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Posts Tagged ‘Gottfried Leibniz’

Christian Goldbach era un matemático aficionado, que no poseía ningún entrenamiento formal. Sin embargo, mantuvo correspondencia con muchos científicos y matemáticos de toda Europa, y fue una de las pocas personas que comprendió los trabajos de Pierre de Fermat y Leonhard Euler. Sus contribuciones a la matemática fueron esporádicas con destellos de brillantez. También hubo lagunas sorprendentes en su conocimiento. Sin embargo, a través de sus comunicaciones matemáticas, pudo participar en las investigaciones matemáticas de su tiempo y estimular a otros hacia resultados fundamentales. 

Christian Goldbach nació en Königsberg, Prusia, el 18 de marzo de 1690. Su padre era ministro, y Goldbach recibió una buena educación, estudiando matemática y medicina en la Universidad de Königsberg. Alrededor de 1710 comenzó a viajar por Europa y conoció a varios matemáticos destacados, como Gottfried Leibniz, Abraham de Moivre y Daniel Bernoulli. Algún tiempo después de 1725 Goldbach recibió un puesto como profesor de matemática en la Academia Imperial de Rusia. 

Goldbach era un político hábil, y avanzó rápidamente en círculos políticos en detrimento de su investigación matemática. En 1728 se mudó a Moscú para convertirse en tutor del hijo del rey, Pedro II; regresó a San Petersburgo en 1732 y rápidamente se elevó a una posición poderosa en la Academia Imperial. En 1737 tenía la administración de la academia, pero estaba escalando simultáneamente en círculos gubernamentales. En 1742 cortó sus lazos con la academia, y finalmente ascendió al rango de consejero privado en 1760, supervisando la educación de la familia real. 

El conocimiento de Goldbach sobre matemática avanzada llegó a él de manera informal a través de discusiones con matemáticos en lugar de una lectura consistente. Se sintió intrigado por las series infinitas en 1712 después de conocer a Nikolaus Bernoulli, y esta fecha probablemente marque el comienzo de su propia investigación sobre ese tema. De sus varios trabajos, algunos de los cuales repiten material ya publicado por otros, dos muestran genuina originalidad: uno trata la manipulación de series infinitas, y el otro se refiere a una teoría de ecuaciones. Goldbach desarrolló un método para transformar una serie en otra sumando y restando ciertos términos sucesivamente. Se permitió que estos nuevos términos fueran divergentes, siempre y cuando el resultado final fuera convergente. En el segundo, Goldbach aplica algunos resultados de la teoría de números para probar si una ecuación algebraica dada tiene una raíz racional. Este método fue desarrollado a partir de una correspondencia con Leonhard Euler, con quien Goldbach comenzó a comunicarse en 1729. 

Además de estas contribuciones originales a la matemática, Goldbach se mantuvo al tanto de los desarrollos actuales y entró en el diálogo de los matemáticos con respecto a los nuevos resultados. Por ejemplo, Goldbach comunicó a Euler una de las conjeturas de Fermat sobre los números primos, quien fue capaz de construir un contraejemplo. También es famoso por la conjetura de Goldbach de que cada entero par podría expresarse como la suma de dos números primos. 

Goldbach murió el 20 de noviembre de 1764, en Moscú. Aunque Goldbach indudablemente poseía un talento matemático considerable, este no se desarrolló debido a su éxito en asuntos cívicos. Sin embargo, Goldbach fue capaz de estimular la investigación de ideas matemáticas en su propio tiempo, y también en la era moderna a través de su misteriosa conjetura.

 


Fuente bibliográfica:

  • McElroy, Tucker (2005) A to Z of Mathematicians. Facts On File, Inc.
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Gottlob Frege realizó un trabajo sustancial en lógica matemática durante el siglo XIX; de hecho, es visto por muchos como el padre de la lógica matemática moderna. El lenguaje que creó para analizar rigurosamente la aritmética se desarrollaría luego en la sintaxis y la notación de la teoría de la demostración moderna. 

Gottlob Frege nació el 8 de noviembre de 1848 en Wismar, Alemania, hijo de Alexander Frege y Auguste Bialloblotzky. Su padre era director de una escuela secundaria para niñas en Wismar, y Gottlob asistió al Gymnasium allí. De 1869 a 1871 fue alumno en Jena, y después de este período se matriculó en la Universidad de Göttingen, donde tomó cursos de matemática, física, química y filosofía. Dos años más tarde obtuvo su doctorado en filosofía con la tesis Über eine geometrische Darstellung der imaginaren Gebilde in der Ebene (Sobre una representación geométrica de cosas imaginarias en el plano). Su disertación de 1874 se refería a ciertos grupos de funciones. En esta época, comenzó a trabajar en el proyecto de proporcionar una base rigurosa a la aritmética. Frege deseaba definir el número y la cantidad de una manera satisfactoria, y recurrió a la lógica como un vehículo apropiado.  

En este período de la historia, había poco en el camino acerca de un tratamiento coherente de la lógica matemática. Como Frege quería ser preciso en su desarrollo de la teoría de números, decidió construir un lenguaje de lógica para formular sus ideas. Las herramientas para analizar demostraciones matemáticas se publicaron en Begriffschrift en 1879, y algunas de las ideas de su disertación en Jena entraron en su concepto de cantidad. En el mismo año, fue nombrado profesor extraordinario en Jena, y fue nombrado profesor honorario en 1896. Su diligente trabajo hacia la construcción lógica de la aritmética a lo largo de los años dio lugar a su Grundgesetze der Arithmetik en dos volúmenes (Leyes básicas de la aritmética) ) (1893-1903). En 1902 Bertrand Russell señaló una contradicción en el sistema de la aritmética de Frege; este comentario resultó ser desastroso, ya que Frege no pudo encontrar ninguna forma de remediar el problema. De hecho, como demostraría el trabajo posterior de Kurt Gödel, cualquier esfuerzo para construir teorías de números completas y consistentes estaba condenado al fracaso. 

El Begriffschrift debe verse como un lenguaje formal, como un vehículo, para el pensamiento puro. Este lenguaje consistía en varios símbolos (como letras) que podían combinarse de acuerdo con ciertas reglas (la gramática) para formar enunciados. Al igual que con la aritmética, después de la cual se modeló el lenguaje de Frege, se podían realizar cálculos cuyo resultado sería un cálculo lógico en lugar de una cantidad numérica. La idea de un cálculo lógico se remonta al menos a Gottfried Leibniz, quien supuso que un día todo el debate filosófico podría reducirse a cálculos lógicos. El cálculo de Frege podía usarse para formalizar la noción de una demostración matemática, de modo que uno pudiera, esencialmente, calcular la conclusión.  

Los componentes básicos del cálculo de Frege son un símbolo de afirmación (representado por un trazo vertical), un símbolo condicional (por ejemplo, A implica B) y una regla de deducción que establece lo siguiente: si afirmamos A y A implica B, entonces podemos afirmar B. Frege también desarrolló la notación para la negación, y demostró que el “y” y el “o” podían expresarse en términos de los símbolos condicional y de negación. Además de estas nociones básicas, añadió una teoría de la cantidad, definiendo rigurosamente nociones tales como “para todo” y “existe”.

Hay una escuela de matemática llamada formalismo, cuyos partidarios creen que no hay un significado verdadero o inherente a la matemática, sino que la matemática es puramente un lenguaje formal con el cual otras ideas pueden expresarse, y la verdad matemática puede alcanzarse solo jugando de acuerdo a las reglas del juego. Frege no era un formalista y no estaba interesado en aplicar su sistema a las preguntas relacionadas con una agenda formalista. Irónicamente, su trabajo fue bastante adecuado como base para la lógica formal.

El trabajo de Frege Grundlagen der Arithmetik (Fundamentos de la aritmética) (1884) define la noción de número y se basa en el lenguaje introducido en Begriffschrift. Aquí hace una crítica a las teorías de números anteriores, señalando sus insuficiencias; él argumenta que la igualdad de número es un componente esencial de la noción de número. Grundgesetze incorpora y refina su trabajo anterior, incluidas las mejoras basadas en varios artículos. Muchas de estas ideas tuvieron una gran influencia en la discusión filosófica subsiguiente, en particular influyendo en la filosofía de Wittgenstein.

Después de 1903, la potencia del pensamiento de Frege estaba en declive; parecía incapaz de mantenerse al día con una cultura matemática cada vez más moderna y extraña. En este último período, gastó su energía reaccionando contra varios nuevos desarrollos en matemática, y especialmente entró en conflicto con David Hilbert y su programa para la axiomatización de la matemática. En 1917 Frege se retiró, y después de esto produjo Logische Untersuchungen (Investigaciones lógicas) como una extensión del trabajo anterior. Murió en Bad Kleinen, Alemania, el 26 de julio de 1925.

Frege es principalmente recordado por su trabajo en lógica matemática, que condujo a la teoría moderna de la demostración. Otros grandes lógicos como Russell y Gödel continuaron su trabajo. Aunque el esfuerzo de Frege para construir una teoría de números completa y consistente estaba condenado al fracaso, las ideas que formuló en el curso de su investigación influyeron mucho en las generaciones posteriores de matemáticos.

 


Fuente bibliográfica:

  • McElroy, Tucker (2005) A to Z of Mathematicians. Facts On File, Inc.

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Pierre de Fermat es conocido como uno de los matemáticos más grandes del siglo XVI, que hizo contribuciones a los fundamentos del cálculo, la probabilidad y la teoría de números. En este último tema su influencia es particularmente famosa, ya que su investigación sobre la divisibilidad y las propiedades de los números primos alimentaría más tarde la investigación de los siglos XIX y XX. 

Pierre de Fermat nació en Beaumont-Lomagne, Francia, el 20 de agosto de 1601. Su padre, Dominique Fermat, era un próspero comerciante, mientras que su madre, Claire de Long, era una mujer noble. Como resultado del pedigrí de su madre, Fermat disfrutó de un alto estatus social y más tarde eligió la profesión de abogado. Recibió una educación secundaria clásica, y probablemente estudió en la Universidad de Toulouse. En cualquier caso, sin duda vivió en Burdeos a finales de 1620, y en este momento comenzó sus investigaciones matemáticas.  

Fermat recibió el grado de licenciado en leyes civiles de la Universidad de Orleans en 1631, y se embarcó en su carrera legal en el parlamento local. El mismo año, Fermat se casó con su prima Louise de Long, con quien tuvo cinco hijos. Parece que Fermat disfrutaba de prosperidad financiera, y se le permitió el privilegio, como miembro de la aristocracia, de agregar “de” a su apellido. Sin embargo, su actuación en su oficina no fue satisfactoria, y Fermat avanzó solo a través de la muerte de sus colegas profesionales. En 1642 ascendió a los consejos más altos del parlamento, luego sirvió como presidente de la Chambre de l’Édit, que tenía jurisdicción sobre demandas legales entre hugonotes y católicos. Fermat fue un devoto católico a lo largo de toda su vida. 

Fermat disfrutó de cierta fama como matemático durante su propia vida, aunque su renuencia a publicar lo mantuvo alejado del renombre que podría haber obtenido. También tenía fama de ser un erudito clásico, ya que dominaba varios idiomas. Gozó de buena salud, sobrevivió a un ataque de peste en 1652 y murió en Castres el 12 de enero de 1665. 

El desarrollo de Fermat como matemático puede haber comenzado durante su período de Burdeos, momento en el que se familiarizó con las obras de François Viète. De Viète fue que Fermat adquirió la nueva álgebra simbólica, así como la concepción del álgebra como una herramienta útil para problemas geométricos. Fermat buscó basarse en los conceptos de Viète, incluida la capacidad de resolver y construir ecuaciones determinadas; su método a menudo implicaba reducir un problema dado a una clase conocida de problemas (muy parecido a un tipo de inducción inversa). Al principio, Fermat dependía en gran medida de los antiguos griegos para obtener ideas sobre análisis matemático, pero a menudo generalizaba los problemas originales considerados, utilizando el análisis de reducción y su genio natural para llegar a soluciones generales. 

En la primavera de 1636, Fermat ya había completado su Ad locos planos et solidos isagoge (Introducción a planos y sólidos), un trabajo que establece una geometría analítica que era extremadamente similar a la Géométrie (Geometría) de 1639 de René Descartes. Aunque estos trabajos fueron virtualmente idénticos en el uso de ecuaciones algebraicas para describir curvas geométricas, la cuestión de la prioridad no está resuelta, ya que cada matemático estaba trabajando independientemente. Fermat partió de los trabajos de Pappus de Alejandría y Apolonio de Perga, y se dio cuenta de que los loci de puntos discutidos por este último podían describirse mediante ecuaciones algebraicas en dos incógnitas. Luego empleó un solo eje con origen y ordenada en movimiento (similar al método gráfico de Descartes, que no involucraba coordenadas) para describir una curva dada. Luego, Fermat consideró la ecuación general de segundo grado re dirigiéndola a siete formas irreducibles (o casos especiales), que incluían líneas, hipérbolas, elipses, parábolas y círculos. La presentación de Fermat difería sustancialmente de la de Descartes, quien pasó por alto el tema de la construcción y se centró en una teoría avanzada de ecuaciones. Siguiendo las implicaciones de su investigación después de 1636, Fermat demostró la solución gráfica de ecuaciones algebraicas determinadas. En 1643 trató de extender sus métodos a sólidos de revolución (los sólidos obtenidos al hacer girar una curva sobre un eje fijo). Este último esfuerzo no tuvo éxito, ya que Fermat aún no tenía las herramientas de un sistema de coordenadas tridimensional, aunque estableció la base algebraica correcta para dicho sistema de geometría sólida. Fermat estableció la conexión entre la dimensión y el número de incógnitas, una contribución conceptual importante a la matemática del siglo XVII. 

Fermat también desarrolló un método de cálculo de máximos y mínimos de curvas, que esencialmente implicaba un cálculo de la derivada de un polinomio. Sin embargo, Fermat no utilizó ningún infinitesimal en su método, y por lo tanto su trabajo fue periférico a los fundamentos del cálculo. Utilizando su técnica, Fermat pudo determinar los centros de gravedad para figuras geométricas, así como la formación de rectas tangentes para una curva determinada. Este trabajo se convirtió en un punto central en un debate de 1638 con Descartes, quien criticó el trabajo de Fermat porque rivalizaba con sus propia matemática establecida en su Géométrie. Aunque finalmente hicieron las paces cuando Descartes admitió que su crítica a la obra de Fermat era inválida, los dos hombres permanecieron en conflicto; la reputación de Fermat, quien se negó rotundamente a publicar su obra, sufrió como resultado. 

La cuadratura de curvas (es decir, el cálculo del área bajo una curva por medio de su aproximación por rectángulos) también fue estudiada por Fermat, quien amplió las labores de Arquímedes de Siracusa sobre la espiral. Fermat fue capaz de aproximar un área determinada con una precisión arbitraria (a través del número de rectángulos elegidos), y así calcular el área debajo de ciertos polinomios simples. Al principio, su estilo era geométrico, basándose en figuras cuidadosamente dibujadas, pero luego adoptó un enfoque más algebraico. Sus diversos resultados sobre cuadraturas finalmente circularon en 1679, y para entonces ya estaban obsoletos, en vista del trabajo más completo de Sir Isaac Newton y Gottfried Leibniz. Parece que Fermat no se dio cuenta de que el método de las tangentes y la cuadratura eran inversos entre sí, y este trabajo ejerció poca influencia en la matemática posterior. 

Fermat es mejor conocido por su trabajo en teoría de números, que fue en gran parte descuidado por sus colegas del siglo XVII. Sus trabajos fueron completamente ignorados hasta que Leonhard Euler revivió el interés en el número; finalmente, en el siglo XIX Carl Friedrich Gauss y otros demostraron muchos de los resultados importantes y establecieron la teoría de números como un campo moderno de investigación matemática. Fermat estaba interesado en soluciones enteras de ecuaciones algebraicas, y su investigación inicial se centró en la divisibilidad y el estudio de los números primos. Sus métodos no son conocidos, porque la mayoría de sus resultados fueron escritos en cartas a amigos o en los márgenes de otros libros; aparentemente, Fermat usó la criba de Eratóstenes de Cirene como criterio de excelencia. Derivó varios teoremas importantes (sin pruebas), investigando la descomposición de primos como sumas de cuadrados. En este sentido, Fermat estaba interesado en soluciones enteras para x^n+y^n=z^n donde n es al menos dos. El hecho (probado recientemente por Andrew Wiles en 1994) de que no hay soluciones para n mayores que dos se conoce como el Último Teorema de Fermat; él anotó esta conjetura en el margen de uno de sus libros. 

Una técnica que Fermat aplicó repetidas veces era el método del descenso infinito: argumentaba por contradicción, construyendo una sucesión infinita de enteros decrecientes (positivos), que no podían existir. La principal importancia del trabajo de Fermat en teoría de números es el estímulo que le dio a la investigación a fines del siglo XVIII y XIX. 

Fermat también contribuyó al estudio de la óptica (sobre cuyo tema también debatió con Descartes, oponiéndose a su razonamiento a priori), y se le atribuye, junto con Blaise Pascal, como el fundador de la teoría de la probabilidad. A través de una serie de cartas escritas durante 1654, estos dos matemáticos intercambiaron una variedad de preguntas sobre probabilidad, como por ejemplo, cómo dividir justamente las apuestas de un juego interrumpido. Aunque sus métodos diferían un tanto (Fermat hacía cálculos directos en lugar de derivar fórmulas generales), ambos usaron el concepto de “ganancias esperadas”, definido a través de la expectativa matemática. 

Los últimos años de la vida de Fermat vieron poca interacción con otros matemáticos, ya que dedicaba cada vez más su tiempo libre a la teoría de números. Aunque su trabajo, especialmente sus esfuerzos en teoría de números, mereció el reconocimiento de sus colegas, Fermat cayó en una oscuridad creciente debido a su renuencia a publicar. Después del siglo XVII fue completamente olvidado, hasta que fue redescubierto por Euler y otros en el siglo XIX, cuando el renovado interés en la teoría de números se inspiró en su intelecto.

 


Fuente bibliográfica:

  • McElroy, Tucker (2005) A to Z of Mathematicians. Facts On File, Inc.

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