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Posts Tagged ‘Grigori Perelman’

Henri Poincaré ha sido descrito como el último de los grandes matemáticos adeptos en varias ramas de la matemática y la ciencia; sin embargo, podría hacerse una afirmación similar sobre David Hilbert. Poincaré fue un genio de primer rango, cuyas innovadoras contribuciones moldearon (y en algunos casos, esencialmente, fundaron) varias áreas de la matemática, incluida la geometría algebraica, la topología algebraica, la teoría de las funciones automórficas en el análisis complejo y la dinámica no lineal. Su trabajo continúa ejerciendo influencia en estudios modernos de topología y geometría.

Jules-Henri Poincaré nació el 29 de abril de 1854 en Nancy, Francia, hijo de Léon Poincaré, profesor de medicina en la Universidad de Nancy, y Eugénie Launois. Henri Poincaré era físicamente débil, sufría de miopía y falta de coordinación; estuvo enfermo por un tiempo de difteria. Sin embargo, sus dones intelectuales compensaron con creces estas deficiencias. Su madre le enseñó a escribir a una edad temprana, y Poincaré más tarde se convirtió en un poderoso autor.

Cuando Poincaré aún era joven, comenzó a trabajar en la escuela local de Nancy en 1862 (esta escuela más tarde pasó a llamarse Lycée Henri Poincaré en su honor). Durante los siguientes 11 años, Poincaré demostró ser el mejor estudiante, sobresaliendo en todos los temas, especialmente en matemática; a menudo ganaba el primer premio en las competiciones a las que se presentaba. Ingresó en la École Polytechnique en 1873 y se graduó dos años después. Poincaré fue mucho más allá de sus compañeros en la mayoría de los temas intelectuales; también le interesaba mucho la música, especialmente el piano. Leyó ampliamente sobre ciencia, y así obtuvo un conocimiento profundo de electricidad, óptica y termodinámica.

A continuación, Poincaré realizó estudios adicionales en la École des Mines y trabajó brevemente como ingeniero de minas mientras trabajaba en su doctorado en la Universidad de París. Su mentor fue Charles Hermite, y Poincaré completó una tesis sobre ecuaciones diferenciales en 1879. Desde aquí, Poincaré pasó por varios puestos: profesor de análisis en la Universidad de Caen, catedrático en la Facultad de Ciencias de París en 1881, y profesor de la cátedra de física matemática y probabilidad en la Sorbona en 1886. Sus conferencias eran desorganizadas, pero abordaban material nuevo cada año; Poincaré condimentó sus temas matemáticos con aplicaciones de óptica, astronomía, electricidad y otras ciencias afines.

Además de su trabajo científico, que incluye contribuciones a la mecánica celeste, la fluidez de canales y filosofía de la ciencia, también se le acreditó como co-inventor de la teoría especial de la relatividad junto con Albert Einstein: Poincaré profundizó en varias de las más grandes ramas de la matemática pura. Su trabajo de tesis condujo a la definición de función automórfica, que ahora es un componente clásico de la teoría del análisis complejo (los automorfismos también desempeñan un papel importante en el álgebra abstracta). Estas son funciones complejas cuyos valores son invariantes en ciertos grupos de transformaciones del espacio dominio. Poincaré tuvo una correspondencia fluida con Felix Klein en relación con estas funciones nuevas e intrigantes, que tenían conexiones con la geometría no euclidiana.

El Analysis Situs de Poincaré de 1895 fue un tratamiento sistemático de topología (el estudio de mapeos continuos que operan en superficies de alta dimensión), un tema incipiente a fines del siglo XIX. En este y en otros artículos de la próxima década, Poincaré desarrolló el tema de la topología algebraica. Esencialmente, esta asignatura usa herramientas algebraicas, como grupos y anillos, para describir y clasificar objetos topológicos. La famosa  conjetura de Poincaré, probada en 2003 por Grigori Perelman, establece que cualquier variedad tridimensional con un grupo de homotopía igual al de una esfera debe ser topológicamente equivalente (es decir, puede deformarse continuamente sin desgarrarse) en una forma de esfera tridimensional. Poincaré lo conjeturó después de probarlo en el campo intuitivo de dos dimensiones, y lo conjeturó para dimensión tres. Es intrigante que la conjetura haya sido verificada para dimensiones más altas, pero una prueba para la dimensión tres fue eludida por tanto tiempo. El trabajo de Poincaré dominó la escena de la topología algebraica durante las siguientes cuatro décadas: sus métodos, sus preguntas y sus resultados fueron enormemente influyentes.

Poincaré inició el estudio de las funciones de varias variables complejas a través de su trabajo de 1883 sobre el principio de Dirichlet. Este  difícil tema todavía está siendo estudiado hoy. Trabajó en el campo de la geometría algebraica, el estudio de variedades dadas como solución de ecuaciones algebraicas en varias variables. En 1910 y 1911 desarrolló métodos poderosos que le permitieron probar resultados conjeturados previamente relacionados con curvas algebraicas embebidas en superficies algebraicas. Poincaré estudió la teoría de números en 1901 examinando ecuaciones diofánticas. Más tarde afirmó que un enfoque axiomático de los fundamentos de la aritmética sería incapaz de proporcionar una prueba rigurosa de la consistencia de la teoría de números; su opinión fue reivindicada décadas más tarde a través del trabajo de Kurt Gödel.

Poincaré también estudió óptica, electricidad, telegrafía, capilaridad, elasticidad, termodinámica, teoría del potencial, teoría cuántica y teoría de la relatividad y cosmología. En una competencia de 1889 en Suecia, desarrolló nuevas ideas en dinámicas no lineales sobre el problema de los tres cuerpos de la mecánica celeste. Aunque ganó el premio, un error percibido en su manuscrito lo condujo a una extensa correspondencia con el matemático Magnus Mittag-Leffler. Algunos datan el nacimiento de la teoría del caos en esta comunicación. Además de su otro trabajo sobre mecánica de fluidos, Poincaré también escribió artículos científicos dirigidos a un público popular, y avanzó un largo camino hacia la matemática y la ciencia de interés para la gente común de Francia.

Poincaré también contribuyó a la filosofía de la ciencia, y fue una influencia guía en la lógica matemática, donde destacó la importancia de la intuición sobre la axiomatización. El proceso de pensamiento de Poincaré fue el tema de un estudio psicológico realizado por Toulouse, quien lo describió como un verdadero genio que se basa en una sorprendente intuición matemática. Poincaré dejaba los problemas por un tiempo, dejando que su mente reflexionara inconscientemente sobre ellos; luego, volvía al proyecto con vigor, dando saltos repentinos del intelecto. De esta manera pudo lograr una notable diversidad y profundidad de material matemático. Por lo tanto, la lógica sola era infructuosa según Poincaré, y solo era útil como herramienta para la corrección de la intuición. Esta mentalidad es bastante similar a la filosofía de Luitzen Egbertus Jan Brouwer.

Poincaré fue muy honrado durante su vida, recibió muchos premios: fue elegido para la Academia de Ciencias en 1887 y se convirtió en presidente en 1906. Debido a la amplitud de sus investigaciones fue el único miembro de la academia elegido para las cinco secciones: geometría, física, geografía, navegación y mecánica. Murió de manera algo prematura el 17 de julio de 1912, en París, Francia. Aunque sus contribuciones a la matemática fueron fenomenales, no tuvo su propia escuela, ya que no fue mentor de estudiantes. Sin embargo, las ideas y los métodos de Poincaré han demostrado tener una gran influencia en la matemática moderna, especialmente en la topología algebraica, el análisis complejo y la geometría diferencial.

 


Fuente bibliográfica:

  • McElroy, Tucker (2005) A to Z of Mathematicians. Facts On File, Inc.

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El comienzo del siglo XX vio surgir un número de teorías cuyo poder y utilidad residen en gran parte en su generalidad. Típicamente, están marcadas por una atención al conjunto o espacio de todos los ejemplos de un tipo particular. (El análisis funcional es un ejemplo.) Una de las más enérgicas de estas teorías generales fue la de la topología algebraica. En este tema se desarrollan una variedad de formas para reemplazar un espacio por un grupo y un mapeo entre espacios por un mapeo entre grupos. Es como usar rayos X: la información se pierde, pero la imagen sombría del espacio original puede llegar a contener, en una forma accesible, información suficiente para resolver la pregunta que nos ocupa.

El interés en este tipo de investigación provino de varias direcciones. La teoría de las ecuaciones de Galois era un ejemplo de lo que podía lograrse transformando un problema de una rama de la matemática en un problema en otra rama más abstracta. Otro ímpetu vino de la teoría de las funciones complejas de Riemann. Había estudiado funciones algebraicas, es decir, el loci definido por ecuaciones de la forma f(x,y)=0, donde f es un polinomio en x cuyos coeficientes son polinomios en y. Cuando x e y son variables complejas, el locus puede ser pensado como una superficie real extendida sobre el plano x de los números complejos (hoy llamado superficie de Riemann). A cada valor de x le corresponde un número finito de valores de y. Tales superficies no son fáciles de comprender, y Riemann se había propuesto dibujar curvas a lo largo de ellas de tal manera que, si la superficie se cortara a lo largo de ellas, podría abrirse en un disco poligonal. Fue capaz de establecer una conexión profunda entre el número mínimo de curvas necesarias para hacer esto para una superficie dada y el número de funciones (que se hacen infinitas en puntos específicos) que la superficie podría entonces soportar.

El problema natural era ver hasta qué punto las ideas de Riemann podían aplicarse al estudio de espacios de dimensión superior. Aquí se desarrollaron dos líneas de investigación. Se hizo hincapié en lo que se podría obtener al mirar la geometría proyectiva involucrada. Este punto de vista fue fructuosamente aplicado por la escuela italiana de geómetras algebraicos. Se encontraron problemas, que no fueron completamente capaces de resolver, teniendo que ver con las singularidades que una superficie puede poseer. Mientras que un locus dado por f(x,y)=0 puede intersectarse sólo en puntos aislados, un locus dado por una ecuación de la forma f(x,y,z)=0 puede intersectarse a lo largo de curvas, un problema que causó considerables dificultades. El segundo enfoque enfatiza lo que se puede aprender del estudio de las integrales a lo largo de caminos en la superficie. Este enfoque, perseguido por Charles-Émile Picard y por Henri Poincaré, proporcionó una rica generalización de las ideas originales de Riemann.

Charles-Émile Picard

Charles-Émile Picard

Henri Poincaré

Henri Poincaré

Sobre esta base, se hicieron conjeturas y se produjo una teoría general, primero de la mano de Poincaré y luego del ingeniero estadounidense convertido en matemático Solomon Lefschetz, sobre la naturaleza de las variedades de dimensión arbitraria. A grandes rasgos, una variedad es la generalización n-dimensional de la idea de una superficie. Es un espacio en el que cualquier pequeña pieza se ve como una pieza del espacio n-dimensional. Este objeto está dado a menudo por una sola ecuación algebraica en n+1 variables. Al principio, la obra de Poincaré y de Lefschetz se refería a la forma en que estas variedades pueden descomponerse en pedazos, contando el número de piezas y a su vez descomponiéndolas. El resultado fue una lista de números, llamados números de Betti en honor del matemático italiano Enrico Betti, quien había dado los primeros pasos de este tipo para extender el trabajo de Riemann. Fue sólo a finales de la década de 1920 que la matemática alemana Emmy Noether sugirió cómo los números de Betti podían ser pensados para medir el tamaño de ciertos grupos. A su instigación, varias personas produjeron una teoría de estos grupos, los llamados grupos de homología y cohomología de un espacio.

Solomon Lefschetz

Solomon Lefschetz

Enrico Betti

Enrico Betti

Emmy Noether

Emmy Noether

Dos objetos que se pueden deformar uno en otro tendrán los mismos grupos de homología y cohomología. Para evaluar la cantidad de información que se pierde cuando un espacio es reemplazado por su imagen topológica algebraica, Poincaré hizo la crucial pregunta inversa: “¿Baho qué condiciones algebraicas es posible decir que un espacio es topológicamente equivalente a una esfera?” Mediante un ejemplo ingenioso mostró que tener la misma homología no es suficiente y propuso un índice más delicado, que desde entonces se ha convertido en la rama de la topología llamada teoría de la homotopía. Siendo más delicado, es tanto más básico como más difícil. Normalmente hay métodos estándar para calcular grupos de homología y cohomología, y son completamente conocidos para muchos espacios. En contraste, hay apenas una interesante clase de espacios para los cuales se conocen todos los grupos de homotopía. La conjetura de Poincaré de que un espacio con la homotopía de una esfera es realmente una esfera se demostró que era verdadera en los años sesenta en dimensiones a partir de cinco, y en la década de 1980 se demostró que era verdadera para espacios de dimensión cuatro. En 2006 Grigori Perelman fue galardonado con una Medalla Fields por probar la conjetura de Poincaré en tres dimensiones, la única dimensión en la que Poincaré la había estudiado.

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