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El historiador Carl Boyer llama cálculo «al instrumento más eficaz para la investigación científica que la matemática haya producido jamás.» Como la matemática de la variabilidad y el cambio, el cálculo fue el producto característico de la revolución científica. El tema fue propiamente la invención de dos matemáticos, el alemán Gottfried Leibniz y el inglés Isaac Newton. Ambos publicaron sus investigaciones en la década de 1680, Leibniz en 1684 en la revista recién fundada Acta Eruditorum y Newton en 1687 en su gran tratado, los Principia. A pesar de una amarga disputa sobre la prioridad que se desarrolló más tarde entre los seguidores de los dos hombres, ahora está claro que cada uno de ellos llegó al cálculo  de manera independiente.

El cálculo se desarrolló a partir de técnicas para resolver dos tipos de problemas, la determinación de áreas y volúmenes y el cálculo de tangentes a curvas. En la geometría clásica Arquímedes había llegado bastante lejos en esta parte de la matemática, después de haber utilizado el método de agotamiento para establecer rigurosamente diferentes resultados acerca de áreas y volúmenes y de haber derivado para algunas curvas (por ejemplo, para la espiral) resultados significativos relacionados con las tangentes. A principios del siglo XVII hubo un resurgimiento sostenido del interés en ambas clases de problemas. Las décadas entre 1610 y 1670 en general son recordadas en la historia de la matemática como «el período del pre-cálculo», fueron una época de notable actividad en la que investigadores de toda Europa contribuyeron con soluciones novedosas y compitieron entre sí para llegar a importantes nuevos métodos.

El  período del  pre-cálculo

En su tratado Geometria indivisibilibus continuorum de 1635, Bonaventura Cavalieri, un profesor de matemática en la Universidad de Bolonia, formuló un método sistemático para la determinación de áreas y volúmenes.

Al igual que Arquímedes, Cavalieri consideró una figura plana compuesta de una colección de líneas indivisibles, «todas las líneas» de la figura plana. La colección fue generada por una línea fija en movimiento a través del espacio paralelo a sí mismo. Cavalieri demostró que estas colecciones podían interpretarse como magnitudes que obedecen a las reglas de la teoría de la proporción euclidiana. En la Proposición 4 del Libro II, derivó el resultado de que hoy se escribe como

\int_0^1 x^2  dx=\frac{1}{3}

Dado un paralelogramo en el que se dibuja una diagonal; entonces  «todos los cuadrados» del paralelogramo serán el triple de «todos los cuadrados» de cada uno de los triángulos determinados por la diagonal.

Cavalieri mostró que esta proposición podía interpretarse de diferentes maneras -como por ejemplo, afirma, que el volumen de un cono es un tercio del volumen del cilindro circunscrito o que el área bajo un segmento de una parábola es un tercio del área del rectángulo asociado. En un tratado posterior generalizó el resultado demostrando que

\int_0^1 x^n=\frac{1}{n+1}

desde n=3 hasta n=9. Para establecer estos resultados, introdujo transformaciones entre las variables del problema, usando un resultado equivalente al teorema binomial para exponentes enteros. Las ideas en cuestión fueron más allá de lo que había aparecido en la teoría clásica de Arquímedes.

Aunque Cavalieri tuvo éxito en la formulación de un método sistemático basado en conceptos generales, sus ideas no eran fáciles de aplicar. La derivación de resultados muy simples requería consideraciones geométricas complejas, y el estilo ampuloso de la Geometria indivisibilibus era una barrera para su recepción.

John Wallis presentó un enfoque muy diferente para la teoría de cuadraturas en su Arithmetica Infinitorum  de 1655. Wallis, sucesor de Henry Briggs como profesor savilian de geometría en Oxford,era defensor de los nuevos métodos del álgebra aritmética que había aprendido de su maestro William Oughtred. Wallis expresó el área bajo una curva como la suma de una serie infinita y utilizó inteligentes y poco rigurosas inducciones para determinar su valor. Para calcular el área bajo la parábola,

\int_0^1 x^2  dx

él consideró las sumas sucesivas

\frac{0+1}{1+1}=\frac{1}{3}+\frac{1}{6}

\frac{0+1+4}{4+4+4}=\frac{1}{3}+\frac{1}{12}

\frac{0+1+4+9}{9+9+9+9}=\frac{1}{3}+\frac{1}{18}

y por «inducción» dedujo la relación general

\frac{0^2+1^2+2^2+\ldots+n^2}{n^2+n^2+n^2+\ldots+n^2}=\frac{1}{3}+\frac{1}{6n}

Al permitir que el número de términos sea infinito, obtuvo 1/3 como el valor límite de la expresión. Con curvas más complicadas logró resultados muy impresionantes, incluyendo la expresión infinita ahora conocida como producto de Wallis:

\frac{4}{\pi }=\frac{3}{2}\cdot\frac{3}{4}\cdot\frac{5}{4}\cdot\frac{5}{6}\cdot\frac{7}{6}\ldots

La investigación sobre la determinación de tangentes, el otro tema  que condujo al cálculo, procedió a lo largo de diferentes líneas. En La Géométrie Descartes había presentado un método que podía, en principio, aplicarse a cualquier curva «geométrica» o algebraica -es decir, a cualquier curva cuya ecuación era un polinomio de grado finito en dos variables. El método dependía de la búsqueda de la normal, la línea perpendicular a la tangente, con la condición algebraica de ser el único radio que intersecta la curva en un solo punto. El método de Descartes fue simplificado por Hudde, un miembro del grupo de matemáticos de Leiden, y fue publicado en 1659 en la edición de Van Schooten de La Géométrie.

Una clase de curvas de interés cada vez mayor en el siglo XVII comprendía las generadas cinemáticamente por un punto que se mueve a través del espacio. La famosa curva cicloidal, por ejemplo, era trazada por un punto en el perímetro de una rueda que rodaba sobre una línea sin deslizamiento.

Estas curvas eran no algebraicas y por lo tanto no podían ser tratadas por el método de Descartes. Gilles Personne de Roberval, profesor en el Collège Royale de París, ideó un método tomado de la dinámica para determinar sus tangentes. En su análisis del movimiento de proyectiles Galileo había demostrado que la velocidad instantánea de una partícula está compuesta por dos movimientos distintos: un movimiento horizontal constante y un movimiento vertical en aumento debido a la gravedad. Si el movimiento del punto generador de una curva cinemática es considerado igualmente como la suma de dos velocidades, entonces la tangente estará en la dirección de su suma. Roberval aplicó esta idea a varias curvas cinemáticas diferentes, obteniendo resultados que fueron a menudo ingeniosos y elegantes.

En un ensayo de 1636 que circuló entre los matemáticos franceses, Fermat presentó un método de tangentes adaptado de un procedimiento que había ideado para determinar máximos y mínimos y lo utilizó para encontrar tangentes a varias curvas algebraicas de la forma y=x^n. Su relato era breve y no contenía ninguna explicación acerca de la base matemática del nuevo método. Es posible ver en su procedimiento un argumento que involucra a  los infinitesimales, y muchas veces se proclama a Fermat como el descubridor del cálculo diferencial. El estudio histórico moderno, sin embargo, sugiere que él estaba trabajando con conceptos introducidos por Viète y que su método se basaba en ideas algebraicas finitas.

Isaac Barrow, profesor lucasiano en la Universidad de Cambridge, publicó en 1670 su Geometrical Lectures, un tratado que más que cualquier otro anticipa las ideas unificadoras del cálculo. En él adoptó una forma puramente geométrica de exposición para mostrar cómo la determinación de áreas y tangentes son problemas inversos. Empezó con una curva y consideró la pendiente de su tangente correspondiente a cada valor de la abscisa. A continuación definió una curva auxiliar bajo la condición de que su ordenada sea igual a esta pendiente y mostró que el área bajo la curva auxiliar correspondiente a una abscisa dada es igual al rectángulo cuyos lados son la unidad y la ordenada de la curva original. Cuando se reformula analíticamente, este resultado expresa el carácter inverso de la diferenciación y la integración, el teorema fundamental del cálculo. Aunque la decisión de Barrow de proceder geométricamente le impidió tomar el paso final para un verdadero cálculo, sus lecturas influyeron tanto en Newton como en Leibniz.

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El desarrollo de nuevos métodos de cálculo numérico fue una respuesta a las crecientes exigencias prácticas del cálculo numérico, en particular en la trigonometría, la navegación y la astronomía. Las nuevas ideas se propagaron rápidamente a través de Europa y para el año 1630 se convirtieron en una gran revolución en la práctica numérica.

Simon Stevin de Holanda, en su breve folleto La Disme de 1585, presentó las fracciones decimales a Europa y mostró cómo extender los principios de la aritmética hindú-arábiga al cálculo con estos números. Stevin hizo hincapié en la utilidad de la aritmética decimal «para todas las cuentas que aparecen en los asuntos de los hombres», y explicó en un apéndice cómo se podía aplicar a la topografía, la estereometría, la astronomía y  la medición. Su idea era extender el principio posicional de base 10 a números con partes fraccionarias, con una extensión correspondiente en la notación para cubrir estos casos. En su sistema denotó al número 237.578 por

en donde los dígitos a la izquierda del cero son la parte entera del número. A la derecha del cero están los dígitos de la parte fraccionaria, con cada dígito seguido por un número rodeado con un círculo que indica la potencia negativa a la que se eleva 10. Stevin demostró cómo la aritmética habitual de los números enteros podía extenderse a fracciones decimales, utilizando las reglas que determinan el posicionamiento de las potencias negativas de 10.

Simon Stevin

Además de su utilidad práctica, La Disme fue significativa por la forma en que socavó el estilo dominante de la geometría clásica griega en la matemática teórica. La propuesta de Stevin requería rechazar la distinción en la geometría euclidiana entre la magnitud, que es continua, y el número, que es una multitud de unidades indivisibles. Para Euclides, la unidad, o uno, era un tipo especial de cosa, no un número sino el origen o principio del número. La introducción de las fracciones decimales parecía dar a entender que la unidad podía subdividirse y que una magnitud arbitraria continua podía ser representada numéricamente. Se suponía implícitamente el concepto de número real positivo en general.

En 1614 el escocés lord John Napier  publicó por primera vez tablas de logaritmos  en su tratado Description of the Marvelous Canon of Logarithms. Este trabajo fue seguido (postumamente) cinco años después por otro en el que Napier estableció los principios utilizados en la construcción de sus tablas. La idea básica detrás de los logaritmos es que la suma y la resta son más fáciles de realizar que la multiplicación y la división que, como observó Napier, requieren un «gasto de tiempo tedioso» y están sujetos a «errores resbaladizos». Por la ley de los exponentes,

a_{n}a_{m} = a_{n+m};

es decir, en la multiplicación de números, los exponentes se relacionan de forma aditiva. Por correlación, la secuencia geométrica de números

a, a_{2}, a_{3},\ldots

(con a la base) y la secuencia aritmética

1, 2, 3, \ldots

e interpolando valores fraccionarios, es posible reducir el problema de la multiplicación y la división a uno de sumas y restas. Para ello Napier escogió una base que fuera muy cercana a 1, que difiera de él solamente en 1/107. Por tanto, la secuencia geométrica resultante produjo un conjunto denso de valores, adecuado para la construcción de una tabla.

John Napier

En su obra de 1619 Napier presentó un modelo cinemático interesante para generar las secuencias geométricas y aritméticas utilizadas en la construcción de sus tablas. Asume dos partículas que se mueven a lo largo de líneas separadas desde puntos iniciales dados. Las partículas comienzan a moverse en el mismo instante con la misma velocidad. La primera partícula continúa moviéndose con una velocidad que va disminuyendo, proporcional en cada instante a la distancia que queda entre ella y algún punto fijo dado sobre la línea. La segunda partícula se mueve con una velocidad constante igual a su velocidad inicial. Dado cualquier incremento de tiempo, las distancias recorridas por la primera partícula en los sucesivos incrementos forman una sucesión geométricamente decreciente. Las correspondientes distancias recorridas por la segunda partícula forman una sucesión aritmética creciente. Napier fue capaz de utilizar este modelo para derivar teoremas que producen límites precisos para aproximar valores en las dos sucesiones.

El modelo cinemático de Napier indicaba cómo los matemáticos expertos se habían volcado a principios del siglo XVII al análisis del movimiento no uniforme. Las ideas cinemáticas, que aparecían con frecuencia en la matemática de la época, proporcionaban un medio claro y visible para la generación de magnitudes geométricas. La concepción de una curva trazada por una partícula que se mueve a través del espacio jugó más tarde un papel significativo en el desarrollo del cálculo.

Las ideas de Napier fueron recogidas y revisadas por el matemático inglés Henry Briggs, el primer profesor saviliano de geometría en Oxford. En 1624 Briggs publicó una extensa tabla de logaritmos comunes, o logaritmos de base 10. Debido a que la base ya no era cercana a 1, la tabla no se podía obtener en la forma más sencilla de Napier, y por tanto Briggs ideó técnicas que implicaban el cálculo de diferencias finitas para facilitar el cálculo de las entradas. También ideó procedimientos de interpolación de gran eficiencia computacional para obtener valores intermedios.

Henry Briggs

En Suiza, el fabricante de instrumentos llegó a la idea de los logaritmos de Napier de forma independiente, aunque no publicó sus resultados hasta 1620. Cuatro años más tarde, una tabla de logaritmos preparada por Kepler apareció en Marburg. Tanto Bürgi como Kepler eran observadores astronómicos, y Kepler incluyó tablas logarítmicas en su famoso Tabulae Rudolphinae de 1627, tabulaciones astronómicas del movimiento planetario derivadas mediante el uso de la suposición de órbitas elípticas alrededor del Sol.

Joost Bürgi

 

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