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Posts Tagged ‘Gottfried Leibniz’

Durante gran parte de la historia, los diversos campos de la matemática se desarrollaron por separado, o al menos se consideraron áreas de estudio distintas. Sin embargo, varios matemáticos intentaron presentar una descripción matemática de los fundamentos de la lógica y construir una aritmética lógica que facilitara la resolución de argumentos filosóficos abstrusos a través de una computación verificable. El primer pensador que hizo un progreso significativo hacia estos objetivos fue George Boole, un notable inglés por sus contribuciones tanto a la lógica como a la teoría de operadores. 

George Boole nació el 2 de noviembre de 1815, en Lincoln, Inglaterra, hijo de un zapatero llamado John Boole. El interés real de este último radicaba en la matemática y el diseño de instrumentos ópticos, y su negocio en consecuencia padecía su distracción. George Boole fue educado en los rudimentos de la matemática por su padre, pero debido a la pobreza no pudo seguir la educación superior. Sin embargo, alentado por su padre, Boole avanzó en su comprensión de la matemática y pronto adquirió una familiaridad con el latín, el griego, el francés y el alemán. Aunque su habilidad con la literatura era ejemplar, su principal interés era la matemática. 

A los 15 años comenzó a enseñar en Lincoln. El Instituto de Mecánica fue fundado en 1834; publicaciones de la Royal Society circulaban a través de la sala de lectura de la escuela, de la cual John Boole se convirtió en curador, y George Boole dedicó sus momentos libres restantes a la lectura de literatura matemática. En particular, se abrió paso a través de los Principia de Sir Isaac Newton con poca ayuda, y su reputación local lo llevó a un discurso público que marcaba la presentación de un busto de Newton en el Instituto. En 1840 contribuyó regularmente al Cambridge Mathematical Journal y a la Royal Society; sus talentos fueron reconocidos más tarde por la concesión de una Medalla Real en 1844 y la elección de la confraternidad de la Royal Society en 1857. 

Los escritos científicos de Boole están compuestos por unos 50 artículos sobre diversos temas, dos libros de texto que resumen su investigación y dos volúmenes sobre lógica matemática. Los textos, sobre ecuaciones diferenciales (1859) y diferencias finitas (1860), se usaron durante décadas y muestran el agudo intelecto y el uso fluido de operadores de Boole. El material sobre ecuaciones diferenciales fue original, utilizando un operador de diferencias y desplazamiento hacia adelante para resolver ecuaciones lineales en diferencias. Los artículos de 1841 y 1843 trataban transformaciones lineales, mostrando un principio de invariancia para formas cuadráticas; la teoría de invariantes sería desarrollada rápidamente por otros matemáticos en la segunda mitad del siglo XIX. Otro trabajo abordó ecuaciones diferenciales, donde Boole hizo mucho uso del operador diferencial D. 

En 1849, Boole solicitó el puesto de profesor de matemática en el recién creado Queen’s College de Cork, y su nombramiento a pesar de la ausencia de un título universitario formal dio testimonio de sus habilidades matemáticas ampliamente reconocidas. Aunque cargado con una pesada carga de enseñanza en Cork, Boole ahora habitaba en un entorno más propicio para la investigación. Era un maestro dedicado, creyendo en la importancia de la educación, tal vez en consideración de su propia falta. En 1855 se casó con Mary Everest, la sobrina de un profesor de griego en el Queen’s College. 

Después de 1850 Boole incursionó principalmente por la teoría de la probabilidad, ya que esto estaba relacionado con su interés profundo y permanente en los fundamentos de la lógica matemática. Su uso de operadores amplió en gran medida su poder de aplicación, pero Boole fue cauteloso sobre su uso indiscriminado, y siempre tuvo cuidado de verificar las condiciones de su implementación; también hizo hincapié en la necesidad de definiciones claras. Como resultado de estas preguntas precisas, Boole se dio cuenta de que una variable que representa una cantidad no numérica, como una afirmación lógica u otro objeto matemático, no solo era matemáticamente válida sino que también era de gran utilidad en muchas empresas. 

Había surgido una disputa entre el filósofo Sir William Hamilton y el matemático Augustus De Morgan sobre si la lógica pertenecía al dominio de la filosofía o de la matemática. De Morgan, que era amigo de Boole, había hecho varias contribuciones a la lógica a través de sus leyes sobre teoría de conjuntos, pero Hamilton era escéptico de que la matemática pudiera ser de algún beneficio; Boole defendió la validez de un enfoque matemático de la lógica en Mathematical Analysis of Logic (1847), y estableció un marco axiomático para la lógica, muy parecido al fundamento de la geometría clásica. La historia probaría más tarde que Boole y De Morgan habían ganado, ya que la lógica matemática se ha convertido desde entonces en una disciplina próspera (y sorprendentemente intrincada). 

El intento de reducir la lógica a un cálculo puro había sido intentado previamente por Gottfried Leibniz; el sueño era reemplazar debates filosóficos largos y pendencieros con un sistema algebraico capaz de resolver proposiciones dudosas a través de simples cálculos. Los primeros esfuerzos se basaron en gran medida en la aritmética euclidiana como una analogía para la lógica algebraica, pero encontraron espinosas dificultades. La construcción de Boole era original y diferente, y esencialmente era un álgebra completamente nueva, diferente de la aritmética, pero válida para su propio propósito. Las ideas parecen haberse originado a partir de la familiaridad de Boole con los operadores: aplicaría un operador con una propiedad definda a un universo de elementos, y de ese modo obtendría todos los individuos o elementos con esa propiedad en particular. Por ejemplo, un operador puede definirse para seleccionar zanahorias de cualquier universo de objetos en el discurso, como el contenido de su jardín. La aplicación sucesiva de operadores a un universo, que era conmutativa, definió una multiplicación para el álgebra. A partir de este punto de partida, Boole desarrolló una noción de sustracción (que involucraba el complemento de un conjunto), suma (asociada por Boole al “o” excluyente, aunque en los tiempos modernos, al “o” inclusivo) e incluso una división. Es interesante destacar que este fue el primer álgebra idempotente conocida, que tiene la propiedad de que el cuadrado de cualquier operador es igual a sí mismo, ya que aplicar un operador dos veces seguidas equivale a aplicarlo solo una vez. Esta situación señala una desviación clara e irrevocable de la aritmética más familiar, donde los únicos elementos de juicio son el uno y el cero. 

En Investigation of the Laws of Thought, Boole aplica este cálculo a las leyes de la probabilidad. Usando el símbolo P(A) para la probabilidad de un evento A, Boole describe la multiplicación de probabilidades en términos de la probabilidad de la intersección de dos eventos independientes, la suma de probabilidades como la probabilidad de la unión mutuamente excluyente de dos eventos, y así siguiendo. Este simbolismo le permitió corregir el trabajo anterior en probabilidad. La salud de Boole comenzó a declinar en 1864, y cuando quedó atrapado bajo la lluvia camino a una clase, dio su conferencia con la ropa mojada. Este evento puede haber acelerado su muerte, que ocurrió el 8 de diciembre de 1864, en Ballintemple, Irlanda. 

Su Investigation of the Laws of Thought es sin duda el legado más importante de Boole; muchos otros ampliarían su trabajo en lógica matemática y las llamadas álgebras de Boole. Incluso el flujo de programas informáticos, que implementan variables booleanas (una cantidad que toma el valor “verdadero” o “falso”), utiliza su teoría. El diseño de los circuitos eléctricos es especialmente adecuado para el uso de un álgebra de Boole, debido al sistema binario de interruptores de encendido y apagado.

 

Un poco de humor para cerrar el artículo…

 


Fuente bibliográfica:

  • McElroy, Tucker (2005) A to Z of Mathematicians. Facts On File, Inc.
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Un problema pendiente de principios del siglo XIX, que más tarde resultaría en los desarrollos radicales de George Cantor, era determinar los cimientos del sistema de los números reales. No se habían comprendido aún propiedades como la divisibilidad infinita de los números reales y la densidad de los números racionales entre los irracionales, y como resultado no se entendía bien la teoría básica de las funciones, incluidos temas como la continuidad y la diferenciabilidad. Bernhard Bolzano, un activo defensor de fundamentos rigurosos para la ciencia y la matemática, hizo contribuciones significativas al conocimiento del análisis; su énfasis en la necesidad de un sistema preciso de números reales llevó a su desarrollo a manos de Richard Dedekind, y sus otras investigaciones también fueron precursoras de una aritmética de la lógica infinita y moderna. 

Bernardus Placidus Johann Nepumuk Bolzano fue el cuarto hijo de Caecilia Maurer y un comerciante de arte cívico llamado Bernhard Bolzano. Nació el 5 de octubre de 1781, en un antiguo distrito de Praga, uno de 12 niños; su padre era un inmigrante italiano con gran interés en el trabajo social que más tarde lo  llevó a establecer un orfanato. Como resultado de este ambiente, el joven Bolzano estuvo preocupado por la ética a lo largo de su vida, poseyendo una aguda sensibilidad a la injusticia. 

En 1791, Bolzano ingresó al Piarist Gymnasium. Estudió filosofía en la Universidad de Praga en 1796. Su interés por la matemática se vio estimulado por la lectura de Kästner, quien se preocupó por probar proposiciones que comúnmente se percibían como evidentes. Después de 1800, Bolzano pasó de la filosofía a la teología, aunque tenía continuas dudas sobre la verdad del cristianismo. En cambio, se volvió hacia el moralismo y se alejó de la religión sobrenatural, creyendo que la ética suprema residía en la acción que más beneficiaba a la sociedad. Sin embargo, reconcilió esta perspectiva personal con su compromiso con el catolicismo. 

El emperador de Austria había decidido establecer una cátedra de filosofía de la religión en todas las universidades, como parte del movimiento de restauración católico contra la Ilustración. Mucho del libre pensamiento se había extendido a través de Bohemia, y el emperador temía las consecuencias de tales ideas radicales en vista de la destrucción causada por la Revolución Francesa. Bolzano fue nombrado presidente de la Universidad de Praga en 1805, a pesar de sus propias simpatías ilustradas. Sus conferencias sobre religión contaban con una entusiasta audiencia, y exponía allí sus puntos de vista personales sin reservas.  

Bolzano fue respetado por sus colegas, y se convirtió en decano de la facultad de filosofía en 1818. Mientras tanto, Viena presentó una acusación contra él en 1816, ya que sus puntos de vista ilustrados lo habían hecho impopular con el gobierno conservador; fue despedido en 1819, se le prohibió publicar y se lo puso bajo supervisión policial. Bolzano tercamente se negó a arrepentirse de sus herejías, y la situación finalmente cesó en 1825 por la intercesión del líder nacionalista Dobrovsky. 

Aunque Bolzano estaba principalmente preocupado por cuestiones sociales y religiosas, ya se sentía atraído por la precisión metodológica de la matemática y la lógica. Esto condujo a algunas excelentes contribuciones al análisis matemático, aunque estos logros raramente tuvieron un reconocimiento significativo. Dos problemas no resueltos -la prueba del postulado de las paralelas de Euclides de Alejandría y la base del análisis a través de la clarificación de  los infinitesimales- reclamaron la atención de Bolzano. Su Betrachtungen über einige Gegenstände der Elementargeometrie de 1804 intentó describir una teoría de triángulos y paralelas a través de una teoría puramente lineal, que nunca llegó a concretarse completamente. Ignorante del trabajo de Nicolay Ivanovich Lobachevsky y János Bolyai sobre la geometría no euclidiana, Bolzano desarrolló una crítica metodológica de los Elementos de Euclides en su manuscrito “Anti-Euklid”. Por ejemplo, requirió una prueba de la afirmación de que cualquier curva cerrada divide el plano en dos porciones disjuntas; este resultado más tarde se conoció como el teorema de la curva de Jordan, probado por Camille Jordan. Parcialmente a través de las objeciones y preguntas planteadas por Bolzano, el campo de la matemática conocido como topología comenzó a existir a fines del siglo XIX. 

Su Rein analitischer Beweis de 1817 obtuvo importantes resultados relevantes para la base del análisis matemático, más tarde completados en su Theorie der Reellen Zahlen de 1832-1835. Muchos otros matemáticos, como Joseph-Louis LaGrange y Jean Le Rond d’Alembert, habían intentado liberar la matemática de la noción de infinitesimal introducida por Sir Isaac Newton y Gottfried Leibniz en el siglo XVII, pero Bolzano se encontró con el primer logro exitoso en Rein analtischer Beweis. Aquí da la definición de una función continua que todavía está en uso hoy en día, y obtiene un resultado de la propiedad de asumir valores intermedios. También introduce la noción de supremo de un conjunto de números reales que tienen una propiedad dada, un concepto que es una piedra angular en la teoría de los números reales. Bolzano también analiza el “criterio de convergencia de Cauchy”, por el cual una sucesión de funciones tiende a cierto límite si los miembros de la sucesión se acercan entre sí. 

Aunque las pruebas son incompletas, esto se debió a la inadecuación del  momento del concepto de número real. En su Functionenlehre presenta una teoría de funciones más completa, que incluye varios resultados redescubiertos más tarde por Karl Weierstrass en la segunda mitad del siglo XIX. Bolzano demostró que una función continua en un intervalo cerrado debe alcanzar un valor extremo, ahora llamado Teorema del valor extremo en cálculo; la demostración requiere el teorema de Bolzano-Weierstrass sobre los puntos de acumulación de sucesiones acotadas. Él distingue entre la continuidad y la propiedad de asumir valores intermedios como características más fuertes y más débiles, respectivamente. Desarrolla la conexión entre monotonía y continuidad, y da la construcción de la función de Bolzano, que era continua pero en ningún lugar diferenciable, significativamente anterior al propio ejemplo de Weierstrass. El Functionenlehre contenía muchos errores, incluida la falsa noción de que el límite de una sucesión de funciones continuas debe ser necesariamente continuo, y que la integración a largo plazo de una serie infinita siempre es posible. 

Su teoría de las cantidades se completó en Theorie der Reelen Zahlen, pero este manuscrito no se publicó y, por lo tanto, no pudo influir en el posterior desarrollo del análisis. Bolzano describe tales números reales como capaces de una aproximación arbitrariamente precisa por números racionales. Además, su Paradoxien des Unendlichen (Paradojas del infinito) contiene muchos intrigantes fragmentos de la teoría de conjuntos, y lleva el tema al límite de la aritmética cardinal. Bolzano observa que un conjunto infinito se puede poner en correspondencia uno a uno con un subconjunto propio, y que esto realmente caracteriza a los conjuntos infinitos. Sin embargo, él no da el siguiente paso en la definición de cardinales del infinito; Dedekind (1882) usaría más tarde esta propiedad de conjuntos infinitos para definir el infinito, y Cantor desarrollaría una clasificación de infinitos. 

Desde 1820 Bolzano trabajó en el tratado Wissenschaftslehre de 1837, que era una teoría de la ciencia basada en la lógica. Sus cuatro volúmenes trataban la prueba de la existencia de verdades abstractas, la teoría de ideas abstractas, la condición de la facultad humana del juicio, las reglas del pensamiento humano en la búsqueda de la verdad y las reglas para dividir las ciencias. Aunque este trabajo pasó desapercibido en su momento, existe una gran similitud con la lógica moderna, especialmente en las nociones de Bolzano de proposición abstracta, idea y derivabilidad. 

Desde 1823 Bolzano pasó sus veranos en la propiedad de su amigo Hoffmann en el sur de Bohemia. Luego vivió allí por más de una década. En 1842 regresó a Praga, donde continuó sus estudios matemáticos y filosóficos hasta su muerte el 18 de diciembre de 1848. Bolzano fue un importante matemático del siglo XIX, cuya búsqueda de la verdad llevó a un excelente trabajo sobre los cimientos de la recta numérica real. Su nombre se encuentra en muchas áreas del análisis, como el teorema de Bolzano-Weierstrass y la función de Bolzano; es considerado como uno de los fundadores de la teoría moderna del análisis real.

 


Fuente bibliográfica:

  • McElroy, Tucker (2005) A to Z of Mathematicians. Facts On File, Inc.

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El campo de la astronomía se había desarrollado rápidamente en el siglo XIX, y la matemática conservaba su importancia vital para esta ciencia hermana. Friedrich Bessel no sólo se convirtió en uno de los más grandes astrónomos, calculando con precisión varias distancias astronómicas y siendo calificado como el fundador de la escuela alemana de astronomía práctica, sino que también desarrolló teorías matemáticas sobresalientes para explicar las perturbaciones de las órbitas planetarias. 

El 22 de julio de 1784, Friedrich Bessel nació en Minden, Alemania. Su padre era un funcionario público de esa ciudad, y su madre era hija de un ministro. Bessel tenía una familia grande, conformada por seis hermanas y dos hermanos. Bessel asistió al Gymnasium (instituto alemán) en Minden, pero después de cuatro años lo abandonó para convertirse en aprendiz de comerciante. Mientras estaba en la escuela, tuvo una inclinación hacia la matemática y la física, pero no mostró ningún grado digno de ser  destacado hasta que alcanzó los 15 años de edad. En 1799 comenzó su aprendizaje con Kulenkamp, una firma famosa mercantilista; rápidamente demostró su facilidad con los cálculos y la contabilidad, y como resultado se le proporcionó un sueldo escaso, que permitió que se emancipara de la dependencia de sus padres.

Mientras tanto, Bessel pasaba las noches estudiando varios temas como preparación para su futura carrera como oficial de carga. Pronto dominó la geografía, el español y el inglés, así como el arte de la navegación; esta disciplina despertó por primera vez su fascinación por la astronomía. No contento simplemente con conocer la tecnología de su comercio, Bessel comenzó a investigar los aspectos más profundos de la astronomía y la matemática, considerando que este conocimiento fundamental era esencial. Entre sus primeros logros en el campo de la astronomía encontramos la determinación de la longitud de Bremen, utilizando un sextante que había construido. Él también comenzó a leer literatura astronómica, y de esta manera descubrió las observaciones de 1607 del astrónomo Thomas Harriot del cometa Halley. Después de completar la reducción de las observaciones de Harriot (un proceso que implica compensar la refracción de la luz causada por la atmósfera terrestre y generalmente liberar las observaciones de errores), se la presentó al astrónomo Heinrich Olbers con su propio cálculo de la órbita en 1804. El resultado estaba en estrecho acuerdo con el trabajo de Halley, y Olbers alentó a Bessel a complementar estas reducciones con algunas observaciones adicionales; el fruto de este trabajo fue un artículo impreso en el Monatliche Correspondenz. Con la profundidad digna de un material de tesis doctoral, este artículo atrajo la atención de muchos lectores y marcó una transición en la vida de Bessel.

A principios de 1806, antes de terminar su aprendizaje, Bessel se convirtió en asistente en un observatorio privado cerca de Bremen, que era propiedad de un rico funcionario con interés en la astronomía que tenía contactos con muchos científicos. En el observatorio Bessel adquirió una escolarización completa en la observación de planetas y cometas, y mientras tanto hizo otras contribuciones al cálculo de órbitas de cometas. En 1807 comenzó la reducción de observaciones de James Bradley para 3.222 estrellas, lo que marcó uno de los logros más grandes de Bessel. Friedrich Wilhelm III de Prusia construyó un nuevo observatorio en Königsberg y Bessel fue nombrado director y profesor de astronomía en 1809. Dado que no tenía doctorado, la Universidad de Göttingen le dio uno por sugerencia de Carl Friedrich Gauss, quien había conocido a Bessel en 1807.

Durante la construcción del observatorio, Bessel continuó su trabajo en la reducción de los datos de Bradley; por sus tablas de refracción resultantes, fue galardonado con el Premio Lalande en 1811 por el Institut de France. En 1813 comenzó sus observaciones en el observatorio ya terminado, y permaneció en Königsberg como profesor e investigador por el resto de su vida. En 1812 se casó con Johanna Hagen, con quien tuvo dos hijos y tres hijas. Este afortunado matrimonio fue ensombrecido por la enfermedad y las muertes tempranas de sus hijos, y Bessel encontró distracción en caminar y cazar.

Bessel logró mucho en el campo de la astronomía. La reducción de los datos de Bradley permitió una correcta determinación de las posiciones y movimientos de las estrellas, pero el propio programa de observación y reducción inmediata de Bessel dio como resultado datos altamente precisos. También dio la primera estimación precisa de la distancia a una estrella fija, utilizando técnicas de triangulación y un heliómetro. También participó en la geodesia, la medición de la Tierra, completando una triangulación de Prussia del Este en 1830 con un nuevo aparato de medición y el método de mínimos cuadrados de Gauss. La estimación resultante de Bessel de los parámetros de las dimensiones de la Tierra le valió fama internacional.

Bessel estaba interesado en la matemática a través de su estrecha conexión con la astronomía. El problema de la perturbación en la astronomía era susceptible de análisis utilizando ciertas funciones hipergeométricas confluentes especiales, más tarde llamadas funciones de Bessel. Hubo dos efectos de un planeta intruso en la órbita elíptica de un planeta dado: el efecto directo de la perturbación gravitacional y el efecto indirecto que surge del movimiento del sol causado por el planeta perturbador. Bessel separó las dos influencias, y las funciones de Bessel aparecen como coeficientes en el desarrollo en serie del efecto indirecto. En su estudio del problema, Bessel hizo un estudio intensivo de estas funciones especiales que se describen en su tratado de Berlín de 1824. Casos especiales de estas funciones se conocían desde hacía más de un siglo, descubiertos por Johann Bernoulli y Gottfried Leibniz; Daniel Bernoulli (1732) y Leonhard Euler (1744) también habían investigado los coeficientes de Bessel. Pero la motivación de Bessel surgió de su aplicación a la astronomía, no como un estudio separado en matemática pura.

Su salud fue en declive a partir de 1840, y su último viaje importante a Inglaterra fue en 1842; como resultado de su participación en el Congreso de la Asociación Británica en Manchester, Bessel se animó a completar y publicar algunas investigaciones restantes. Después de dos años agonizantes luchando contra el cáncer, murió el 17 de marzo de 1846, en Königsberg.

Aunque Bessel es conocido principalmente como astrónomo, al igual que Gauss, hizo contribuciones sobresalientes a la matemática pura que podrían aplicarse a la astronomía. Su nombre está ligado a las funciones especiales mencionadas anteriormente, así como a una desigualdad que se utiliza hoy en el análisis de Fourier y la teoría de los espacios de Hilbert. Tanto las funciones de Bessel como la desigualdad de Bessel tienen una relevancia perdurable para los matemáticos modernos.

 


Fuente bibliográfica:

  • McElroy, Tucker (2005) A to Z of Mathematicians. Facts On File, Inc.

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