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Posts Tagged ‘Girard Desargues’

A fines del siglo XVI, la matemática estaba en vísperas de un renacimiento dramático. Emergería de la oscuridad de la edad medieval, y los principales matemáticos de esta época buscaron refundir y desarrollar la matemática griega clásica. Simultáneamente con el poderoso enfoque algebraico de la geometría desarrollado por René Descartes, Desargues abogó por una perspectiva gráfica unificada. Sus ideas influyeron en grandes pensadores como Blaise Pascal y Sir Isaac Newton, a pesar de que fueron inevitablemente eclipsados por el poder del sistema cartesiano. 

Girard Desargues nació en una familia de nueve hijos el 21 de febrero de 1591 en Lyon. Su padre era un rico  coleccionista de diezmos, y los primeros estudios de Girard tuvieron lugar en Lyon. Sin embargo, se sabe poco de sus primeros años y educación, y su primera actividad científica registrada tuvo lugar en 1626, cuando propuso que el estado construyera máquinas para elevar el nivel del agua del Sena. 

Alrededor de 1630 Desargues entabló amistad con varios matemáticos de París, como Marin Mersenne y Gilles de Roberval; asistía regularmente a las reuniones de la Académie Parisienne, en las que más tarde participaría el joven Blaise Pascal. En 1636 Desargues publicó una obra describiendo su llamado método universal de la perspectiva. Allí esbozó un vasto programa de investigación: unificar las diversas técnicas gráficas (como las utilizadas por los arquitectos y dibujantes) a través de sus “métodos universales”, y al mismo tiempo incorporar la geometría proyectiva en el cuerpo del conocimiento matemático a través del estudio riguroso de la perspectiva. La geometría proyectiva tuvo pocos seguidores hasta el siglo XIX, y el trabajo de Desargues fue muy pasado por alto (e incluso ridiculizado) durante su propia vida; su significado se entendería siglos después. 

Una obra en competencia de Jean de Beaugrand evocó discusiones intelectuales sobre los temas de centro de gravedad, óptica y tangentes, así como otros temas geométricos. Desargues fue un ávido participante en estas disputas, distinguiéndose por su intención de comprender el aspecto más general de los problemas dados. Aunque alienó a Beaugrand, ganó la estima de Descartes y Mersenne. En contraste con el programa de Descartes para dar a la geometría una base algebraica, Desargues deseaba extender la influencia de los métodos geométricos a las técnicas gráficas a través de la mecánica. Su Brouillon projet d’une atteinte aux événements des recontres du cône avec un plan (Borrador aproximado de un ensayo sobre los resultados de tomar secciones planas de un cono) de 1639 dio una descripción de las secciones cónicas desde la perspectiva de la geometría proyectiva; este trabajo no fue popular, tal vez debido a su divergencia del enfoque cartesiano. Sin embargo, Blaise Pascal pudo apreciar el valor del Brouillon projet de Desargues, y Pascal escribió su Essay pour les coniques (Ensayo sobre secciones cónicas) como un tributo. Aunque este trabajo influyó en otros grandes matemáticos, como Newton, su impacto total no se percibió hasta el siglo XIX, cuando los geómetras adquirieron un renovado interés en la geometría proyectiva. Esta falta de popularidad fue seguramente el resultado del creciente interés en los problemas del cálculo infinitesimal. 

Beaugrand criticó el trabajo de Desargues con vehemencia, aparentemente por razones personales más que profesionales. En 1640 Desargues publicó un ensayo sobre el tallado de la piedra, aplicando sus técnicas a métodos gráficos prácticos. Sin embargo, sus útiles innovaciones eran contrarias a la práctica establecida de los poderosos gremios comerciales, y por lo tanto Desargues atrajo la animosidad de los veteranos artesanos. 

En 1641, Desargues se interesó por el problema de determinar varias secciones circulares de conos que tenían una base cónica. Su solución general dependía únicamente de la geometría pura. Roberval, Descartes y Pascal se interesaron en este problema, y Desargues luego generalizó su técnica. 

Posteriormente, Desargues se involucró en una disputa sobre la prioridad de sus métodos. Había trabajado para difundir sus técnicas gráficas entre picapedreros, pero en 1642 una publicación anónima plagió y distorsionó su trabajo. El debate resultante dañó la credibilidad y la confianza de Desargues. Desargues designó la tarea de diseminación de su obra a su discípulo Abraham Bosse, un grabador, quien más tarde publicó dos tratados que discutían el método de Desargues. Una nueva disputa surgió en 1644 con un cantero llamado Curabelle, con el aparente resultado de que Desargues decidió renunciar a publicar más. Sin embargo, Bosse continuó componiendo tratados sobre el método de la perspectiva de su maestro.  

Después de 1644 la actividad científica de Desargues disminuyó. Comenzó una nueva carrera como arquitecto, formando algunas estructuras espectaculares de una delicada figura. Por ejemplo, Desargues usó su conocimiento matemático para construir escaleras curvas que eran tanto funcionales como elegantes. Implementó sus técnicas directamente en aplicaciones prácticas, y de esta manera silenció la acusación de sus enemigos de que sus métodos eran puramente teóricos. Sus hazañas de ingeniería fueron extensas, incluyendo un sistema para elevar agua, que se instaló cerca de París. Murió en París en octubre de 1661. 

Se debe dar crédito a Desargues por ser uno de los fundadores de la geometría proyectiva: el estudio de espacios de líneas rectas que se encuentran infinitamente lejos del observador. También contribuyó al conocimiento de las cónicas, introdujo transformaciones proyectivas y fomentó el desarrollo de técnicas gráficas útiles en los dibujos. Lamentablemente, su trabajo fue salvajemente impugnado en su propia vida, e incluso entre los matemáticos que lo apoyaban recibió poca circulación debido a su engorroso estilo de escritura. Sus trabajos dieron frutos solo siglos después de su muerte, cuando sus papeles fueron redescubiertos por agradecidos geógrafos del siglo XIX.

 


Fuente bibliográfica:

  • McElroy, Tucker (2005) A to Z of Mathematicians. Facts On File, Inc.
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La matemática griega continuó su desarrollo desde la época de Euclides de Alejandría, y después de Arquímedes de Siracusa uno de los matemáticos más grandes fue Apolonio de Perga. Es conocido principalmente por sus contribuciones a la teoría de las secciones cónicas (las figuras planas obtenidas cortando un cono en varios ángulos). La fascinación en este tema, revivida en los siglos XVI y XVII, ha continuado en los tiempos modernos con el inicio de la geometría proyectiva.

Apolonio de Perga

Poca información sobre su vida se ha preservado de los estragos del tiempo, pero parece que Apolonio  floreció en algún momento entre la segunda mitad del siglo III y principios del siglo II a.C. Perga, una pequeña ciudad griega en la parte meridional de lo que ahora es Turquía, fue su ciudad de nacimiento. Apolonio vivió durante algún tiempo en Alejandría, donde pudo haber estudiado con los alumnos de Euclides, y más tarde visitó a Pérgamo y Éfeso.

Su obra más famosa, las Cónicas, se compuso a principios del siglo II a. C., y pronto se reconoció como un texto clásico. Arquímedes, que murió alrededor del año 212 a. C., parece ser el predecesor matemático inmediato de Apolonio, que desarrolló muchas de las ideas del siracusano. Las Cónicas estaba originalmente dividida en ocho libros, y se había previsto como un tratado sobre secciones cónicas. Antes del tiempo de Apolonio se conocían los fundamentos de la teoría de las secciones cónicas: las parábolas, las hipérbolas y las elipses se podían obtener cortando un cono con ángulos de vértice recto, obtuso o agudo, respectivamente. Apolonio empleó un método alternativo de construcción que implicaba cortar un doble cono en varios ángulos, manteniendo el ángulo de vértice fijo (este es el enfoque adoptado en los tiempos modernos). Este método tenía la ventaja de hacer estas curvas accesibles a la “aplicación de áreas”, una formulación geométrica de ecuaciones cuadráticas que en el tiempo moderno se expresaría algebraicamente. Es evidente que el enfoque de Apolonio fue refrescantemente original, aunque el contenido real de las Cónicas podría haber sido bien conocido. Mucha terminología, como parábola, hipérbola y elipse, se debe a Apolonio, y generaliza los métodos para generar secciones.

Cónicas contiene mucho material que ya era conocido, aunque la organización ahora estaba a tono con el método de Apolonio, que suavemente unía numerosos fragmentos de conocimiento geométrico. Se omitieron ciertos resultados elementales y se incluyeron algunos hechos novedosos. Además del material sobre la generación de secciones, Apolonio describió teoremas sobre los rectángulos contenidos por los segmentos de cuerdas de una cónica, las propiedades armónicas de las propiedades de los polos y polares, propiedades de los focos, y el locus de tres y cuatro líneas. Él discute la formación de una línea normal a una cónica, así como ciertas desigualdades de diámetros conjugados. Este trabajo, comparado con otra literatura griega, es bastante difícil de leer, ya que la falta de notación moderna hace el texto pesado, y el contenido en sí es bastante complicado. Sin embargo, el estudio persistente ha recompensado a muchos matemáticos dotados, incluyendo a Sir Isaac Newton, Pierre de Fermat y Blaise Pascal, que se inspiró enormemente en el clásico texto de Apolonio.

En la obra de Pappus de Alejandría se incluye un resumen de otras obras matemáticas de Apolonio: Secciones en una razón dada, Secciones en un área dada, Secciones determinadas, Tangencias, Inclinaciones y Lugares planos. Éstos se ocupan de varios problemas geométricos, y algunos de ellos implican la “aplicación de un área”. Utiliza el método griego de análisis y síntesis: El problema en cuestión se supone primero resuelto y una condición más fácilmente construida se deduce de la solución (“análisis”); luego, de la última construcción, se desarrolla la original (“síntesis”). Parece que Apolonio escribió incluso otros documentos, pero no se ha encontrado ningún vestigio de su contenido hasta nuestros días. Aparentemente, ideó un sistema numérico para la representación de enormes cantidades, similar al sistema de notación de Arquímedes, aunque Apolonio generalizó la idea. También hay referencias a la inscripción del dodecaedro en la esfera, al estudio de la hélice cilíndrica y un tratado general sobre los cimientos de la geometría.

Apolonio conocía todos los aspectos de la geometría griega, pero también contribuyó a la teoría euclidiana de los números irracionales y derivó aproximaciones para el número pi más precisas que las de Arquímedes. Su pensamiento incursionó también en la ciencia de la óptica, donde su profundo conocimiento de las cónicas ayudó a la determinación de diversas reflexiones causadas por espejos parabólicos y esféricos. Apolonio fue reconocido en su tiempo como el astrónomo más importante, e incluso ganó el epíteto de Epsilon, ya que la letra griega de ese nombre tiene una semejanza con la Luna. Calculó la distancia de la Tierra a la Luna como de aproximadamente 600.,000 millas, e hizo varios cálculos de las órbitas de los planetas. De hecho, Apolonio es un importante actor en el desarrollo de modelos geométricos para explicar el movimiento planetario; Hiparco de Rodas y Claudio Ptolomeo, mejorando sus teorías, llegaron al sistema ptolemaico, una hazaña de la investigación científica del mundo antiguo poseía una considerable grandeza y longevidad.

No hubo un sucesor inmediato de Apolonio, aunque sus Cónicas fueron reconocidas como un magnífico logro. Se produjeron varios comentarios simples, pero el interés disminuyó después de la caída de Roma, y ​​sólo los cuatro primeros libros siguieron traduciéndose en Bizancio. Otros tres libros de las Cónicas fueron traducidos al árabe, y los matemáticos islámicos permanecieron intrigados por su trabajo, aunque hicieron pocos avances; el libro final (el octavo) está perdido. A finales del siglo XVI y principios del XVII, varias traducciones de las Cónicas de Apolonio aparecieron en Europa y fueron estudiadas vorazmente por matemáticos franceses como René Descartes, Pierre de Fermat, Girard Desargues y Blaise Pascal. Cuando Descartes propuso su geometría analítica, que tomó un acercamiento algebraico, más bien que constructivo o geométrico, para las curvas y las secciones, el interés en el tratado clásico de Apolonio comenzó a decaer. Sin embargo, más adelante en el siglo XIX, las cónicas experimentaron una resurrección de la curiosidad con la introducción de la geometría proyectiva.

 

 


Fuente bibliográfica:

  • McElroy, Tucker (2005) A to Z of Mathematicians. Facts On File, Inc.

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Notables en la fase de cierre de la matemática griega fueron Pappus (principios del siglo IV d.C.), Teón (finales del siglo IV) y su hija Hipatia. Todos estaban activos en Alejandría como profesores de matemática y astronomía, y produjeron extensos comentarios sobre las principales autoridades de la época -Pappus y Teón de Ptolomeo, Hipatia de Diofanto y Apolonio. Más tarde, Eutocio (principios del siglo VI) produjo comentarios sobre Arquímedes y Apolonio. Si bien gran parte de esta producción se ha perdido, otro tanto sobrevive. Ellos demostraron ser razonablemente competentes en materia técnica, pero poco inclinados a dar luz al tema (su objetivo era generalmente llenar pasos menores asumidos en las pruebas, anexar pruebas alternativas, y similares), y su nivel de originalidad fue muy bajo. Pero estos eruditos con frecuencia conservaron fragmentos de obras más antiguas que se han perdido, y su enseñanza y esfuerzo editorial aseguró la supervivencia de las obras de Euclides, Arquímedes, Apolonio, Diofanto, Ptolomeo y otros que ahora existen, ya sea en manuscritos griegos o en traducciones medievales (al árabe, hebreo y latín) derivados de ellos.

El legado de la matemática griega, sobre todo en los campos de la geometría y la ciencia geométrica, fue enorme. Desde los primeros tiempos los griegos formularon los objetivos de la matemática no en términos de procedimientos prácticos sino como una disciplina teórica comprometida con el desarrollo de proposiciones generales y demostraciones formales. El alcance y la diversidad de sus hallazgos geométricos, especialmente los de los maestros del siglo III a.C., suministraron material durante siglos a partir de entonces, a pesar de que la cultura que fue transmitida a la Edad Media y al Renacimiento estaba incompleta y defectuosa.

El rápido crecimiento de la matemática en el siglo XVII se basó en parte en la imitación consciente de los clásicos antiguos y en la competencia de ellos. En la mecánica geométrica de Galileo y en las investigaciones infinitesimales de Johannes Kepler y Bonaventura Cavalieri, es posible percibir una inspiración directa en Arquímedes. El estudio de la geometría avanzada de Apolonio y Pappus estimuló nuevos enfoques en la geometría, por ejemplo, los métodos analíticos de René Descartes y la teoría proyectiva de Girard Desargues. Los puristas como Christiaan Huygens e Isaac Newton insistieron en el estilo geométrico griego como un modelo de rigor, al igual que otros buscaban escapar de sus demandas prohibiendo completamente pruebas elaboradas. El impacto total de la obra de Diofanto es evidente sobre todo con Pierre de Fermat en sus investigaciones en álgebra y teoría de números. A pesar de que la matemática ha ido hoy mucho más allá de los logros antiguos, las obras de las principales figuras de la antigüedad, como Arquímedes, Apolonio y Ptolomeo, todavía pueden ser una gratificante lectura para ilustrarnos de su ingenio y sus puntos de vista.

Antes de abandonar la matemática griega, es interesante resumir un poco los hechos acaecidos.

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