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Posts Tagged ‘Geometría hiperbólica’

Cuando Euclides presentó su tratamiento axiomático de la geometría, uno de sus supuestos, su quinto postulado, parecía ser menos obvio o fundamental que los otros. Como ahora se formula convencionalmente, afirma que hay exactamente una paralela a una recta dada a través de un punto dado. Los intentos de derivar esto de los otros axiomas de Euclides no tuvieron éxito y, a comienzos del siglo XIX, se dieron cuenta de que el quinto postulado de Euclides es, de hecho, independiente de los otros. Se vio entonces que Euclides no había descrito la única geometría verdadera, sino sólo una de varias geometrías posibles.

Geometrías Elípticas e Hiperbólicas

Dentro del marco de los otros cuatro postulados de Euclides (y algunos que omitió), también estaban como posibles las geometrías elípticas e hiperbólicas. En la geometría elíptica plana no existen paralelas a una línea dada a través de un punto dado. Puede ser vista como la geometría de una superficie esférica sobre la cual se han identificado puntos antipodales y todas las rectas son grandes círculos. Esto no fue visto como revolucionario. Más emocionante fue la geometría hiperbólica plana, desarrollada independientemente por el matemático húngaro János Bolyai (1802-1860) y el matemático ruso Nikolai Ivanovich Lobachevsky (1792-1856), en la que hay más de una paralela a una recta dada a través de un punto dado. Esta geometría es más difícil de visualizar, pero un modelo útil presenta al plano hiperbólico como el interior de un círculo, en el que las rectas toman la forma de arcos de círculos perpendiculares a la circunferencia.

János Bolyai

Nikolai Ivanovich Lobachevsky

Otra forma de distinguir las tres geometrías es mirar la suma de los ángulos de un triángulo. En la geometría euclidiana es igual a 180° , como fue descubierto por Tales de Mileto (siglo VI a.C.), mientras que es mayor a 180° en la geometría elíptica y menor a 180° en la geometría hiperbólica.

Geometría de Riemann

El descubrimiento de que hay más de una geometría era de importancia fundacional y contradecía al filósofo alemán Immanuel Kant (1724-1804). Kant había argumentado que hay una sola geometría verdadera, la euclidiana, que se sabe que es verdadera a priori por una facultad interior (o intuición) de la mente. Para Kant, y prácticamente para todos los demás filósofos y matemáticos de su tiempo, esta creencia en la verdad inatacable de la geometría euclidiana formó el fundamento y la justificación para nuevas exploraciones sobre la naturaleza de la realidad. Con el descubrimiento de geometrías no euclidianas consistentes, hubo una pérdida subsiguiente de certidumbre y confianza en esta intuición innata, y esto fue fundamental para separar la matemática de una adhesión rígida a un orden externo sensorial y llevó a la creciente abstracción de la matemática como un universo auto-contenido. Este divorcio de la intuición geométrica sirvió de ímpetu a los esfuerzos posteriores tendientes a reconstruir la garantía de la verdad sobre la base de la lógica.

¿Cuál es entonces la geometría correcta para describir el espacio (en realidad el espacio-tiempo) en que vivimos? Resulta que no es ninguna de las anteriores, sino una geometría más general, tal como fue descubierta por el matemático alemán Bernhard Riemann (1826-1866). A principios del siglo XX, Albert Einstein mostró, en el contexto de su teoría general de la relatividad, que la verdadera geometría del espacio es sólo aproximadamente euclidiana. Es una forma de geometría riemanniana en la que el espacio y el tiempo están unidos en una variedad cuatridimensional, y es la curvatura en cada punto la responsable de la «fuerza» gravitatoria en ese punto. Einstein pasó la última parte de su vida tratando de extender esta idea a la fuerza electromagnética, con la esperanza de reducir toda la física a la geometría, pero una exitosa teoría del campo unificado le fue esquiva.

Bernhard Riemann

 

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https://ted.com/talks/view/id/519

Para ampliar la información puede visitarse: The Institute For Figuring.

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