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Posts Tagged ‘Johannes Kepler’

Galileo Galilei es uno de los nombres más conocidos en la historia de la ciencia. Este hombre vivió en una época en que la filosofía especulativa fue gradualmente suplantada por la matemática y la evidencia experimental, y de hecho contribuyó, tal vez más que cualquiera de sus contemporáneos, a este cambio de paradigma. La investigación de Galileo sobre matemática, mecánica, física y astronomía alteró por completo la forma en que las personas buscaban el conocimiento del mundo natural y comenzó una avalancha de investigaciones científicas en toda Europa. 

Galileo nació el 15 de febrero de 1564, en Pisa, Italia. Su padre, Vincenzio Galilei, era músico y miembro de una antigua familia patricia. Vincenzio se casó con Giulia Ammannati de Pescia en 1562, y Galileo nació dos años más tarde. Él sería uno de siete hijos. Primero fue tutelado en Pisa, pero la familia regresó a Florencia en 1575. Estudió en el monasterio de Santa María en Vallombrosa hasta 1581, cuando se matriculó en la Universidad de Pisa como estudiante de medicina. Galileo tenía poco interés en la medicina, pues prefería la matemática, en la que progresaba rápidamente a pesar de la desaprobación de su padre. En 1585 dejó la escuela sin un título y siguió el estudio de Euclides de Alejandría y Arquímedes de Siracusa en privado. 

Durante los próximos cuatro años, Galileo dio clases privadas de matemática en Florencia, mientras componía algunas obras menores sobre mecánica y geometría. Fue en este momento que el padre de Galileo se involucró en una controversia musical. Vincenzio Galilei resolvió la disputa a través de investigaciones experimentales, y este enfoque demostró tener una gran influencia en su hijo. Galileo maduraría y se convertiría en un gran experimentador que probaría las teorías matemáticas con evidencia física.

En 1589, Galileo obtuvo la cátedra de matemática en Pisa, donde realizó algunos de sus primeros experimentos sobre la caída de los cuerpos. Aproximadamente en este momento, Galileo se embarcó en una campaña de toda la vida para desacreditar la física aristotélica, la visión oficial del mundo defendido por la Iglesia Católica Romana, que, entre otras cosas, declaró que los objetos más densos caen más rápido. Galileo enfureció a muchos de sus colegas profesores al demostrar públicamente que cuerpos de diferentes pesos caían a la misma velocidad, arrojando esos objetos desde la Torre Inclinada de Pisa. Su tratado sobre estos temas fue De motu (Sobre el movimiento), y se basó en algunas ideas de Arquímedes.

Su padre murió en 1591, creando una situación financiera incierta para Galileo. Debido a la animosidad que había despertado, su puesto en Pisa no se renovó; sin embargo, sus amigos lo ayudaron a obtener un lugar en Padua, donde la comunidad era menos conservadora. Dio conferencias sobre Euclides, Claudio Ptolomeo y mecánica, pero no se interesó en la astronomía hasta mucho después. En 1597 Galileo expresó su simpatía por el sistema copernicano a Johannes Kepler, pero no promovió públicamente la astronomía anti-aristotélica en este momento.

Mientras estaba en Padua, Galileo tuvo una amante llamada Marina Gamba, que más tarde le dio dos hijas y un hijo. Su hija mayor, Virginia, sería un gran consuelo para él en años posteriores de lucha y conflicto. En 1602 se interesó en los movimientos de los péndulos y la aceleración de los cuerpos que caen, y derivó correctamente la ley de caída libre en 1604, aunque con una suposición incorrecta. En el mismo año, una supernova provocó una disputa sobre la noción aristotélica de la incorruptibilidad de los cielos, y Galileo pronunció varias conferencias públicas sobre este tema. Pronto se interesaría cada vez más en el estudio de los cielos.

En 1609 Galileo se enteró de la invención de un telescopio por Hans Lipperhey, un afilador de lentes holandés, y el profesor paduano se dispuso a construir su propia versión, que finalmente fue 30 veces más poderosa que la original. Este dispositivo, tan útil para la navegación, le valió un puesto de por vida en Padua, y comenzó a usarlo para ver el cielo. Pronto descubrió que la Luna tenía montañas y que la Vía Láctea consistía en muchas estrellas separadas. Galileo publicó muchos descubrimientos adicionales en Sidereus nuncios (1610). Su fama resultante le valió el puesto de matemático y filósofo para el gran duque de Toscana, donde podría centrarse en su investigación sin tener que enseñar.

El libro creó un furor en Europa, y muchos afirmaron que era un fraude, aunque Kepler lo aprobó. En los satélites de Júpiter, Galileo ahora vio evidencia decisiva contra la concepción aristotélica de que todos los cuerpos celestes giraban alrededor de la Tierra. En 1611 viajó a Roma, donde fue honrado por los jesuitas del Colegio Romano y admitido en la Academia Lincean.

Después de este tiempo, Galileo volvió a la física y se vio envuelto en más controversias en Florencia. La disputa se refería al comportamiento de los cuerpos flotando en el agua, y Galileo apoyó las teorías de Arquímedes contra las de Aristóteles; él pudo, usando los conceptos de momento y velocidad, extender las ideas de Arquímedes más allá de las situaciones hidrostáticas.

En 1613, Galileo publicó Letters on Sunspots, donde habló por primera vez en forma impresa sobre el sistema copernicano. Ciertos católicos no consideraron favorablemente este documento, y la oposición creció en los años siguientes. En opinión de Galileo, la teología no debía interferir con cuestiones puramente científicas, aquellas que podrían resolverse experimentalmente; y en 1615 Galileo fue a Roma para luchar contra la supresión del copernicanismo. El Papa Pablo V, molesto por los cuestionamientos de la autoridad teológica, nombró una comisión para determinar el movimiento de la Tierra: en 1616 la comisión falló contra el sistema copernicano, y se prohibió a Galileo defender esa opinión.

Volviendo a Florencia, Galileo recurrió al problema de determinar longitudes en el mar. También retomó la mecánica, definió correctamente la aceleración uniforme y presentó muchos de sus principios cinemáticos. Pero Galileo tenía una personalidad combativa, y pronto se vio envuelto en una nueva controversia sobre el movimiento de tres cometas en 1618. En una famosa polémica de la ciencia, Il saggiatore, Galileo estableció un enfoque científico general para la investigación de fenómenos celestes sin referencia directa al sistema copernicano. En este ensayo, Galileo repudia cualquier autoridad que contradiga la investigación directa y, por lo tanto, expone la ciencia empírica como el único fundamento del conocimiento del universo. Este trabajo fue publicado en 1623 y dedicado al Papa Urbano VIII. Galileo obtuvo el permiso de su viejo amigo para escribir un libro que discutiría imparcialmente los sistemas copernicano y ptolemaico, llamado algo así como Diálogo sobre los dos principales sistemas mundiales.

Este trabajo, que ocupó a Galileo durante los próximos seis años, consistió en un diálogo entre dos defensores -para los sistemas copernicano y ptolemaico, respectivamente- que intentaban ganarse a un profano para su lado. Galileo permanece oficialmente sin compromiso, excepto en el prefacio; los conceptos importantes incluyen la relatividad y la conservación del movimiento. Las manchas solares y las mareas oceánicas se presentaron como argumentos pro-copernicanos, ya que no se podían explicar sin movimiento terrestre. El libro fue impreso en Florencia en 1632, y pronto se ordenó a su autor que compareciera ante la Inquisición en Roma.

El Papa, aunque alguna vez amigo de Galileo, había sido convencido por los enemigos de Galileo de que el autor hacía deliberadamente que la perspectiva aristotélica pareciera una tontería. El juicio fue llevado a cabo con venganza, y Galileo fue sentenciado a cadena perpetua luego de renunciar a la herejía copernicana. Bajo arresto domiciliario, pasó los años que le faltaban completando su inacabado trabajo sobre mecánica. Hacia 1638, su Discurso y demostración matemática, en torno a dos nuevas ciencias había aparecido en Francia (no podía publicar en Italia, ya que sus obras estaban prohibidas). El contenido trata sobre la ciencia de la ingeniería de los materiales y la ciencia matemática de la cinemática, y subyace en gran parte la física moderna. Tanto el péndulo como el plano inclinado juegan un papel importante en Dos nuevas ciencias, y Galileo deduce el movimiento parabólico de las trayectorias.

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En los últimos cuatro años de su vida, Galileo estuvo ciego, y antes de su muerte se le negó la solicitud de asistir a los servicios de Pascua o consultar a médicos. Finalmente, el 8 de enero de 1642, en Arcetri, Italia, falleció. Sin duda fue uno de los mejores científicos de todos los tiempos, y también un matemático capaz. No solo hizo grandes contribuciones a la ciencia, sino que también avanzó en una nueva epistemología: el conocimiento del mundo natural (incluido el conocimiento matemático) debe adquirirse a través de la razón y la experimentación.

 


Fuente bibliográfica:

  • McElroy, Tucker (2005) A to Z of Mathematicians. Facts On File, Inc.
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La profundidad de Cauchy se puede comparar con la de Carl Friedrich Gauss, en cuanto a la cantidad, calidad y variedad del material matemático considerado. Hizo contribuciones sobresalientes al análisis real y al cálculo, a la teoría de funciones complejas, a las ecuaciones diferenciales y al álgebra, así como a la teoría de la elasticidad y la mecánica celeste. Su extraña personalidad, descrita alternativamente como infantilmente ingenua y extravagantemente melodramática, junto con su profuso estilo literario se combinan para formar un personaje singular en la historia de la matemática. De hecho, el nombre de Cauchy está vinculado a más teoremas y conceptos matemáticos que el de cualquier otro matemático. 

Augustin-Louis Cauchy nació el 21 de agosto de 1789 en París, hijo de Louis-François Cauchy, un poderoso funcionario administrativo, y Marie-Madeleine Desestre. La pareja se casó en 1787 y tuvo cuatro hijos y dos hijas. Su padre, que era un experto en clásicos, fue quien se dedicó en primera instancia de la educación de Augustin Cauchy, el hijo mayor. Más tarde conoció a varios científicos destacados, como Pierre-Simon Laplace. Cauchy luego asistió a la École Central du Panthéon, y fue admitido en la École Polytechnique a los 16 años de edad. Unos años más tarde dejó la École para convertirse en ingeniero, y en 1810 trabajó en el puerto de Cherbourg, donde Napoleón estaba construyendo sus operaciones navales contra Inglaterra. En 1813 Cauchy había regresado a París. 

Mientras tanto, en 1811 Cauchy resolvió un problema geométrico planteado por Joseph-Louis Lagrange: la determinación de los ángulos de un poliedro convexo a partir de sus caras. En 1812 descubrió un problema de Pierre de Fermat -si cada número esla suma de números n-agonales. Su tratado de 1814 sobre integrales definidas fue presentado a la Academia Francesa, y este ensayo se convertiría más tarde en la base de la teoría de las funciones complejas. Dos años después, Cauchy ganó un concurso de la Academia Francesa sobre el tema de la propagación de ondas en la superficie de un líquido. Hacia 1819 había inventado el método de características utilizado para resolver ecuaciones diferenciales parciales, y en 1822 sentó las bases para la teoría de la elasticidad. 

Esto representa una pequeña muestra de las extensas escrituras de Cauchy. Había obtenido el cargo de profesor adjunto de la École Polytechnique en 1815, y al año siguiente fue ascendido a profesor titular y fue nombrado miembro de la Académie des Sciences; antes de 1830 tenía sillas tanto en la Faculté des Sciences como en el Collège de France. Mientras tanto, escribió muchos libros de texto notables, que fueron dignos de destacar por su precisión. 

En 1818, Cauchy se casó con Aloïse de Bure, con quien tuvo dos hijas; la familia se instaló en las cercanías de Sceaux. Fue un devoto católico, dedicado a varias obras de caridad durante toda su vida y ayudando a fundar el Institut Catholique. Su personalidad ha sido descrita como intolerante, egocéntrica y fanática; otros lo pintan como meramente infantil. Por ejemplo, Cauchy escribió una defensa de los jesuitas, sosteniendo que eran odiados por su virtud. Su tratamiento de las memorias de Niels Henrik Abel y Evariste Galois ha sido citado como prueba de su egotismo, aunque en general reconoció el trabajo de otras personas y fue cuidadoso en sus referencias. Antes de presentar el trabajo de otro en la academia, Cauchy a menudo generalizaba y mejoraba los resultados del autor; parece que su obsesión por la matemática transgredió los límites de la propiedad, lo que lo llevó a publicar una idea tan pronto como la desarrollaba. Y Cauchy fue prodigioso: ¡produjo al menos siete libros y más de 800 artículos! 

En la revolución de julio de 1830, la monarquía borbónica fue reemplazada por Luis Felipe. Un realista, Cauchy se negó a jurar lealtad al nuevo rey. Como resultado, perdió sus sillas y se exilió a sí mismo a Friburgo, Cerdeña y finalmente a Praga, donde fue tutor del príncipe heredero de los Borbones y más tarde recompensado siendo nombrado barón. En 1834, su esposa y sus hijas se unieron a él en Praga, pero Cauchy regresó a París en 1838, reanudando su actividad matemática en la academia. Varios amigos intentaron conseguir un puesto para Cauchy, pero su firme negativa a hacer el juramento de lealtad hizo abortar estos esfuerzos. Después de la Revolución de febrero de 1848, los republicanos retomaron el poder y Cauchy pudo ocupar una silla en la Sorbona. Continuó publicando a un ritmo enorme hasta su muerte el 22 de mayo de 1857. 

Cauchy había escrito un magistral texto de cálculo en 1821, notable por su rigor y por su excelente estilo. Este acercamiento a la matemática fue característico de él: rechazó la “generalidad del álgebra”, que era un argumento ilógico para tratar las cantidades infinitesimales lo mismo que las finitas. Cauchy distinguió entre una serie convergente y divergente (y se negó a tratar este último tipo), estableciendo condiciones específicas para la convergencia, como la llamada propiedad de Cauchy para la convergencia de una sucesión, así como la raíz, la razón y las pruebas integrales. Cauchy definió los límites superior e inferior para las sucesiones no convergentes, estableció las representaciones de límite y serie para el número trascendental e, y fue el primero en usar la notación de límite. Derivó varias reglas para la manipulación de series convergentes y radios de convergencia calculados para series de potencias, advirtiendo contra el uso imprudente de la aproximación de Taylor. Cauchy demostró un teorema del resto para series, inventó el concepto moderno de continuidad y obtuvo una versión del teorema del valor medio, que posteriormente probó Bernhard Bolzano. Cauchy hizo hincapié en la definición de límite de la derivada y la integral definida, así como en la discusión de integrales indefinidas y singulares. Hizo un uso extensivo de la transformada de Fourier (descubierta antes de Jean Baptiste Joseph Fourier) en ecuaciones diferenciales, inventó el llamado Jacobiano (un determinante especial) y dio una prueba del teorema fundamental del álgebra. 

En estadística, la teoría de regresión tratada por Cauchy usa errores absolutos, en contraste con la teoría de mínimos cuadrados de Gauss; uno de los resultados de esta investigación es la creación de la llamada distribución de Cauchy. En álgebra, Cauchy investigó la inversa de una matriz, proporcionó teoremas sobre determinantes e investigó las transformaciones ortogonales. Él contrastó la construcción geométrica y algebraica del número complejo. También estableció los fundamentos de la teoría de grupos, incluidos los conceptos de grupo, subgrupo, conjugación y orden, y probó el teorema de Cauchy para grupos finitos. También intentó sin éxito la prueba del último teorema de Fermat, que solo se demostró en 1994. 

Los métodos de Cauchy en la teoría de las ecuaciones diferenciales incluyen el uso de la transformada de Fourier y el método de las características. Cauchy enfatizó que no todas las ecuaciones tenían soluciones, y que la unicidad solo podía estipularse bajo importantes condiciones iniciales y de frontera; una ecuación diferencial parcial bien especificada con datos iniciales y de límites se denomina problema de Cauchy. También fundó la teoría de la elasticidad, generalizándola a partir de los ejemplos unidimensionales considerados por los matemáticos del siglo XVIII; esta fue una de sus contribuciones más elegantes y encomiables a la ciencia. Cauchy también escribió sobre el tema de la mecánica celeste, resolviendo la ecuación de Kepler. 

La teoría de las funciones complejas está, quizás, más fuertemente endeudada con Cauchy. Primero justificó el límite y las operaciones algebraicas con números complejos, y luego desarrolló la fórmula integral de Cauchy y el cálculo de residuos. Estas herramientas tienen una notable variedad de aplicaciones. Es interesante que Cauchy no pudo deducir el teorema de Liouville (que las funciones enteras acotadas deben ser constantes). Sin embargo, sus numerosas contribuciones y perspectivas avanzaron mucho en el campo del análisis complejo.

 


Fuente bibliográfica:

  • McElroy, Tucker (2005) A to Z of Mathematicians. Facts On File, Inc.

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Isaac Barrow fue el primero en descubrir ciertos aspectos del cálculo diferencial. Hay una cierta controversia sobre esto, y también sobre la extensión de su influencia en Sir Isaac Newton, que fue su sucesor en Cambridge. Sin embargo, las conferencias de Barrow sobre geometría contienen algunos de los primeros teoremas del cálculo, y por esto es recordado.

Barrow nació en octubre de 1630 (la fecha exacta es desconocida), hijo de Thomas Barrow, un próspero drapeador de lino y fiel realista. Su madre, Anne, murió en el parto. Un rebelde en su juventud, Barrow más tarde se disciplinó y aprendió griego, latín, lógica y retórica. En 1643 ingresó en el Trinity College, donde permanecería durante 12 años. Barrow, como su padre, era un partidario del rey, pero en Trinity la atmósfera se hizo cada vez más anti-realista. Se ganó su grado B.A. en 1648, fue elegido fellow de la universidad en 1649, y recibió su grado M.A. en matemática en 1652. Con estas credenciales, ingresó a su posición final como conferenciante y examinador en la universidad.

Es probable que su próximo puesto hubiera sido una cátedra de griego, pero Barrow fue expulsado de su posición por el gobierno de Cromwell en 1655. Barrow vendió sus libros y emprendió una gira por Europa que duró cuatro años. Cuando regresó de sus viajes, Carlos II acababa de volver al poder; Barrow tomó órdenes sagradas y obtuvo así la cátedra Regius. En 1662 él también aceptó la cátedra Gresham de geometría en Londres, y el año siguiente fue designado como primer profesor Lucasiano de matemática en Cambridge. Durante los seis años siguientes, Barrow concentró sus esfuerzos en escribir las tres series de Lectiones, una colección de conferencias.

La educación de Barrow había sido bastante tradicional, centrada en Aristóteles y los pensadores del Renacimiento, y en algunos temas seguía siendo muy conservador. Pero estaba muy intrigado por el renacimiento del atomismo y la filosofía natural de René Descartes: en la tesis de su maestría estudió a Descartes en particular. Hacia 1652 había leído muchos comentarios de Euclides de Alejandría, así como autores griegos más avanzados como Arquímedes de Siracusa. Su Euclidis elementorum libri XV (los primeros principios de Euclides en 15 libros), escrito en 1654, fue diseñado como un texto de pregrado, haciendo hincapié en la estructura deductiva sobre el contenido. Más tarde produjo comentarios sobre Euclides, Arquímedes y Apolonio de Perga. 

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Aparentemente, la fama científica de Barrow se debió a sus Lectiones, aunque no han sobrevivido. La primera serie Lucasiana, Lectiones mathematicae -dada de 1664 a 1666- se ocupa de los fundamentos de la matemática desde un punto de vista griego. Barrow considera el estado ontológico de los objetos matemáticos, la naturaleza de la deducción, la magnitud espacial y la cantidad numérica, el infinito y el infinitesimal, la proporcionalidad y la inconmensurabilidad, así como las entidades continuas y discretas. Sus Lectiones geometricae fueron un estudio técnico de geometría superior.

En 1664 encontró un método para determinar la línea tangente a una curva, problema que debía ser resuelto completamente por el cálculo diferencial; su técnica implica la rotación y la traslación de líneas. Las conferencias posteriores de Barrow son una generalización de procedimientos de tangencia, cuadratura y rectificación compilados a partir de su lectura de Evangelista Torricelli, Descartes, Frans van Schooten, Johann Hudde, John Wallis, Christopher Wren, Pierre de Fermat, Christiaan Huygens, Blaise Pascal y James Gregory. El material de estas conferencias no fue totalmente original, basándose fuertemente en los autores anteriores, especialmente en Gregory, y las Lectiones geometricae de Barrow no fueron ampliamente leídas.

Barrow también contribuyó al campo de la óptica, aunque sus Lectiones opticae pronto fue eclipsado por la obra de Newton. La introducción describe un cuerpo lúcido, que consiste en “colecciones de partículas diminutas casi imposibles de concebir”, como la fuente de los rayos de luz; el color es una dilución de grosor. El trabajo se desarrolla a partir de seis axiomas, incluyendo la ley euclidiana de la reflexión y la ley seno de la refracción. Gran parte del material se toma de Abū ‘Alī al-Ḥasan ibn al-Ḥasan ibn al-Hayṯam, Johannes Kepler y Descartes, pero el método de Barrow para encontrar el punto de refracción en una interfaz plana es original.

Mucho se ha planteado la hipótesis de la relación entre Barrow y Newton; algunos dicen que Newton derivó muchas de sus ideas sobre el cálculo de Barrow, pero hay poca evidencia de esto. A finales de 1669 los dos colaboraron brevemente, pero no está claro si tuvieron alguna interacción antes de ese tiempo. En ese año Barrow había renunciado a su silla, siendo reemplazado por Newton, con el fin de convertirse en el Real Capellán de Londres, y en 1675 se convirtió en vicerrector de la universidad.

Barrow nunca se casó, contentándose con la vida de soltero. Su personalidad era contundente y sus sermones teológicos eran extremadamente lúcidos y perspicaces, aunque no fue un predicador popular. Barrow era también uno de los primeros miembros de la sociedad real, incorporada en 1662. Era pequeño pero fuerte, y gozó de buena salud; su muerte temprana el 4 de mayo de 1677 se debió a una sobredosis de drogas.

La contribución matemática de Barrow parece algo marginal comparada con la producción prodigiosa de su contemporáneo Newton. Sin embargo, él fue un matemático importante en su tiempo, ganando fama a través de su popular  Lectiones, y fue el primero en derivar ciertas proposiciones del cálculo diferencial.

 


Fuente bibliográfica:

  • McElroy, Tucker (2005) A to Z of Mathematicians. Facts On File, Inc.

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