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Posts Tagged ‘George Boole’

John Venn contribuyó tanto a la probabilidad como a la lógica a través de su investigación, y fue uno de los primeros matemáticos en introducir el simbolismo de la lógica en el estudio de la probabilidad. Es más conocido por los diagramas de Venn que son útiles en el estudio de la lógica.

John Venn nació el 4 de agosto de 1834 en Hull, Inglaterra. Su familia pertenecía al ala evangélica de la Iglesia de Inglaterra, y Venn se convirtió brevemente en ministro. Asistió a las dos escuelas de Londres, Highgate e Islington, y estudió en Cambridge desde 1853 hasta 1857. Fue elegido miembro de su universidad y mantuvo su lugar durante toda su vida.

Venn tomó las órdenes sagradas en 1859 y trabajó por un corto tiempo como ministro antes de regresar a Cambridge como profesor de filosofía moral. Renunció a sus órdenes de oficina en 1883, debido a su creciente desacuerdo con el dogma anglicano, aunque siguió siendo un miembro devoto de la iglesia. En el mismo año también fue elegido miembro de la Royal Society.

Venn escribió varios textos sobre probabilidad y lógica, que fueron bastante populares a finales del siglo XIX y principios del XX. La lógica del azar de Venn atrajo las críticas de Augustus De Morgan y George Boole; fue especialmente crítico con el enfoque algebraico de Boole a la lógica. Venn también construyó la definición empírica de probabilidad, que establece que la probabilidad de que ocurra un evento se define como el límite a largo plazo de la razón de las veces que ocurrió históricamente. Esta definición tiene muchas ventajas sobre el enfoque más clásico, ya que permite eventos que no son igualmente probables. Sin embargo, un inconveniente es que la noción de tal límite no está bien definida. Esto llevó a un trabajo posterior sobre leyes de grandes números y la formulación moderna (o axiomática) de la teoría de la probabilidad.

Los trabajos sobre lógica de Venn también contienen diagramas geométricos para representar situaciones lógicas: no fue el primero en usarlos, ya que Gottfried Leibniz los había usado previamente de manera sistemática, y Leonhard Euler desarrolló la noción aún más. Por lo tanto, los diagramas de Venn se basaron en una tradición histórica existente de tales ayudas geométricas; sin embargo, Venn desarrolló sistemáticamente estas representaciones geométricas. Estos dibujos se han utilizado ampliamente en matemáticas elementales para que los jóvenes entrenen la lógica.

Venn murió el 4 de abril de 1923, en Cambridge. Además de sus esfuerzos por mejorar los fundamentos de la lógica, destaca su trabajo sobre representaciones esquemáticas de eventos lógicos y sus aplicaciones a la probabilidad. Su enfoque se ha vuelto bastante estándar en los estudios elementales de probabilidad.

 


Fuente bibliográfica:

  • McElroy, Tucker (2005) A to Z of Mathematicians. Facts On File, Inc.

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Giuseppe Peano fue uno de los matemáticos más talentosos de finales del siglo XIX; destacaba por su atención al rigor y al detalle. Su trabajo sobre lógica matemática y teoría de conjuntos le ha ganado fama, pero también contribuyó a proyectos pedagógicos que demostraron no ser importantes. El genio creativo de Peano dio a luz a la famosa curva de Peano, y también construyó los axiomas de Peano.

Giuseppe Peano nació el 27 de agosto de 1858 en Cuneo, Italia. Sus padres eran agricultores, y Peano viajaba a pie todos los días a la escuela en Cuneo. Su tío era un sacerdote que reconoció los talentos naturales del niño y lo llevó a Turín en 1870 para prepararlo para los estudios universitarios. Peano comenzó en la Universidad de Turín en 1876, y allí estudió matemática, recibiendo su doctorado en 1880.

Peano tenía una habilidad notable para detectar las fallas lógicas en los argumentos. Al graduarse, fue nombrado asistente de Angelo Genocchi, y Peano pronto detectó un error en el libro de texto para uno de los cursos. La mayoría de las veces se hacía cargo de las clases de Genocchi, ya que el profesor ya mayor estaba enfermo, y en 1884 publicó un texto de las notas del curso. También había publicado ya varios trabajos de investigación después de 1880, y calificó para enseñar a nivel universitario en 1884.

En 1886, Peano investigó cuestiones de existencia y singularidad en la teoría de las ecuaciones diferenciales, y luego desarrolló un método para resolver tales ecuaciones utilizando aproximaciones sucesivas. También estaba enseñando en la Academia Militar en este momento, y luego fue designado para ocupar el cargo de Genocchi en Turín después de su muerte en 1889. Mientras tanto, publicó Geometrical Calculus en 1888, que comenzaba con un capítulo sobre lógica matemática, y desarrolló el concepto de espacio vectorial de Hermann Günter Grassmann. Peano empleó una notación moderna para este trabajo, que se basó en las ideas de Charles Sanders Peirce y George Boole. En 1889 publicó sus famosos axiomas de Peano, que definían los números naturales en términos de conjuntos, y definía de manera rigurosa tales ideas como prueba por inducción. Esta fue una contribución significativa a los fundamentos de la matemática, y sería explotada y desarrollada por muchos de los sucesores de Peano. 

Peano también es famoso por sus «curvas que rellenan el espacio». Definió un mapeo continuo del intervalo unitario en el cuadrado unitario, en esencia construyendo una curva unidimensional que llenaba un espacio bidimensional. Este mapeo no tiene un inverso continuo, ya que eso equivaldría a establecer que la línea y el plano tienen la misma dimensión. Sin embargo, muchos matemáticos se vieron perturbados por el resultado patológico, que siguió el mismo espíritu de la obra de Georg Cantor.

Una vez nombrado para su nuevo cargo en la Universidad de Turín, Peano fundó la revista Rivista de matematica en 1891. Como editor de la revista, pudo asegurarse de que se mantuvieran altos estándares de rigor. En 1892 se embarcó en un nuevo proyecto, el Formulario matematico, que debía ser una colección de definiciones, teoremas y métodos de todos los temas de la matemática, que podría usarse como texto básico para cada curso de matemática. Este monumental esfuerzo no se completó hasta 1908. Resultó tener poca popularidad, ya que este enfoque meticuloso de la matemática no facilitó su aprendizaje. Peano fue considerado un buen maestro antes de la implementación del Formulario; después, los estudiantes y miembros de la facultad se quejaron de la aburrida exactitud de su método. 

Uno de los puntos culminantes de la carrera de Peano fue el Congreso Internacional de Filosofía celebrado en París en 1900. La formación lógica de Peano le permitió brillar entre sus colegas filósofos menos rigurosos, ya que pudo ganar todos los argumentos filosóficos en los que se vio envuelto. Su presencia allí causó una gran impresión en el joven Bertrand Russell, quien estaba emocionado por el poder de su notación y metodología. Peano también asistió a un congreso similar de matemáticos, en el que David Hilbert expuso sus famosos 23 problemas para el siglo XX. Peano estaba intrigado por el problema de Hilbert sobre los axiomas de la aritmética.

Los últimos años de Peano se dedicaron a un nuevo proyecto: la construcción de un nuevo idioma basado en el francés, el latín, el inglés y el alemán. El resultado «Latino sine flexione«, más tarde llamado Interlingua, ha tenido poca utilidad y es irrelevante para el desarrollo de la matemática. Peano murió el 20 de abril de 1932 en Turín, Italia. Fue un matemático brillante de gran precisión, estableciendo estándares de rigor que no eran comunes en ese momento. Su meticulosidad parece más apropiada para la era actual de la matemática. A pesar de que su trabajo en el Formulario y el Latino sine flexione pueden considerarse distracciones, sus contribuciones a la matemática son, sin embargo, muy importantes. Debe ser considerado como uno de los primeros fundadores de la lógica matemática. La curva de Peano también es una importante contribución a la topología y al estudio de la geometría fractal.

 

 


Fuente bibliográfica:

  • McElroy, Tucker (2005) A to Z of Mathematicians. Facts On File, Inc.

 

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Uno de los temas más debatidos en la historia de la matemática fue la cuestión de la prioridad en el descubrimiento del cálculo infinitesimal. Sir Isaac Newton y Gottfried Leibniz hicieron descubrimientos notables en el cálculo diferencial, y los seguidores de cada una de estas personalidades fomentaron un feo argumento sobre a quién se le debía acreditar el descubrimiento original. Cualquiera que sea la verdad, no hay duda de que Leibniz fue uno de los más grandes matemáticos de su tiempo, lo que se manifiesta no solo por la amplitud y profundidad de sus ideas originales, sino también por su capacidad para organizar los pensamientos de los demás de manera más eficiente. 

Gottfried Wilhelm von Leibniz nació el 1 de julio de 1646 en Leipzig, Alemania, hijo de Friedrich Leibniz, profesor de la Universidad de Leipzig, y de Katherina Schmuck. La familia era de origen eslavo, pero había vivido en Alemania durante varias generaciones. Leibniz fue un estudiante precoz, y sus maestros inicialmente intentaron contener su curiosa naturaleza. Después de que su padre muriera en 1652, se le permitió el acceso a la biblioteca de éste. Así, Leibniz fue autodidacta, de modo que cuando ingresó en la Universidad de Leipzig a los 15 años ya dominaba los clásicos. Su voraz apetito por la lectura lo acompañó durante toda su vida, y Leibniz pudo digerir una gran variedad de temas académicos. 

Leipzig se mantenía fiel a la tradición aristotélica no científica, de modo que Leibniz estudió por primera vez geometría euclidiana en la Universidad de Jena, lugar al que asistió después de 1663. Completó su doctorado en Altdorf en 1666, y pronto entró al servicio de un noble del Sacro Imperio Romano. Leibniz inició una correspondencia con muchas sociedades científicas, y comenzó a trabajar en una máquina para calcular que finalmente se completó en 1674. En 1671 viajó a París en una misión diplomática diseñada para prevenir la invasión de Renania por parte del monarca francés. Este proyecto no tuvo éxito, pero mientras estaba en París Leibniz desarrolló una amistad de por vida con Christiaan Huygens

Durante estos años, Leibniz amplió su instrucción anterior en matemática, desarrollando reglas de cálculo para diferencias finitas. Las continuas negociaciones de paz lo llevaron a Londres en 1673, donde fue admitido en la Royal Society y se familiarizó con las obras de Isaac Barrow. En este momento, Leibniz recibió indicios del trabajo de Newton sobre el cálculo infinitesimal, y pronto desarrolló sus propias técnicas computacionales y su notación. En 1674, Leibniz efectuó la cuadratura aritmética del círculo. 

El anterior patrón de Leibniz había muerto, y en 1676 asumió una nueva posición en Hannover, actuando como bibliotecario e ingeniero. Unos años más tarde se convirtió en consejero de la corte y se ocupó activamente en una investigación genealógica para el duque. Mientras tanto, Leibniz había comenzado a investigar álgebra y había obtenido varios resultados importantes para 1675, como la determinación de funciones simétricas y un algoritmo para la solución de ecuaciones algebraicas de grado superior. Conjeturó que la suma de dos números complejos conjugados es siempre un número real. Abraham de Moivre más tarde demostró este resultado. Leibniz también investigó progresiones de números primos y series aritméticas. Aprendió de la trascendencia de las funciones logarítmicas y trigonométricas y sus propiedades básicas, e investigó algunos problemas de probabilidad. 

Pero su mayor descubrimiento se produjo a finales de 1675, cuando introdujo la noción de límite en el cálculo infinitesimal. Este método, y su correspondiente notación, facilitaron una mayor difusión y comprensión de la nueva matemática. Newton menospreció su trabajo, ya que no resolvió ningún problema nuevo; pero la fortaleza del sistema de Leibniz fue su claridad y abstracción de los principios generales del cálculo. Leibniz procedió a resolver varias ecuaciones diferenciales importantes con sus técnicas. Muchos de sus descubrimientos de este tiempo se escribieron solo como notas e ideas en cartas, y no se desarrollaron ni publicaron sistemáticamente hasta 1682. En los próximos años presentó algunos documentos al público que trataron la cuadratura aritmética, la ley de la refracción, integraciones algebraicas y cálculo diferencial. 

En 1687, Leibniz viajó por Alemania para continuar su investigación genealógica. También visitó Italia y finalmente completó su proyecto en 1690; sus esfuerzos ayudaron a elevar el ducado de Hannover a estado electoral en 1692. Leibniz atrajo la atención de la comunidad científica a través de su ataque a la dinámica cartesiana en 1686. De esta controversia, varias cuestiones vinculadas al tema fueron planteadas y resueltas por Leibniz, Huygens y Jakob Bernoulli, incluidos los famosos problemas de la catenaria (1691) y la braquistócrona (1697). Una característica de Leibniz fue que reveló solo sus resultados y no sus métodos. De hecho, a menudo escribía sus artículos apresuradamente. A pesar de algunos errores, su trabajo resultó notable por la originalidad de sus ideas, algunas de las cuales fueron precursoras del trabajo de Evariste Galois sobre la solubilidad de las ecuaciones. Leibniz definió el centro de curvatura, desarrolló el método de coeficientes indeterminados en la teoría de las ecuaciones diferenciales y construyó series de potencias para funciones exponenciales y trigonométricas. 

En los últimos años del siglo XVII, gran parte del tiempo de Leibniz estuvo abocado a la controversia con Newton sobre el descubrimiento del cálculo. Los seguidores de Newton sostenían que Leibniz había plagiado sus ideas directamente de Newton y Barrow. Leibniz se defendió a sí mismo en 1700, e hizo hincapié en que ya había publicado su material sobre cálculo diferencial en 1684. El feo debate público se extendió de un lado a otro, impulsado por consideraciones nacionalistas, hasta que la Royal Society realizó una investigación parcial, que falló a favor de Newton, en 1712. Este veredicto fue aceptado sin cuestionamientos durante aproximadamente 140 años. Ahora se piensa que Leibniz desarrolló sus métodos independientemente de Newton. 

Leibniz viajó a Berlín en 1700 y fundó la Academia de Berlín, convirtiéndose en presidente vitalicio. Trabajó para realizar ciertas reformas políticas y religiosas, y fue nombrado concejal de Rusia en 1712. Pasó los últimos años de su vida intentando completar la historia de la casa de Brunswick mientras estaba aquejado de gota. Murió el 14 de noviembre de 1716. Además de sus notables contribuciones a la matemática, Leibniz investigó sobre física, lógica y filosofía. Escribió sobre temas tan diversos como dogma religioso y movimiento planetario, y desarrolló un cálculo lógico que permitiría la certeza de las deducciones a través de un sistema algebraico. En este aspecto, Leibniz fue el antecesor de muchos otros lógicos formales, como George Boole y Friedrich Ludwig Gottlob Frege

Su mayor talento como matemático fue su capacidad para penetrar los pensamientos de otros científicos y presentarlos de una manera coherente, adecuada para el cálculo. La notación que desarrolló para el cálculo diferencial es el ejemplo por excelencia de este poder: percibió asiduamente que la noción de límite era crucial para el estudio del cálculo infinitesimal. Los detalles, para Leibniz, no eran tan importantes como los conceptos abstractos subyacentes. Su legado en matemática continúa hasta nuestros días.

 


Fuente bibliográfica:

  • McElroy, Tucker (2005) A to Z of Mathematicians. Facts On File, Inc.

 

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