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Posts Tagged ‘Johannes Kepler’

John Wallis fue el mejor matemático inglés de su tiempo; de hecho, es el primer matemático británico importante del siglo XVII. No solo estimuló el estudio de la matemática, convirtiéndolo en un tema atractivo para otros, sino que influyó directamente en Sir Isaac Newton a través de sus primeros descubrimientos en el área del cálculo diferencial.

John Wallis nació el 23 de noviembre de 1616 en Ashford, Inglaterra. Su padre, también llamado John Wallis, era un ministro ampliamente respetado en Ashford. La madre de Wallis, Joanna Chapman, era la segunda esposa del padre de Wallis, y Wallis fue el tercero de cinco hijos. El padre de Wallis murió cuando Wallis tenía seis años.

La educación temprana de Wallis fue en Ashford, pero cuando la peste golpeó, su madre lo envió a la escuela primaria de James Movat en 1625. Primero mostró su potencial allí, entrenando tanto su memoria como su comprensión. A lo largo de la vida, Wallis fue capaz de lograr grandes hazañas de cálculo mental, incluso calculando en su mente raíces cuadradas de números irracionales. Luego, Wallis asistió a la escuela de Martin Holbeach en Felsted de 1631 a 1632, donde dominó el griego, el latín y el hebreo. Aunque aprendió lógica allí, no recibió capacitación en matemática hasta que su hermano le enseñó las reglas de la aritmética durante unas vacaciones de Navidad. El tema le atraía como una distracción, pero no se dedicaba formalmente a la matemática por entonces.

Wallis luego fue al Emanual College, Cambridge, en 1632, donde estudió ética, metafísica, geografía, astronomía y medicina. Más tarde defendió la nueva teoría de su maestro Glisson sobre la circulación de la sangre en debate público. Wallis completó su licenciatura en 1637 y su maestría en 1640. Luego fue ordenado y sirvió como capellán en varios puestos en los próximos años.

La carrera de Wallis dio un giro cuando descifró con éxito un mensaje realista codificado en solo dos horas. Esto lo hizo popular entre los parlamentarios, y Wallis continuó brindándoles servicio como criptógrafo durante la Guerra Civil. Como recompensa por su trabajo, Wallis recibió el cuidado de la iglesia de San Gabriel de Fenchurch Street en Londres en 1643. Su madre murió ese año, dejando a Wallis una herencia considerable.

Wallis transitó brevemente con una beca en Cambridge en 1644, pero se vio obligado a abandonar esto cuando se casó con Susanna Glyde en 1645. En Londres comenzó a reunirse regularmente con un grupo de científicos interesados en discutir medicina, geometría, astronomía y mecánica; Este grupo más tarde se convirtió en la Royal Society. A través de las reuniones se encontró con la obra Clavis Mathematica de William Oughtred en 1647, que devoró en unas pocas semanas. Este trabajo estimuló el amor de Wallis por la matemática y lo alentó a comenzar sus propias investigaciones.

Wallis primero escribió su Treatise on Angular Sections y descubrió métodos para resolver ecuaciones de grado cuatro. En 1649 Oliver Cromwell lo nombró para la cátedra de geometría saviliana en Oxford; sus oponentes sostuvieron que obtuvo el puesto por razones políticas, aunque parece que el nombramiento estaba justificado, basado en el servicio excepcional que Wallis brindó. Wallis ocupó el cargo durante más de 50 años, hasta su muerte; también fue nombrado guardián de los archivos de la universidad en 1657. En 1648 Wallis discrepó públicamente con la moción para ejecutar a Carlos I. Como resultado, Carlos II recompensó a Wallis cuando se restableció la monarquía: su nombramiento en la silla saviliana continuó, y también se convirtió en capellán real.

La principal contribución matemática de Wallis radica en su trabajo sobre los fundamentos del cálculo. Primero estudió el trabajo de Johannes Kepler y René Descartes, y luego extendió sus primeros resultados. Su Arithmetica Infinitorum de 1657 establece un desarrollo infinito del producto para la mitad del número pi, que Wallis descubrió en el curso del  cálculo de una determinada integral. Wallis descubrió cómo integrar funciones de la forma 1 - x^2 elevadas a una potencia entera, y extendió sus reglas a potencias fraccionarias mediante interpolación, basándose en las nociones de continuidad de Kepler. Su trabajo en esta área influiría más tarde en Newton, quien llevó los conceptos básicos del cálculo a un grado mucho mayor.

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El Tract on Conic Sections de Wallis de 1655 presentaba parábolas y círculos como conjuntos de puntos que satisfacen ecuaciones algebraicas abstractas. Este enfoque, familiar para el lector moderno, difiere de la definición clásica, que describe estas curvas como la intersección de planos inclinados con un cono (se trata de secciones cónicas). Así, el estilo de Wallis recordaba la geometría analítica de Descartes. El Treatise of Algebra de 1685 de Wallis muestra su aceptación de las raíces negativas y complejas. Aquí Wallis resuelve muchas ecuaciones algebraicas y proporciona una gran cantidad de material histórico. Restauró algunos de los textos griegos antiguos, incluidas las obras de Aristarco de Samos y Arquímedes de Siracusa.

Wallis, además de su obra matemática, escribió sobre una variedad de otros temas: etimología, lógica y gramática, entre otros. Se involucró en una intensa disputa con el filósofo Thomas Hobbes, quien en 1655 afirmó haber cuadrado el círculo, lo que equivalía a descubrir un número racional cuyo cuadrado sea el número pi. Wallis refutó esta falsa afirmación públicamente, y siguió una disputa bastante desagradable que terminó solo cuando Hobbes murió.

Wallis dormía mal, tal vez porque su mente activa no lograba descansar fácilmente. Murió el 28 de octubre de 1703 en Oxford, Inglaterra. Es recordado principalmente por su trabajo sobre los fundamentos del cálculo, que influyó en matemáticos posteriores como Newton; sin embargo, sus trabajos matemáticos se extendieron también a la geometría y el álgebra. También es notable que Wallis fue el primer gran matemático inglés; no tenía predecesores ni maestros, pero a su paso la matemática se convirtió en un tema más popular.

 


Fuente bibliográfica:

  • McElroy, Tucker (2005) A to Z of Mathematicians. Facts On File, Inc.

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Galileo Galilei es uno de los nombres más conocidos en la historia de la ciencia. Este hombre vivió en una época en que la filosofía especulativa fue gradualmente suplantada por la matemática y la evidencia experimental, y de hecho contribuyó, tal vez más que cualquiera de sus contemporáneos, a este cambio de paradigma. La investigación de Galileo sobre matemática, mecánica, física y astronomía alteró por completo la forma en que las personas buscaban el conocimiento del mundo natural y comenzó una avalancha de investigaciones científicas en toda Europa. 

Galileo nació el 15 de febrero de 1564, en Pisa, Italia. Su padre, Vincenzio Galilei, era músico y miembro de una antigua familia patricia. Vincenzio se casó con Giulia Ammannati de Pescia en 1562, y Galileo nació dos años más tarde. Él sería uno de siete hijos. Primero fue tutelado en Pisa, pero la familia regresó a Florencia en 1575. Estudió en el monasterio de Santa María en Vallombrosa hasta 1581, cuando se matriculó en la Universidad de Pisa como estudiante de medicina. Galileo tenía poco interés en la medicina, pues prefería la matemática, en la que progresaba rápidamente a pesar de la desaprobación de su padre. En 1585 dejó la escuela sin un título y siguió el estudio de Euclides de Alejandría y Arquímedes de Siracusa en privado. 

Durante los próximos cuatro años, Galileo dio clases privadas de matemática en Florencia, mientras componía algunas obras menores sobre mecánica y geometría. Fue en este momento que el padre de Galileo se involucró en una controversia musical. Vincenzio Galilei resolvió la disputa a través de investigaciones experimentales, y este enfoque demostró tener una gran influencia en su hijo. Galileo maduraría y se convertiría en un gran experimentador que probaría las teorías matemáticas con evidencia física.

En 1589, Galileo obtuvo la cátedra de matemática en Pisa, donde realizó algunos de sus primeros experimentos sobre la caída de los cuerpos. Aproximadamente en este momento, Galileo se embarcó en una campaña de toda la vida para desacreditar la física aristotélica, la visión oficial del mundo defendido por la Iglesia Católica Romana, que, entre otras cosas, declaró que los objetos más densos caen más rápido. Galileo enfureció a muchos de sus colegas profesores al demostrar públicamente que cuerpos de diferentes pesos caían a la misma velocidad, arrojando esos objetos desde la Torre Inclinada de Pisa. Su tratado sobre estos temas fue De motu (Sobre el movimiento), y se basó en algunas ideas de Arquímedes.

Su padre murió en 1591, creando una situación financiera incierta para Galileo. Debido a la animosidad que había despertado, su puesto en Pisa no se renovó; sin embargo, sus amigos lo ayudaron a obtener un lugar en Padua, donde la comunidad era menos conservadora. Dio conferencias sobre Euclides, Claudio Ptolomeo y mecánica, pero no se interesó en la astronomía hasta mucho después. En 1597 Galileo expresó su simpatía por el sistema copernicano a Johannes Kepler, pero no promovió públicamente la astronomía anti-aristotélica en este momento.

Mientras estaba en Padua, Galileo tuvo una amante llamada Marina Gamba, que más tarde le dio dos hijas y un hijo. Su hija mayor, Virginia, sería un gran consuelo para él en años posteriores de lucha y conflicto. En 1602 se interesó en los movimientos de los péndulos y la aceleración de los cuerpos que caen, y derivó correctamente la ley de caída libre en 1604, aunque con una suposición incorrecta. En el mismo año, una supernova provocó una disputa sobre la noción aristotélica de la incorruptibilidad de los cielos, y Galileo pronunció varias conferencias públicas sobre este tema. Pronto se interesaría cada vez más en el estudio de los cielos.

En 1609 Galileo se enteró de la invención de un telescopio por Hans Lipperhey, un afilador de lentes holandés, y el profesor paduano se dispuso a construir su propia versión, que finalmente fue 30 veces más poderosa que la original. Este dispositivo, tan útil para la navegación, le valió un puesto de por vida en Padua, y comenzó a usarlo para ver el cielo. Pronto descubrió que la Luna tenía montañas y que la Vía Láctea consistía en muchas estrellas separadas. Galileo publicó muchos descubrimientos adicionales en Sidereus nuncios (1610). Su fama resultante le valió el puesto de matemático y filósofo para el gran duque de Toscana, donde podría centrarse en su investigación sin tener que enseñar.

El libro creó un furor en Europa, y muchos afirmaron que era un fraude, aunque Kepler lo aprobó. En los satélites de Júpiter, Galileo ahora vio evidencia decisiva contra la concepción aristotélica de que todos los cuerpos celestes giraban alrededor de la Tierra. En 1611 viajó a Roma, donde fue honrado por los jesuitas del Colegio Romano y admitido en la Academia Lincean.

Después de este tiempo, Galileo volvió a la física y se vio envuelto en más controversias en Florencia. La disputa se refería al comportamiento de los cuerpos flotando en el agua, y Galileo apoyó las teorías de Arquímedes contra las de Aristóteles; él pudo, usando los conceptos de momento y velocidad, extender las ideas de Arquímedes más allá de las situaciones hidrostáticas.

En 1613, Galileo publicó Letters on Sunspots, donde habló por primera vez en forma impresa sobre el sistema copernicano. Ciertos católicos no consideraron favorablemente este documento, y la oposición creció en los años siguientes. En opinión de Galileo, la teología no debía interferir con cuestiones puramente científicas, aquellas que podrían resolverse experimentalmente; y en 1615 Galileo fue a Roma para luchar contra la supresión del copernicanismo. El Papa Pablo V, molesto por los cuestionamientos de la autoridad teológica, nombró una comisión para determinar el movimiento de la Tierra: en 1616 la comisión falló contra el sistema copernicano, y se prohibió a Galileo defender esa opinión.

Volviendo a Florencia, Galileo recurrió al problema de determinar longitudes en el mar. También retomó la mecánica, definió correctamente la aceleración uniforme y presentó muchos de sus principios cinemáticos. Pero Galileo tenía una personalidad combativa, y pronto se vio envuelto en una nueva controversia sobre el movimiento de tres cometas en 1618. En una famosa polémica de la ciencia, Il saggiatore, Galileo estableció un enfoque científico general para la investigación de fenómenos celestes sin referencia directa al sistema copernicano. En este ensayo, Galileo repudia cualquier autoridad que contradiga la investigación directa y, por lo tanto, expone la ciencia empírica como el único fundamento del conocimiento del universo. Este trabajo fue publicado en 1623 y dedicado al Papa Urbano VIII. Galileo obtuvo el permiso de su viejo amigo para escribir un libro que discutiría imparcialmente los sistemas copernicano y ptolemaico, llamado algo así como Diálogo sobre los dos principales sistemas mundiales.

Este trabajo, que ocupó a Galileo durante los próximos seis años, consistió en un diálogo entre dos defensores -para los sistemas copernicano y ptolemaico, respectivamente- que intentaban ganarse a un profano para su lado. Galileo permanece oficialmente sin compromiso, excepto en el prefacio; los conceptos importantes incluyen la relatividad y la conservación del movimiento. Las manchas solares y las mareas oceánicas se presentaron como argumentos pro-copernicanos, ya que no se podían explicar sin movimiento terrestre. El libro fue impreso en Florencia en 1632, y pronto se ordenó a su autor que compareciera ante la Inquisición en Roma.

El Papa, aunque alguna vez amigo de Galileo, había sido convencido por los enemigos de Galileo de que el autor hacía deliberadamente que la perspectiva aristotélica pareciera una tontería. El juicio fue llevado a cabo con venganza, y Galileo fue sentenciado a cadena perpetua luego de renunciar a la herejía copernicana. Bajo arresto domiciliario, pasó los años que le faltaban completando su inacabado trabajo sobre mecánica. Hacia 1638, su Discurso y demostración matemática, en torno a dos nuevas ciencias había aparecido en Francia (no podía publicar en Italia, ya que sus obras estaban prohibidas). El contenido trata sobre la ciencia de la ingeniería de los materiales y la ciencia matemática de la cinemática, y subyace en gran parte la física moderna. Tanto el péndulo como el plano inclinado juegan un papel importante en Dos nuevas ciencias, y Galileo deduce el movimiento parabólico de las trayectorias.

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En los últimos cuatro años de su vida, Galileo estuvo ciego, y antes de su muerte se le negó la solicitud de asistir a los servicios de Pascua o consultar a médicos. Finalmente, el 8 de enero de 1642, en Arcetri, Italia, falleció. Sin duda fue uno de los mejores científicos de todos los tiempos, y también un matemático capaz. No solo hizo grandes contribuciones a la ciencia, sino que también avanzó en una nueva epistemología: el conocimiento del mundo natural (incluido el conocimiento matemático) debe adquirirse a través de la razón y la experimentación.

 


Fuente bibliográfica:

  • McElroy, Tucker (2005) A to Z of Mathematicians. Facts On File, Inc.

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La profundidad de Cauchy se puede comparar con la de Carl Friedrich Gauss, en cuanto a la cantidad, calidad y variedad del material matemático considerado. Hizo contribuciones sobresalientes al análisis real y al cálculo, a la teoría de funciones complejas, a las ecuaciones diferenciales y al álgebra, así como a la teoría de la elasticidad y la mecánica celeste. Su extraña personalidad, descrita alternativamente como infantilmente ingenua y extravagantemente melodramática, junto con su profuso estilo literario se combinan para formar un personaje singular en la historia de la matemática. De hecho, el nombre de Cauchy está vinculado a más teoremas y conceptos matemáticos que el de cualquier otro matemático. 

Augustin-Louis Cauchy nació el 21 de agosto de 1789 en París, hijo de Louis-François Cauchy, un poderoso funcionario administrativo, y Marie-Madeleine Desestre. La pareja se casó en 1787 y tuvo cuatro hijos y dos hijas. Su padre, que era un experto en clásicos, fue quien se dedicó en primera instancia de la educación de Augustin Cauchy, el hijo mayor. Más tarde conoció a varios científicos destacados, como Pierre-Simon Laplace. Cauchy luego asistió a la École Central du Panthéon, y fue admitido en la École Polytechnique a los 16 años de edad. Unos años más tarde dejó la École para convertirse en ingeniero, y en 1810 trabajó en el puerto de Cherbourg, donde Napoleón estaba construyendo sus operaciones navales contra Inglaterra. En 1813 Cauchy había regresado a París. 

Mientras tanto, en 1811 Cauchy resolvió un problema geométrico planteado por Joseph-Louis Lagrange: la determinación de los ángulos de un poliedro convexo a partir de sus caras. En 1812 descubrió un problema de Pierre de Fermat -si cada número es la suma de números n-agonales. Su tratado de 1814 sobre integrales definidas fue presentado a la Academia Francesa, y este ensayo se convertiría más tarde en la base de la teoría de las funciones complejas. Dos años después, Cauchy ganó un concurso de la Academia Francesa sobre el tema de la propagación de ondas en la superficie de un líquido. Hacia 1819 había inventado el método de características utilizado para resolver ecuaciones diferenciales parciales, y en 1822 sentó las bases para la teoría de la elasticidad. 

Esto representa una pequeña muestra de las extensas escrituras de Cauchy. Había obtenido el cargo de profesor adjunto de la École Polytechnique en 1815, y al año siguiente fue ascendido a profesor titular y fue nombrado miembro de la Académie des Sciences; antes de 1830 tenía sillas tanto en la Faculté des Sciences como en el Collège de France. Mientras tanto, escribió muchos libros de texto notables, que fueron dignos de destacar por su precisión. 

En 1818, Cauchy se casó con Aloïse de Bure, con quien tuvo dos hijas; la familia se instaló en las cercanías de Sceaux. Fue un devoto católico, dedicado a varias obras de caridad durante toda su vida y ayudando a fundar el Institut Catholique. Su personalidad ha sido descrita como intolerante, egocéntrica y fanática; otros lo pintan como meramente infantil. Por ejemplo, Cauchy escribió una defensa de los jesuitas, sosteniendo que eran odiados por su virtud. Su tratamiento de las memorias de Niels Henrik Abel y Evariste Galois ha sido citado como prueba de su egotismo, aunque en general reconoció el trabajo de otras personas y fue cuidadoso en sus referencias. Antes de presentar el trabajo de otro en la academia, Cauchy a menudo generalizaba y mejoraba los resultados del autor; parece que su obsesión por la matemática transgredió los límites de la propiedad, lo que lo llevó a publicar una idea tan pronto como la desarrollaba. Y Cauchy fue prodigioso: ¡produjo al menos siete libros y más de 800 artículos! 

En la revolución de julio de 1830, la monarquía borbónica fue reemplazada por Luis Felipe. Un realista, Cauchy se negó a jurar lealtad al nuevo rey. Como resultado, perdió sus sillas y se exilió a sí mismo a Friburgo, Cerdeña y finalmente a Praga, donde fue tutor del príncipe heredero de los Borbones y más tarde recompensado siendo nombrado barón. En 1834, su esposa y sus hijas se unieron a él en Praga, pero Cauchy regresó a París en 1838, reanudando su actividad matemática en la academia. Varios amigos intentaron conseguir un puesto para Cauchy, pero su firme negativa a hacer el juramento de lealtad hizo abortar estos esfuerzos. Después de la Revolución de febrero de 1848, los republicanos retomaron el poder y Cauchy pudo ocupar una silla en la Sorbona. Continuó publicando a un ritmo enorme hasta su muerte el 22 de mayo de 1857. 

Cauchy había escrito un magistral texto de cálculo en 1821, notable por su rigor y por su excelente estilo. Este acercamiento a la matemática fue característico de él: rechazó la “generalidad del álgebra”, que era un argumento ilógico para tratar las cantidades infinitesimales lo mismo que las finitas. Cauchy distinguió entre una serie convergente y divergente (y se negó a tratar este último tipo), estableciendo condiciones específicas para la convergencia, como la llamada propiedad de Cauchy para la convergencia de una sucesión, así como la raíz, la razón y las pruebas integrales. Cauchy definió los límites superior e inferior para las sucesiones no convergentes, estableció las representaciones de límite y serie para el número trascendental e, y fue el primero en usar la notación de límite. Derivó varias reglas para la manipulación de series convergentes y radios de convergencia calculados para series de potencias, advirtiendo contra el uso imprudente de la aproximación de Taylor. Cauchy demostró un teorema del resto para series, inventó el concepto moderno de continuidad y obtuvo una versión del teorema del valor medio, que posteriormente probó Bernhard Bolzano. Cauchy hizo hincapié en la definición de límite de la derivada y la integral definida, así como en la discusión de integrales indefinidas y singulares. Hizo un uso extensivo de la transformada de Fourier (descubierta antes de Jean Baptiste Joseph Fourier) en ecuaciones diferenciales, inventó el llamado Jacobiano (un determinante especial) y dio una prueba del teorema fundamental del álgebra. 

En estadística, la teoría de regresión tratada por Cauchy usa errores absolutos, en contraste con la teoría de mínimos cuadrados de Gauss; uno de los resultados de esta investigación es la creación de la llamada distribución de Cauchy. En álgebra, Cauchy investigó la inversa de una matriz, proporcionó teoremas sobre determinantes e investigó las transformaciones ortogonales. Él contrastó la construcción geométrica y algebraica del número complejo. También estableció los fundamentos de la teoría de grupos, incluidos los conceptos de grupo, subgrupo, conjugación y orden, y probó el teorema de Cauchy para grupos finitos. También intentó sin éxito la prueba del último teorema de Fermat, que solo se demostró en 1994. 

Los métodos de Cauchy en la teoría de las ecuaciones diferenciales incluyen el uso de la transformada de Fourier y el método de las características. Cauchy enfatizó que no todas las ecuaciones tenían soluciones, y que la unicidad solo podía estipularse bajo importantes condiciones iniciales y de frontera; una ecuación diferencial parcial bien especificada con datos iniciales y de límites se denomina problema de Cauchy. También fundó la teoría de la elasticidad, generalizándola a partir de los ejemplos unidimensionales considerados por los matemáticos del siglo XVIII; esta fue una de sus contribuciones más elegantes y encomiables a la ciencia. Cauchy también escribió sobre el tema de la mecánica celeste, resolviendo la ecuación de Kepler. 

La teoría de las funciones complejas está, quizás, más fuertemente endeudada con Cauchy. Primero justificó el límite y las operaciones algebraicas con números complejos, y luego desarrolló la fórmula integral de Cauchy y el cálculo de residuos. Estas herramientas tienen una notable variedad de aplicaciones. Es interesante que Cauchy no pudo deducir el teorema de Liouville (que las funciones enteras acotadas deben ser constantes). Sin embargo, sus numerosas contribuciones y perspectivas avanzaron mucho en el campo del análisis complejo.

 


Fuente bibliográfica:

  • McElroy, Tucker (2005) A to Z of Mathematicians. Facts On File, Inc.

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