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Posts Tagged ‘Jean Le Rond d’Alembert’

Un problema pendiente de principios del siglo XIX, que más tarde resultaría en los desarrollos radicales de George Cantor, era determinar los cimientos del sistema de los números reales. No se habían comprendido aún propiedades como la divisibilidad infinita de los números reales y la densidad de los números racionales entre los irracionales, y como resultado no se entendía bien la teoría básica de las funciones, incluidos temas como la continuidad y la diferenciabilidad. Bernhard Bolzano, un activo defensor de fundamentos rigurosos para la ciencia y la matemática, hizo contribuciones significativas al conocimiento del análisis; su énfasis en la necesidad de un sistema preciso de números reales llevó a su desarrollo a manos de Richard Dedekind, y sus otras investigaciones también fueron precursoras de una aritmética de la lógica infinita y moderna. 

Bernardus Placidus Johann Nepumuk Bolzano fue el cuarto hijo de Caecilia Maurer y un comerciante de arte cívico llamado Bernhard Bolzano. Nació el 5 de octubre de 1781, en un antiguo distrito de Praga, uno de 12 niños; su padre era un inmigrante italiano con gran interés en el trabajo social que más tarde lo  llevó a establecer un orfanato. Como resultado de este ambiente, el joven Bolzano estuvo preocupado por la ética a lo largo de su vida, poseyendo una aguda sensibilidad a la injusticia. 

En 1791, Bolzano ingresó al Piarist Gymnasium. Estudió filosofía en la Universidad de Praga en 1796. Su interés por la matemática se vio estimulado por la lectura de Kästner, quien se preocupó por probar proposiciones que comúnmente se percibían como evidentes. Después de 1800, Bolzano pasó de la filosofía a la teología, aunque tenía continuas dudas sobre la verdad del cristianismo. En cambio, se volvió hacia el moralismo y se alejó de la religión sobrenatural, creyendo que la ética suprema residía en la acción que más beneficiaba a la sociedad. Sin embargo, reconcilió esta perspectiva personal con su compromiso con el catolicismo. 

El emperador de Austria había decidido establecer una cátedra de filosofía de la religión en todas las universidades, como parte del movimiento de restauración católico contra la Ilustración. Mucho del libre pensamiento se había extendido a través de Bohemia, y el emperador temía las consecuencias de tales ideas radicales en vista de la destrucción causada por la Revolución Francesa. Bolzano fue nombrado presidente de la Universidad de Praga en 1805, a pesar de sus propias simpatías ilustradas. Sus conferencias sobre religión contaban con una entusiasta audiencia, y exponía allí sus puntos de vista personales sin reservas.  

Bolzano fue respetado por sus colegas, y se convirtió en decano de la facultad de filosofía en 1818. Mientras tanto, Viena presentó una acusación contra él en 1816, ya que sus puntos de vista ilustrados lo habían hecho impopular con el gobierno conservador; fue despedido en 1819, se le prohibió publicar y se lo puso bajo supervisión policial. Bolzano tercamente se negó a arrepentirse de sus herejías, y la situación finalmente cesó en 1825 por la intercesión del líder nacionalista Dobrovsky. 

Aunque Bolzano estaba principalmente preocupado por cuestiones sociales y religiosas, ya se sentía atraído por la precisión metodológica de la matemática y la lógica. Esto condujo a algunas excelentes contribuciones al análisis matemático, aunque estos logros raramente tuvieron un reconocimiento significativo. Dos problemas no resueltos -la prueba del postulado de las paralelas de Euclides de Alejandría y la base del análisis a través de la clarificación de  los infinitesimales- reclamaron la atención de Bolzano. Su Betrachtungen über einige Gegenstände der Elementargeometrie de 1804 intentó describir una teoría de triángulos y paralelas a través de una teoría puramente lineal, que nunca llegó a concretarse completamente. Ignorante del trabajo de Nicolay Ivanovich Lobachevsky y János Bolyai sobre la geometría no euclidiana, Bolzano desarrolló una crítica metodológica de los Elementos de Euclides en su manuscrito “Anti-Euklid”. Por ejemplo, requirió una prueba de la afirmación de que cualquier curva cerrada divide el plano en dos porciones disjuntas; este resultado más tarde se conoció como el teorema de la curva de Jordan, probado por Camille Jordan. Parcialmente a través de las objeciones y preguntas planteadas por Bolzano, el campo de la matemática conocido como topología comenzó a existir a fines del siglo XIX. 

Su Rein analitischer Beweis de 1817 obtuvo importantes resultados relevantes para la base del análisis matemático, más tarde completados en su Theorie der Reellen Zahlen de 1832-1835. Muchos otros matemáticos, como Joseph-Louis LaGrange y Jean Le Rond d’Alembert, habían intentado liberar la matemática de la noción de infinitesimal introducida por Sir Isaac Newton y Gottfried Leibniz en el siglo XVII, pero Bolzano se encontró con el primer logro exitoso en Rein analtischer Beweis. Aquí da la definición de una función continua que todavía está en uso hoy en día, y obtiene un resultado de la propiedad de asumir valores intermedios. También introduce la noción de supremo de un conjunto de números reales que tienen una propiedad dada, un concepto que es una piedra angular en la teoría de los números reales. Bolzano también analiza el “criterio de convergencia de Cauchy”, por el cual una sucesión de funciones tiende a cierto límite si los miembros de la sucesión se acercan entre sí. 

Aunque las pruebas son incompletas, esto se debió a la inadecuación del  momento del concepto de número real. En su Functionenlehre presenta una teoría de funciones más completa, que incluye varios resultados redescubiertos más tarde por Karl Weierstrass en la segunda mitad del siglo XIX. Bolzano demostró que una función continua en un intervalo cerrado debe alcanzar un valor extremo, ahora llamado Teorema del valor extremo en cálculo; la demostración requiere el teorema de Bolzano-Weierstrass sobre los puntos de acumulación de sucesiones acotadas. Él distingue entre la continuidad y la propiedad de asumir valores intermedios como características más fuertes y más débiles, respectivamente. Desarrolla la conexión entre monotonía y continuidad, y da la construcción de la función de Bolzano, que era continua pero en ningún lugar diferenciable, significativamente anterior al propio ejemplo de Weierstrass. El Functionenlehre contenía muchos errores, incluida la falsa noción de que el límite de una sucesión de funciones continuas debe ser necesariamente continuo, y que la integración a largo plazo de una serie infinita siempre es posible. 

Su teoría de las cantidades se completó en Theorie der Reelen Zahlen, pero este manuscrito no se publicó y, por lo tanto, no pudo influir en el posterior desarrollo del análisis. Bolzano describe tales números reales como capaces de una aproximación arbitrariamente precisa por números racionales. Además, su Paradoxien des Unendlichen (Paradojas del infinito) contiene muchos intrigantes fragmentos de la teoría de conjuntos, y lleva el tema al límite de la aritmética cardinal. Bolzano observa que un conjunto infinito se puede poner en correspondencia uno a uno con un subconjunto propio, y que esto realmente caracteriza a los conjuntos infinitos. Sin embargo, él no da el siguiente paso en la definición de cardinales del infinito; Dedekind (1882) usaría más tarde esta propiedad de conjuntos infinitos para definir el infinito, y Cantor desarrollaría una clasificación de infinitos. 

Desde 1820 Bolzano trabajó en el tratado Wissenschaftslehre de 1837, que era una teoría de la ciencia basada en la lógica. Sus cuatro volúmenes trataban la prueba de la existencia de verdades abstractas, la teoría de ideas abstractas, la condición de la facultad humana del juicio, las reglas del pensamiento humano en la búsqueda de la verdad y las reglas para dividir las ciencias. Aunque este trabajo pasó desapercibido en su momento, existe una gran similitud con la lógica moderna, especialmente en las nociones de Bolzano de proposición abstracta, idea y derivabilidad. 

Desde 1823 Bolzano pasó sus veranos en la propiedad de su amigo Hoffmann en el sur de Bohemia. Luego vivió allí por más de una década. En 1842 regresó a Praga, donde continuó sus estudios matemáticos y filosóficos hasta su muerte el 18 de diciembre de 1848. Bolzano fue un importante matemático del siglo XIX, cuya búsqueda de la verdad llevó a un excelente trabajo sobre los cimientos de la recta numérica real. Su nombre se encuentra en muchas áreas del análisis, como el teorema de Bolzano-Weierstrass y la función de Bolzano; es considerado como uno de los fundadores de la teoría moderna del análisis real.

 


Fuente bibliográfica:

  • McElroy, Tucker (2005) A to Z of Mathematicians. Facts On File, Inc.
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En la ola de esfuerzo que siguió al trabajo pionero de Sir Isaac Newton en mecánica, muchos matemáticos intentaron profundizar los aspectos matemáticos de la nueva ciencia. Jean d’Alembert se destacó como uno de estos intelectuales, que contribuyeron a la astronomía, a la mecánica de fluidos y al cálculo; fue uno de los primeros en darse cuenta de la importancia del límite en el cálculo.

Jean Le Rond d’Alembert nació en París el 17 de noviembre de 1717. Era el hijo ilegítimo de una famosa anfitriona de salón y un oficial de caballería llamado Destouches-Canon. Un artesano llamado Rousseau crió al joven d’Alembert, pero su padre supervisó su educación; asistió a una escuela jansenista, donde aprendió los clásicos, retórica y matemática. 

D’Alembert decidió seguir una carrera como matemático y comenzó a comunicarse con la Académie des Sciences en 1739. Durante los años siguientes escribió varios artículos sobre la integración de ecuaciones diferenciales. Aunque no tenía ningún entrenamiento formal en matemáticas superiores, d’Alembert estaba familiarizado con las obras de Newton, así como con las obras de Jakob Bernoulli y Johann Bernoulli.

En 1741 fue nombrado miembro de la Academia, y concentró sus esfuerzos en algunos problemas de mecánica racional. El Traité de dynamics fue el fruto de su trabajo, una obra científica significativa que formalizó la nueva ciencia de la mecánica. El largo prólogo revelaba la filosofía de d’Alembert del sensacionalismo (esta idea afirma que la percepción sensorial, no la razón, es el punto de partida para la adquisición del conocimiento). Desarrolló la mecánica a partir de los conceptos simples de espacio y tiempo, y evitó la noción de fuerza. D’Alembert también presentó sus tres leyes del movimiento, que trataban la inercia, la ley del paralelogramo del movimiento y el equilibrio. Cabe destacar que D’Alembert produjo demostraciones matemáticas para estas leyes.

El conocido principio de d’Alembert también fue introducido en este trabajo, que establece que cualquier movimiento restringido puede ser descompuesto en términos de su movimiento inercial y una fuerza de resistencia (o restricción). Él tuvo cuidado de no sobrevalorar el impacto de la matemática en la física -dijo que el rigor de la geometría estaba ligado a su sencillez. Puesto que la realidad es siempre más complicada que una abstracción matemática, es más difícil establecer su verdad. 

En 1744 produjo un nuevo volumen llamado Traité de l’équilibre et du mouvement des fluides (Tratado sobre el equilibrio y el movimiento de fluidos). En el siglo XVIII una gran cantidad de interés se centraba en la mecánica de fluidos, ya que los fluidos se utilizan para modelar el calor, el magnetismo y la electricidad. Su tratamiento fue diferente al de Daniel Bernoulli, aunque las conclusiones fueron similares. D’Alembert también examinó la ecuación de la onda, considerando los problemas de oscilación de cuerdas en 1747. Luego, en 1749, se volvió hacia la mecánica celeste, publicando las Recherches sur la précession des équinoxes et sur la nutation de l’axe de la terre que trataban el tema del cambio gradual de la posición de la órbita terrestre.

A continuación, d’Alembert compitió por un premio en la Academia Prusiana, pero culpó a Leonhard Euler por su fracaso. D’Alembert publicó su Essai d’une nouvelle théorie de la résistance des fluides  en 1752, en el que las ecuaciones diferenciales hidrodinámicas se expresaron primero en términos de un campo. La así llamada paradoja hidrodinámica se formuló aquí, es decir, que el flujo antes y detrás de una obstrucción debe ser el mismo, dando por resultado la ausencia de cualquier resistencia. D’Alembert no resolvió este problema, y hasta cierto punto se inhibió por su parcialidad hacia la continuidad; cuando surgían discontinuidades en las soluciones de ecuaciones diferenciales, él simplemente arrojaba la solución.

En la década de 1750, interesado en varios temas no científicos, d’Alembert se convirtió en el editor científico de la Enciclopedia. Más tarde escribió sobre temas de música, derecho y religión, presentándose como un ávido defensor de los ideales de la Ilustración, incluyendo un desprecio por el pensamiento medieval.

Entre sus contribuciones originales a la matemática, se destaca el test de la razón para la convergencia de una serie infinita; D’Alembert consideró las series divergentes como absurdas y las desatendió (esto difiere marcadamente del punto de vista de Euler). D’Alembert estaba prácticamente solo en su visión de la derivada como el límite de una función, y su énfasis en la importancia de la continuidad probablemente lo llevó a esta perspectiva. En la teoría de la probabilidad, d’Alembert estaba bastante discapacitado, siendo incapaz de aceptar las soluciones estándar de los problemas de juego.

D’Alembert era conocido por ser un hombre encantador e ingenioso. Nunca se casó, aunque vivió con su amante Julie de Lespinasse hasta su muerte en 1776. En 1772 se convirtió en el secretario de la Académie Française (Academia Francesa), y cada vez se volcó más hacia preocupaciones humanitarias. Sus últimos años fueron marcados por la amargura y la desesperación; murió en París el 29 de octubre de 1783.

Aunque fue bien conocido como preeminente científico y filósofo, los logros matemáticos de d’Alembert merecen un reconocimiento especial. Él dio grandes avances en la teoría de la mecánica en varias de sus ramas, contribuyendo a su formulación matemática y a la consideración de varios problemas concretos.

 


Fuente bibliográfica:

  • McElroy, Tucker (2005) A to Z of Mathematicians. Facts On File, Inc.

 

 

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Otra disputa entre los filósofos pre-socráticos estaba más relacionada con el mundo físico. Parménides afirmó que en el mundo real no hay tal cosa como el cambio y que el flujo de tiempo es una ilusión, una visión con paralelos en el modelo espacio-temporal de cuatro dimensiones del universo de Einstein-Minkowski. Heráclito, por otra parte, afirmaba que el cambio es omnipresente y se dice que ha dicho que uno no puede entrar en el mismo río dos veces.

Zenón de Elea, seguidor de Parménides, afirmaba que el cambio es realmente imposible y produjo cuatro paradojas para demostrarlo. La más famosa de estas describe una carrera entre Aquiles y una tortuga. Puesto que Aquiles puede correr mucho más rápido que la tortuga, digamos dos veces más rápido, se le permite a la tortuga una ventaja de una milla. Cuando Aquiles haya corrido una milla, la tortuga habrá vuelto a correr media distancia, es decir, media milla. Cuando Aquiles haya cubierto esa media milla adicional, la tortuga habrá recorrido otro cuarto de milla. Después de n+1 etapas, Aquiles ha corrido

1+\frac{1}{2}+\cdots+\frac{1}{2^{n}}=2-\frac{1}{2^{n}}

millas y la tortuga ha corrido

1+\frac{1}{2}+\cdots+\frac{1}{2^{n}}+\frac{1}{2^{n+1}}

millas, estando1/2^{n+1} millas adelante. Entonces, ¿cómo puede Aquiles alcanzar a la tortuga?

Las paradojas de Zenón también pueden interpretarse como mostrando que el espacio y el tiempo no están compuestos de átomos discretos, sino que son sustancias infinitamente divisibles. Matemáticamente hablando, su argumento implica la suma de la progresión geométrica infinita

1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\cdots,

ninguna suma parcial finita de la cual suma 2. Como diría más tarde Aristóteles, esta progresión es sólo potencialmente infinita. Ahora se comprende que Zenón estaba tratando de enfrentarse a la noción de límite, que no se explicó formalmente hasta el siglo XIX, aunque el enciclopedista francés Jean Le Rond d’Alembert (1717 – 1783) había iniciado algunos avances.

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