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Posts Tagged ‘Geometría no euclideana’

Uno de los problemas pendientes de la geometría griega era la demostración del quinto postulado de los Elementos de Euclides (a menudo referido como el postulado de las paralelas) a partir de los otros axiomas más intuitivos. Era equivalente a la afirmación de que a través de cualquier punto separado de una línea dada, uno podía construir una línea paralela única; a partir de esta afirmación, se puede deducir que la suma de los ángulos de cualquier triángulo es igual a dos ángulos rectos. Muchos intentos a lo largo de los siglos para establecer rigurosamente este axioma habían fracasado, con el último y más notable intento de Farkas Bolyai. Su hijo, János Bolyai, finalmente construiría una geometría nueva y consistente, e independiente del quinto axioma. A pesar de que la prioridad de este descubrimiento se atribuye a Carl Friedrich Gauss, János Bolyai realizó su investigación ignorando esto y, a menudo, se lo acredita como cofundador de la geometría no euclidiana. 

János Bolyai nació el 15 de diciembre de 1802 en Kolozsvár, Hungría, hijo de Farkas Bolyai y Susanna von Árkos. La familia Bolyai descendía de una larga línea de aristócratas, y Farkas Bolyai había cultivado sus propiedades antes de convertirse en profesor de matemáticas, física y química en el Colegio Evangélico Reformado de Marosvásárhely. Farkas también era amigo cercano de Carl Friedrich Gauss. János Bolyai demostró un gran talento en muchas áreas, incluidas la matemática y la música, demostrando dominio del violín a una edad temprana. En 1815 comenzó a estudiar en la universidad de su padre, y en 1818 ingresó en la academia imperial de Viena en preparación para una carrera militar, contrariamente al deseo de Farkas de que estudiara en Göttingen bajo el ala de Gauss. 

El joven Bolyai se graduó en 1822, pero mientras tanto su interés en la geometría, especialmente el postulado de las paralelas, había sido despertado por la propia obsesión de su padre. De hecho, Farkas Bolyai había pasado muchos años intentando la deducción del quinto axioma, sin éxito; su correspondencia con Gauss sobre este tema condujo a su propio descubrimiento de la geometría no euclidiana, que su vergonzante conservadurismo nunca reveló. Farkas Bolyai incluso advirtió a su hijo enfáticamente en contra de involucrar su intelecto con ese problema en 1820, deseando ahorrarle muchos momentos de angustia, confusión y desesperación. Sin embargo, su impetuosa juventud continuó contemplando la pregunta. 

Después de varios años de vano trabajo, Bolyai se volcó en 1823 hacia la construcción de una geometría que no requiriera el quinto postulado, una geometría que de hecho prescindiera de ese axioma. Mientras tanto, se graduó de la academia y comenzó su primera gira en Rumania como subteniente. Más tarde visitó a su padre en 1825, presentando en su manuscrito su teoría del espacio absoluto, un espacio donde a través de un punto dado no perteneciente a una línea, muchas líneas distintas a través de él podrían construirse paralelas a la línea dada, en refutación directa del postulado de las paralelas. Farkas Bolyai no pudo aceptar esta nueva geometría, pero envió el manuscrito a Gauss. Este último respondió en 1832, asombrado de que János Bolyai hubiera replicado independientemente su propio trabajo, y reclamando su prioridad por más de tres décadas. Gauss dirigió a János Bolyai para explorar varias preguntas, como el volumen del tetraedro en el espacio absoluto, pero el joven húngaro no se sintió alentado. La afirmación de la prioridad de Gauss fue recibida en principio con aprensión, y luego con resentimiento.  

Mientras tanto, Bolyai terminó su carrera militar en Lvov en 1832; a menudo estaba enfermo con fiebre, por lo que el ejército le dio una pensión y lo destituyó del servicio. Aparentemente, se había ganado una reputación como un apuesto oficial con una predilección por los duelos. Regresó a su casa para vivir con su padre, y su manuscrito fue publicado como “Apéndice” en el Tentamen de Farkas en 1832, un tratamiento sistemático de geometría, álgebra y análisis. Sin embargo, este ensayo (así como el libro) no recibió respuesta de los matemáticos, y su desánimo sobre la situación con Gauss condujo a Bolyai a una reclusión tanto social como matemática.  

La relación entre padre e hijo también se tensó, principalmente debido a la irritación por la recepción poco entusiasta de su trabajo. János Bolyai se retiró a la pequeña propiedad familiar en Domáld, y en 1834 se casó con Rosalie von Orbán, con quien tuvo tres hijos. En 1837, ambos Bolyai´s intentaron recuperar su reputación matemática mediante la participación en una competencia de la Sociedad Jablonow. El tema versaba acerca de la construcción geométrica rigurosa de números imaginarios, que fue un tema de interés para muchos matemáticos, como Gauss, Sir William Rowan Hamilton y Augustin-Louis Cauchy. La solución de János Bolyai se parecía a la de Hamilton, pero no logró el reconocimiento deseado, lo que solo exacerbó sus tendencias melancólicas. Continuó investigando en matemática esporádicamente, con calidad variable; sus mejores resultados se refieren a la geometría absoluta, la relación entre la trigonometría absoluta y la trigonometría esférica, y el volumen del tetraedro en el espacio absoluto. Un trabajo de Nicolai Ivanovich Lobachevsky sobre el mismo tipo de geometría lo alcanzó en 1848, y actuó como un impulso para avanzar en sus esfuerzos. En sus últimos trabajos, Bolyai se preocupó más por la consistencia del espacio absoluto, y si podían surgir de su construcción contradicciones lógicas; esto no se resolverá hasta más tarde en el siglo XIX.  

Continuó trabajando hasta 1856, el año en que murió su padre, y su matrimonio con Rosalie se disolvió al mismo tiempo, aumentando su aislamiento. Bolyai también trabajó en una teoría de la salvación, haciendo hincapié en el vínculo entre la felicidad individual y universal. Murió el 27 de enero de 1860, después de una prolongada enfermedad.  

Bolyai hizo una contribución solitaria a la matemática que fue tan sobresaliente en su creatividad e importancia como para merecerle algo de fama, a pesar de su condición de inconformista. Junto con Gauss y Lobachevsky, Bolyai es considerado cofundador de la geometría no euclidiana. Estas inusuales geometrías, inicialmente despreciadas como feas e inútiles, han encontrado aceptación en el siglo XX debido a su gran relevancia para el espacio curvo de nuestro propio universo.

 


Fuente bibliográfica:

  • McElroy, Tucker (2005) A to Z of Mathematicians. Facts On File, Inc.
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Cuando Euclides presentó su tratamiento axiomático de la geometría, uno de sus supuestos, su quinto postulado, parecía ser menos obvio o fundamental que los otros. Como ahora se formula convencionalmente, afirma que hay exactamente una paralela a una recta dada a través de un punto dado. Los intentos de derivar esto de los otros axiomas de Euclides no tuvieron éxito y, a comienzos del siglo XIX, se dieron cuenta de que el quinto postulado de Euclides es, de hecho, independiente de los otros. Se vio entonces que Euclides no había descrito la única geometría verdadera, sino sólo una de varias geometrías posibles.

Geometrías Elípticas e Hiperbólicas

Dentro del marco de los otros cuatro postulados de Euclides (y algunos que omitió), también estaban como posibles las geometrías elípticas e hiperbólicas. En la geometría elíptica plana no existen paralelas a una línea dada a través de un punto dado. Puede ser vista como la geometría de una superficie esférica sobre la cual se han identificado puntos antipodales y todas las rectas son grandes círculos. Esto no fue visto como revolucionario. Más emocionante fue la geometría hiperbólica plana, desarrollada independientemente por el matemático húngaro János Bolyai (1802-1860) y el matemático ruso Nikolai Ivanovich Lobachevsky (1792-1856), en la que hay más de una paralela a una recta dada a través de un punto dado. Esta geometría es más difícil de visualizar, pero un modelo útil presenta al plano hiperbólico como el interior de un círculo, en el que las rectas toman la forma de arcos de círculos perpendiculares a la circunferencia.

János Bolyai

Nikolai Ivanovich Lobachevsky

Otra forma de distinguir las tres geometrías es mirar la suma de los ángulos de un triángulo. En la geometría euclidiana es igual a 180° , como fue descubierto por Tales de Mileto (siglo VI a.C.), mientras que es mayor a 180° en la geometría elíptica y menor a 180° en la geometría hiperbólica.

Geometría de Riemann

El descubrimiento de que hay más de una geometría era de importancia fundacional y contradecía al filósofo alemán Immanuel Kant (1724-1804). Kant había argumentado que hay una sola geometría verdadera, la euclidiana, que se sabe que es verdadera a priori por una facultad interior (o intuición) de la mente. Para Kant, y prácticamente para todos los demás filósofos y matemáticos de su tiempo, esta creencia en la verdad inatacable de la geometría euclidiana formó el fundamento y la justificación para nuevas exploraciones sobre la naturaleza de la realidad. Con el descubrimiento de geometrías no euclidianas consistentes, hubo una pérdida subsiguiente de certidumbre y confianza en esta intuición innata, y esto fue fundamental para separar la matemática de una adhesión rígida a un orden externo sensorial y llevó a la creciente abstracción de la matemática como un universo auto-contenido. Este divorcio de la intuición geométrica sirvió de ímpetu a los esfuerzos posteriores tendientes a reconstruir la garantía de la verdad sobre la base de la lógica.

¿Cuál es entonces la geometría correcta para describir el espacio (en realidad el espacio-tiempo) en que vivimos? Resulta que no es ninguna de las anteriores, sino una geometría más general, tal como fue descubierta por el matemático alemán Bernhard Riemann (1826-1866). A principios del siglo XX, Albert Einstein mostró, en el contexto de su teoría general de la relatividad, que la verdadera geometría del espacio es sólo aproximadamente euclidiana. Es una forma de geometría riemanniana en la que el espacio y el tiempo están unidos en una variedad cuatridimensional, y es la curvatura en cada punto la responsable de la “fuerza” gravitatoria en ese punto. Einstein pasó la última parte de su vida tratando de extender esta idea a la fuerza electromagnética, con la esperanza de reducir toda la física a la geometría, pero una exitosa teoría del campo unificado le fue esquiva.

Bernhard Riemann

 

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Cuando Gauss murió en 1855, su puesto en Göttingen fue ocupado por Peter Gustav Lejeune Dirichlet. Un matemático que encontró en la presencia de Dirichlet un estímulo a la investigación fue Bernhard Riemann, y sus pocas cortas contribuciones a la matemática estuvieron entre las más influyentes del siglo. El primer trabajo de Riemann, su tesis doctoral (1851) sobre teoría de funciones complejas, proporcionó las bases para un tratamiento geométrico de las funciones de una variable compleja. Su principal resultado garantizaba la existencia de una amplia clase de funciones complejas que satisfacían sólo modestos requisitos generales y así dejaba claro que se podía esperar que las funciones complejas aparecieran ampliamente en la matemática. Más importante aún, Riemann logró este resultado uniendo  la teoría de funciones complejas con la teoría de las funciones armónicas y con la teoría del potencial. Las teorías de funciones complejas y armónicas eran ahora inseparables.

Riemann escribió entonces sobre la teoría de las series de Fourier y su integrabilidad. Su trabajo estaba directamente en la tradición que iba desde Cauchy y Fourier hasta Dirichlet, y marcó un paso considerable en la precisión con que se puede definir el concepto de integral. En 1854 abordó un tema que tanto interesaba a Gauss, las hipótesis que descansaban en la base de la geometría.

El estudio de la geometría siempre ha sido una de las preocupaciones centrales de los matemáticos. Era el lenguaje, y el tema principal, de la matemática griega; era el pilar de la educación elemental en el tema, y tenía un llamamiento visual obvio. Parece fácil de aplicar, porque uno puede proceder de una base de conceptos ingenuamente inteligibles. De acuerdo con las tendencias generales del siglo, sin embargo, fueron sólo los conceptos ingenuos los que Riemann eligió afinar. Lo que él propuso como base de la geometría era mucho más radical y fundamental que cualquier cosa que hubiera pasado antes.

Riemann tomó su inspiración del descubrimiento de Gauss de que la curvatura de una superficie es intrínseca, y argumentó que por lo tanto debemos ignorar el espacio euclidiano y tratar cada superficie por sí misma. Una propiedad geométrica, argumentó, era una que era intrínseca a la superficie. Para hacer geometría, bastaba tener un conjunto de puntos y una forma de medir longitudes a lo largo de curvas en la superficie. Para ello, las formas tradicionales de aplicar el cálculo al estudio de las curvas podrían ser suficientes. Pero Riemann no se detuvo en las superficies. Propuso que los geómetras estudien espacios de cualquier dimensión con este espíritu -incluso, dijo, espacios de dimensión infinita.

De este punto de vista se derivaron varias consecuencias profundas. Destronó la geometría euclidiana, que ahora se convertía en una de muchas geometrías. Permitió que la geometría de Bolyai y Lobachevsky fuera reconocida como la geometría de una superficie de curvatura negativa constante, resolviendo así dudas sobre la consistencia lógica de su trabajo. Destacó la importancia de los conceptos intrínsecos en la geometría. Ayudó a abrir el camino al estudio de espacios de muchas dimensiones. Por último, pero no menos importante, el trabajo de Riemann aseguró que cualquier investigación de naturaleza geométrica del espacio físico tuviera que ser en parte empírica. Ya no se podía decir que el espacio físico es euclidiano porque no existe sólo la geometría de Euclides. Esta comprensión finalmente destruyó cualquier esperanza de que las preguntas sobre el mundo pudieran ser contestadas por un razonamiento a priori.

 En 1857 Riemann publicó varios artículos que aplicaban sus métodos muy generales al estudio de funciones complejas en varias partes de la matemática. Uno de estos trabajos resolvió el problema sobresaliente de extender la teoría de las funciones elípticas a la integración de cualquier función algebraica. Inició la teoría de funciones complejas de varias variables y mostró cómo las ideas topológicas de Riemann eran esenciales en el estudio de funciones complejas. (En las conferencias posteriores Riemann mostró cómo el caso especial de la teoría de las funciones elípticas podría considerarse como el estudio de funciones complejas en un toro.)

En otro artículo Riemann trató la cuestión de cuántos números primos son menores que cualquier número dado x. La respuesta es una función de x, y Gauss había conjeturado sobre la base de una extensa evidencia numérica de que esta función era aproximadamente x /\ln(x). Esto resultó ser cierto, pero no fue probado hasta 1896, cuando tanto Charles-Jean de la Vallée Poussin de Bélgica como Jacques-Salomon Hadamard de Francia lo demostraron independientemente. Es notable que una pregunta sobre enteros llevó a una discusión de funciones de una variable compleja, pero conexiones similares habían sido hechas previamente por Dirichlet. Riemann tomó la expresión

\prod\left ( 1-p^{-s} \right )^{-1}=\sum n^{-s}

introducida por Euler el siglo anterior, donde el producto infinito se toma sobre todos los números primos p y la suma sobre todos los números enteros n, y lo trata como una función de s. La suma infinita tiene sentido cada vez que s es real y mayor que 1. Riemann procedió a estudiar esta función cuando s es complejo (ahora llamada la función zeta de Riemann), y no sólo ayudó a aclarar la cuestión de la distribución de los números primos sino también llevó a varias otras observaciones que los matemáticos posteriores encontrarían de interés excepcional. Una observación ha seguido eludiendo las pruebas y sigue siendo una de las mayores conjeturas en matemática: la afirmación de que los ceros no reales de la función zeta son números complejos cuya parte real es siempre igual a 1/2.

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