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Posts Tagged ‘Isaac Newton’

Los matemáticos griegos clásicos rehuyeron el estudio del infinito, tanto lo infinitamente grande como lo infinitamente pequeño (lo infinitesimal). Los infinitesimales son la piedra angular del cálculo, y muchos griegos, como Arquímedes de Siracusa, dieron los primeros pasos vacilantes hacia un descubrimiento completo del cálculo. Sin embargo, la mayoría rechazó la noción de cantidades infinitamente divisibles, como un continuo, y esta reacción se debió en gran parte a las paradojas de Zenón.

Zenón de Elea nació aproximadamente en el año 490 a.C. en Elea, Italia. Él es de ascendencia griega a pesar de su nacimiento en Italia, y es considerado en la historia miembro del grupo de filósofos griegos. Existe muy poca información confiable sobre su vida, pero se dice que su padre era Telautagoras. Zenón finalmente estudió en la escuela de filosofía de Elea, donde conoció a su maestro Parménides. La escuela eleática, fundada por Parménides, enseñó el monismo, el concepto de que todo es uno. Esta filosofía influyó en Zenón para formular varias paradojas que desafiaban los conceptos de divisibilidad infinita.

Platón afirma que Zenón y Parménides viajaron a Atenas en el 450 a.C., donde se encontraron con el joven Sócrates y discutieron filosofía con él. Antes de viajar a Atenas, Zenón ya había adquirido cierta fama a través de la publicación de un libro (que no ha sobrevivido) que contenía 40 paradojas. Estas paradojas forman una disección profundamente estimulante del concepto del continuo, perturbando así las cómodas nociones de cosas comunes como el movimiento, el tiempo y el espacio. Una de las suposiciones de Zenón es la divisibilidad: si una magnitud se puede dividir en dos, entonces se puede dividir para siempre. El trabajo de Richard Dedekind luego establecería esta propiedad de continuo para los números reales. Zenón también asumió que no existe ningún objeto de magnitud cero (no lo expresó de esta manera, ya que los griegos no tenían el cero).

En la paradoja llamada “La dicotomía”, Zenón afirma que para atravesar una distancia, primero es necesario atravesar la mitad de esa distancia; pero para llegar a la mitad, primero se requiere ir un cuarto del camino. Continuando con este razonamiento indefinidamente, Zenón concluye que comenzar es imposible y que, por lo tanto, el movimiento es imposible. Esta paradoja generalmente se resuelve sumando la serie geométrica de potencias recíprocas de dos. En “La flecha”, Zenón declara que el movimiento es imposible, porque (suponiendo que la instancia actual de tiempo “ahora” es indivisible) si una flecha se mueve cierta distancia en un instante de tiempo indivisible, entonces se movió la mitad de esa distancia en la mitad del tiempo, lo que resulta en una división del instante. Esto puede resolverse permitiendo que el tiempo sea un continuo, infinitamente divisible.

La paradoja más famosa de Zenón es la de Aquiles: establece que se ejecuta una carrera entre el héroe griego Aquiles y una tortuga, donde la lenta tortuga comienza con una ventaja. Después de un tiempo, Aquiles alcanza la mitad de la distancia intermedia. Pero la tortuga ha seguido su camino; Aquiles luego corre la mitad de la distancia restante, pero nuevamente la tortuga ha avanzado más. ¡Llevando este argumento hasta el infinito, Zenón concluye que Aquiles nunca puede ponerse al día! Esto también se puede resolver configurando una serie geométrica adecuada. Sin embargo, las resoluciones de estas paradojas se basan en ciertas nociones de infinito y propiedades del continuo. La estructura matemática detrás de estos conceptos no se desarrolló hasta muchos siglos después. Sir Isaac Newton, Gottfried Leibniz y Blaise Pascal sentaron las bases modernas del cálculo. A finales del siglo XIX, Georg Cantor, Friedrich Ludwig Gottlob Frege y Bertrand Arthur William Russell realizaron trabajos más avanzados sobre el continuo, así como las propiedades básicas de los números reales, entre otros. Por lo tanto, la influencia de Zenón fue de gran alcance, ya que hizo algunas preguntas muy profundas sobre el tiempo, el espacio y el movimiento.

Zenón murió en algún momento alrededor del año 425 a.C., y una fuente cuestionable relata que fue ejecutado después de un intento fallido de eliminar a un tirano de Elea. Aunque era filósofo, las ideas de Zenón provocaron una revolución matemática milenios después, ya que sus paradojas apuntaban a la necesidad de proporcionar una base rigurosa a los conceptos intuitivos del espacio y el tiempo. Sus paradojas sobre el movimiento demostraron las dificultades de considerar la velocidad como una distancia dividida por el tiempo, ya que esta relación parece ser cero dividida por cero cuando el tiempo transcurrido de viaje se reduce a cero; solo con el descubrimiento de límites e infinitesimales en la disciplina del cálculo diferencial se resolvió este enigma. Además de proporcionar una gran cantidad de obstáculos mentales para los intelectuales posteriores, Zenón también sirvió para inhibir el crecimiento de las matemáticas griegas para abarcar el infinito; por lo tanto, fue una influencia retardadora clásica, pero milenios más tarde se convirtió en un impulso para el desarrollo matemático.

 


Fuente bibliográfica:

  • McElroy, Tucker (2005) A to Z of Mathematicians. Facts On File, Inc.

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John Wallis fue el mejor matemático inglés de su tiempo; de hecho, es el primer matemático británico importante del siglo XVII. No solo estimuló el estudio de la matemática, convirtiéndolo en un tema atractivo para otros, sino que influyó directamente en Sir Isaac Newton a través de sus primeros descubrimientos en el área del cálculo diferencial.

John Wallis nació el 23 de noviembre de 1616 en Ashford, Inglaterra. Su padre, también llamado John Wallis, era un ministro ampliamente respetado en Ashford. La madre de Wallis, Joanna Chapman, era la segunda esposa del padre de Wallis, y Wallis fue el tercero de cinco hijos. El padre de Wallis murió cuando Wallis tenía seis años.

La educación temprana de Wallis fue en Ashford, pero cuando la peste golpeó, su madre lo envió a la escuela primaria de James Movat en 1625. Primero mostró su potencial allí, entrenando tanto su memoria como su comprensión. A lo largo de la vida, Wallis fue capaz de lograr grandes hazañas de cálculo mental, incluso calculando en su mente raíces cuadradas de números irracionales. Luego, Wallis asistió a la escuela de Martin Holbeach en Felsted de 1631 a 1632, donde dominó el griego, el latín y el hebreo. Aunque aprendió lógica allí, no recibió capacitación en matemática hasta que su hermano le enseñó las reglas de la aritmética durante unas vacaciones de Navidad. El tema le atraía como una distracción, pero no se dedicaba formalmente a la matemática por entonces.

Wallis luego fue al Emanual College, Cambridge, en 1632, donde estudió ética, metafísica, geografía, astronomía y medicina. Más tarde defendió la nueva teoría de su maestro Glisson sobre la circulación de la sangre en debate público. Wallis completó su licenciatura en 1637 y su maestría en 1640. Luego fue ordenado y sirvió como capellán en varios puestos en los próximos años.

La carrera de Wallis dio un giro cuando descifró con éxito un mensaje realista codificado en solo dos horas. Esto lo hizo popular entre los parlamentarios, y Wallis continuó brindándoles servicio como criptógrafo durante la Guerra Civil. Como recompensa por su trabajo, Wallis recibió el cuidado de la iglesia de San Gabriel de Fenchurch Street en Londres en 1643. Su madre murió ese año, dejando a Wallis una herencia considerable.

Wallis transitó brevemente con una beca en Cambridge en 1644, pero se vio obligado a abandonar esto cuando se casó con Susanna Glyde en 1645. En Londres comenzó a reunirse regularmente con un grupo de científicos interesados en discutir medicina, geometría, astronomía y mecánica; Este grupo más tarde se convirtió en la Royal Society. A través de las reuniones se encontró con la obra Clavis Mathematica de William Oughtred en 1647, que devoró en unas pocas semanas. Este trabajo estimuló el amor de Wallis por la matemática y lo alentó a comenzar sus propias investigaciones.

Wallis primero escribió su Treatise on Angular Sections y descubrió métodos para resolver ecuaciones de grado cuatro. En 1649 Oliver Cromwell lo nombró para la cátedra de geometría saviliana en Oxford; sus oponentes sostuvieron que obtuvo el puesto por razones políticas, aunque parece que el nombramiento estaba justificado, basado en el servicio excepcional que Wallis brindó. Wallis ocupó el cargo durante más de 50 años, hasta su muerte; también fue nombrado guardián de los archivos de la universidad en 1657. En 1648 Wallis discrepó públicamente con la moción para ejecutar a Carlos I. Como resultado, Carlos II recompensó a Wallis cuando se restableció la monarquía: su nombramiento en la silla saviliana continuó, y también se convirtió en capellán real.

La principal contribución matemática de Wallis radica en su trabajo sobre los fundamentos del cálculo. Primero estudió el trabajo de Johannes Kepler y René Descartes, y luego extendió sus primeros resultados. Su Arithmetica Infinitorum de 1657 establece un desarrollo infinito del producto para la mitad del número pi, que Wallis descubrió en el curso del  cálculo de una determinada integral. Wallis descubrió cómo integrar funciones de la forma 1 - x^2 elevadas a una potencia entera, y extendió sus reglas a potencias fraccionarias mediante interpolación, basándose en las nociones de continuidad de Kepler. Su trabajo en esta área influiría más tarde en Newton, quien llevó los conceptos básicos del cálculo a un grado mucho mayor.

Link de interés

El Tract on Conic Sections de Wallis de 1655 presentaba parábolas y círculos como conjuntos de puntos que satisfacen ecuaciones algebraicas abstractas. Este enfoque, familiar para el lector moderno, difiere de la definición clásica, que describe estas curvas como la intersección de planos inclinados con un cono (se trata de secciones cónicas). Así, el estilo de Wallis recordaba la geometría analítica de Descartes. El Treatise of Algebra de 1685 de Wallis muestra su aceptación de las raíces negativas y complejas. Aquí Wallis resuelve muchas ecuaciones algebraicas y proporciona una gran cantidad de material histórico. Restauró algunos de los textos griegos antiguos, incluidas las obras de Aristarco de Samos y Arquímedes de Siracusa.

Wallis, además de su obra matemática, escribió sobre una variedad de otros temas: etimología, lógica y gramática, entre otros. Se involucró en una intensa disputa con el filósofo Thomas Hobbes, quien en 1655 afirmó haber cuadrado el círculo, lo que equivalía a descubrir un número racional cuyo cuadrado sea el número pi. Wallis refutó esta falsa afirmación públicamente, y siguió una disputa bastante desagradable que terminó solo cuando Hobbes murió.

Wallis dormía mal, tal vez porque su mente activa no lograba descansar fácilmente. Murió el 28 de octubre de 1703 en Oxford, Inglaterra. Es recordado principalmente por su trabajo sobre los fundamentos del cálculo, que influyó en matemáticos posteriores como Newton; sin embargo, sus trabajos matemáticos se extendieron también a la geometría y el álgebra. También es notable que Wallis fue el primer gran matemático inglés; no tenía predecesores ni maestros, pero a su paso la matemática se convirtió en un tema más popular.

 


Fuente bibliográfica:

  • McElroy, Tucker (2005) A to Z of Mathematicians. Facts On File, Inc.

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Seki Takakazu fue una figura singular en la historia de la matemática: en un momento en que la actividad matemática en Japón era bastante limitada, Seki hizo sorprendentes descubrimientos, rivalizando con los de matemáticos occidentales como Gottfried Leibniz. Sus logros son notables a la luz del hecho de que Seki no podía beneficiarse de una cultura matemática y colegas con quienes intercambiar ideas.

Seki nació en marzo de 1642 en Fujioka, Japón. Su familia era de la casta samurai, pero una familia de la nobleza, conocida como Seki Gorozayemon, adoptó a Seki. Posteriormente, fue identificado por este apellido adoptado. Seki fue un niño prodigio en matemática. Un sirviente de la casa le presentó el tema cuando tenía nueve años, y Seki fue autodidacta a partir de entonces. Cuando se convirtió en adulto, construyó una biblioteca de libros matemáticos chinos y japoneses, y gradualmente fue reconocido como un experto: se lo conoció como el “sabio aritmético”. Atrajo a un grupo de alumnos y provocó un crecimiento en la actividad matemática de Japón.

Seki sirvió como examinador de cuentas para el señor de Koshu, y cuando su maestro fue ascendido, se convirtió en un samurai shogunato en 1704. Más tarde, fue nombrado maestro de ceremonias en la casa del shogun.

El trabajo matemático de Seki, basado en antiguos matemáticos chinos, representó un avance considerable en el conocimiento. Publicó Hatsubi Sampo en 1674, un trabajo donde trató y resolvió ecuaciones algebraicas. En su exposición, Seki se muestra a sí mismo como un maestro cuidadoso y minucioso, explicando esto su popularidad entre los alumnos. En 1683 estudió los determinantes de una matriz, tema que no fue examinado en Occidente hasta una década más tarde, cuando Leibniz los usó para resolver ciertos problemas. Los llamados números de Bernoulli, llamados así por Jakob Bernoulli, fueron investigados anteriormente por Seki. Utilizó el concepto de números negativos para resolver ecuaciones, pero no tuvo conocimiento de los números complejos. Seki también investigó los cuadrados mágicos, siguiendo el trabajo de Yang Hui, y utilizó el método de Newton-Raphson para resolver ecuaciones algebraicas, descubierto independientemente de Sir Isaac Newton. Su trabajo sobre ecuaciones diofánticas también es digno de consideración. 

Poco más se sabe de Seki, excepto que murió el 24 de octubre de 1708 en Tokio, Japón. Es difícil determinar hasta qué punto su escuela estaba familiarizada con el cálculo, pero parece que Seki hizo algunos progresos en esta área. Esto es sorprendente, ya que Japón no tenía la tradición histórica que los europeos podían reclamar, es decir, las obras geométricas de las civilizaciones griegas y árabes anteriores. Seki debe ser visto en el linaje de los matemáticos chinos, a pesar de que era japonés, ya que estudió a fondo las matemáticas anteriores del continente.

 


Fuente bibliográfica:

  • McElroy, Tucker (2005) A to Z of Mathematicians. Facts On File, Inc.

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