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Posts Tagged ‘Henri Poincaré’

A principios del siglo XX, el campo de la probabilidad carecía de unidad y cohesión. Paul Lévy hizo contribuciones fundamentales a esta área, convirtiéndola en una de las principales divisiones de la matemática moderna. También desarrolló la teoría de las ecuaciones diferenciales parciales y el análisis funcional, impulsando estos campos del pensamiento.  

Paul Lévy nació el 15 de septiembre de 1886 en París, Francia. Pertenecía a una familia de matemáticos, incluidos su padre y su abuelo. Su padre, Lucien Lévy, fue examinador en la École Polytechnique. Paul Lévy fue un estudiante sobresaliente, que asistió al Lycée Saint Louis en París, donde ganó premios en matemática y ciencia. En sus exámenes de ingreso a la universidad, obtuvo el primer lugar en la École Normale Supérieur y el segundo lugar en la École Polytechnique. 

Eligió asistir a esta última institución y comenzó a publicar trabajos mientras aún era un estudiante universitario. En su primer artículo (1905) estudió series semi-convergentes. Lévy se graduó y pasó un año en el ejército antes de unirse a la École des Mines en 1907. Mientras estuvo allí, Lévy también asistió a conferencias de Charles-Émile Picard  y Jacques-Salomon Hadamard. Este último influyó mucho en la investigación de Lévy y lo alentó a inclinarse hacia el análisis funcional.  

En 1910, Lévy comenzó a investigar en el área del análisis funcional, y Picard, Henri Poincaré y Hadamard examinaron su tesis al año siguiente. Obtuvo su doctorado en 1912. Lévy se convirtió en profesor en la École des Mines en 1913 y, en 1920, se convirtió en profesor de análisis en la École Polytechnique. Durante la Primera Guerra Mundial, Lévy sirvió en el ejército francés y trabajó en problemas de balística matemática. 

Su trabajo sobre análisis funcional extendió el cálculo de variaciones a espacios funcionales y siguió las mismas líneas de pensamiento que las de Vito Volterra. Pero su mayor esfuerzo estuvo puesto en probabilidad, donde trabajó mucho durante muchos años. Lévy tomó prestadas muchas técnicas, desde el análisis hasta el ataque de problemas de probabilidad. En particular, trabajó en leyes de límites, la teoría de martingalas y las propiedades del movimiento browniano. Estas dos últimas áreas forman dos grandes ramas de la teoría de los procesos estocásticos, que se utilizan ampliamente en ingeniería, estadística y ciencias para modelar y resolver una variedad de problemas prácticos. 

Más allá de estos avances en probabilidad, Lévy también estudió la teoría de las ecuaciones diferenciales parciales y geometría. Extendió la transformada de Laplace y generalizó la noción de derivadas funcionales. Produjo varios textos que han sido ampliamente utilizados por los estudiantes de matemática. Lévy murió el 15 de diciembre de 1971 en París, Francia. 

Lévy hizo importantes contribuciones al análisis de probabilidades y al análisis funcional, que han sido dos de las áreas más importantes de la matemática para modelar problemas científicos reales en el siglo XX. Fue un pensador profundo que apreciaba la belleza de la matemática y su utilidad.

 


Fuente bibliográfica:

  • McElroy, Tucker (2005) A to Z of Mathematicians. Facts On File, Inc.

 

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Leopold Kronecker fue un eminente matemático alemán de finales del siglo XIX, conocido por su capacidad para unir áreas separadas de la matemática. Sin embargo, su perspectiva puritana, que chocó con las tendencias actuales en el análisis, tendió a inhibir el crecimiento de nueva matemática.  

Leopold Kronecker nació el 7 de diciembre de 1823 en Liegnitz, Alemania, hijo de Isidor Kronecker y Johanna Prausnitzer. Era una familia judía adinerada, y su hijo recibió tutoría privada en casa. En la escuela secundaria, Kronecker tuvo como profesor a Ernst Eduard Kummer, quien alentó el talento matemático natural del niño. 

En 1841, Kronecker fue a la Universidad de Berlín, donde asistió a conferencias de matemática dictadas por Peter Lejeune Dirichlet. Inicialmente se interesó por la filología y la filosofía, y más tarde estudió astronomía en la Universidad de Bonn. Sin embargo, centró sus energías en la matemática y completó su doctorado en 1845 con una disertación sobre números complejos. Dirichlet, quien fue uno de los examinadores de Kronecker y siguió siendo su amigo de toda la vida, quedó impresionado por la profundidad y el conocimiento de la matemática de Kronecker. 

Kronecker regresó a su ciudad natal de Liegnitz a un negocio familiar. Durante este tiempo, se dedicó a la matemática en su tiempo libre como aficionado, y continuó su correspondencia con destacados matemáticos mientras manejaba sus asuntos familiares. Se casó con su prima Fanny Prausnitzer en 1848, y su situación financiera mejoró tanto a lo largo de los años que pudo regresar a Berlín como académico en 1855. Al año siguiente, Karl Weierstrass llegó a Berlín y se hizo amigo de Kronecker y Kummer. 

Alrededor de este tiempo, la productividad matemática de Kronecker aumentó enormemente. Escribió sobre teoría de números, funciones elípticas y álgebra. También relacionó distintas ramas de la matemática entre sí. Como resultado de su trabajo, fue elegido para la Academia de Berlín en 1861. Ejerciendo su derecho como miembro, Kronecker dio una serie de conferencias en la Universidad de Berlín sobre temas de ecuaciones algebraicas, teoría de números, determinantes e integrales múltiples. Kronecker no atrajo a muchos estudiantes, pero sus ideas, sin embargo, fueron bastante influyentes dentro de la academia. 

Durante la década de 1870, la relación de Kronecker con Weierstrass se desintegró gradualmente. Esto se debió principalmente a una divergencia en su enfoque de análisis. Weierstrass enfatizaba la importancia de los números irracionales y los métodos más modernos, mientras que Kronecker creía que la mayoría de la matemática, incluidos el álgebra y el análisis, debían estudiarse bajo la categoría de aritmética. En particular, prescindió completamente de los números irracionales; pronunció el conocido dicho “Dios hizo los números enteros; el resto es obra del hombre”. Estas opiniones, que ahora parecen anticuadas y absurdas, se codearon con la marea de nuevas ideas en análisis. Finalmente, Weierstrass y Kronecker dejaron de comunicarse. La ortodoxia de Kronecker le impidió apreciar el valor de los nuevos resultados teóricos de Georg Cantor sobre el infinito. Debido a que era influyente, en realidad prohibió el desarrollo de nuevas ideas. 

Sin embargo, Kronecker pudo hacer avances en la matemática a raíz de su talento para unificar y conectar las diferentes ramas de la aritmética, el análisis y el álgebra. Sus teoremas sobre fórmulas de límites, teoría ciclotómica y la convergencia de series infinitas son particularmente notables. Su artículo “Über den Zahlbegriff” (Acerca del concepto de número) de 1887 describió su programa para estudiar solo objetos matemáticos que podrían construirse en un número finito de pasos. Como matemático, Kronecker destacó la utilidad del algoritmo como un medio de cálculo y no como una idea valiosa en sí misma. 

Kronecker continuó en Berlín, mientras seguía peleando con Weierstrass. En 1891, la esposa de Kronecker murió y el mismo Kronecker murió poco después, el 29 de diciembre de 1891, en Berlín. Aunque de herencia judía, se convirtió al cristianismo en el último año de su vida. 

Kronecker representa una ortodoxia del pensamiento del siglo XIX que resistió la nueva ola de ideas introducidas por matemáticos más jóvenes, como Cantor. El mismo movimiento que buscó combatir más tarde se convirtió en la corriente principal de la matemática moderna, y, por lo tanto, Kronecker parece, en retrospectiva, ser simplemente un obstáculo para el progreso. La vieja escuela de matemática todavía se aferraba a una concepción más intuitiva de la matemática, que la matemática cada vez más abstracta y formalista de finales del siglo XIX ignoraba. En el lado positivo, Kronecker tuvo éxito en sus intentos de unificar las diferentes ramas de la matemática. También se puede ver el énfasis de Kronecker en la matemática construida finamente como anticipatoria del movimiento del intuicionismo del siglo XX, encabezado por Luitzen Egbertus Jan Brouwer y Henri Poincaré.

 


Fuente bibliográfica:

  • McElroy, Tucker (2005) A to Z of Mathematicians. Facts On File, Inc.

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Hubo pocos grandes matemáticos estadounidenses hasta el siglo XX; Europa había dominado la matemática durante siglos. Birkhoff representa un paso importante en la reversión de este patrón; sus brillantes descubrimientos en ecuaciones diferenciales, geometría y dinámica llevaron a su reconocimiento como uno de los principales matemáticos de América. 

George Birkhoff nació en Overisel, Michigan, el 21 de marzo de 1884. Su padre era médico y Birkhoff recibió su educación temprana en el Instituto Lewis en Illinois. Pasó un año en la Universidad de Chicago antes de trasladarse a Harvard, donde se graduó en 1905. Regresó a la Universidad de Chicago, completando su tesis doctoral dos años después. 

Después de Chicago, Birkhoff trabajó como profesor en la Universidad de Wisconsin, tiempo durante el cual se casó con Margaret Elizabeth Grafius en 1908. Pasó algunos años en Princeton antes de convertirse en profesor en Harvard, luego se convirtió en decano de la Facultad de Artes y Ciencias de 1935 a 1939. Debido a su cátedra, pudo dedicar la mayor parte de su energía a la investigación matemática y al asesoramiento de estudiantes graduados. 

La tesis de Birkhoff trató problemas de valor límite de la teoría de ecuaciones diferenciales, tema que amplió en años posteriores. Sus primeras investigaciones fueron acerca de ecuaciones diferenciales lineales, ecuaciones en diferencias y el problema generalizado de Riemann. Esta área de la matemática es relevante para la física matemática, con aplicaciones a la mecánica cuántica. El programa de investigación de Birkhoff demostró ser ambicioso: construir un sistema de ecuaciones diferenciales dado un conjunto particular de “puntos singulares” (puntos de discontinuidad en la solución). Este esfuerzo ahora se ha convertido en un extenso campo de investigación; fue Birkhoff quien dio los primeros pasos. 

Su principal interés en el campo del análisis fue en los sistemas dinámicos. Birkhoff intentó extender el trabajo de Jules-Henri Poincaré sobre mecánica celeste, y demostró que una de las últimas conjeturas de este último involucraba los puntos fijos de las transformaciones continuas de un anillo. Birkhoff introdujo los conceptos de movimientos errantes, centrales y transitivos e investigó el tema de la transitividad. El corpus principal de la dinámica moderna surgió de las ideas de Birkhoff, incluida la teoría ergódica y la dinámica topológica. Su principio minimax y su teorema sobre puntos fijos de transformaciones proporcionaron motivación en las áreas de análisis y topología. 

Birkhoff también pensó profundamente en los fundamentos de la relatividad y la mecánica cuántica, y contribuyó con algunos trabajos teóricos a  estos temas. Aunque controvertidos entre los físicos, estos trabajos proporcionan críticas originales y un enfoque novedoso de la relatividad. Birkhoff también hizo aportes en combinatoria, teoría de números y análisis funcional. Su texto sobre geometría ha influido en las tendencias pedagógicas estadounidenses en la enseñanza de la geometría de la escuela secundaria.  

Birkhoff fue muy apreciado por sus colegas, y fue visto como uno de los eminentes matemáticos de América en ese momento. Estuvo muy influenciado por Maxime Bôcher de Harvard y Eliakim Hastings Moore de la Universidad de Chicago, a través de quienes aprendió álgebra y análisis. Birkhoff fue presidente de la American Mathematical Society en 1925; tenía muchos amigos y colaboradores en Europa, como Jacques Hadamard, Tullio Levi-Civita y Sir Edmund Whittaker. Murió en Cambridge, Massachusetts, el 12 de noviembre de 1944.  

Las principales contribuciones de Birkhoff radican en los sistemas dinámicos, pero también estimuló el interés en las ecuaciones de topología y de diferencias. Gran parte de la matemática moderna puede rastrear una conexión con el trabajo de Birkhoff; también representó el comienzo de la tendencia fuera del dominio europeo de la matemática.

 


Fuente bibliográfica:

  • McElroy, Tucker (2005) A to Z of Mathematicians. Facts On File, Inc.

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