Un cambio de paradigma importante en la intuición geométrica tuvo lugar en el siglo XIX, cuando Carl Friedrich Gauss, János Bolyai y Lobachevsky desarrollaron, independientemente, geometrías alternativas al espacio plano. Lobachevsky fue el primero en publicar este descubrimiento. Sus generalizaciones de la noción intuitiva de espacio han demostrado ser extremadamente relevantes dentro de la matemática (allanando el camino para la definición abstracta y el estudio de la geometría) y la física, a través del modelado del efecto de la gravedad en la forma del universo.
Nikolai Lobachevsky nació el 2 de diciembre de 1792 en Gorki, Rusia. Su padre, Ivan Maksimovich, era empleado administrativo, y su madre se llamaba Praskovia Aleksandrovna Lobachevskaya. En 1800, la madre de Lobachevsky se trasladó, junto con Lobachevsky y sus dos hermanos, a Kazan. Allí los tres chicos se inscribieron en el Gymnasium con becas. En 1807 Lobachevsky ingresó a la Universidad de Kazan, donde estudió matemática y física, obteniendo su maestría en 1812.
En 1814 Lobachevsky dio una conferencia sobre matemática y mecánica como adjunto y se convirtió en profesor el mismo año; fue promovido en 1822 y ocupó diversos cargos en la Universidad de Kazan, incluido el de decano del departamento de física y matemática, bibliotecario de la universidad, rector y asistente del fideicomisario del distrito de Kazan. Su primer trabajo importante, escrito en 1823, se llamó Geometriya (Geometría), y sus estudios geométricos básicos lo condujeron a sus investigaciones posteriores sobre geometría no euclidiana. Informó de sus primeros descubrimientos en 1826 y publicó estas ideas en 1829–1830.
Lobachevsky intentó inicialmente probar el quinto postulado de Euclides de Alejandría, como muchos antes que él (incluyendo Claudio Ptolomeo, Thabit ibn Qurra, Abu Ali al-Haytham, Adrien-Marie Legendre y John Wallis) lo habían intentado y fracasado. Pronto recurrió a la construcción de una geometría más general que no requería el quinto postulado, que establece que dada una recta y un punto fuera de ella, existe una única recta a través del punto que es paralela a la recta dada. La geometría resultante, que Lobachevsky denominó «geometría imaginaria», permitió la construcción de múltiples rectas paralelas distintas a través del punto dado. Desde aquí pudo deducir varias propiedades interesantes: la más importante es que la geometría era consistente(no había contradicción en sus reglas, por más que fueran intuitivas sus características). Curiosamente, la suma de los ángulos en un triángulo es menor que 180 grados; posteriormente, Lobachevsky intentó deducir la geometría del universo midiendo los ángulos de un vasto triángulo cósmico atravesado por estrellas distantes. Concluyó que, dentro de los márgenes del error de medición, los ángulos sumaban 180 grados y, por lo tanto, el universo es euclidiano.
Lobachevsky produjo varios artículos más sobre este tema; dio tanto una definición axiomática como una constructiva de su «pangeometría», que más tarde se conocería como geometría hiperbólica. Sus ideas no fueron aceptadas inicialmente en el extranjero, aunque fue promovido en Kazán y convertido en noble en 1837. Se casó en 1832 con una adinerada aristócrata, Lady Varvara Aleksivna Moisieva, y tuvieron siete hijos.
Además de su importante trabajo geométrico, Lobachevsky contribuyó en álgebra, series infinitas y teoría de la integración. Sin embargo, este trabajo estaba condimentado por sus ideas geométricas y se relacionaba con su «geometría imaginaria». Gauss apreció los esfuerzos de Lobachevsky, que eran similares a su propio trabajo sobre geometría no euclidiana, y ayudó a su elección a la Academia de Ciencias de Göttingen después de 1842.
Lobachevsky, a pesar de su matrimonio ventajoso, experimentó dificultades financieras en sus últimos años, debido al costo de su familia numerosa y al mantenimiento de su patrimonio. Sus ojos se deterioraron con la edad hasta que quedó totalmente ciego. Murió el 24 de febrero de 1856, en Kazán.
El reconocimiento del trabajo pionero de Lobachevsky llegó lentamente. Muchos matemáticos, como Arthur Cayley, no pudieron comprender su significado y lo denigraron. En la década de 1860, las obras de Bolyai y Lobachevsky ganaron cada vez más renombre entre los franceses, y Eugenio Beltrami más tarde dio una construcción de la geometría lobachevskiana en un círculo cerrado del plano. Después de 1870 Karl Weierstrass y Felix Klein se interesaron por el trabajo de Lobachevsky, y Klein finalmente formuló las diversas geometrías (elíptica, plana e hiperbólica) en términos de invariantes de transformaciones de grupo. Posteriormente se demostró que la geometría lobachevskiana era un caso especial de las geometrías de Cayley. Henri Poincaré, junto con Klein, se basó en las ideas de Bernhard Riemann y Lobachevsky. En el siglo XX se demostró que la geometría no euclidiana era relevante para la teoría general de la relatividad. Es intrigante que luego se demostró que el espacio del universo tiene curvatura variable, con la urdimbre y la trama de su tejido definidas por fuerzas gravitacionales. Esta realidad está modelada por la geometría de Lobachevsky.
Fuente bibliográfica:
McElroy, Tucker (2005) A to Z of Mathematicians. Facts On File, Inc.
Felix Klein fue un personaje importante en el desarrollo de la matemática del siglo XIX: hizo importantes contribuciones al conocimiento actual de la teoría de grupos y las superficies de Riemann, así como en el campo de la geometría hiperbólica y proyectiva, y desarrolló la teoría de las funciones automórficas. Su trabajo dio dirección e ímpetu a la próxima generación de matemáticos en Europa.
Christian Felix Klein nació en Düsseldorf, Alemania, el 25 de abril de 1849. Después de graduarse de la escuela secundaria local, comenzó a estudiar matemática y física en la Universidad de Bonn, obteniendo su doctorado en 1868. Inicialmente quería ser físico, pero bajo la influencia de su maestro Julius Plücker cambió a la matemática. Su disertación trató temas de geometría lineal (también conocida como geometría proyectiva).
A continuación, Klein continuó su educación en Göttingen, Berlín y París, con una breve interrupción debido a la guerra franco-prusiana. En 1871 obtuvo una cátedra en Göttingen, y al año siguiente se convirtió en profesor en la Universidad de Erlangen. Durante este tiempo, Klein estudió ciertas superficies y curvas especiales y proporcionó modelos importantes para las nuevas geometrías hiperbólicas y elípticas descubiertas anteriormente por Nicolay Ivanovich Lobachevsky y János Bolyai. Sus ejemplos se basaron en la geometría proyectiva, y él fue el primero en dar tales construcciones; uno de sus documentos importantes de esta época fue Sobre la llamada geometría no euclidiana, que puso la geometría no euclidiana en una base sólida. A continuación, Klein identificó los grupos que están asociados naturalmente con varios tipos de geometrías. Más tarde conectó estos resultados teóricos a la física a través de la teoría de la relatividad.
Klein fue catedrático en Munich, Leipzig y finalmente en Göttingen en 1886. En 1875 se casó con Anne Hegel, y tuvieron un hijo y tres hijas. Además de su trabajo inicial en geometría proyectiva y teoría de grupos, Klein hizo contribuciones a la teoría de la función, trabajo que él consideraba como el más importante. Klein pudo relacionar con éxito las superficies de Riemann, una clase de superficies encontradas en el análisis complejo, con la teoría de números, el álgebra, las ecuaciones diferenciales y la teoría de las funciones automórficas. La excelente intuición espacial de Klein le permitió rastrear relaciones notables. Se apartó de la escuela de pensamiento dirigida por Karl Weierstrass, que tenía un enfoque aritmético. En 1913, Hermann Weyl dio una base rigurosa a muchas de las ideas importantes de Klein.
Klein también estaba interesado en la solución de la ecuación de quinto grado, ya que la teoría que se había desarrollado incluía álgebra, teoría de grupos, geometría, ecuaciones diferenciales y teoría de funciones. Derivó una teoría completa para esta ecuación a través de la proyección estereográfica de las simetrías de grupo del icosaedro, y en consecuencia descubrió las funciones modulares elípticas. Después de estudiar sus propiedades, continuó investigando funciones automórficas y campos de funciones algebraicas. Toda esta investigación estimuló una mayor exploración por parte de sus propios estudiantes, y las ideas tienen una relevancia continua en muchas áreas de la matemática moderna.
Aunque Klein hizo la mayor parte de su trabajo en matemática pura, estaba muy preocupado por las aplicaciones. En la década de 1890 se dedicó a la física y la ingeniería. Incluso ayudó a fundar el Instituto de Investigación Aeronáutica e Hidrodinámica de Göttingen e intentó alentar a los ingenieros a una mayor apreciación de la matemática. Se retiró en 1913 debido a su mala salud, y murió el 22 de junio de 1925 en Göttingen.
Klein fue un matemático versátil, contribuyendo a varias ramas de la matemática, y ayudó a establecer a Göttingen como un centro de actividad matemática en Alemania. A través de sus numerosos alumnos y su extensa investigación, Klein ejerció una gran influencia en el desarrollo de la matemática desde el siglo XIX hasta el siglo XX.
Fuente bibliográfica:
McElroy, Tucker (2005) A to Z of Mathematicians. Facts On File, Inc.
Conocido como el «príncipe de las matemáticas», Carl Gauss a menudo se clasifica con Sir Isaac Newton y Arquímedes de Siracusa como el principal pensador; ciertamente, entre sus contemporáneos no tenía rivales, como incluso ellos reconocieron. Conservador, frío, introspectivo, brillante, prolífico, trágico y ambicioso: la vida de Gauss representa la del matemático ideal o arquetípico en muchos aspectos. Su trabajo se extendió a través de las matemáticas puras, incluidas la aritmética y la teoría de números, la geometría, el álgebra y el análisis; a las matemáticas aplicadas, probabilidad y estadística, mecánica y física; a las ciencias de la astronomía, geodesia, magnetismo y dioptras, a labores industriales en ciencia actuarial y valores financieros. Gauss fue un investigador de campo activo, empirista, analista de datos y estadístico, teórico e inventor, con más de 300 publicaciones y más de 400 ideas originales a lo largo de una larga vida de esfuerzo intenso y sostenido. Su genio floreció en una época de poca actividad matemática en Alemania, y es más notable por su estilo solitario.
Carl Friedrich Gauss nació el 30 de abril de 1777, en Brunswick, Alemania, de padres de clase baja. La madre de Gauss era muy inteligente pero semi-analfabeta, y fue una ferviente defensora de su hijo a lo largo de su larga vida. Su padre trabajó en varias profesiones en un intento de sacar a su familia de la pobreza; de una inclinación práctica, nunca apreció los dones extraordinarios de su hijo, que se manifestaron a una edad temprana. Antes de poder hablar, Carl había aprendido a calcular y, a los tres años, ¡había corregido los errores en los cálculos salariales de su padre! En su octavo año, mientras estaba en su primera clase de aritmética, Gauss encontró una fórmula para la suma de los primeros n números consecutivos. Su maestro, adecuadamente impresionado, le proporcionó al niño literatura para alentar su desarrollo intelectual.
En 1788, a la edad de 11 años, el niño prodigio ingresó al Gymnasium, donde progresó rápidamente en todos sus estudios, especialmente los clásicos y matemática. Gracias a la benevolencia de sus maestros, el duque de Brunswick le asignó un estipendio, lo que lo hizo independiente; Gauss tenía 16 años en ese momento. En 1792 ingresó en el Collegium Carolinum, que ya poseía una educación científica completa. Sus extensos cálculos e investigaciones empíricas lo habían llevado a una profunda familiaridad con los números y sus propiedades; él ya había descubierto independientemente la ley del movimiento planetario de Bode y el teorema binomial para exponentes racionales.
Mientras estaba en el Collegium, Gauss continuó sus investigaciones en aritmética empírica y formuló el principio de mínimos cuadrados utilizado en estadística. En 1795 ingresó en la Universidad de Göttingen, y para entonces había redescubierto la ley de la reciprocidad cuadrática, relacionado la media aritmético-geométrica con los desarrollos de series infinitas, conjeturado el teorema del número primo y encontrado algunos resultados tempranos en la geometría no euclidiana. Gauss leyó a Newton, pero la mayoría de los clásicos matemáticos no estaban disponibles; como resultado, casi se convirtió en filólogo. Sin embargo, en 1796 hizo el importante descubrimiento de que el 17-ágono regular podía construirse con regla y compás, un problema pendiente que no se había resuelto durante 2.000 años. Este éxito lo motivó a seguir el camino de la matemática.
Su destino como matemático quedó establecido, y los años hasta 1800 estuvieron marcados por una notable profusión de ideas. En estilo, Gauss adoptó el rigor de la geometría griega, aunque pensó algebraicamente y numéricamente. Persiguió intensas investigaciones empíricas, seguidas por la construcción de teorías rigurosamente establecidas. Este enfoque de la ciencia aseguraba que había una estrecha conexión entre la teoría y la práctica.
En 1798, terminada la universidad, Gauss regresó a Brunswick, donde vivió solo y trabajó asiduamente. El año siguiente presentó la prueba del teorema fundamental del álgebra, que establece que cualquier polinomio de grado n tiene exactamente n raíces en los números complejos; con este resultado, la primera de las cuatro pruebas que escribiría para este teorema, obtuvo su doctorado en la Universidad de Helmstedt. El año 1801 marcó dos grandes logros para Gauss: las Disquisitiones arithmeticae (Investigaciones aritméticas) y el cálculo de la órbita del recién descubierto planeta Ceres. El primero fue un resumen sistemático del trabajo previo en teoría de números, en el que resolvió la mayoría de las preguntas pendientes difíciles y formuló conceptos que influirían en la investigación futura durante dos siglos. Introdujo el concepto de congruencia modular, probó la ley de la reciprocidad cuadrática, desarrolló la teoría de las formas cuadráticas y analizó la ecuación ciclotómica. Este libro ganó la fama y el reconocimiento de Gauss entre los matemáticos como su «príncipe», pero su estilo austero aseguró que sus lectores fueran pocos. En cuanto a Ceres, era un planeta nuevo que había sido observado por Giuseppe Piazzi y posteriormente se perdió de vista. Gauss, equipado con sus talentos computacionales, se encargó de ubicar el cuerpo celeste. Con una teoría de órbita más precisa, que utilizaba una órbita elíptica en lugar de circular, y sus métodos numéricos de mínimos cuadrados, pudo predecir la ubicación de Ceres. Debido a que no reveló sus métodos, la hazaña parecía sobrehumana y estableció a Gauss como un genio científico de primera clase.
Durante la próxima década, Gauss explotó las ideas científicas de los 10 años anteriores. Pasó de matemático puro a astrónomo y científico físico. Aunque fue tratado bien por el duque de Brunswick, que todavía lo apoyaba con un estipendio, Gauss decidió tomar la astronomía como carrera estable en la que podría seguir investigando sin la carga de la enseñanza; en 1807 aceptó la dirección del observatorio de Göttingen. Hizo algunos contactos entre otros científicos que brotaron en colaboraciones, pero tuvo poca interacción con otros matemáticos: intercambió algunas cartas con Sophie Germain y más tarde tuvo a Gustav Peter Lejeune Dirichlet y Bernhard Riemann como estudiantes, pero no trabajó de cerca con ninguna de estas personas. Esto parece deberse a su arraigada introspección, una consecuencia de sus poco apreciados talentos de la infancia, y una ambición de conducción que lo hizo no estar dispuesto a compartir el descubrimiento con los demás. Gran parte del trabajo de Gauss fue inédito, aparentemente porque creía que no era digno de difusión; la verdadera razón parece ser su secretismo posesivo que fomentó la renuencia a revelar sus métodos.
En este período de tiempo, se fijaron las opiniones políticas de Gauss: un acérrimo conservador, estaba desconcertado por el caos de la revolución y era escéptico de la democracia. En filosofía fue un empirista, rechazando el idealismo de Immanuel Kant y Georg Hegel. También experimentó algo de felicidad personal en este momento; en 1805 se casó con Johanna Osthoff, con quien engendró una hija y un hijo. Pero en 1809 murió en el parto, y Gauss se sumió en la soledad. Aunque pronto se volvió a casar con Minna Waldeck, este matrimonio fue menos feliz, ya que a menudo estaba enferma. Gauss dominó a sus hijas y peleó con sus hijos, que dejaron Alemania para irse a Estados Unidos.
En sus primeros años en Göttingen, Gauss tuvo otra oleada de ideas matemáticas sobre funciones hipergeométricas, la aproximación de la integración y el análisis de la eficacia de estimadores estadísticos. Sus deberes astronómicos devoraron gran parte de su tiempo, pero continuó con las investigaciones matemáticas en sus momentos libres. En este momento desarrolló muchas de las nociones de la geometría no euclidiana, elaborada desde sus primeros años en Göttingen como estudiante. Sin embargo, su conservadurismo lo hizo reacio a aceptar la verdad de sus descubrimientos, y no estaba dispuesto a enfrentar el ridículo público que acompañaba a tales matemáticas novedosas. Esto condujo a argumentos posteriores sobre la prioridad con János Bolyai, quien desarrolló independientemente la geometría no euclidiana a pesar de la influencia negativa de Gauss.
Los esfuerzos de Gauss en ciencia también fueron considerables, pero los repasaremos brevemente y nos centraremos en sus aspectos matemáticos. En 1817 Gauss se interesó en la geodesia, la medida de la Tierra. Completó, después de muchos obstáculos administrativos, la triangulación de Hannover 30 años después. Como resultado de su arduo trabajo de campo, inventó el heliotropo, un dispositivo que podría actuar como un faro incluso durante el día al reflejar la luz solar. Su trabajo en geodesia inspiró las primeras matemáticas de la teoría potencial, y el mapeo de una superficie a otra, un concepto importante en la geometría diferencial. También se sintió estimulado a continuar su investigación en estadística matemática, y sus Disquisitiones generales circa superficies curves (Investigaciones generales de superficies curvas) de 1828 alimentarían más de un siglo de actividad en geometría diferencial. En 1825, Gauss obtuvo nuevos resultados sobre la reciprocidad bicuadrática y estaba trabajando en geometría no euclidiana y funciones elípticas. Disminuyendo la velocidad debido a la edad, Gauss recurrió a la física y el magnetismo para una nueva inspiración. En 1829 declaró la ley de menor restricción, y en 1830 contribuyó al tema de la capilaridad y el cálculo de variaciones. El año 1830-1831 fue bastante difícil, ya que Gauss estaba afligido por un problema cardíaco y su esposa murió de tuberculosis. En este momento, Gauss comenzó a colaborar con Wilhelm Weber en magnetismo e inventó el primer telégrafo en 1834. El trabajo de Gauss en 1839 basado en datos de observatorios magnéticos de todo el mundo expresó el potencial magnético en la superficie de la Tierra mediante una serie infinita de funciones esféricas. Su fructífera colaboración con Weber ya había terminado con el exilio de este último por razones políticas. En 1840 Gauss dio un tratamiento sistemático de la teoría potencial como un tema matemático, y en 1841 analizó el camino de la luz a través de un sistema de lentes.
Desde principios de la década de 1840, la productividad de Gauss disminuyó gradualmente. Tenía más gusto por la enseñanza, y Dedekind y Riemann estaban entre sus alumnos más dotados. Trabajando en ciencia actuarial, recopiló muchas estadísticas de publicaciones periódicas; esta información lo ayudó en sus especulaciones financieras, que lo hicieron bastante rico. Su salud gradualmente falló, hasta que murió en su sueño el 23 de febrero de 1855, en Göttingen.
Gauss fue uno de los matemáticos más grandes de todos los tiempos. Más tarde, los matemáticos, ignorantes de que Gauss ya se había ido antes que ellos, replicaron muchos de sus descubrimientos. Su nombre está asociado con muchas áreas diversas de la matemática, y su impacto no puede ser sobreestimado.
Fuente bibliográfica:
McElroy, Tucker (2005) A to Z of Mathematicians. Facts On File, Inc.
Blog de Matemática y TIC's 