ilustra una de estas posiciones, q = m. Antes de regresar a la Figura 6 tenemos que notar una cosa más: mA subtiende el mismo ángulo (marcado con \bullet) en n y A'.

Figura 7

Figura 7

Volvamos a la Figura 6. Queremos \mathcal{D}_{q}^{r,\theta} para mapear A en A' y B en B'. De acuerdo con el argumento anterior, q debe estar sobre el arco circular de AnA' y en el arco circular BnB '. Así, hay sólo dos posibilidades: q = n o q = m (el otro punto de intersección de los dos arcos). Si lo pensamos bien, este es un momento de gran dramatismo. Hemos reducido las posibilidades para q a sólo dos puntos considerando sólo un ángulo; para cualquiera de estos dos puntos podemos elegir el valor de la expansión r con el fin de llevar A en A', pero, una vez que esta opción ha sido hecha, B se mapeará en B' o no! Por otra parte, se desprende de la figura que si q=n entonces B no se mapeará en B', por lo que q = m es la única posibilidad que queda.

Para que \mathcal{D}_{m}^{r,\theta} aplique simultáneamente A en A' y B en B', tenemos que tener r = (mA'/ mA) = (mB'/mB); es decir, los dos triángulos sombreados deben ser semejantes. Que de hecho son semejantes es sin duda una especie de milagro. En cuanto a los ángulos formados por n, vemos que \theta+\odot+\bullet=\pi, y el resultado se sigue inmediatamente al pensar al miembro derecho como el ángulo suma de cada uno de los dos triángulos sombreados. Esto completa la demostración de nuestra afirmación sobre semejanza directa.

El lector puede sentir que es insatisfactorio que toda semejanza directa exija rotaciones dilatadas alrededor de puntos arbitrarios, mientras que los números complejos representan rotaciones dilatadas alrededor de un punto fijo o (el origen). Esto puede ser respondido notando que las imágenes de AB bajo \mathcal{D}_{q}^{r,\theta} y \mathcal{D}_{o}^{r,\theta} serán paralelas y de igual longitud, por lo que existirá una traslación \mathcal{T}_{v} aplicando uno sobre el otro. En otras palabras, en general una rotación dilatada difiere de una rotación dilatada centrada en el origen por una mera traslación: \mathcal{D}_{q}^{r,\theta}=\mathcal{T}_{v}\circ\mathcal{D}_{o}^{r,\theta}. En resumen,

Cada semejanza directa \mathcal{S}^{r} puede expresarse como una función compleja de la forma de \mathcal{S}^{r}(z)=r e^{i\theta}z+v.


Fuente bibliográfica:

  • Tristan Needham (1997) Visual Complex Analysis. Oxford University Press

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Incluso con el beneficio de una enorme retrospectiva, es difícil introducir los números complejos de  manera convincente. Históricamente, hemos visto (aquí) cómo las ecuaciones cúbicas obligaron a que aparecieran en forma algebraica, y en la discusión de los trabajos de Cotes (aquí) vimos algo de lo inevitable que se vuelve su interpretación geométrica. En próximas entradas vamos a tratar de mostrar cómo los números complejos surgen de manera natural, casi sin quererlo, a partir de una cuidadosa re-examinación de la geometría plana de Euclides. Para ello debemos primero dedicar algunas palabras preliminares.

Aunque los antiguos griegos hicieron muchos hermosos y notables descubrimientos en geometría, fue dos mil años después que Felix Klein se preguntó y respondió por primera vez a la pregunta, «¿Qué es la geometría?»

Felix Klein

Felix Klein

Vamos a restringirnos desde el principio a la geometría plana. Uno podría empezar diciendo que ésta es el estudio de las propiedades geométricas de las figuras geométricas en el plano, pero (i) qué son las «propiedades geométricas», y (ii) qué son las «figuras geométricas'»? Nos concentraremos en (i), pasando rápidamente por encima de (ii) mediante la interpretación de «figura geométrica» como cualquier cosa que podríamos elegir dibujar en un papel plano infinitamente grande con un lápiz infinitamente fino.

En cuanto a (i), comenzamos por señalar que si dos figuras (por ejemplo, dos triángulos) tienen las mismas propiedades geométricas, entonces (desde el punto de vista de la geometría) deben ser las «mismas», «iguales», o, como uno suele decir, congruentes. Así, si tuviéramos una clara definición de congruencia («igualdad geométrica») entonces podríamos revertir esta observación y definir las propiedades geométricas como aquellas propiedades que son comunes a todas las figuras congruentes. ¿Cómo, pues, podemos saber si dos figuras son geométricamente iguales?

Consideremos los triángulos en la Figura 1, e imaginemos que son piezas de papel que se pueden recoger con la mano. Para ver si T es congruente a T', podríamos tomar T y comprobar si podemos ubicarlo sobre T'. Tenga en cuenta que es esencial que se nos permita mover a T en el espacio: con el fin de alcanzar el objetivo debemos colocar T sobre \widetilde{T} dándolo vuelta primero, pues no podemos simplemente deslizar T dentro del plano. Intentando generalizar, esto sugiere que una figura F es congruente a otra figura F' si existe un movimiento de F a través del espacio que la haga coincidir con F'. Nótese que la discusión sugiere que hay fundamentalmente dos tipos diferentes de movimientos: aquellos que implican voltear una figura sobre otra, y los que no lo hacen. Más adelante, volveremos sobre este importante punto.

Figura 1

Figura 1

Está claro que es un tanto insatisfactorio que en el intento de definir la geometría en el plano hayamos apelado a la idea de movimiento a través del espacio. Ahora rectificaremos esto. Volviendo a la Figura 1, imaginemos que T y T' se dibujan en hojas separadas, de plástico transparente. En lugar de tomar sólo el triángulo T, ahora tomamos toda la hoja en la que lo dibujamos, y luego tratamos de colocarlo en la segunda hoja a fin de que T y T' coincidan. Al final de este movimiento, cada punto A en la hoja de T se encuentra sobre un punto A' de la hoja de T', y ahora podemos definir el movimiento \mathcal{M} como el mapeo (o aplicación) A\mapsto A'=\mathcal{M}(A) del plano en sí mismo.

Sin embargo, no cualquier mapeo califica como movimiento, porque también debemos capturar la idea (anteriormente implícita) de que la hoja queda rígida mientras se mueve, por lo que las distancias entre los puntos se mantienen constantes durante el movimiento. Aquí, entonces, está nuestra definición:

Un movimiento \mathcal{M} es un mapeo del plano en sí mismo tal que la distancia entre dos puntos A y B es igual a la distancia entre su imágenes A'=\mathcal{M}(A) y B'=\mathcal{M}(B).

Tenga en cuenta que a lo que hemos llamado un movimiento a menudo se lo denomina un «movimiento rígido», o «isometría».

Armados con este concepto preciso de movimiento, nuestra definición final de igualdad geométrica se convierte en

 F es congruente a F', escrito como F\cong F', si existe un movimiento \mathcal{M} tal que F'=\mathcal{M}(F).

A continuación, como consecuencia de nuestra discusión anterior, una propiedad geométrica de una figura es una que no se altera por todos los posibles movimientos de la figura. Por último, en respuesta a la pregunta inicial sobre «¿Qué es la geometría?», Klein contestaría que es el estudio de estos llamados invariantes del conjunto de movimientos.

Uno de los descubrimientos más notables del siglo pasado fue que la geometría euclidiana no es la única geometría posible. Más adelante estudiaremos dos de las llamadas geometrías no euclidianas, pero por el momento sólo nos contentaremos con explicar cómo Felix Klein fue capaz de generalizar las ideas anteriores para abarcar estas nuevas geometrías.

El objetivo en la definición dada de congruente era utilizar una familia de transformaciones para introducir un concepto de igualdad geométrica. Pero, ¿este tipo \cong de igualdad se comportará de la manera que nos gustaría y esperamos? Para responder a esta pregunta primero debemos hacer explícitas nuestras expectativas. Para no confundir esta discusión general con el concepto particular de congruencia dado arriba, vamos a denotar a la igualdad geométrica por \sim.

  1. Una figura debe ser igual a sí misma: F\sim F, para toda F.
  2. Si F es igual a F', entonces F' debe ser igual a F: F \sim F'\Rightarrow F' \sim F.
  3. Si $ F$ y F' son iguales, y F' y F'' son iguales, entonces F y F'' también deben ser iguales: F \sim F'\wedge F' \sim F''\Rightarrow F \sim F''.

Cualquier relación que satisface estas expectativas se llama una relación de equivalencia.

Ahora supongamos que retenemos la definición anterior de igualdad geométrica, pero que generalizamos la definición de «movimiento» que dimos mediante la sustitución de la familia de las transformaciones que preservan la distancia con algunos otros miembros de la familia \mathcal{G} de transformaciones. Debe quedar claro que no cualquier \mathcal{G} será compatible con nuestro objetivo de definir la igualdad geométrica. De hecho, (1), (2), y (3) implican que \mathcal{G} debe tener la siguiente estructura muy especial(*), que se ilustra en la Figura 2.

Figura 2

Figura 2

  • La familia \mathcal{G} debe contener una transformación \epsilon (llamada la identidad) que mapea cada punto en sí mismo.
  • Si \mathcal{G} contiene una transformación \mathcal{M}, entonces debe contener también una transformación \mathcal{M}^{-1} (llamada la inversa) que deshace \mathcal{M}.
  • Si \mathcal{M} y \mathcal{N} son miembros de \mathcal{G} entonces también lo es la transformación compuesta \mathcal{N}\circ\mathcal{M} (\mathcal{M} seguida por \mathcal{N}) Esta propiedad de \mathcal{G} se denomina clausura.

Así, hemos llegado, muy naturalmente, a un concepto de importancia fundamental en el conjunto de la matemática: una familia \mathcal{G} de transformaciones que satisface estos tres (**) requisitos se denomina grupo.

Vamos a ver que los movimientos definidos en la definición inicial de movimiento en efecto forman un grupo: (i) Dado que la transformación identidad preserva las distancias, es un movimiento; (ii) Siempre que exista, la inversa de un movimiento preserva las distancias y por lo tanto será un movimiento en sí. En cuanto a la existencia, (a) es ciertamente posible que cuando aplicamos un movimiento a todo el plano, entonces la imagen es todo el plano y (b) la distancia no nula entre puntos distintos es preservada por un movimiento, por lo que sus imágenes son una vez más diferentes; (iii) Si dos transformaciones no alteran las distancias, entonces la aplicación de ellas en sucesión no alterará las distancias, por lo que la composición de dos movimientos es otro movimiento.

La idea de Klein fue que primero podríamos seleccionar un grupo \mathcal{G} a voluntad, y luego definir la «geometría» correspondiente con el estudio de los invariantes de \mathcal{G}. [Klein anunció por primera vez esta idea en 1872, cuando tenía 23 años!, en la Universidad de Erlangen, y ha llegado a ser conocida como el Programa de Erlangen.] Por ejemplo, si elegimos \mathcal{G} como el grupo de movimientos, recuperamos la geometría euclidiana familiar del plano. Pero ésta está lejos de ser la única geometría del plano, como muestra la denominada geometría proyectiva de la Figura 2.

La visión de Klein de la geometría fue más amplia todavía. Nos hemos preocupado por qué geometrías son posibles cuando las figuras se dibujan en cualquier parte del plano, pero supongamos por ejemplo que sólo se nos permite dibujar dentro de algún disco D. Debe quedar claro que podemos construir «geometrías de D» exactamente de la misma manera en que construimos geometrías del plano: dado un grupo \mathcal{H} de transformaciones de D en sí mismo, la geometría correspondiente es el estudio de los invariantes de \mathcal{H}. Sin duda existen tales grupos, basta considerar el conjunto de todas las rotaciones en torno al centro de D.

El lector puede sentir que la discusión anterior es un caso crónico de generalización matemática «tan sutil como inútil». Nada podría estar más lejos de la verdad! Más adelante veremos, muy naturalmente, cómo considerar un grupo particularmente interesante de transformaciones de un disco en sí mismo. La geometría no euclidiana resultante se llama geometría hiperbólica o lobachevskiana. Lejos de ser inútil, esta geometría ha demostrado ser una herramienta muy poderosa en diversas áreas de la matemática, y las ideas que continúa ofreciendo se encuentran a la vanguardia de la investigación contemporánea.

(*) Aquí \mathcal{G} es el grupo de proyecciones. Si hacemos un dibujo en perspectiva de las figuras en el plano, entonces el mapeo de ese plano al plano «lienzo» se llama perspectiva. Una proyección se define entonces como cualquier secuencia de perspectivas.

(**) En configuraciones más abstractas, es necesario añadir un cuarto requisito de asociatividad, es decir, \mathcal{A}\circ(\mathcal{B}\circ\mathcal{C})=(\mathcal{A}\circ\mathcal{B})\circ\mathcal{C}. Por supuesto, para las transformaciones es automáticamente cierto.


Fuente bibliográfica:

  • Tristan Needham (1997) Visual Complex Analysis. Oxford University Press

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