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Posts Tagged ‘Isaac Newton’

Durante gran parte de la historia, los diversos campos de la matemática se desarrollaron por separado, o al menos se consideraron áreas de estudio distintas. Sin embargo, varios matemáticos intentaron presentar una descripción matemática de los fundamentos de la lógica y construir una aritmética lógica que facilitara la resolución de argumentos filosóficos abstrusos a través de una computación verificable. El primer pensador que hizo un progreso significativo hacia estos objetivos fue George Boole, un notable inglés por sus contribuciones tanto a la lógica como a la teoría de operadores. 

George Boole nació el 2 de noviembre de 1815, en Lincoln, Inglaterra, hijo de un zapatero llamado John Boole. El interés real de este último radicaba en la matemática y el diseño de instrumentos ópticos, y su negocio en consecuencia padecía su distracción. George Boole fue educado en los rudimentos de la matemática por su padre, pero debido a la pobreza no pudo seguir la educación superior. Sin embargo, alentado por su padre, Boole avanzó en su comprensión de la matemática y pronto adquirió una familiaridad con el latín, el griego, el francés y el alemán. Aunque su habilidad con la literatura era ejemplar, su principal interés era la matemática. 

A los 15 años comenzó a enseñar en Lincoln. El Instituto de Mecánica fue fundado en 1834; publicaciones de la Royal Society circulaban a través de la sala de lectura de la escuela, de la cual John Boole se convirtió en curador, y George Boole dedicó sus momentos libres restantes a la lectura de literatura matemática. En particular, se abrió paso a través de los Principia de Sir Isaac Newton con poca ayuda, y su reputación local lo llevó a un discurso público que marcaba la presentación de un busto de Newton en el Instituto. En 1840 contribuyó regularmente al Cambridge Mathematical Journal y a la Royal Society; sus talentos fueron reconocidos más tarde por la concesión de una Medalla Real en 1844 y la elección de la confraternidad de la Royal Society en 1857. 

Los escritos científicos de Boole están compuestos por unos 50 artículos sobre diversos temas, dos libros de texto que resumen su investigación y dos volúmenes sobre lógica matemática. Los textos, sobre ecuaciones diferenciales (1859) y diferencias finitas (1860), se usaron durante décadas y muestran el agudo intelecto y el uso fluido de operadores de Boole. El material sobre ecuaciones diferenciales fue original, utilizando un operador de diferencias y desplazamiento hacia adelante para resolver ecuaciones lineales en diferencias. Los artículos de 1841 y 1843 trataban transformaciones lineales, mostrando un principio de invariancia para formas cuadráticas; la teoría de invariantes sería desarrollada rápidamente por otros matemáticos en la segunda mitad del siglo XIX. Otro trabajo abordó ecuaciones diferenciales, donde Boole hizo mucho uso del operador diferencial D. 

En 1849, Boole solicitó el puesto de profesor de matemática en el recién creado Queen’s College de Cork, y su nombramiento a pesar de la ausencia de un título universitario formal dio testimonio de sus habilidades matemáticas ampliamente reconocidas. Aunque cargado con una pesada carga de enseñanza en Cork, Boole ahora habitaba en un entorno más propicio para la investigación. Era un maestro dedicado, creyendo en la importancia de la educación, tal vez en consideración de su propia falta. En 1855 se casó con Mary Everest, la sobrina de un profesor de griego en el Queen’s College. 

Después de 1850 Boole incursionó principalmente por la teoría de la probabilidad, ya que esto estaba relacionado con su interés profundo y permanente en los fundamentos de la lógica matemática. Su uso de operadores amplió en gran medida su poder de aplicación, pero Boole fue cauteloso sobre su uso indiscriminado, y siempre tuvo cuidado de verificar las condiciones de su implementación; también hizo hincapié en la necesidad de definiciones claras. Como resultado de estas preguntas precisas, Boole se dio cuenta de que una variable que representa una cantidad no numérica, como una afirmación lógica u otro objeto matemático, no solo era matemáticamente válida sino que también era de gran utilidad en muchas empresas. 

Había surgido una disputa entre el filósofo Sir William Hamilton y el matemático Augustus De Morgan sobre si la lógica pertenecía al dominio de la filosofía o de la matemática. De Morgan, que era amigo de Boole, había hecho varias contribuciones a la lógica a través de sus leyes sobre teoría de conjuntos, pero Hamilton era escéptico de que la matemática pudiera ser de algún beneficio; Boole defendió la validez de un enfoque matemático de la lógica en Mathematical Analysis of Logic (1847), y estableció un marco axiomático para la lógica, muy parecido al fundamento de la geometría clásica. La historia probaría más tarde que Boole y De Morgan habían ganado, ya que la lógica matemática se ha convertido desde entonces en una disciplina próspera (y sorprendentemente intrincada). 

El intento de reducir la lógica a un cálculo puro había sido intentado previamente por Gottfried Leibniz; el sueño era reemplazar debates filosóficos largos y pendencieros con un sistema algebraico capaz de resolver proposiciones dudosas a través de simples cálculos. Los primeros esfuerzos se basaron en gran medida en la aritmética euclidiana como una analogía para la lógica algebraica, pero encontraron espinosas dificultades. La construcción de Boole era original y diferente, y esencialmente era un álgebra completamente nueva, diferente de la aritmética, pero válida para su propio propósito. Las ideas parecen haberse originado a partir de la familiaridad de Boole con los operadores: aplicaría un operador con una propiedad definda a un universo de elementos, y de ese modo obtendría todos los individuos o elementos con esa propiedad en particular. Por ejemplo, un operador puede definirse para seleccionar zanahorias de cualquier universo de objetos en el discurso, como el contenido de su jardín. La aplicación sucesiva de operadores a un universo, que era conmutativa, definió una multiplicación para el álgebra. A partir de este punto de partida, Boole desarrolló una noción de sustracción (que involucraba el complemento de un conjunto), suma (asociada por Boole al “o” excluyente, aunque en los tiempos modernos, al “o” inclusivo) e incluso una división. Es interesante destacar que este fue el primer álgebra idempotente conocida, que tiene la propiedad de que el cuadrado de cualquier operador es igual a sí mismo, ya que aplicar un operador dos veces seguidas equivale a aplicarlo solo una vez. Esta situación señala una desviación clara e irrevocable de la aritmética más familiar, donde los únicos elementos de juicio son el uno y el cero. 

En Investigation of the Laws of Thought, Boole aplica este cálculo a las leyes de la probabilidad. Usando el símbolo P(A) para la probabilidad de un evento A, Boole describe la multiplicación de probabilidades en términos de la probabilidad de la intersección de dos eventos independientes, la suma de probabilidades como la probabilidad de la unión mutuamente excluyente de dos eventos, y así siguiendo. Este simbolismo le permitió corregir el trabajo anterior en probabilidad. La salud de Boole comenzó a declinar en 1864, y cuando quedó atrapado bajo la lluvia camino a una clase, dio su conferencia con la ropa mojada. Este evento puede haber acelerado su muerte, que ocurrió el 8 de diciembre de 1864, en Ballintemple, Irlanda. 

Su Investigation of the Laws of Thought es sin duda el legado más importante de Boole; muchos otros ampliarían su trabajo en lógica matemática y las llamadas álgebras de Boole. Incluso el flujo de programas informáticos, que implementan variables booleanas (una cantidad que toma el valor “verdadero” o “falso”), utiliza su teoría. El diseño de los circuitos eléctricos es especialmente adecuado para el uso de un álgebra de Boole, debido al sistema binario de interruptores de encendido y apagado.

 

Un poco de humor para cerrar el artículo…

 


Fuente bibliográfica:

  • McElroy, Tucker (2005) A to Z of Mathematicians. Facts On File, Inc.
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Un problema pendiente de principios del siglo XIX, que más tarde resultaría en los desarrollos radicales de George Cantor, era determinar los cimientos del sistema de los números reales. No se habían comprendido aún propiedades como la divisibilidad infinita de los números reales y la densidad de los números racionales entre los irracionales, y como resultado no se entendía bien la teoría básica de las funciones, incluidos temas como la continuidad y la diferenciabilidad. Bernhard Bolzano, un activo defensor de fundamentos rigurosos para la ciencia y la matemática, hizo contribuciones significativas al conocimiento del análisis; su énfasis en la necesidad de un sistema preciso de números reales llevó a su desarrollo a manos de Richard Dedekind, y sus otras investigaciones también fueron precursoras de una aritmética de la lógica infinita y moderna. 

Bernardus Placidus Johann Nepumuk Bolzano fue el cuarto hijo de Caecilia Maurer y un comerciante de arte cívico llamado Bernhard Bolzano. Nació el 5 de octubre de 1781, en un antiguo distrito de Praga, uno de 12 niños; su padre era un inmigrante italiano con gran interés en el trabajo social que más tarde lo  llevó a establecer un orfanato. Como resultado de este ambiente, el joven Bolzano estuvo preocupado por la ética a lo largo de su vida, poseyendo una aguda sensibilidad a la injusticia. 

En 1791, Bolzano ingresó al Piarist Gymnasium. Estudió filosofía en la Universidad de Praga en 1796. Su interés por la matemática se vio estimulado por la lectura de Kästner, quien se preocupó por probar proposiciones que comúnmente se percibían como evidentes. Después de 1800, Bolzano pasó de la filosofía a la teología, aunque tenía continuas dudas sobre la verdad del cristianismo. En cambio, se volvió hacia el moralismo y se alejó de la religión sobrenatural, creyendo que la ética suprema residía en la acción que más beneficiaba a la sociedad. Sin embargo, reconcilió esta perspectiva personal con su compromiso con el catolicismo. 

El emperador de Austria había decidido establecer una cátedra de filosofía de la religión en todas las universidades, como parte del movimiento de restauración católico contra la Ilustración. Mucho del libre pensamiento se había extendido a través de Bohemia, y el emperador temía las consecuencias de tales ideas radicales en vista de la destrucción causada por la Revolución Francesa. Bolzano fue nombrado presidente de la Universidad de Praga en 1805, a pesar de sus propias simpatías ilustradas. Sus conferencias sobre religión contaban con una entusiasta audiencia, y exponía allí sus puntos de vista personales sin reservas.  

Bolzano fue respetado por sus colegas, y se convirtió en decano de la facultad de filosofía en 1818. Mientras tanto, Viena presentó una acusación contra él en 1816, ya que sus puntos de vista ilustrados lo habían hecho impopular con el gobierno conservador; fue despedido en 1819, se le prohibió publicar y se lo puso bajo supervisión policial. Bolzano tercamente se negó a arrepentirse de sus herejías, y la situación finalmente cesó en 1825 por la intercesión del líder nacionalista Dobrovsky. 

Aunque Bolzano estaba principalmente preocupado por cuestiones sociales y religiosas, ya se sentía atraído por la precisión metodológica de la matemática y la lógica. Esto condujo a algunas excelentes contribuciones al análisis matemático, aunque estos logros raramente tuvieron un reconocimiento significativo. Dos problemas no resueltos -la prueba del postulado de las paralelas de Euclides de Alejandría y la base del análisis a través de la clarificación de  los infinitesimales- reclamaron la atención de Bolzano. Su Betrachtungen über einige Gegenstände der Elementargeometrie de 1804 intentó describir una teoría de triángulos y paralelas a través de una teoría puramente lineal, que nunca llegó a concretarse completamente. Ignorante del trabajo de Nicolay Ivanovich Lobachevsky y János Bolyai sobre la geometría no euclidiana, Bolzano desarrolló una crítica metodológica de los Elementos de Euclides en su manuscrito “Anti-Euklid”. Por ejemplo, requirió una prueba de la afirmación de que cualquier curva cerrada divide el plano en dos porciones disjuntas; este resultado más tarde se conoció como el teorema de la curva de Jordan, probado por Camille Jordan. Parcialmente a través de las objeciones y preguntas planteadas por Bolzano, el campo de la matemática conocido como topología comenzó a existir a fines del siglo XIX. 

Su Rein analitischer Beweis de 1817 obtuvo importantes resultados relevantes para la base del análisis matemático, más tarde completados en su Theorie der Reellen Zahlen de 1832-1835. Muchos otros matemáticos, como Joseph-Louis LaGrange y Jean Le Rond d’Alembert, habían intentado liberar la matemática de la noción de infinitesimal introducida por Sir Isaac Newton y Gottfried Leibniz en el siglo XVII, pero Bolzano se encontró con el primer logro exitoso en Rein analtischer Beweis. Aquí da la definición de una función continua que todavía está en uso hoy en día, y obtiene un resultado de la propiedad de asumir valores intermedios. También introduce la noción de supremo de un conjunto de números reales que tienen una propiedad dada, un concepto que es una piedra angular en la teoría de los números reales. Bolzano también analiza el “criterio de convergencia de Cauchy”, por el cual una sucesión de funciones tiende a cierto límite si los miembros de la sucesión se acercan entre sí. 

Aunque las pruebas son incompletas, esto se debió a la inadecuación del  momento del concepto de número real. En su Functionenlehre presenta una teoría de funciones más completa, que incluye varios resultados redescubiertos más tarde por Karl Weierstrass en la segunda mitad del siglo XIX. Bolzano demostró que una función continua en un intervalo cerrado debe alcanzar un valor extremo, ahora llamado Teorema del valor extremo en cálculo; la demostración requiere el teorema de Bolzano-Weierstrass sobre los puntos de acumulación de sucesiones acotadas. Él distingue entre la continuidad y la propiedad de asumir valores intermedios como características más fuertes y más débiles, respectivamente. Desarrolla la conexión entre monotonía y continuidad, y da la construcción de la función de Bolzano, que era continua pero en ningún lugar diferenciable, significativamente anterior al propio ejemplo de Weierstrass. El Functionenlehre contenía muchos errores, incluida la falsa noción de que el límite de una sucesión de funciones continuas debe ser necesariamente continuo, y que la integración a largo plazo de una serie infinita siempre es posible. 

Su teoría de las cantidades se completó en Theorie der Reelen Zahlen, pero este manuscrito no se publicó y, por lo tanto, no pudo influir en el posterior desarrollo del análisis. Bolzano describe tales números reales como capaces de una aproximación arbitrariamente precisa por números racionales. Además, su Paradoxien des Unendlichen (Paradojas del infinito) contiene muchos intrigantes fragmentos de la teoría de conjuntos, y lleva el tema al límite de la aritmética cardinal. Bolzano observa que un conjunto infinito se puede poner en correspondencia uno a uno con un subconjunto propio, y que esto realmente caracteriza a los conjuntos infinitos. Sin embargo, él no da el siguiente paso en la definición de cardinales del infinito; Dedekind (1882) usaría más tarde esta propiedad de conjuntos infinitos para definir el infinito, y Cantor desarrollaría una clasificación de infinitos. 

Desde 1820 Bolzano trabajó en el tratado Wissenschaftslehre de 1837, que era una teoría de la ciencia basada en la lógica. Sus cuatro volúmenes trataban la prueba de la existencia de verdades abstractas, la teoría de ideas abstractas, la condición de la facultad humana del juicio, las reglas del pensamiento humano en la búsqueda de la verdad y las reglas para dividir las ciencias. Aunque este trabajo pasó desapercibido en su momento, existe una gran similitud con la lógica moderna, especialmente en las nociones de Bolzano de proposición abstracta, idea y derivabilidad. 

Desde 1823 Bolzano pasó sus veranos en la propiedad de su amigo Hoffmann en el sur de Bohemia. Luego vivió allí por más de una década. En 1842 regresó a Praga, donde continuó sus estudios matemáticos y filosóficos hasta su muerte el 18 de diciembre de 1848. Bolzano fue un importante matemático del siglo XIX, cuya búsqueda de la verdad llevó a un excelente trabajo sobre los cimientos de la recta numérica real. Su nombre se encuentra en muchas áreas del análisis, como el teorema de Bolzano-Weierstrass y la función de Bolzano; es considerado como uno de los fundadores de la teoría moderna del análisis real.

 


Fuente bibliográfica:

  • McElroy, Tucker (2005) A to Z of Mathematicians. Facts On File, Inc.

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El segundo de los famosos hermanos Bernoulli, Johann Bernoulli, formaba parte de una notable familia de matemáticos. Fue su destino pasar su primera carrera bajo la sombra de su consumado hermano Jakob Bernoulli, pero finalmente se hizo famoso por su propio genio. Bernoulli, uno de los principales proponentes del cálculo diferencial leibniziano en la vida posterior, fue en cierto punto el matemático más eminente de Europa. 

Johann Bernoulli nació el 6 de agosto de 1667 en Basilea, décimo hijo de una rica familia mercantil. Los Bernoulli eran originarios de Holanda, pero el padre de Johann Bernoulli, Nikolaus Bernoulli, se había establecido en Suiza como y se casó con la rica Margaretha Schönauer. Originalmente, Johann Bernoulli estaba destinado a una carrera en los negocios, pero después de un aprendizaje fallido como vendedor, se le permitió en 1683 inscribirse en la universidad. Su hermano mayor Jakob Bernoulli estaba dando conferencias allí sobre física experimental, y Johann Bernoulli se benefició de la tutela de su hermano mayor en matemática. Respondiendo a una de las disputas lógicas en 1685 de Jakob Bernoulli, Johann Bernoulli fue elevado a magister artium y comenzó el estudio de la medicina. Su primera publicación de procesos de fermentación apareció en 1690, y obtuvo su doctorado en 1694 con una disertación matemática en el campo de la medicina.

Mientras tanto, Johann Bernoulli seguía ávidamente estudiando matemática (sin la aprobación de su padre) y, junto con Jakob Bernoulli, dominó el cálculo diferencial de Gottfried Leibniz. La solución de Johann Bernoulli al problema de la catenaria, planteado por Jakob Bernoulli en 1691, mostró su talento y lo marcó como un matemático líder de Europa. En ese momento estaba en Ginebra, pero pronto se trasladó a París, donde obtuvo reconocimiento gracias a su “teorema de oro”: la determinación de una fórmula para el radio de curvatura de una curva arbitraria. Bernoulli se reunió con Guillaume de L’Hôpital, y fue empleado por este último para darle clases de cálculo infinitesimal, por lo que Bernoulli fue recompensado magníficamente. Cuando Bernoulli volvió más tarde a Basilea, la correspondencia entre ambos continuó y se convirtió en la fuente de un primer libro de cálculo titulado Analyze des infiniment petits (Análisis de los infinitos pequeños). Bernoulli fue un fiel y ávido comunicador, escribiendo 2.500 cartas con 110 eruditos a lo largo de su vida; entre estas personas estaba Leibniz, con quien Bernoulli intercambió sus opiniones científicas a partir de 1693.

Durante este período, un hiato de sus estudios médicos, Bernoulli obtuvo varios resultados matemáticos que fueron publicados como artículos cortos. De principal importancia es su trabajo sobre las funciones exponenciales y el desarrollo en serie de ellas por integración. La integración era vista como la operación inversa a la diferenciación, y por lo tanto podía ser utilizada para resolver ecuaciones diferenciales. La penetrante intuición de Johann Bernoulli permitió una elegancia de solución que las técnicas más brutales de Jakob Bernoulli no lograron, lo que ilustró el contraste entre los dos hermanos. La formulación vía cálculo exponencial de Johann Bernoulli, que es simplemente la aplicación del cálculo diferencial de Leibniz a funciones exponenciales, amplió aún más la aplicabilidad de métodos infinitesimales. En 1695 sumó la serie armónica infinita, desarrolló teoremas de suma para funciones trigonométricas e hiperbólicas, y describió la generación geométrica de pares de curvas. La suma de los cuadrados de los recíprocos permaneció impermeable a ambos esfuerzos de los Bernoulli, y fue calculada más adelante por Leonhard Euler, el estudiante más capaz de Johann Bernoulli.

Habiendo completado su licenciatura en medicina, Bernoulli aceptó la cátedra de matemáticasen la Universidad de Groningen. Ya se había casado con Dorothea Falkner cuando partió para Holanda y estaba lleno de resentimiento hacia Jakob Bernoulli. La relación con su hermano ya había comenzado a desintegrarse: ambos hombres tenían personalidades pendencieras, y Johann Bernoulli era un ávido debatidor y polémico. Sin embargo, la feistiness de Johann Bernoulli extendió más allá de su hermano; en 1702 participó en disputas teológicas con profesores de Groningen, y fue etiquetado un seguidor de Spinoza.

En junio de 1696 Bernoulli planteó el siguiente problema, conocido como la braquistócrona: determinar el camino de descenso más rápido entre dos lugares fijos. Dedicando el problema “a los matemáticos más sagaces de todo el mundo”, Bernoulli dio un plazo de medio año para encontrar la solución; Leibniz, que solucionó inmediatamente el problema, predijo con exactitud que sólo cinco personas en el mundo eran capaces de éxito: Sir Isaac Newton, el propio Leibniz, los hermanos Bernoulli y L’Hôpital. La braquistócrona proporciona otro contraste de las habilidades de los hermanos: el análisis engorroso de Jakob Bernoulli puso los fundamentos para el cálculo de variaciones, mientras que el acercamiento de Johann Bernoulli redujo ingeniosamente el problema a una pregunta en óptica, y dedujo la ecuación diferencial correcta de la ley de la refracción. Jakob Bernoulli planteó posteriormente el problema isoperimétrico, cuya solución requería el nuevo cálculo de variaciones, que había sido característicamente subestimado por Johann Bernoulli. Su solución publicada era por lo tanto inadecuada, dando por resultado el desprestigio desenfrenado de Jakob Bernoulli. No fue hasta muchos años después de la muerte de Jakob Bernoulli que Johann Bernoulli admitió la supremacía del cálculo de variaciones. En 1718, Johann Bernoulli produjo una solución elegante del problema isoperimétrico utilizando la metodología de Jakob Bernoulli, y este trabajo contenía las nociones tempranas para el cálculo moderno de variaciones.

El trabajo de Johann Bernoulli sobre la cicloide, en su descripción de la “fatídica curva del siglo XVII”, promulga su desarrollo de la integración de funciones racionales a través del método de las fracciones parciales. Un acercamiento algebraico formal a tales cálculos era típico de Johann Bernoulli, y su influencia en las técnicas comunes del cálculo se ha sentido con los tiempos modernos.

Después de la muerte de Jakob Bernoulli en 1705, Johann Bernoulli le sucedió en la cátedra de matemática en Basilea, al parecer una decisión motivada por su familia. Pronto se vio envuelto en la polémica disputa de prioridad entre Newton y Leibniz, y criticó abiertamente el apoyo de Taylor al método de fluxiones (el cálculo newtoniano). En debates y concursos posteriores, Bernoulli pudo analizar con éxito algunos problemas, como la trayectoria de la curva balística en el caso general, para la que el cálculo newtoniano era insuficiente. Después de la muerte de Newton en 1727, Bernoulli sería reconocido como el principal matemático de Europa. En Basilea estudió mecánica teórica y mecánica aplicada, y en 1714 publicó su único libro, Théorie de la manoeuvre des vaisseaux. En este trabajo critica las teorías de navegación francesas y desarrolla el principio de velocidades virtuales, con aplicaciones a sistemas mecánicos conservadores. En otros trabajos investigó la transmisión del momento, el movimiento de los planetas y el fenómeno del barómetro luminoso.

Bernoulli fue sumamente honrado durante su vida, siéndole concedida la calidad de miembro de las academias de París, de Berlín, de Londres, de San Petersburgo y de Bolonia. Se benefició de un alto estatus social en Basilea, debido a sus conexiones maritales y la riqueza de la familia, y ocupó varias oficinas cívicas allí. Murió el 1 de enero de 1748, en Basilea. Su ingenio al resolver problemas matemáticos particulares lo convirtió en uno de los mejores matemáticos de su época. En términos de legado, no fue tan exitoso como su hermano Jakob Bernoulli, pero sin embargo dejó un influyente trabajo sobre mecánica y ecuaciones diferenciales.

 


Fuente bibliográfica:

  • McElroy, Tucker (2005) A to Z of Mathematicians. Facts On File, Inc.

 

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