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Posts Tagged ‘Gilles Personne de Roberval’

A fines del siglo XVI, la matemática estaba en vísperas de un renacimiento dramático. Emergería de la oscuridad de la edad medieval, y los principales matemáticos de esta época buscaron refundir y desarrollar la matemática griega clásica. Simultáneamente con el poderoso enfoque algebraico de la geometría desarrollado por René Descartes, Desargues abogó por una perspectiva gráfica unificada. Sus ideas influyeron en grandes pensadores como Blaise Pascal y Sir Isaac Newton, a pesar de que fueron inevitablemente eclipsados por el poder del sistema cartesiano. 

Girard Desargues nació en una familia de nueve hijos el 21 de febrero de 1591 en Lyon. Su padre era un rico  coleccionista de diezmos, y los primeros estudios de Girard tuvieron lugar en Lyon. Sin embargo, se sabe poco de sus primeros años y educación, y su primera actividad científica registrada tuvo lugar en 1626, cuando propuso que el estado construyera máquinas para elevar el nivel del agua del Sena. 

Alrededor de 1630 Desargues entabló amistad con varios matemáticos de París, como Marin Mersenne y Gilles de Roberval; asistía regularmente a las reuniones de la Académie Parisienne, en las que más tarde participaría el joven Blaise Pascal. En 1636 Desargues publicó una obra describiendo su llamado método universal de la perspectiva. Allí esbozó un vasto programa de investigación: unificar las diversas técnicas gráficas (como las utilizadas por los arquitectos y dibujantes) a través de sus “métodos universales”, y al mismo tiempo incorporar la geometría proyectiva en el cuerpo del conocimiento matemático a través del estudio riguroso de la perspectiva. La geometría proyectiva tuvo pocos seguidores hasta el siglo XIX, y el trabajo de Desargues fue muy pasado por alto (e incluso ridiculizado) durante su propia vida; su significado se entendería siglos después. 

Una obra en competencia de Jean de Beaugrand evocó discusiones intelectuales sobre los temas de centro de gravedad, óptica y tangentes, así como otros temas geométricos. Desargues fue un ávido participante en estas disputas, distinguiéndose por su intención de comprender el aspecto más general de los problemas dados. Aunque alienó a Beaugrand, ganó la estima de Descartes y Mersenne. En contraste con el programa de Descartes para dar a la geometría una base algebraica, Desargues deseaba extender la influencia de los métodos geométricos a las técnicas gráficas a través de la mecánica. Su Brouillon projet d’une atteinte aux événements des recontres du cône avec un plan (Borrador aproximado de un ensayo sobre los resultados de tomar secciones planas de un cono) de 1639 dio una descripción de las secciones cónicas desde la perspectiva de la geometría proyectiva; este trabajo no fue popular, tal vez debido a su divergencia del enfoque cartesiano. Sin embargo, Blaise Pascal pudo apreciar el valor del Brouillon projet de Desargues, y Pascal escribió su Essay pour les coniques (Ensayo sobre secciones cónicas) como un tributo. Aunque este trabajo influyó en otros grandes matemáticos, como Newton, su impacto total no se percibió hasta el siglo XIX, cuando los geómetras adquirieron un renovado interés en la geometría proyectiva. Esta falta de popularidad fue seguramente el resultado del creciente interés en los problemas del cálculo infinitesimal. 

Beaugrand criticó el trabajo de Desargues con vehemencia, aparentemente por razones personales más que profesionales. En 1640 Desargues publicó un ensayo sobre el tallado de la piedra, aplicando sus técnicas a métodos gráficos prácticos. Sin embargo, sus útiles innovaciones eran contrarias a la práctica establecida de los poderosos gremios comerciales, y por lo tanto Desargues atrajo la animosidad de los veteranos artesanos. 

En 1641, Desargues se interesó por el problema de determinar varias secciones circulares de conos que tenían una base cónica. Su solución general dependía únicamente de la geometría pura. Roberval, Descartes y Pascal se interesaron en este problema, y Desargues luego generalizó su técnica. 

Posteriormente, Desargues se involucró en una disputa sobre la prioridad de sus métodos. Había trabajado para difundir sus técnicas gráficas entre picapedreros, pero en 1642 una publicación anónima plagió y distorsionó su trabajo. El debate resultante dañó la credibilidad y la confianza de Desargues. Desargues designó la tarea de diseminación de su obra a su discípulo Abraham Bosse, un grabador, quien más tarde publicó dos tratados que discutían el método de Desargues. Una nueva disputa surgió en 1644 con un cantero llamado Curabelle, con el aparente resultado de que Desargues decidió renunciar a publicar más. Sin embargo, Bosse continuó componiendo tratados sobre el método de la perspectiva de su maestro.  

Después de 1644 la actividad científica de Desargues disminuyó. Comenzó una nueva carrera como arquitecto, formando algunas estructuras espectaculares de una delicada figura. Por ejemplo, Desargues usó su conocimiento matemático para construir escaleras curvas que eran tanto funcionales como elegantes. Implementó sus técnicas directamente en aplicaciones prácticas, y de esta manera silenció la acusación de sus enemigos de que sus métodos eran puramente teóricos. Sus hazañas de ingeniería fueron extensas, incluyendo un sistema para elevar agua, que se instaló cerca de París. Murió en París en octubre de 1661. 

Se debe dar crédito a Desargues por ser uno de los fundadores de la geometría proyectiva: el estudio de espacios de líneas rectas que se encuentran infinitamente lejos del observador. También contribuyó al conocimiento de las cónicas, introdujo transformaciones proyectivas y fomentó el desarrollo de técnicas gráficas útiles en los dibujos. Lamentablemente, su trabajo fue salvajemente impugnado en su propia vida, e incluso entre los matemáticos que lo apoyaban recibió poca circulación debido a su engorroso estilo de escritura. Sus trabajos dieron frutos solo siglos después de su muerte, cuando sus papeles fueron redescubiertos por agradecidos geógrafos del siglo XIX.

 


Fuente bibliográfica:

  • McElroy, Tucker (2005) A to Z of Mathematicians. Facts On File, Inc.
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Antes de que Sir Isaac Newton y Gottfried Leibniz desarrollaran sistemáticamente el cálculo integral, algunos otros matemáticos trabajaron como predecesores, basándose en las ideas insinuadas por Arquímedes de Siracusa. El concepto de indivisibles, esas cantidades tan pequeñas que no pueden dividirse por la mitad, había comenzado a afianzarse, y Cavalieri fue uno de los primeros exponentes; su trabajo sobre la integración inspiraría más tarde a Blaise Pascal, Newton y Leibniz. 

Se desconoce la fecha exacta del nacimiento de Bonaventura Cavalieri, y no se sabe nada de su familia. Nació en Milán, Italia, y adoptó el nombre de Bonaventura al ingresar a la orden religiosa de los jesuitas cuando era niño, y permaneció monástico durante toda su vida. En 1616 fue trasladado al monasterio de Pisa, donde conoció a Castelli, un monje benedictino y estudiante de Galileo Galilei. En ese momento, Castelli era profesor de matemática en Pisa, y adoptó a Cavalieri como su alumno. El niño dominó rápidamente las obras de Euclides de Alejandría, Arquímedes y Apolonio de Perga, y demostró un notable talento para la geometría, a veces actuando como sustituto de Castelli. Más tarde, Cavalieri fue presentado a Galileo, con quien intercambió muchas cartas a lo largo de los años. 

De 1620 a 1623 Cavalieri enseñó teología en Milán, después de haber sido ordenado diácono del cardenal Borromeo. Durante este período desarrolló sus primeras ideas sobre el método de los indivisibles: uno ve una superficie plana como la unión de infinitas líneas paralelas (los indivisibles), por lo que el área se calcula a partir de la suma de todas sus longitudes. De la misma manera, una figura sólida se componía de infinitas superficies apiladas, de modo que el volumen podía calcularse sumando todas las áreas. Su siguiente tarea fue en Lodi, donde permaneció tres años, y en 1626 se convirtió en prior del monasterio en Parma; buscó una cátedra en Parma, pero sin éxito. Cayó enfermo en 1626 de gota, lo que lo atormentó durante toda su vida, Cavalieri se recuperó en Milán y pronto anunció a Galileo la finalización de su Geometria Indivisibilibus Continuorum Nova Quadam Ratione Promota (Un método determinado para el desarrollo de una nueva geometría de indivisibles continuos). Con la ayuda de este último, Cavalieri obtuvo en 1629 la primera cátedra de matemática en Bolonia, que mantuvo hasta su muerte el 30 de noviembre de 1647.

Cavalieri se dio cuenta de que Arquímedes conocía un método para calcular áreas y volúmenes que no estaba dispuesto a revelar, ya fuera por secreto competitivo o por el deseo de evitar la burla de sus conservadores colegas. Cavalieri desarrolló un sistema racional de los llamados indivisibles e intentó establecer la validez de este enfoque. A partir de sus principios, Cavalieri dedujo varios de los teoremas básicos del cálculo integral, pero sin el formalismo propio de la integral. Su método de cálculo, que implica el concepto de congruencia bajo traslación, se muestra como válido para paralelogramos y figuras planas que se encuentran entre dos líneas paralelas.  

Sus contemporáneos rechazaron en gran parte la metodología de Cavalieri, sin saber que el mismo Arquímedes había utilizado técnicas similares. Cavalieri obtuvo algunas fórmulas básicas, como la regla de potencias para la integración de un polinomio, en 1639, aunque había sido descubierta tres años antes por Pierre de Fermat y Gilles de Roberval. También descubrió el volumen de sólidos obtenidos al rotar alrededor de un eje. 

También en Geometria hay una formulación temprana del teorema del valor medio, que establece que entre dos puntos cualquiera de una curva se puede encontrar una línea tangente paralela a la cuerda que conecta los dos puntos. Cavalieri también investigó los logaritmos, que habían sido inventados recientemente por John Napier, así como la trigonometría con aplicaciones a la astronomía. Su Centuria di varii problema de 1639 trató la definición de superficies cilíndricas y cónicas, y también dio fórmulas para el volumen de un barril y la capacidad de una bóveda. Entre sus otras contribuciones a la ciencia están una teoría de las cónicas aplicadas a la óptica y la acústica, la idea del telescopio reflector (aparentemente anterior a Newton), la determinación de la distancia focal de una lente y las explicaciones de los espejos ustorios de Arquímedes. 

La obra de Cavalieri fue un primer paso moderno hacia el cálculo, y debería verse como un eslabón esencial en la cadena entre Arquímedes y los grandes matemáticos del siglo XVII que desarrollaron el cálculo: Pascal, Leibniz y Newton, junto con John Wallis e Isaac Barrow.

 


Fuente bibliográfica:

  • McElroy, Tucker (2005) A to Z of Mathematicians. Facts On File, Inc.

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El historiador Carl Boyer llama cálculo “al instrumento más eficaz para la investigación científica que la matemática haya producido jamás.” Como la matemática de la variabilidad y el cambio, el cálculo fue el producto característico de la revolución científica. El tema fue propiamente la invención de dos matemáticos, el alemán Gottfried Leibniz y el inglés Isaac Newton. Ambos publicaron sus investigaciones en la década de 1680, Leibniz en 1684 en la revista recién fundada Acta Eruditorum y Newton en 1687 en su gran tratado, los Principia. A pesar de una amarga disputa sobre la prioridad que se desarrolló más tarde entre los seguidores de los dos hombres, ahora está claro que cada uno de ellos llegó al cálculo  de manera independiente.

El cálculo se desarrolló a partir de técnicas para resolver dos tipos de problemas, la determinación de áreas y volúmenes y el cálculo de tangentes a curvas. En la geometría clásica Arquímedes había llegado bastante lejos en esta parte de la matemática, después de haber utilizado el método de agotamiento para establecer rigurosamente diferentes resultados acerca de áreas y volúmenes y de haber derivado para algunas curvas (por ejemplo, para la espiral) resultados significativos relacionados con las tangentes. A principios del siglo XVII hubo un resurgimiento sostenido del interés en ambas clases de problemas. Las décadas entre 1610 y 1670 en general son recordadas en la historia de la matemática como “el período del pre-cálculo”, fueron una época de notable actividad en la que investigadores de toda Europa contribuyeron con soluciones novedosas y compitieron entre sí para llegar a importantes nuevos métodos.

El  período del  pre-cálculo

En su tratado Geometria indivisibilibus continuorum de 1635, Bonaventura Cavalieri, un profesor de matemática en la Universidad de Bolonia, formuló un método sistemático para la determinación de áreas y volúmenes.

Al igual que Arquímedes, Cavalieri consideró una figura plana compuesta de una colección de líneas indivisibles, “todas las líneas” de la figura plana. La colección fue generada por una línea fija en movimiento a través del espacio paralelo a sí mismo. Cavalieri demostró que estas colecciones podían interpretarse como magnitudes que obedecen a las reglas de la teoría de la proporción euclidiana. En la Proposición 4 del Libro II, derivó el resultado de que hoy se escribe como

\int_0^1 x^2  dx=\frac{1}{3}

Dado un paralelogramo en el que se dibuja una diagonal; entonces  “todos los cuadrados” del paralelogramo serán el triple de “todos los cuadrados” de cada uno de los triángulos determinados por la diagonal.

Cavalieri mostró que esta proposición podía interpretarse de diferentes maneras -como por ejemplo, afirma, que el volumen de un cono es un tercio del volumen del cilindro circunscrito o que el área bajo un segmento de una parábola es un tercio del área del rectángulo asociado. En un tratado posterior generalizó el resultado demostrando que

\int_0^1 x^n=\frac{1}{n+1}

desde n=3 hasta n=9. Para establecer estos resultados, introdujo transformaciones entre las variables del problema, usando un resultado equivalente al teorema binomial para exponentes enteros. Las ideas en cuestión fueron más allá de lo que había aparecido en la teoría clásica de Arquímedes.

Aunque Cavalieri tuvo éxito en la formulación de un método sistemático basado en conceptos generales, sus ideas no eran fáciles de aplicar. La derivación de resultados muy simples requería consideraciones geométricas complejas, y el estilo ampuloso de la Geometria indivisibilibus era una barrera para su recepción.

John Wallis presentó un enfoque muy diferente para la teoría de cuadraturas en su Arithmetica Infinitorum  de 1655. Wallis, sucesor de Henry Briggs como profesor savilian de geometría en Oxford,era defensor de los nuevos métodos del álgebra aritmética que había aprendido de su maestro William Oughtred. Wallis expresó el área bajo una curva como la suma de una serie infinita y utilizó inteligentes y poco rigurosas inducciones para determinar su valor. Para calcular el área bajo la parábola,

\int_0^1 x^2  dx

él consideró las sumas sucesivas

\frac{0+1}{1+1}=\frac{1}{3}+\frac{1}{6}

\frac{0+1+4}{4+4+4}=\frac{1}{3}+\frac{1}{12}

\frac{0+1+4+9}{9+9+9+9}=\frac{1}{3}+\frac{1}{18}

y por “inducción” dedujo la relación general

\frac{0^2+1^2+2^2+\ldots+n^2}{n^2+n^2+n^2+\ldots+n^2}=\frac{1}{3}+\frac{1}{6n}

Al permitir que el número de términos sea infinito, obtuvo 1/3 como el valor límite de la expresión. Con curvas más complicadas logró resultados muy impresionantes, incluyendo la expresión infinita ahora conocida como producto de Wallis:

\frac{4}{\pi }=\frac{3}{2}\cdot\frac{3}{4}\cdot\frac{5}{4}\cdot\frac{5}{6}\cdot\frac{7}{6}\ldots

La investigación sobre la determinación de tangentes, el otro tema  que condujo al cálculo, procedió a lo largo de diferentes líneas. En La Géométrie Descartes había presentado un método que podía, en principio, aplicarse a cualquier curva “geométrica” o algebraica -es decir, a cualquier curva cuya ecuación era un polinomio de grado finito en dos variables. El método dependía de la búsqueda de la normal, la línea perpendicular a la tangente, con la condición algebraica de ser el único radio que intersecta la curva en un solo punto. El método de Descartes fue simplificado por Hudde, un miembro del grupo de matemáticos de Leiden, y fue publicado en 1659 en la edición de Van Schooten de La Géométrie.

Una clase de curvas de interés cada vez mayor en el siglo XVII comprendía las generadas cinemáticamente por un punto que se mueve a través del espacio. La famosa curva cicloidal, por ejemplo, era trazada por un punto en el perímetro de una rueda que rodaba sobre una línea sin deslizamiento.

Estas curvas eran no algebraicas y por lo tanto no podían ser tratadas por el método de Descartes. Gilles Personne de Roberval, profesor en el Collège Royale de París, ideó un método tomado de la dinámica para determinar sus tangentes. En su análisis del movimiento de proyectiles Galileo había demostrado que la velocidad instantánea de una partícula está compuesta por dos movimientos distintos: un movimiento horizontal constante y un movimiento vertical en aumento debido a la gravedad. Si el movimiento del punto generador de una curva cinemática es considerado igualmente como la suma de dos velocidades, entonces la tangente estará en la dirección de su suma. Roberval aplicó esta idea a varias curvas cinemáticas diferentes, obteniendo resultados que fueron a menudo ingeniosos y elegantes.

En un ensayo de 1636 que circuló entre los matemáticos franceses, Fermat presentó un método de tangentes adaptado de un procedimiento que había ideado para determinar máximos y mínimos y lo utilizó para encontrar tangentes a varias curvas algebraicas de la forma y=x^n. Su relato era breve y no contenía ninguna explicación acerca de la base matemática del nuevo método. Es posible ver en su procedimiento un argumento que involucra a  los infinitesimales, y muchas veces se proclama a Fermat como el descubridor del cálculo diferencial. El estudio histórico moderno, sin embargo, sugiere que él estaba trabajando con conceptos introducidos por Viète y que su método se basaba en ideas algebraicas finitas.

Isaac Barrow, profesor lucasiano en la Universidad de Cambridge, publicó en 1670 su Geometrical Lectures, un tratado que más que cualquier otro anticipa las ideas unificadoras del cálculo. En él adoptó una forma puramente geométrica de exposición para mostrar cómo la determinación de áreas y tangentes son problemas inversos. Empezó con una curva y consideró la pendiente de su tangente correspondiente a cada valor de la abscisa. A continuación definió una curva auxiliar bajo la condición de que su ordenada sea igual a esta pendiente y mostró que el área bajo la curva auxiliar correspondiente a una abscisa dada es igual al rectángulo cuyos lados son la unidad y la ordenada de la curva original. Cuando se reformula analíticamente, este resultado expresa el carácter inverso de la diferenciación y la integración, el teorema fundamental del cálculo. Aunque la decisión de Barrow de proceder geométricamente le impidió tomar el paso final para un verdadero cálculo, sus lecturas influyeron tanto en Newton como en Leibniz.

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