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Posts Tagged ‘Gottfried Leibniz’

Uno de los temas más debatidos en la historia de la matemática fue la cuestión de la prioridad en el descubrimiento del cálculo infinitesimal. Sir Isaac Newton y Gottfried Leibniz hicieron descubrimientos notables en el cálculo diferencial, y los seguidores de cada una de estas personalidades fomentaron un feo argumento sobre a quién se le debía acreditar el descubrimiento original. Cualquiera que sea la verdad, no hay duda de que Leibniz fue uno de los más grandes matemáticos de su tiempo, lo que se manifiesta no solo por la amplitud y profundidad de sus ideas originales, sino también por su capacidad para organizar los pensamientos de los demás de manera más eficiente. 

Gottfried Wilhelm von Leibniz nació el 1 de julio de 1646 en Leipzig, Alemania, hijo de Friedrich Leibniz, profesor de la Universidad de Leipzig, y de Katherina Schmuck. La familia era de origen eslavo, pero había vivido en Alemania durante varias generaciones. Leibniz fue un estudiante precoz, y sus maestros inicialmente intentaron contener su curiosa naturaleza. Después de que su padre muriera en 1652, se le permitió el acceso a la biblioteca de éste. Así, Leibniz fue autodidacta, de modo que cuando ingresó en la Universidad de Leipzig a los 15 años ya dominaba los clásicos. Su voraz apetito por la lectura lo acompañó durante toda su vida, y Leibniz pudo digerir una gran variedad de temas académicos. 

Leipzig se mantenía fiel a la tradición aristotélica no científica, de modo que Leibniz estudió por primera vez geometría euclidiana en la Universidad de Jena, lugar al que asistió después de 1663. Completó su doctorado en Altdorf en 1666, y pronto entró al servicio de un noble del Sacro Imperio Romano. Leibniz inició una correspondencia con muchas sociedades científicas, y comenzó a trabajar en una máquina para calcular que finalmente se completó en 1674. En 1671 viajó a París en una misión diplomática diseñada para prevenir la invasión de Renania por parte del monarca francés. Este proyecto no tuvo éxito, pero mientras estaba en París Leibniz desarrolló una amistad de por vida con Christiaan Huygens

Durante estos años, Leibniz amplió su instrucción anterior en matemática, desarrollando reglas de cálculo para diferencias finitas. Las continuas negociaciones de paz lo llevaron a Londres en 1673, donde fue admitido en la Royal Society y se familiarizó con las obras de Isaac Barrow. En este momento, Leibniz recibió indicios del trabajo de Newton sobre el cálculo infinitesimal, y pronto desarrolló sus propias técnicas computacionales y su notación. En 1674, Leibniz efectuó la cuadratura aritmética del círculo. 

El anterior patrón de Leibniz había muerto, y en 1676 asumió una nueva posición en Hannover, actuando como bibliotecario e ingeniero. Unos años más tarde se convirtió en consejero de la corte y se ocupó activamente en una investigación genealógica para el duque. Mientras tanto, Leibniz había comenzado a investigar álgebra y había obtenido varios resultados importantes para 1675, como la determinación de funciones simétricas y un algoritmo para la solución de ecuaciones algebraicas de grado superior. Conjeturó que la suma de dos números complejos conjugados es siempre un número real. Abraham de Moivre más tarde demostró este resultado. Leibniz también investigó progresiones de números primos y series aritméticas. Aprendió de la trascendencia de las funciones logarítmicas y trigonométricas y sus propiedades básicas, e investigó algunos problemas de probabilidad. 

Pero su mayor descubrimiento se produjo a finales de 1675, cuando introdujo la noción de límite en el cálculo infinitesimal. Este método, y su correspondiente notación, facilitaron una mayor difusión y comprensión de la nueva matemática. Newton menospreció su trabajo, ya que no resolvió ningún problema nuevo; pero la fortaleza del sistema de Leibniz fue su claridad y abstracción de los principios generales del cálculo. Leibniz procedió a resolver varias ecuaciones diferenciales importantes con sus técnicas. Muchos de sus descubrimientos de este tiempo se escribieron solo como notas e ideas en cartas, y no se desarrollaron ni publicaron sistemáticamente hasta 1682. En los próximos años presentó algunos documentos al público que trataron la cuadratura aritmética, la ley de la refracción, integraciones algebraicas y cálculo diferencial. 

En 1687, Leibniz viajó por Alemania para continuar su investigación genealógica. También visitó Italia y finalmente completó su proyecto en 1690; sus esfuerzos ayudaron a elevar el ducado de Hannover a estado electoral en 1692. Leibniz atrajo la atención de la comunidad científica a través de su ataque a la dinámica cartesiana en 1686. De esta controversia, varias cuestiones vinculadas al tema fueron planteadas y resueltas por Leibniz, Huygens y Jakob Bernoulli, incluidos los famosos problemas de la catenaria (1691) y la braquistócrona (1697). Una característica de Leibniz fue que reveló solo sus resultados y no sus métodos. De hecho, a menudo escribía sus artículos apresuradamente. A pesar de algunos errores, su trabajo resultó notable por la originalidad de sus ideas, algunas de las cuales fueron precursoras del trabajo de Evariste Galois sobre la solubilidad de las ecuaciones. Leibniz definió el centro de curvatura, desarrolló el método de coeficientes indeterminados en la teoría de las ecuaciones diferenciales y construyó series de potencias para funciones exponenciales y trigonométricas. 

En los últimos años del siglo XVII, gran parte del tiempo de Leibniz estuvo abocado a la controversia con Newton sobre el descubrimiento del cálculo. Los seguidores de Newton sostenían que Leibniz había plagiado sus ideas directamente de Newton y Barrow. Leibniz se defendió a sí mismo en 1700, e hizo hincapié en que ya había publicado su material sobre cálculo diferencial en 1684. El feo debate público se extendió de un lado a otro, impulsado por consideraciones nacionalistas, hasta que la Royal Society realizó una investigación parcial, que falló a favor de Newton, en 1712. Este veredicto fue aceptado sin cuestionamientos durante aproximadamente 140 años. Ahora se piensa que Leibniz desarrolló sus métodos independientemente de Newton. 

Leibniz viajó a Berlín en 1700 y fundó la Academia de Berlín, convirtiéndose en presidente vitalicio. Trabajó para realizar ciertas reformas políticas y religiosas, y fue nombrado concejal de Rusia en 1712. Pasó los últimos años de su vida intentando completar la historia de la casa de Brunswick mientras estaba aquejado de gota. Murió el 14 de noviembre de 1716. Además de sus notables contribuciones a la matemática, Leibniz investigó sobre física, lógica y filosofía. Escribió sobre temas tan diversos como dogma religioso y movimiento planetario, y desarrolló un cálculo lógico que permitiría la certeza de las deducciones a través de un sistema algebraico. En este aspecto, Leibniz fue el antecesor de muchos otros lógicos formales, como George Boole y Friedrich Ludwig Gottlob Frege

Su mayor talento como matemático fue su capacidad para penetrar los pensamientos de otros científicos y presentarlos de una manera coherente, adecuada para el cálculo. La notación que desarrolló para el cálculo diferencial es el ejemplo por excelencia de este poder: percibió asiduamente que la noción de límite era crucial para el estudio del cálculo infinitesimal. Los detalles, para Leibniz, no eran tan importantes como los conceptos abstractos subyacentes. Su legado en matemática continúa hasta nuestros días.

 


Fuente bibliográfica:

  • McElroy, Tucker (2005) A to Z of Mathematicians. Facts On File, Inc.

 

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Joseph Lagrange ha sido descrito como el último gran matemático del siglo XVIII. Sus ideas matemáticas fueron altamente originales e influyentes, allanando el camino para los estudios más abstractos del siglo XIX. Quizás su contribución más importante radique en su formulación mecanicista del universo, dando fórmulas matemáticas exactas para las leyes que gobiernan el movimiento y la mecánica. 

Joseph-Louis Lagrange nació el 25 de enero de 1736 en Turín, Italia. Su nombre al nacer fue Giuseppe Lodovico Lagrangia, pero más tarde adoptó la formulación francesa Joseph-Louis Lagrange. El padre de Lagrange fue Giuseppe Francesco Lodovico Lagrangia, y su madre fue Teresa Grosso. Su familia era mayoritariamente de descendencia francesa, aunque la madre de Lagrange era hija única de un médico de Turín. Lagrange fue el mayor de 11 hijos, la mayoría de los cuales murieron durante la infancia. El padre de Lagrange ocupó el cargo de tesorero de la Oficina de Obras Públicas y Fortificaciones en Turín. A pesar de esta prestigiosa posición la familia vivía modestamente.  

Lagrange originalmente estaba orientado a una carrera en derecho, pero una vez que comenzó a estudiar física reconoció su propio talento para la matemática. Al principio desarrolló un interés por la geometría, pero a los 17 años se volcó hacia el análisis. Su primer artículo (1754) desarrolló un cálculo formal, dándose cuenta luego que Gottfried Leibniz ya conocía. Posteriormente comenzó a trabajar en el problema de la tautócrona e inició el desarrollo de su cálculo de variaciones. Esta fue esencialmente una aplicación de las ideas del cálculo a conjuntos de funciones, en lugar de considerar una sola función. 

En 1755 Lagrange envió sus primeros resultados sobre este nuevo cálculo de variaciones a Leonhard Euler. Lagrange desarrolló esta pieza original y muy útil de matemática cuando tenía sólo 19 años. Al final de su vida consideró que fue su contribución más importante. Euler expresó su interés en el novedoso método para resolver problemas de optimización y, como resultado de su creciente renombre, Lagrange fue nombrado profesor en la Royal Artillery School en Turín en 1755. Esta posición era mal paga, y Lagrange se sintió poco apreciado por sus conciudadanos, lo que le llevó a abandonar posteriormente Italia. 

Al año siguiente, Lagrange aplicó su método a la mecánica. Fue capaz de describir la trayectoria de un objeto sujeto a ciertas fuerzas como solución a un problema de optimización en el cálculo de variaciones. Esta elegante formulación matemática de la mecánica revolucionaría el estudio de los sistemas dinámicos.  

Mientras tanto, se fundó la Real Academia de Ciencias de Turín, a la que Lagrange realizó numerosas contribuciones fundamentales durante la próxima década. Sus trabajos desde este período de tiempo hasta alrededor de 1770 incluyen material sobre el cálculo de variaciones, ecuaciones diferenciales, cálculo de probabilidades, mecánica celeste y movimiento de fluidos. Desarrolló la técnica de integración por partes, tan familiar para los estudiantes de cálculo, y ganó varios premios ofrecidos por la Academia de Ciencias de París, por su destacada labor sobre los movimientos de la Luna y otros cuerpos celestes. El sistema de mecánica de Lagrange estableció el principio de acción mínima: que una partícula elige la trayectoria que minimiza la energía, base de la dinámica. Muchos matemáticos franceses, incluidos Jean Le Rond d’Alembert y Pierre-Simon Laplace, reconocieron la excelente calidad de su trabajo. 

En 1763 Lagrange fue invitado a París, donde fue recibido con entusiasmo por la comunidad matemática del  lugar. D’Alembert intentó asegurarle a Lagrange una posición superior en Turín, pero las promesas no se materializaron. Como resultado, Lagrange aceptó una oferta para cubrir el puesto vacante de Euler en Berlín en 1766, lo que inició el segundo período científico de la vida de Lagrange. 

Lagrange se hizo amigo de Johann Heinrich Lambert y de Johann Bernoulli, y fue nombrado director de la Academia de Ciencias de Berlín. No tenía deberes de enseñanza, lo que le permitió centrarse en su investigación matemática. Lagrange se casó con su prima, Vittoria Conti, en 1767, y aunque no tuvieron hijos estuvieron juntos durante 16 años, hasta que la salud de Vittoria disminuyó y murió en 1783 después de una prolongada enfermedad. 

Mientras estuvo en Berlín, Lagrange disfrutó de la participación continua y del éxito en las competiciones de París, haciendo contribuciones sobresalientes al problema de los tres cuerpos. Además de estos concursos públicos, Lagrange desarrolló su propio trabajo personal sobre mecánica celeste, publicando varios artículos importantes desde 1782 en adelante. Mientras tanto, ya había comenzado a investigar ciertos problemas en álgebra, resolviendo completamente una célebre ecuación indeterminada planteada por Pierre de Fermat en 1768. Sobre la base del trabajo anterior de Euler, Lagrange demostró que cada entero se puede expresar como la suma de, como máximo, cuatro cuadrados perfectos (1770); caracterizó los números primos a través de un criterio de divisibilidad y desarrolló aún más la teoría de las formas cuadráticas (1775), abriendo vías de investigación futura para Carl Friedrich Gauss y Adrien-Marie Legendre. Dio una exposición del método de descenso infinito, inspirado en Fermat, y utilizó el método de las fracciones continuas. 

Hizo una contribución particularmente importante al análisis en 1770, cuando dio un desrrollo de la serie que involucraba las raíces de una ecuación dada, que tuvo útiles aplicaciones científicas. La fórmula de Lagrange demostró ser de gran interés para los matemáticos, ya que la mayoría de los grandes analistas del siglo XIX, incluido Augustin-Louis Cauchy, estudiaron las consecuencias de esta idea. Este trabajo, en conjunto con el de Alexandre Vandermonde, revela el concepto del grupo de permutaciones, que luego sería desarrollado por Evariste Galois

Lagrange también contribuyó a la mecánica de fluidos en la década de 1780, a las raíces imaginarias de las ecuaciones algebraicas en la década de 1770 y al análisis infinitesimal de 1768 a 1787. Su trabajo sobre la integración de ecuaciones diferenciales, que se extiende sobre las ideas de Euler, representa un primer paso en la teoría de las funciones elípticas, que atraerían mucho interés en el siglo XIX. También se debe mencionar su trabajo sobre ecuaciones diferenciales parciales, ya que condujo a la resolución de varios problemas. Su trabajo en probabilidad es de menor importancia. 

Las considerables contribuciones de Lagrange a la mecánica estaban dispersas en varias publicaciones, y las resumió en un tratado de 1788. Por esta época Lagrange se había establecido en París. Aunque Turín había intentado atraer a Lagrange para que regresara a su ciudad natal, no se sintió ansioso por abandonar Berlín hasta la muerte de su esposa en 1783. Pero los matemáticos franceses, que solicitaron agresivamente su presencia, lograron atraer a Lagrange. En 1787 se convirtió en miembro de la Academia de Ciencias, donde superó la caótica agitación política de las décadas posteriores. 

En 1792 Lagrange se casó con Renée-Françoise-Adélaïde Le Monnier, con quien también tuvo un feliz matrimonio. Durante el comienzo de la fase parisina de su carrera, la actividad de Lagrange se redujo en cierta medida. Participó activamente en la Asamblea Constituyente de 1790 sobre la estandarización de pesos y medidas, y más tarde enseñó análisis en la recién fundada École Polytechnique hasta 1799. Después de que Napoleón ascendió al poder, Lagrange fue nombrado gran oficial de la Legión de Honor y en 1808 obtuvo un cargo en el imperio. Murió la mañana del 11 de abril de 1813 en París. Las universidades de toda Europa anunciaron su muerte, y Laplace dio su oración fúnebre.  

Lagrange hizo extensas contribuciones a muchas áreas de la matemática; sus trabajos a menudo abrían nuevas áreas de investigación (como las funciones elípticas, las formas cuadráticas y el cálculo de variaciones). Lo más significativo fue su formulación de la mecánica, a veces llamada mecánica lagrangiana, que esencialmente mecanizó la comprensión del universo físico. Este demostró ser un modo poderoso e influyente de describir el mundo conocido y continúa afectando la investigación matemática en la actualidad.

 


Fuente bibliográfica:

  • McElroy, Tucker (2005) A to Z of Mathematicians. Facts On File, Inc.

 

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Entre el momento de René Descartes y Sir Isaac Newton, se dice que Christiaan Huygens fue el matemático más grande de Europa. Hizo contribuciones sustanciales a la mecánica, la astronomía, la medición del tiempo, la teoría de la luz y la geometría. Su trabajo demostró la eficacia de un enfoque matemático para el estudio de la naturaleza, y Huygens desarrolló muchas herramientas matemáticas sofisticadas. 

Christiaan Huygens nació en La Haya, Países Bajos, el 14 de abril de 1629. Su familia era prominente y tenía una larga historia de servicio diplomático a la casa real. El padre de Christiaan, Constantijn Huygens, educó a sus dos hijos personalmente, cubriendo temas como música, idiomas antiguos, matemática y mecánica. Christiaan Huygens mostró sus considerables talentos intelectuales a una edad temprana, y tenía un don para aplicar la teoría a las construcciones reales: a los 13 años construyó un torno. 

En 1645 Huygens asistió a la Universidad de Leiden, donde estudió Derecho y Matemática. Durante sus dos años allí, se familiarizó con las obras recientes de Francois Viète, Pierre de Fermat y Descartes. Huygens comenzó a investigar la mecánica de la caída de los cuerpos y comenzó una correspondencia con Marin Mersenne. Después de completar sus estudios universitarios, se matriculó en el Colegio de Orange de 1647 a 1649, donde ejerció la abogacía. Sin embargo, Huygens no siguió una carrera en la diplomacia, sino que eligió ser un científico. 

Huygens vivió en su casa hasta 1666, recibiendo el apoyo financiero de su padre que le permitió centrarse en su investigación científica. Primero investigó sobre matemática, considerando cuadraturas de curvas y problemas algebraicos. Las contribuciones matemáticas de Huygens son importantes, ya que mejoró los métodos existentes y tuvo éxito en la aplicación de estos a fenómenos naturales. También desarrolló la nueva teoría de las evolutas y fue uno de los fundadores de la teoría de la probabilidad. 

En 1651, Huygens produjo un manuscrito que refutaba la cuadratura del círculo de Gregory de St. Vincent. En el mismo trabajo, derivó una conexión entre la cuadratura y el centro de gravedad para círculos, elipses e hipérbolas. Su próxima publicación, en 1654, aproxima el centro de gravedad de cualquier arco de un círculo y así obtiene una cuadratura aproximada. Una técnica similar, desarrollada más de una década después, produjo un método rápido para calcular logaritmos.  

Al enterarse del trabajo de probabilidad de Blaise Pascal, Huygens comenzó a estudiar problemas de juego en 1656, como la división justa de apuestas en un juego interrumpido. Inventó el concepto de expectativa matemática, que representa las ganancias a largo plazo en un juego de azar. Esta idea, expresada por Huygens en una forma primitiva, ahora es de importancia central para la teoría moderna de la probabilidad. 

En 1657 Huygens relacionó la longitud del arco de la parábola con la cuadratura de la hipérbola, y utilizó esta propiedad para encontrar el área de la superficie de un paraboloide de revolución. Un año después, descubrió un teorema vital del cálculo moderno: que el cálculo del área superficial de una superficie de revolución podía reducirse a encontrar la cuadratura de la curva normal. 

Su teoría de las evolutas, que se refiere a la geometría de las cuerdas que cuelgan de una superficie convexa, se desarrolló en 1659 como un componente de su investigación sobre los relojes de péndulo. Su método de evolutas determina esencialmente el radio de curvatura de una curva algebraica dada. Huygens también estudió logaritmos, comenzando en 1661, y en este sentido introdujo la función exponencial natural.  

Huygens también contribuyó a otras áreas de la ciencia. Completó un manuscrito sobre hidrostática en 1650, en el cual derivó la ley de Arquímedes de Siracusa a partir de un axioma básico. En 1652 formuló las reglas de la colisión elástica y comenzó su estudio sobre óptica. Más tarde, en 1655, junto con su hermano, recurrió al pulido de lentes y la construcción de telescopios y microscopios. Construyó algunos de los mejores telescopios de su época y pudo detectar los anillos de Saturno. Huygens también observó bacterias y otros objetos microscópicos. 

En 1656 Huygens inventó el reloj de péndulo como una herramienta para medir el tiempo. Se había vuelto cada vez más importante medir con precisión el tiempo, ya que esta tecnología era necesaria para la astronomía y la navegación. La invención de Huygens tuvo mucho éxito. En su investigación teórica de la oscilación del péndulo, Huygens descubrió que el período podía hacerse independiente de la amplitud si la trayectoria del péndulo fuera cicloide. Luego construyó el reloj de péndulo de forma tal que se induciría que el balanceo del péndulo tuviera una trayectoria cicloidal. Este llamado tautocronismo de la cicloide es uno de los descubrimientos más famosos de Huygens.  

A continuación, Huygens comenzó a estudiar la fuerza centrífuga y el centro de oscilación en 1659, obteniendo varios resultados fundamentales. Derivó rigurosamente las leyes de descenso a lo largo de planos y curvas inclinadas y obtuvo el valor de la aceleración debida a la gravedad en la Tierra, que es de aproximadamente 9,8 metros por segundo al cuadrado. Huygens volvió a considerar caídas resistiendo distintos medios (como el aire) en 1668, y concibió la resistencia (o fricción) como proporcional a la velocidad del objeto. Huygens también investigó la teoría ondulatoria de la luz; explicó la reflexión y la refracción en 1676 mediante su concepción de la luz como una serie de ondas de choque de movimiento rápido.  

Es interesante que Huygens no aceptara el concepto newtoniano de fuerza, y fue capaz de eludirlo por completo. También criticó el concepto de fuerza de Gottfried Leibniz, aunque estaba de acuerdo con el principio de la conservación en los sistemas mecánicos. En su filosofía natural, estuvo de acuerdo con Descartes, tratando de llegar a una explicación mecanicista del mundo. Una de sus obras más populares especuló sobre la existencia de vida inteligente en otros planetas, lo que Huygens pensó que era altamente probable. 

Durante el período 1650-1666, Huygens conoció a muchos científicos y matemáticos franceses, y visitó París varias veces. En 1666 Huygens aceptó la membresía en la recién fundada Académie Royale des Sciences y se mudó a París, donde permaneció hasta 1681. Fue el miembro más destacado de la academia y recibió un estipendio generoso. Pasó este tiempo desarrollando un programa científico para el estudio de la naturaleza, observando los cielos y exponiendo sus teorías de la gravedad y la luz.  

Huygens sufría de mala salud y varias veces se vio obligado a regresar a La Haya. En 1681 se fue de nuevo debido a una enfermedad y, debido a tensiones políticas y religiosas, no fue invitado a regresar a Francia. Huygens nunca se casó, pero pudo vivir en la propiedad familiar. En la última década de su vida, regresó a la matemática, habiéndose convencido de la fecundidad del cálculo diferencial de Leibniz. Sin embargo, el conservadurismo matemático de Huygens lo llevó a emplear sus viejos métodos geométricos, y esto de alguna manera inhibió su progreso y comprensión del cálculo. Sin embargo, Huygens pudo resolver varios problemas matemáticos planteados públicamente, como la isócrona de Leibniz, la tractriz y la catenaria. 

Huygens finalmente sucumbió a su constitución enferma, y murió el 8 de julio de 1695. Fue el científico y matemático más prominente de su tiempo (al menos antes que Newton y Leibniz se volvieran más productivos), e hizo contribuciones brillantes a diversas áreas de la ciencia. Sin embargo, la renuencia de Huygens a publicar teorías insuficientemente desarrolladas limitó su influencia en el siglo XVIII; tampoco tuvo ningún alumno para que llevara a cabo su pensamiento. Su trabajo en mecánica abrió nuevas fronteras de investigación, pero su trabajo matemático extendió principalmente técnicas más antiguas en lugar de abrir nuevas perspectivas para la exploración. Sin embargo, Huygens fue un maestro en la aplicación de métodos matemáticos a problemas científicos, como lo demuestra su trabajo sobre la medición del tiempo.

 


Fuente bibliográfica:

  • McElroy, Tucker (2005) A to Z of Mathematicians. Facts On File, Inc.

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