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Posts Tagged ‘Hermann Weyl’

Hermann Weyl, uno de los grandes matemáticos de principios del siglo XX, desarrolló con éxito las ideas de otros en teorías rigurosas. Sus documentos son notables por su originalidad y profundidad de conocimiento, y su trabajo ha ejercido una gran influencia en la investigación actual.

Hermann Weyl nació el 9 de noviembre de 1885 en Elmshorn, Alemania. Cuando era niño, asistió al Gymnasium en Altona e ingresó a la Universidad de Gotinga a los 18 años. Permaneció allí durante varios años estudiando matemática. Después de obtener su título, se convirtió en profesor en la Universidad de Zurich en 1913.

Weyl había estudiado con David Hilbert en Gotinga y seguramente fue uno de sus alumnos más talentosos. El primer trabajo importante de Weyl, que data de 1910, fue sobre la teoría espectral de las ecuaciones diferenciales, que era un área que Hilbert también estaba investigando. En 1911 comenzó a estudiar la teoría espectral de ciertos operadores en los llamados espacios de Hilbert. Sus métodos proporcionaron una idea geométrica de estos espacios abstractos y se convirtieron en técnicas importantes dentro del análisis funcional.

En 1916 Weyl publicó un famoso artículo sobre teoría analítica de números, que trata la distribución de ciertas secuencias especiales de números. Con un ingenio característico, dio una solución novedosa a preguntas no resueltas haciendo conexiones con la teoría de la integración. Sus técnicas han seguido siendo relevantes para la teoría aditiva de números.

Después de este trabajo en teoría de números, Weyl volvió a la geometría (anteriormente, en 1913, había dado una base rigurosa para la definición intuitiva de una variedad riemanniana). En 1915 atacó un problema relacionado con ciertas deformaciones de superficies convexas, y describió un método de demostración que finalmente resultaría fructífero. Weyl vió interrumpido su trabajo a raíz de la Primera Guerra Mundial, pero fue liberado del servicio militar en 1916. En Zurich trabajó con Albert Einstein y, en consecuencia, se interesó en la teoría general de la relatividad. Se propuso proporcionar una base matemática para las ideas físicas, descubriendo el concepto de conexión lineal. Élie-Joseph Cartan desarrolló aún más esta importante idea.

En la década de 1920, Weyl se interesó en los grupos de Lie, y sus artículos sobre este tema son probablemente los más importantes e influyentes. Parte del genio de su enfoque fue el uso de métodos topológicos sobre objetos algebraicos como los grupos de Lie. Sophus Lie había introducido los grupos de Lie como un nuevo e interesante campo de la matemática, pero Weyl avanzó mucho en esta rama a través de su nueva metodología.

Como matemático, Weyl creía en la importancia de las teorías abstractas, y creía que eran capaces de resolver problemas clásicos cuando se combinaban con un pensamiento cuidadoso y penetrante. Difirió con el formalista Hilbert en la filosofía de los fundamentos matemáticos, y en su lugar aceptó el intuicionismo de Luitzen Egbertus Jan Brouwer. Sin embargo, en muchos otros aspectos, mostró la influencia de Hilbert. En 1930 sucedió a Hilbert en Gotinga, pero decidió abandonar la Alemania nazi en 1933, llegando al Instituto de Estudios Avanzados de Princeton. Permaneció en los Estados Unidos hasta que se retiró en 1951. Dividió los últimos años de su vida entre Princeton y Zurich. Murió el 8 de diciembre de 1955.

Hermann Weyl realizó varias contribuciones significativas a la teoría de números, la geometría y las ecuaciones diferenciales. Cuando resolvía un problema difícil, a menudo ideaba una técnica completamente nueva para la demostración; Estos nuevos métodos generalmente se convirtieron en herramientas estándar o, a veces, condujeron a nuevas áreas de investigación. Su trabajo sobre la teoría de los grupos de Lie proporcionó una base para avances posteriores.

 


Fuente bibliográfica:

  • McElroy, Tucker (2005) A to Z of Mathematicians. Facts On File, Inc.

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George Pólya es una de las figuras más conocidas del siglo XX para los matemáticos debido a su trabajo pedagógico en la resolución de problemas. Su trabajo matemático notablemente diverso, que logró resultados de destacar en probabilidad y combinatoria, entre otros campos, le merece un lugar entre los de los mejores investigadores de su tiempo.

George Pólya nació el 13 de diciembre de 1887 en Budapest, Hungría, en el hogar de Jakab Pólya y Anna Deutsch. Los padres de Pólya eran judíos húngaros que habían cambiado su apellido a Pólya de Pollák por razones políticas. El padre de Pólya originalmente había sido abogado, pero estaba más interesado en los estudios académicos, y obtuvo un puesto en la Universidad de Budapest mientras que George Pólya aún era joven. Pólya tuvo un hermano mayor, Jenö, dos hermanas mayores, Ilona y Flóra, y un hermano menor, Lásló. 

Aunque los padres de Pólya eran judíos, toda la familia se convirtió al catolicismo romano antes de que naciera Pólya. Su padre murió cuando Pólya tenía 10 años, y toda la familia trabajó para ayudar con la educación de Pólya. El  niño se desempeñó bien en la escuela primaria, pero era indiferente a la matemática; más tarde afirmó que sus profesores de matemática eran terribles. Se matriculó en la Universidad de Budapest en 1905, con el apoyo de su hermano mayor, Jenö, que por entonces era cirujano. La madre de Pólya lo alentó a estudiar derecho, pero encontró el tema aburrido y, en cambio, recurrió a los idiomas, la literatura y la filosofía. Sus profesores de filosofía informaron a Pólya que carecía de una formación adecuada en matemática y física, por lo que comenzó a estudiar estos temas. Posteriormente, asistió a la Universidad de Viena de 1910 a 1911 y, a su regreso a Budapest, recibió un título de doctor tras resolver un problema de probabilidad. Pasó los años 1912 y 1913 en la Universidad de Göttingen, realizando estudios adicionales con matemáticos como Felix Klein, David Hilbert y Hermann Weyl.

La experiencia de Pólya en Alemania forjó en gran medida su desarrollo como matemático, pero se vio obligado a abandonar Göttingen después de estar involucrado en la anarquía. En un tren se involucró en un altercado con un hombre joven, y Pólya tapó sus oídos para provocarlo aún más. El joven era estudiante en Göttingen, y su padre era un funcionario político con el poder de prohibir a Pólya salir del campus. Más tarde, Pólya modificó su temperamento luchador, convirtiéndose en un pacifista y esquivador de líos al comienzo de la Primera Guerra Mundial.

Pólya viajó un poco más, visitando a los matemáticos Charles-Émile Picard y Jacques-Salomon Hadamard en París. Más tarde recibió un puesto en la Universidad de Zúrich en 1914, donde colaboró con Adolf Hurwitz, cuyo trabajo encontró bastante influyente. Pólya también tuvo a Weyl y Ernst Zermelo como colegas, y su investigación fue bastante fructífera en este momento. Cuando estalló la Primera Guerra Mundial, Pólya evitó el servicio militar en su Hungría natal a través de una lesión previa en el fútbol; más tarde, fue reclutado de todos modos, pero se negó a servir, convirtiéndose en ciudadano suizo. Se casó con Stella Vera Weber, la hija de un profesor de física, en 1918.

Pólya había conocido al matemático Gábor Szego en 1913 en Budapest, y poco después de la guerra se contactó con él con la idea de escribir un libro sobre la resolución de problemas matemáticos. Aunque hay muchos libros de este tipo ahora, su Aufgaben und Lehrsätze aus der Analysis (Problemas y teoremas del análisis) de 1925 fue el primer texto de este tipo. Los autores clasificaron los problemas en el análisis de una manera novedosa: agruparon el material según el método de solución en lugar del desarrollo natural e histórico. Este libro fue un gran éxito y ayudó a Pólya a alcanzar cierta fama.

En 1920 Pólya fue promovido a profesor, y en 1924 obtuvo una beca para trabajar con Godfrey Harold Hardy en Cambridge; ellos (junto con Littlewood) comenzaron a trabajar en el libro Desigualdades, publicado más tarde en 1934. Pólya publicó más de 30 artículos entre 1926 y 1928 sobre una amplia gama de temas matemáticos, y como resultado fue ascendido a profesor titular en 1928. La investigación de Pólya versó sobre probabilidad, geometría, análisis complejo, física y combinatoria. También trabajó en teoría de números, astronomía y muchos problemas aplicados, como la matemática de la votación. Algunos de sus logros de investigación incluyen el estudio de la caminata aleatoria, el análisis de Fourier aplicado a la probabilidad, el teorema del límite central y teselados geométricos. La caminata aleatoria es un modelo de movimiento, donde un objeto en una línea se mueve hacia adelante o hacia atrás con las mismas oportunidades. Esto se puede generalizar a espacios de dimensiones superiores, dando caminatas aleatorias en el plano y en el espacio. Pólya demostró que un caminante aleatorio regresa a su ubicación inicial solo si la dimensión de la caminata aleatoria es de al menos tres: uno puede perderse en el espacio pero no en una línea o en un plano.

El trabajo de Pólya sobre configuraciones geométricas en el plano se relacionó con los diversos teselados del plano, una partición del plano en figuras (como triángulos o hexágonos) que eran invariantes bajo ciertas rotaciones y cambios. Maurits Cornelis Escher utilizó más tarde las ideas de Pólya para crear su bella obra de arte. Pólya contribuyó enormemente al conocimiento de esta disciplina, llamada cristalografía, que tiene muchas aplicaciones en química y arte. En combinatoria, el mayor resultado de Pólya fue su teorema de enumeración, que proporcionó un método para contar objetos que comparten ciertas propiedades; Esto llevó más tarde al nuevo campo de la teoría de grafos enumerativos. En el análisis complejo, Pólya contribuyó a la teoría potencial y a la temática de mapeos conformes, y exploró las singularidades de las series de potencias.

Pólya visitó Princeton en 1933 con otra beca, y mientras estuvo en los Estados Unidos también visitó Stanford. En 1940, el clima político en Europa llevó a Pólya a emigrar, y trabajó primero en la Universidad Brown antes de establecerse en Stanford. Alrededor de este tiempo Pólya estaba publicando su nuevo libro, How to Solve It, que se convirtió en un éxito instantáneo entre los matemáticos. Pólya hizo hincapié en la idea de aprendizaje heurístico, la colección de métodos y técnicas que se utilizan para resolver clases de problemas. Esto fue un hito en la teoría de la educación matemática y, a lo largo de los años Pólya continuó presentando libros similares. Una de sus tesis principales fue que la matemática implica pensar; es un tema profundamente intelectual, no una colección mecánica de métodos y técnicas. El enfoque mecanicista que prevalece hoy en día en las escuelas secundarias de los EE.UU. difiere mucho de la filosofía de Pólya, y las consecuencias de esto apenas comienzan a experimentarse.

Pólya recibió muchos premios y distinciones a lo largo de su vida, incluida la elección a la Academia Nacional de Ciencias y la pertenencia a diversas sociedades matemáticas. Se retiró de Stanford en 1953, pero continuó investigando en la matemática, especialmente interesado en la educación matemática. El último curso que impartió fue una conferencia sobre combinatoria en Stanford en 1978, cuando tenía más de 90 años. Murió el 7 de septiembre de 1985 en Palo Alto, California.

Pólya fue uno de los matemáticos más talentosos del siglo XX, como lo demuestran sus diversos y profundos logros en investigación. Su trabajo sobre el aprendizaje y la enseñanza de la matemática fue profundo, y quizás sea el padre de los estudios modernos en esta área. Sus libros de resolución de problemas siguen siendo clásicos, y su influencia se prolonga hasta nuestros días.

 


Fuente bibliográfica:

  • McElroy, Tucker (2005) A to Z of Mathematicians. Facts On File, Inc.

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Una de las ramas más populares y elegantes de la matemática en el siglo XX ha sido la teoría de grupos de Lie. Esta disciplina combina ideas de álgebra, geometría y análisis, y es relevante para la física teórica. Sophus Lie descubrió estos objetos por primera vez y, por lo tanto, fundó una arena fructífera para futuras investigaciones. 

Marius Sophus Lie, comúnmente conocido como Sophus Lie, nació el 17 de diciembre de 1842 en Nordfjordeide, Noruega. Fue el sexto y más joven hijo de Johann Lie, un pastor luterano. Asistió a una escuela local y, desde 1857 hasta 1859, estudió en la Private Latin School de Nissen en Oslo. De 1859 a 1865 continuó su educación en la Universidad de Christiania en Oslo. Originalmente mostró poco interés en la matemática. Después de su examen en 1865, Lie dio lecciones privadas y se interesó por la astronomía. 

La vida de Lie adquirió una nueva dirección después de que descubriera en 1868 algunos artículos geométricos de los matemáticos Jean-Victor Poncelet y Julius Plücker. La idea de que el espacio podría estar formado por líneas en lugar de puntos tuvo un profundo impacto en la concepción de la geometría de Lie. Obtuvo una beca en el extranjero, viviendo en Berlín durante el invierno de 1869, donde conoció a Felix Klein. Los esfuerzos científicos de ambos hombres se beneficiaron enormemente de la amistad que siguió. Klein era un algebraista intrigado por problemas particulares, mientras que Lie era un geómetra y analista interesado en generalizar conceptos. 

Pasaron el verano de 1870 en París, donde entraron en contacto con Camille Jordan y Gaspard Monge, así como con otros matemáticos franceses. Lie descubrió su famosa transformación, que fue un importante descubrimiento geométrico inicial: fue un primer paso hacia su posterior desarrollo de la teoría de los grupos de Lie. La guerra franco-prusiana estalló el mismo año, y Lie fue arrestado como espía mientras caminaba por el campo. Pronto fue liberado y logró escapar de Francia antes del bloqueo de París. En 1871 regresó a Oslo, donde enseñó en la Private Latin School de Nissen. Obtuvo su doctorado en 1872.  

En este momento, Lie desarrolló la teoría de integración de las ecuaciones diferenciales parciales, que todavía se enseña como método clásico en textos matemáticos. Su trabajo inicial sobre geometría diferencial más tarde lo llevó a su importante trabajo sobre grupos de transformación y ecuaciones diferenciales. El grupo de transformación, más tarde conocido como grupo Lie, trajo herramientas algebraicas para abordar problemas geométricos y analíticos, y en particular resultó ser un poderoso enfoque de las ecuaciones diferenciales parciales. Aunque estas ideas no fueron aceptadas inicialmente, en gran parte debido al estilo engorroso de presentar ideas analíticas que estaba de moda en ese momento, su importancia para la matemática moderna no se puede sobreestimar. Completó su trabajo sobre los grupos de Lie en la década de 1870, pero su publicación llevó varias décadas de esfuerzo. 

En 1872 se creó una cátedra de matemática para Lie en la Universidad de Christiania. Además de la investigación mencionada sobre las transformaciones de contacto, estaba ocupado editando los trabajos recopilados de Niels Henrik Abel. Lie se casó con Anna Birch en 1874, y juntos criaron dos hijos y una hija. 

En Oslo Lie se mantuvo aislado de otros matemáticos; no tenía alumnos, y solo dos matemáticos, Klein y Emile Picard, prestaron atención a su trabajo. Friedrich Engel ayudó a Lie en la publicación de un extenso texto sobre grupos de transformación, que apareció dividido en tres partes entre 1888 y 1893. Su trabajo paralelo sobre la transformación de contacto y las ecuaciones diferenciales parciales con Felix Hausdorff no se completó. En 1886, Lie llegó a Leipzig sucediendo a Klein, y su situación de colaboración mejoró. 

La salud de Lie había sido excelente, y fue descrito como un hombre de corazón abierto y de gran estatura. Sin embargo, en 1889 fue golpeado con una enfermedad mental. Cuando reanudó el trabajo en 1890, su carácter había cambiado mucho, ahora era paranoico y beligerante. Finalmente, regresó a la Universidad de Christiania con el atractivo de una silla especial en 1898. Murió un año después, el 18 de febrero de 1899 en Oslo, por anemia. 

El trabajo de Lie revolucionó el estudio de la geometría y las ecuaciones diferenciales, ya que las técnicas teóricas y algebraicas de grupo ahora podían resolver problemas. El estudio de los grupos de Lie finalmente se convirtió en una disciplina propia. El aprecio por el trabajo de Lie creció gradualmente. Inicialmente, Engel e Issai Schur desarrollaron aún más sus ideas, y más tarde Picard, Killing, Élie-Joseph Cartan y Hermann Weyl continuaron el trabajo teórico de Lie en el siglo XX. A principios del siglo XX, se descubrieron las álgebras de Lie, y el trabajo original de Lie se ha generalizado de muchas maneras. Una razón para la popularidad perdurable de su pensamiento es la aplicación de los grupos de Lie a la física cuántica.

 


Fuente bibliográfica:

  • McElroy, Tucker (2005) A to Z of Mathematicians. Facts On File, Inc.

 

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