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Posts Tagged ‘Gottfried Leibniz’

De los matemáticos de la antigüedad griega, Arquímedes debe ser considerado el más grande. Sus contribuciones a la geometría y a la mecánica, así como a la hidrostática, lo colocan en un pedestal más alto que sus contemporáneos. Y como sus obras fueron gradualmente traducidas e introducidas en Occidente, ejerció una influencia tan grande allí como su pensamiento ya lo había hecho en Bizancio y Arabia. En su método de agotamiento puede verse un predecesor clásico del cálculo integral, que sería desarrollado formalmente por Blaise Pascal, Gottfried Leibniz, Sir Isaac Newton y otros en el siglo XVII. Sólo su historia de vida ha inspirado a muchos matemáticos.

Como con muchas personas antiguas, los detalles exactos de la vida de Arquímedes son difíciles de determinar, ya que hay varios relatos de calidad variable. Su padre era el astrónomo Fidias, y es posible que Arquímedes fuera pariente del tirano de Siracusa, el rey Hierón II. Ciertamente él era íntimo del rey, pues su trabajo El Contador de Arena fue dedicado a Gelón, hijo de Hierón. Nacido en Siracusa, Arquímedes partió a Alejandría para seguir una educación matemática; allí estudió con Euclides de Alejandría y asistió al desarrollo de la matemática euclidiana. Pero fue en Siracusa, a donde pronto volvió, donde hizo la mayor parte de sus descubrimientos.

Aunque famoso por sus contribuciones a la matemática, Arquímedes también diseñó numerosas invenciones mecánicas. El caracol de agua, inventado en Egipto para ayudar al riego, era un artefacto tipo tornillo usado para levantar agua. Más impresionantes son las historias relacionadas con su construcción y aplicación de la polea compuesta: Hierón había solicitado a Arquímedes que demostrara cómo una pequeña fuerza podía mover un gran peso. El matemático ató una cuerda a un gran buque mercante que estaba cargado de carga y pasajeros, y pasó la cuerda por un sistema de poleas. De esta manera, sentado a cierta distancia del buque, Arquímedes pudo arrastrar sin esfuerzo el barco a la orilla del puerto.

Arquímedes también descubrió la utilidad de la palanca, al observar que cuanto más larga es la distancia desde el fulcro, más peso podía mover la palanca. Extendiendo lógicamente este principio, afirmó que era factible mover el mundo dada una palanca suficientemente larga. Otra historia popular relata que Hierón le dio a Arquímedes la tarea de averiguar si una cierta corona estaba hecha de oro puro, o si se había adulterado fraudulentamente con plata. Cuando Arquímedes reflexionó sobre este rompecabezas se encontraba en pleno baño y notó que la cantidad de agua desplazada era igual a la cantidad de su cuerpo que estaba sumergida. Esto inmediatamente le disparó un método para resolver el problema de Hierón, y saltó de la bañera con alegría, corriendo desnudo hacia su casa, gritando “Eureka”. 

Su habilidad en objetos mecánicos fue inigualable, y Hierón aprovechó a menudo esto para mejorar las defensas de la ciudad, insistiendo en que el intelecto de Arquímedes debía ser puesto al servicio de alguna aplicación práctica. Cuando Marcelo y los romanos llegaron a atacar Siracusa, encontraron la ciudad inexpugnable debido a la multiplicidad de catapultas, brazos mecánicos, espejos ardientes y varios dispositivos balísticos que Arquímedes había construido. Arquímedes escribió un libro titulado On Spheremaking en el que describe cómo construir un modelo planetario diseñado para simular el movimiento del Sol, la Luna y los planetas. Parece que Arquímedes estaba familiarizado con el heliocentrismo de Arquitas, y lo utilizó en su planetario.

Según Plutarco, Arquímedes se dedicó a la teoría pura y desdeñaba las aplicaciones prácticas de la matemática a la ingeniería; sólo aquellos sujetos libres de cualquier utilidad para la sociedad eran considerados dignos de perseguir de todo corazón. Las obras matemáticas de Arquímedes consisten principalmente en estudios de área y volumen, y el análisis geométrico de la estática y la hidrostática. Al calcular el área o el volumen de varias figuras planas y sólidas, utiliza el llamado Lema de Arquímedes y el “método de agotamiento”. Este lema afirma que la diferencia de dos magnitudes desiguales puede ser formada en una proporción con cualquier magnitud semejante; así, la diferencia de dos líneas será siempre una línea y no un punto. El método de agotamiento consiste en sustraer indefinidamente una cantidad mayor que la mitad de una magnitud dada, y apunta a la idea de la eterna divisibilidad del continuo (que siempre se puede quitar la mitad de un número y todavía queda algo). Estas ideas se limitan a las nociones de lo infinitesimal -lo infinitamente pequeño- y a la idea de límite, que son ingredientes clave del cálculo integral; sin embargo, los griegos eran adversos a la noción de infinito e infinitesimales, y Arquímedes se apartaba de hacer cualquier cosa que él sentía sería considerado como absurdo.

El método de agotamiento, que se usó raramente en los Elementos de Euclides, se ilustrará a través del siguiente ejemplo: En Sobre la medida de un círculo, Arquímedes asume, en aras de la contradicción, que el área de un triángulo rectángulo con base igual a la circunferencia y altura igual al radio del círculo es realmente mayor que el área del círculo. Entonces él puede, usando el lema de Arquímedes, inscribir un polígono en el círculo, con la misma área que el triángulo; esta contradicción muestra que el área del triángulo no puede ser mayor que el círculo, y hace un argumento similar de que no puede ser menor.

El concepto básico del método de aproximación, que es similar al método de agotamiento, consiste en inscribir figuras regulares dentro de una figura plana y sólida tal que el área o el volumen restante se reduce constantemente; el área o el volumen de las figuras regulares se pueden calcular fácilmente, y ésta será una aproximación cada vez más exacta. El área o volumen restante está “agotado”. Por supuesto, la manera moderna de obtener una determinación exacta de la medida es a través del límite; Arquímedes evitó esta cuestión al demostrar que el área o el volumen restante podría hacerse tan pequeño como se deseara inscribiendo figuras más regulares. Por supuesto, uno podría realizar el mismo procedimiento circunscribiendo figuras regulares.

También aplicó estos métodos a los sólidos, calculando la superficie y el volumen de la esfera, y el volumen de conos y pirámides. Los métodos de Arquímedes eran a veces puramente geométricos, pero a veces usaban principios de estática, como un “método de equilibrio”. Su conocimiento de la ley de la palanca y el centro de gravedad del triángulo, junto con sus métodos de aproximación y agotamiento le permitieron mejorar demostraciones de teoremas conocidos, así como establecer resultados completamente nuevos.

Arquímedes también hizo algunas contribuciones en el ámbito del  cálculo numérico, produciendo algunas aproximaciones muy precisas para el número pi y para la raíz cuadrada de tres. En El contador de Arena crea una notación para números muy grandes y estima el número de granos de arena para llenar el universo. En Sobre el equilibrio de los planos prueba la ley de la palanca a partir de principios geométricos, y en Sobre los cuerpos flotantes  explica el concepto de presión hidrostática. El llamado Principio de Arquímedes establece que sólidos colocados en un fluido serán más ligeros en el fluido en una cantidad igual al peso del fluido desplazado.

Su influencia en la matemática posterior fue extensa, aunque Arquímedes pudo no haber gozado de mucha fama en su propia vida. Griegos posteriores, entre ellos Pappus de Alejandría y Teón de Alejandría, escribieron comentarios sobre sus escritos, y más tarde los autores bizantinos estudiaron su obra. Desde Bizancio sus textos llegaron a Occidente antes del comienzo del Renacimiento; mientras tanto, los matemáticos árabes conocían a Arquímedes y explotaron sus métodos en sus propias investigaciones sobre  secciones cónicas. En el siglo XII aparecieron traducciones del árabe al latín, de las que Leonardo de Pisa (Fibonacci) hizo uso en el siglo XIII. En los años 1400, el conocimiento de Arquímedes se había expandido por partes de Europa, y su matemática influyó más tarde en Simon Stevin, Johannes Kepler, Galileo Galilei y Bonaventura Cavalieri.

Tal vez la historia más conocida acerca de Arquímedes es la que relata su muerte, que se produjo en el año 212 a.C. durante el asedio de Siracusa por los romanos. Al parecer, no estaba preocupado por la situación cívica, y estaba ocupado haciendo diagramas en la arena de su casa (en ese momento tenía al menos 75 años de edad). Aunque el general romano Marcelo había dado órdenes estrictas para que el famoso matemático siciliano no fuera perjudicado, un soldado romano irrumpió en la casa de Arquímedes y arruinó su diagrama. Cuando el anciano matemático expresó verbalmente su disgusto, el soldado lo mató rápidamente.

Arquímedes fue un destacado matemático y científico. De hecho, es considerado por muchos como uno de los tres mejores matemáticos de todos los tiempos, junto con Carl Friedrich Gauss y Newton. Una vez descubierto por los europeos medievales, sus obras propulsaron el descubrimiento del cálculo. Es interesante que este profundo intelecto fuera remoto en tiempo y espacio al de los grandes matemáticos griegos clásicos; Arquímedes trabajó en la isla de Siracusa, lejos de Atenas, fuente de mucho pensamiento griego, y trabajó siglos después del declive de la cultura griega.

 

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Fuente bibliográfica:

  • McElroy, Tucker (2005) A to Z of Mathematicians. Facts On File, Inc.

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Aunque la matemática floreció después de finalizar el período clásico griego durante 800 años en Alejandría y, después de un interludio en la India y el mundo islámico, de nuevo en la Europa renacentista, las cuestiones filosóficas acerca de los fundamentos de la matemática no se plantearon hasta la invención del cálculo y no por matemáticos sino por el filósofo George Berkeley (1685-1753).

George Berkeley

Sir Isaac Newton en Inglaterra y Gottfried Wilhelm Leibniz en Alemania habían desarrollado independientemente el cálculo sobre la base de reglas heurísticas y métodos marcadamente deficientes en cuanto a justificación lógica. Como es el caso en muchos nuevos desarrollos, la utilidad sobrepasaba el rigor y, aunque las fluxiones (o derivadas) de Newton y los infinitesimales (o diferenciales) de Leibniz carecían de una explicación racional coherente, su poder para responder a preguntas hasta ahora incontrovertibles era innegable. A diferencia de Newton, que hizo poco esfuerzo por explicar y justificar las fluxiones, Leibniz, como un filósofo eminente y muy considerado, influyó en la propagación de la idea de los infinitesimales, que describió como números reales infinitamente pequeños, es decir, menores a 1/n en valor absoluto para cada entero positivo n y sin embargo no iguales a cero. Berkeley, preocupado por las implicaciones deterministas y ateas del mecanismo filosófico, se propuso revelar ciertas contradicciones en el cálculo en su influyente libro The Analyst; or, A Discourse Addressed to an Infidel Mathematician. Allí escribió mordazmente sobre estas fluxiones e infinitesimales: “No son ni cantidades finitas, ni cantidades infinitamente pequeñas, ni nada. ¿No los llamamos los fantasmas de las cantidades que se han ido?» Y preguntó: «Los matemáticos, que son tan delicados en los puntos religiosos, ¿son estrictamente escrupulosos en su propia ciencia? Si no se someten a la autoridad, toman las cosas por confianza, y creen en puntos inconcebibles? “

La crítica de Berkeley no se tuvo completamente en cuenta hasta el siglo XIX, cuando se comprendió que, en la expresión dy/dx, dx y dy no necesitaban llevar una existencia independiente. Más bien, esta expresión podía definirse como el límite de las razones ordinarias \Delta y/\Delta x cuando \Delta x se aproxima a cero sin nunca ser cero. Por otra parte, la noción de límite se explicó entonces con bastante rigor, en respuesta a pensadores como Zenón y Berkeley.

No fue hasta mediados del siglo XX que el lógico Abraham Robinson (1918-1974) demostró que la noción de infinitesimal era en realidad lógicamente consistente y que, por lo tanto, los infinitesimales podían ser introducidos como nuevos tipos de números. Esto condujo a una forma novedosa de presentar el cálculo, llamado análisis no estándar que, sin embargo, no ha llegado a ser tan extenso e influyente como podría serlo.

Abraham Robinson

El argumento de Robinson era éste: si las suposiciones detrás de la existencia de un infinitesimal \xi condujeron a una contradicción, entonces esta contradicción debería ser obtenible de un conjunto finito de estas suposiciones, digamos de:

0<\xi, \xi<1, \xi<\frac{1}{2}, \ldots, \xi<\frac{1}{n}.

Pero este conjunto finito es consistente, como se ve tomando \xi=1/(n+1).

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La historia del análisis en el siglo XVIII se puede seguir en las memorias oficiales de las academias y en los tratados expositivos publicados de forma independiente. En las primeras décadas del siglo, el cálculo se cultivó en una atmósfera de entusiasmo intelectual con matemáticos aplicando los nuevos métodos a una serie de problemas de la geometría de las curvas. Los hermanos Johann y Jakob Bernoulli mostraron que la forma de un alambre liso largo del cual una partícula desciende en el menor tiempo es la cicloide, una curva trascendental muy estudiada en el siglo anterior.

Jacob and Johann Bernoulli

Trabajando en un espíritu de rivalidad aguda, los dos hermanos llegaron a ideas que más tarde se convertirían en el cálculo de variaciones. En su estudio de la rectificación de la lemniscata, una curva en forma de cinta descubierta por Jakob Bernoulli en 1694, Giulio Carlo Fagnano (1682-1766) introdujo ingeniosas transformaciones analíticas que sentaron las bases de la teoría de las integrales elípticas. Nikolaus I Bernoulli (1687-1759), sobrino de Johann y Jakob, demostró la igualdad de las derivadas parciales mixtas de segundo orden e hizo importantes contribuciones a las ecuaciones diferenciales mediante la construcción de trayectorias ortogonales a familias de curvas. Pierre Varignon (1654-1722), Johann Bernoulli y Jakob Hermann (1678-1733) continuaron desarrollando la dinámica analítica, al adaptar el cálculo de Leibniz a la mecánica inercial de los Principia de Newton.

Concepciones y problemas geométricos predominaron en los comienzos del cálculo. Este énfasis en la curva como objeto de estudio proporcionó coherencia a lo que fue una colección dispar de técnicas analíticas. Con su continuo desarrollo, el cálculo gradualmente abandonó sus orígenes en la geometría de las curvas, y surgió un movimiento para establecer el tema sobre una base puramente analítica. En una serie de libros de texto publicados a medidos del siglo, el matemático suizo Leonhard Euler llevó a cabo de forma sistemática la separación del cálculo de la geometría. En su Introductio in Analysin Infinitorum de 1748 hizo de la noción de función el concepto central de la organización del análisis:

Una función de una cantidad variable es una expresión analítica compuesta de cualquier manera por la variable y de números o cantidades constantes.

El enfoque analítico de Euler es ilustrado por su introducción de las funciones seno y coseno. Las tablas trigonométricas habían existido desde la antigüedad, y las relaciones entre senos y cosenos se utilizaban comúnmente en la astronomía matemática. A comienzos del cálculo los matemáticos habían derivado de su estudio de fenómenos mecánicos periódicos la ecuación diferencial

\frac{dy}{dx}=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}

y fueron capaces de interpretar geométricamente su solución en términos de líneas y ángulos en el círculo. Euler fue el primero en introducir las funciones seno y coseno en forma de cantidades cuya relación con otras cantidades podían ser estudiadas de forma independiente de cualquier diagrama geométrico.

El enfoque analítico de Euler para el cálculo recibió el apoyo de su contemporáneo más joven Joseph-Louis Lagrange, quien, tras la muerte de Euler en 1783, lo reemplazó como el líder de la matemática europea.

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