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Isaac Barrow fue el primero en descubrir ciertos aspectos del cálculo diferencial. Hay una cierta controversia sobre esto, y también sobre la extensión de su influencia en Sir Isaac Newton, que fue su sucesor en Cambridge. Sin embargo, las conferencias de Barrow sobre geometría contienen algunos de los primeros teoremas del cálculo, y por esto es recordado.

Barrow nació en octubre de 1630 (la fecha exacta es desconocida), hijo de Thomas Barrow, un próspero drapeador de lino y fiel realista. Su madre, Anne, murió en el parto. Un rebelde en su juventud, Barrow más tarde se disciplinó y aprendió griego, latín, lógica y retórica. En 1643 ingresó en el Trinity College, donde permanecería durante 12 años. Barrow, como su padre, era un partidario del rey, pero en Trinity la atmósfera se hizo cada vez más anti-realista. Se ganó su grado B.A. en 1648, fue elegido fellow de la universidad en 1649, y recibió su grado M.A. en matemática en 1652. Con estas credenciales, ingresó a su posición final como conferenciante y examinador en la universidad.

Es probable que su próximo puesto hubiera sido una cátedra de griego, pero Barrow fue expulsado de su posición por el gobierno de Cromwell en 1655. Barrow vendió sus libros y emprendió una gira por Europa que duró cuatro años. Cuando regresó de sus viajes, Carlos II acababa de volver al poder; Barrow tomó órdenes sagradas y obtuvo así la cátedra Regius. En 1662 él también aceptó la cátedra Gresham de geometría en Londres, y el año siguiente fue designado como primer profesor Lucasiano de matemática en Cambridge. Durante los seis años siguientes, Barrow concentró sus esfuerzos en escribir las tres series de Lectiones, una colección de conferencias.

La educación de Barrow había sido bastante tradicional, centrada en Aristóteles y los pensadores del Renacimiento, y en algunos temas seguía siendo muy conservador. Pero estaba muy intrigado por el renacimiento del atomismo y la filosofía natural de René Descartes: en la tesis de su maestría estudió a Descartes en particular. Hacia 1652 había leído muchos comentarios de Euclides de Alejandría, así como autores griegos más avanzados como Arquímedes de Siracusa. Su Euclidis elementorum libri XV (los primeros principios de Euclides en 15 libros), escrito en 1654, fue diseñado como un texto de pregrado, haciendo hincapié en la estructura deductiva sobre el contenido. Más tarde produjo comentarios sobre Euclides, Arquímedes y Apolonio de Perga. 

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Aparentemente, la fama científica de Barrow se debió a sus Lectiones, aunque no han sobrevivido. La primera serie Lucasiana, Lectiones mathematicae -dada de 1664 a 1666- se ocupa de los fundamentos de la matemática desde un punto de vista griego. Barrow considera el estado ontológico de los objetos matemáticos, la naturaleza de la deducción, la magnitud espacial y la cantidad numérica, el infinito y el infinitesimal, la proporcionalidad y la inconmensurabilidad, así como las entidades continuas y discretas. Sus Lectiones geometricae fueron un estudio técnico de geometría superior.

En 1664 encontró un método para determinar la línea tangente a una curva, problema que debía ser resuelto completamente por el cálculo diferencial; su técnica implica la rotación y la traslación de líneas. Las conferencias posteriores de Barrow son una generalización de procedimientos de tangencia, cuadratura y rectificación compilados a partir de su lectura de Evangelista Torricelli, Descartes, Frans van Schooten, Johann Hudde, John Wallis, Christopher Wren, Pierre de Fermat, Christiaan Huygens, Blaise Pascal y James Gregory. El material de estas conferencias no fue totalmente original, basándose fuertemente en los autores anteriores, especialmente en Gregory, y las Lectiones geometricae de Barrow no fueron ampliamente leídas.

Barrow también contribuyó al campo de la óptica, aunque sus Lectiones opticae pronto fue eclipsado por la obra de Newton. La introducción describe un cuerpo lúcido, que consiste en “colecciones de partículas diminutas casi imposibles de concebir”, como la fuente de los rayos de luz; el color es una dilución de grosor. El trabajo se desarrolla a partir de seis axiomas, incluyendo la ley euclidiana de la reflexión y la ley seno de la refracción. Gran parte del material se toma de Abū ‘Alī al-Ḥasan ibn al-Ḥasan ibn al-Hayṯam, Johannes Kepler y Descartes, pero el método de Barrow para encontrar el punto de refracción en una interfaz plana es original.

Mucho se ha planteado la hipótesis de la relación entre Barrow y Newton; algunos dicen que Newton derivó muchas de sus ideas sobre el cálculo de Barrow, pero hay poca evidencia de esto. A finales de 1669 los dos colaboraron brevemente, pero no está claro si tuvieron alguna interacción antes de ese tiempo. En ese año Barrow había renunciado a su silla, siendo reemplazado por Newton, con el fin de convertirse en el Real Capellán de Londres, y en 1675 se convirtió en vicerrector de la universidad.

Barrow nunca se casó, contentándose con la vida de soltero. Su personalidad era contundente y sus sermones teológicos eran extremadamente lúcidos y perspicaces, aunque no fue un predicador popular. Barrow era también uno de los primeros miembros de la sociedad real, incorporada en 1662. Era pequeño pero fuerte, y gozó de buena salud; su muerte temprana el 4 de mayo de 1677 se debió a una sobredosis de drogas.

La contribución matemática de Barrow parece algo marginal comparada con la producción prodigiosa de su contemporáneo Newton. Sin embargo, él fue un matemático importante en su tiempo, ganando fama a través de su popular  Lectiones, y fue el primero en derivar ciertas proposiciones del cálculo diferencial.

 


Fuente bibliográfica:

  • McElroy, Tucker (2005) A to Z of Mathematicians. Facts On File, Inc.
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De los matemáticos de la antigüedad griega, Arquímedes debe ser considerado el más grande. Sus contribuciones a la geometría y a la mecánica, así como a la hidrostática, lo colocan en un pedestal más alto que sus contemporáneos. Y como sus obras fueron gradualmente traducidas e introducidas en Occidente, ejerció una influencia tan grande allí como su pensamiento ya lo había hecho en Bizancio y Arabia. En su método de agotamiento puede verse un predecesor clásico del cálculo integral, que sería desarrollado formalmente por Blaise Pascal, Gottfried Leibniz, Sir Isaac Newton y otros en el siglo XVII. Sólo su historia de vida ha inspirado a muchos matemáticos.

Como con muchas personas antiguas, los detalles exactos de la vida de Arquímedes son difíciles de determinar, ya que hay varios relatos de calidad variable. Su padre era el astrónomo Fidias, y es posible que Arquímedes fuera pariente del tirano de Siracusa, el rey Hierón II. Ciertamente él era íntimo del rey, pues su trabajo El Contador de Arena fue dedicado a Gelón, hijo de Hierón. Nacido en Siracusa, Arquímedes partió a Alejandría para seguir una educación matemática; allí estudió con Euclides de Alejandría y asistió al desarrollo de la matemática euclidiana. Pero fue en Siracusa, a donde pronto volvió, donde hizo la mayor parte de sus descubrimientos.

Aunque famoso por sus contribuciones a la matemática, Arquímedes también diseñó numerosas invenciones mecánicas. El caracol de agua, inventado en Egipto para ayudar al riego, era un artefacto tipo tornillo usado para levantar agua. Más impresionantes son las historias relacionadas con su construcción y aplicación de la polea compuesta: Hierón había solicitado a Arquímedes que demostrara cómo una pequeña fuerza podía mover un gran peso. El matemático ató una cuerda a un gran buque mercante que estaba cargado de carga y pasajeros, y pasó la cuerda por un sistema de poleas. De esta manera, sentado a cierta distancia del buque, Arquímedes pudo arrastrar sin esfuerzo el barco a la orilla del puerto.

Arquímedes también descubrió la utilidad de la palanca, al observar que cuanto más larga es la distancia desde el fulcro, más peso podía mover la palanca. Extendiendo lógicamente este principio, afirmó que era factible mover el mundo dada una palanca suficientemente larga. Otra historia popular relata que Hierón le dio a Arquímedes la tarea de averiguar si una cierta corona estaba hecha de oro puro, o si se había adulterado fraudulentamente con plata. Cuando Arquímedes reflexionó sobre este rompecabezas se encontraba en pleno baño y notó que la cantidad de agua desplazada era igual a la cantidad de su cuerpo que estaba sumergida. Esto inmediatamente le disparó un método para resolver el problema de Hierón, y saltó de la bañera con alegría, corriendo desnudo hacia su casa, gritando “Eureka”. 

Su habilidad en objetos mecánicos fue inigualable, y Hierón aprovechó a menudo esto para mejorar las defensas de la ciudad, insistiendo en que el intelecto de Arquímedes debía ser puesto al servicio de alguna aplicación práctica. Cuando Marcelo y los romanos llegaron a atacar Siracusa, encontraron la ciudad inexpugnable debido a la multiplicidad de catapultas, brazos mecánicos, espejos ardientes y varios dispositivos balísticos que Arquímedes había construido. Arquímedes escribió un libro titulado On Spheremaking en el que describe cómo construir un modelo planetario diseñado para simular el movimiento del Sol, la Luna y los planetas. Parece que Arquímedes estaba familiarizado con el heliocentrismo de Arquitas, y lo utilizó en su planetario.

Según Plutarco, Arquímedes se dedicó a la teoría pura y desdeñaba las aplicaciones prácticas de la matemática a la ingeniería; sólo aquellos sujetos libres de cualquier utilidad para la sociedad eran considerados dignos de perseguir de todo corazón. Las obras matemáticas de Arquímedes consisten principalmente en estudios de área y volumen, y el análisis geométrico de la estática y la hidrostática. Al calcular el área o el volumen de varias figuras planas y sólidas, utiliza el llamado Lema de Arquímedes y el “método de agotamiento”. Este lema afirma que la diferencia de dos magnitudes desiguales puede ser formada en una proporción con cualquier magnitud semejante; así, la diferencia de dos líneas será siempre una línea y no un punto. El método de agotamiento consiste en sustraer indefinidamente una cantidad mayor que la mitad de una magnitud dada, y apunta a la idea de la eterna divisibilidad del continuo (que siempre se puede quitar la mitad de un número y todavía queda algo). Estas ideas se limitan a las nociones de lo infinitesimal -lo infinitamente pequeño- y a la idea de límite, que son ingredientes clave del cálculo integral; sin embargo, los griegos eran adversos a la noción de infinito e infinitesimales, y Arquímedes se apartaba de hacer cualquier cosa que él sentía sería considerado como absurdo.

El método de agotamiento, que se usó raramente en los Elementos de Euclides, se ilustrará a través del siguiente ejemplo: En Sobre la medida de un círculo, Arquímedes asume, en aras de la contradicción, que el área de un triángulo rectángulo con base igual a la circunferencia y altura igual al radio del círculo es realmente mayor que el área del círculo. Entonces él puede, usando el lema de Arquímedes, inscribir un polígono en el círculo, con la misma área que el triángulo; esta contradicción muestra que el área del triángulo no puede ser mayor que el círculo, y hace un argumento similar de que no puede ser menor.

El concepto básico del método de aproximación, que es similar al método de agotamiento, consiste en inscribir figuras regulares dentro de una figura plana y sólida tal que el área o el volumen restante se reduce constantemente; el área o el volumen de las figuras regulares se pueden calcular fácilmente, y ésta será una aproximación cada vez más exacta. El área o volumen restante está “agotado”. Por supuesto, la manera moderna de obtener una determinación exacta de la medida es a través del límite; Arquímedes evitó esta cuestión al demostrar que el área o el volumen restante podría hacerse tan pequeño como se deseara inscribiendo figuras más regulares. Por supuesto, uno podría realizar el mismo procedimiento circunscribiendo figuras regulares.

También aplicó estos métodos a los sólidos, calculando la superficie y el volumen de la esfera, y el volumen de conos y pirámides. Los métodos de Arquímedes eran a veces puramente geométricos, pero a veces usaban principios de estática, como un “método de equilibrio”. Su conocimiento de la ley de la palanca y el centro de gravedad del triángulo, junto con sus métodos de aproximación y agotamiento le permitieron mejorar demostraciones de teoremas conocidos, así como establecer resultados completamente nuevos.

Arquímedes también hizo algunas contribuciones en el ámbito del  cálculo numérico, produciendo algunas aproximaciones muy precisas para el número pi y para la raíz cuadrada de tres. En El contador de Arena crea una notación para números muy grandes y estima el número de granos de arena para llenar el universo. En Sobre el equilibrio de los planos prueba la ley de la palanca a partir de principios geométricos, y en Sobre los cuerpos flotantes  explica el concepto de presión hidrostática. El llamado Principio de Arquímedes establece que sólidos colocados en un fluido serán más ligeros en el fluido en una cantidad igual al peso del fluido desplazado.

Su influencia en la matemática posterior fue extensa, aunque Arquímedes pudo no haber gozado de mucha fama en su propia vida. Griegos posteriores, entre ellos Pappus de Alejandría y Teón de Alejandría, escribieron comentarios sobre sus escritos, y más tarde los autores bizantinos estudiaron su obra. Desde Bizancio sus textos llegaron a Occidente antes del comienzo del Renacimiento; mientras tanto, los matemáticos árabes conocían a Arquímedes y explotaron sus métodos en sus propias investigaciones sobre  secciones cónicas. En el siglo XII aparecieron traducciones del árabe al latín, de las que Leonardo de Pisa (Fibonacci) hizo uso en el siglo XIII. En los años 1400, el conocimiento de Arquímedes se había expandido por partes de Europa, y su matemática influyó más tarde en Simon Stevin, Johannes Kepler, Galileo Galilei y Bonaventura Cavalieri.

Tal vez la historia más conocida acerca de Arquímedes es la que relata su muerte, que se produjo en el año 212 a.C. durante el asedio de Siracusa por los romanos. Al parecer, no estaba preocupado por la situación cívica, y estaba ocupado haciendo diagramas en la arena de su casa (en ese momento tenía al menos 75 años de edad). Aunque el general romano Marcelo había dado órdenes estrictas para que el famoso matemático siciliano no fuera perjudicado, un soldado romano irrumpió en la casa de Arquímedes y arruinó su diagrama. Cuando el anciano matemático expresó verbalmente su disgusto, el soldado lo mató rápidamente.

Arquímedes fue un destacado matemático y científico. De hecho, es considerado por muchos como uno de los tres mejores matemáticos de todos los tiempos, junto con Carl Friedrich Gauss y Newton. Una vez descubierto por los europeos medievales, sus obras propulsaron el descubrimiento del cálculo. Es interesante que este profundo intelecto fuera remoto en tiempo y espacio al de los grandes matemáticos griegos clásicos; Arquímedes trabajó en la isla de Siracusa, lejos de Atenas, fuente de mucho pensamiento griego, y trabajó siglos después del declive de la cultura griega.

 

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Fuente bibliográfica:

  • McElroy, Tucker (2005) A to Z of Mathematicians. Facts On File, Inc.

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La idea esencial de Newton y Leibniz era utilizar el álgebra cartesiana para sintetizar resultados anteriores y desarrollar algoritmos que pudieran ser aplicados de manera uniforme a una amplia clase de problemas. El período de formación de las investigaciones de Newton fue 1665-1670, mientras que Leibniz trabajó unos años más tarde, en la década de 1670. Sus contribuciones difieren en su origen, el desarrollo y la influencia, y es necesario tener en cuenta cada uno por separado.

Newton, hijo de un granjero inglés, se convirtió en 1669 en profesor lucasiano en la Universidad de Cambridge. Las primeras investigaciones de Newton en matemática surgieron en 1665 de su estudio de la edición de Van Schooten de La Géométrie y la Arithmetica Infinitorum de Wallis. Usando la ecuación cartesiana de la curva, reformuló los resultados de Wallis, presentando a tal efecto sumas infinitas en las potencias de una incógnita x, ahora conocidas como series infinitas. Posiblemente bajo la influencia de Barrow, usó los infinitesimales para establecer para diferentes curvas la relación inversa de tangentes y áreas. Las operaciones de diferenciación e integración surgieron en su trabajo como procesos analíticos que podían aplicarse en general para investigar curvas.

Inusualmente sensible a preguntas de rigor, Newton, en una etapa bastante temprana, trató de establecer su nuevo método en una base sólida usando ideas de la cinemática. Consideraba a una variable como una “fluidez”, una magnitud que fluye con el tiempo. Llamó a su derivada o tasa de cambio con respecto al tiempo “fluxión”, denotándola como la variable con un punto por encima de ella. El problema básico del cálculo era  investigar las relaciones entre los fluentes y sus fluxiones. Newton terminó un tratado sobre el método de fluxiones ya en 1671, aunque no se publicó hasta 1736. En el siglo XVIII este método se convirtió en el enfoque preferido para el cálculo entre los matemáticos británicos, especialmente después de la aparición en 1742 del influyente Treatise of Fluxions de Colin Maclaurin.

Newton publicó por primera vez el cálculo en el Libro I de su gran Philosophiae Naturalis Principia Mathematica de 1687. Originado como un tratado sobre la dinámica de partículas, los Principia presentó una física inercial que combinaba la mecánica de Galileo y la astronomía planetaria de Kepler. Fue escrito a principios de la década de 1680 en un momento en que Newton estaba reaccionando contra la ciencia y la matemática de Descartes. Dejando a un lado el método analítico de fluxiones, Newton introdujo en lemas su cálculo de primera y última razones, una teoría geométrica de límites que sirvió de base matemática para su dinámica.

El uso del cálculo en los Principia de Newton se ilustra en la Proposición 11 del Libro I: si la órbita de una partícula que se mueve bajo una fuerza centrípeta es una elipse con el centro de fuerza en un foco, entonces la fuerza es inversamente proporcional al cuadrado de la distancia desde el centro. Debido a que por las leyes de Kepler se sabía que los planetas se movían en elipses con el Sol en un foco, este resultado apoyaba la ley del cuadrado inverso de la gravitación. Para establecer la proposición, Newton deriva una medida aproximada de la fuerza mediante el uso de pequeñas líneas definidas en función del radio (la línea del centro de la fuerza a la partícula) y la tangente a la curva en un punto. Este resultado expresaba geométricamente la proporcionalidad de la fuerza a la aceleración del vector. Usando las propiedades de la elipse conocidas a partir de la geometría clásica, Newton calculó el límite de esta medida y demostró que era igual a una constante multiplicada por 1 más el cuadrado del radio.

 Newton evitaba procesos analíticos en los Principia al expresar magnitudes y razones directamente en términos de cantidades geométricas, tanto finitas como infinitesimales. Su decisión de abstenerse constituye un rechazo notable por los métodos algebraicos que habían sido importantes incluso en sus primeras investigaciones sobre el cálculo. A pesar de que los Principia tuvo un valor inestimable para los mecánicos posteriores, sería reelaborado por los investigadores del continente y expresado en el lenguaje matemático del cálculo de Leibniz, el que trataremos en la próxima entrada.

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