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Posts Tagged ‘John Wallis’

Antes de que Sir Isaac Newton y Gottfried Leibniz desarrollaran sistemáticamente el cálculo integral, algunos otros matemáticos trabajaron como predecesores, basándose en las ideas insinuadas por Arquímedes de Siracusa. El concepto de indivisibles, esas cantidades tan pequeñas que no pueden dividirse por la mitad, había comenzado a afianzarse, y Cavalieri fue uno de los primeros exponentes; su trabajo sobre la integración inspiraría más tarde a Blaise Pascal, Newton y Leibniz. 

Se desconoce la fecha exacta del nacimiento de Bonaventura Cavalieri, y no se sabe nada de su familia. Nació en Milán, Italia, y adoptó el nombre de Bonaventura al ingresar a la orden religiosa de los jesuitas cuando era niño, y permaneció monástico durante toda su vida. En 1616 fue trasladado al monasterio de Pisa, donde conoció a Castelli, un monje benedictino y estudiante de Galileo Galilei. En ese momento, Castelli era profesor de matemática en Pisa, y adoptó a Cavalieri como su alumno. El niño dominó rápidamente las obras de Euclides de Alejandría, Arquímedes y Apolonio de Perga, y demostró un notable talento para la geometría, a veces actuando como sustituto de Castelli. Más tarde, Cavalieri fue presentado a Galileo, con quien intercambió muchas cartas a lo largo de los años. 

De 1620 a 1623 Cavalieri enseñó teología en Milán, después de haber sido ordenado diácono del cardenal Borromeo. Durante este período desarrolló sus primeras ideas sobre el método de los indivisibles: uno ve una superficie plana como la unión de infinitas líneas paralelas (los indivisibles), por lo que el área se calcula a partir de la suma de todas sus longitudes. De la misma manera, una figura sólida se componía de infinitas superficies apiladas, de modo que el volumen podía calcularse sumando todas las áreas. Su siguiente tarea fue en Lodi, donde permaneció tres años, y en 1626 se convirtió en prior del monasterio en Parma; buscó una cátedra en Parma, pero sin éxito. Cayó enfermo en 1626 de gota, lo que lo atormentó durante toda su vida, Cavalieri se recuperó en Milán y pronto anunció a Galileo la finalización de su Geometria Indivisibilibus Continuorum Nova Quadam Ratione Promota (Un método determinado para el desarrollo de una nueva geometría de indivisibles continuos). Con la ayuda de este último, Cavalieri obtuvo en 1629 la primera cátedra de matemática en Bolonia, que mantuvo hasta su muerte el 30 de noviembre de 1647.

Cavalieri se dio cuenta de que Arquímedes conocía un método para calcular áreas y volúmenes que no estaba dispuesto a revelar, ya fuera por secreto competitivo o por el deseo de evitar la burla de sus conservadores colegas. Cavalieri desarrolló un sistema racional de los llamados indivisibles e intentó establecer la validez de este enfoque. A partir de sus principios, Cavalieri dedujo varios de los teoremas básicos del cálculo integral, pero sin el formalismo propio de la integral. Su método de cálculo, que implica el concepto de congruencia bajo traslación, se muestra como válido para paralelogramos y figuras planas que se encuentran entre dos líneas paralelas.  

Sus contemporáneos rechazaron en gran parte la metodología de Cavalieri, sin saber que el mismo Arquímedes había utilizado técnicas similares. Cavalieri obtuvo algunas fórmulas básicas, como la regla de potencias para la integración de un polinomio, en 1639, aunque había sido descubierta tres años antes por Pierre de Fermat y Gilles de Roberval. También descubrió el volumen de sólidos obtenidos al rotar alrededor de un eje. 

También en Geometria hay una formulación temprana del teorema del valor medio, que establece que entre dos puntos cualquiera de una curva se puede encontrar una línea tangente paralela a la cuerda que conecta los dos puntos. Cavalieri también investigó los logaritmos, que habían sido inventados recientemente por John Napier, así como la trigonometría con aplicaciones a la astronomía. Su Centuria di varii problema de 1639 trató la definición de superficies cilíndricas y cónicas, y también dio fórmulas para el volumen de un barril y la capacidad de una bóveda. Entre sus otras contribuciones a la ciencia están una teoría de las cónicas aplicadas a la óptica y la acústica, la idea del telescopio reflector (aparentemente anterior a Newton), la determinación de la distancia focal de una lente y las explicaciones de los espejos ustorios de Arquímedes. 

La obra de Cavalieri fue un primer paso moderno hacia el cálculo, y debería verse como un eslabón esencial en la cadena entre Arquímedes y los grandes matemáticos del siglo XVII que desarrollaron el cálculo: Pascal, Leibniz y Newton, junto con John Wallis e Isaac Barrow.

 


Fuente bibliográfica:

  • McElroy, Tucker (2005) A to Z of Mathematicians. Facts On File, Inc.
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La familia Bernoulli produjo muchos matemáticos que contribuyeron a diversas ramas de la matemática como la probabilidad, el cálculo y la teoría de números, y Jakob Bernoulli fue el primer miembro de esa impresionante congregación. Su genio estaba en la inteligente solución de ciertos problemas muy específicos, muchos de los cuales cobraron relevancia para el mundo exterior.

Originarios de Amsterdam, los Bernoullis eran una próspera familia de comerciantes que habían emigrado a Basilea. Jakob Bernoulli nació el 27 de diciembre de 1654 en Basilea, hijo de Nikolaus Bernoulli, un magistrado de la ciudad, y Margaretha Schönauer, hija de un banquero. Jakob Bernoulli estaba destinado también a una carrera mercantil, pero sus proclividades para la investigación científica marcarían su destino por otro camino. Después de obtener el título de maestría en filosofía en 1671, pasó a recibir una licenciatura en teología cinco años después. Sin embargo, parece que Bernoulli tenía poco interés o predilección hacia el ministerio evangélico; ha sido descrito como obstinado y agresivo, con un complejo de inferioridad. Durante este tiempo estudió matemática y astronomía, aunque su padre trató de disuadirlo de ello. En 1676 llegó a Ginebra como profesor particular, y allí comenzó su diario científico llamado Meditationes; Llego viajó a Francia, donde pasó dos años aprendiendo las metodologías de la filosofía científica cartesiana. Un segundo viaje educativo a los Países Bajos e Inglaterra en 1681 lo puso en contacto con matemáticos contemporáneos. Como resultado, Bernoulli pronto formuló una teoría de cometas (1682) y gravedad (1683). De regreso a Basilea, Jakob comenzó a dar conferencias sobre mecánica de cuerpos sólidos y líquidos; envió informes de sus investigaciones a revistas científicas y, mientras tanto, trabajó con la Géométrie de René Descartes. Sus contribuciones en geometría y álgebra (mostró cómo un triángulo podía dividirse en cuatro partes iguales a través de dos rectas perpendiculares) fueron colocadas en un apéndice de la cuarta edición de la Géométrie.

Bernoulli presentó a continuación cuatro estudios de lógica formal, publicados en medio de una disputa, de 1684 a 1686, y su primer trabajo sobre probabilidad apareció en 1685. También estaba familiarizado con los escritos de John Wallis e Isaac Barrow sobre infinitesimales en óptica y problemas mecánicos, y de esta manera se introdujo al cálculo.

En 1684 Bernoulli se casó con Judith Stupanus, la hija de un rico farmacéutico. Uno de sus hermanos menores, Johann Bernoulli, comenzó a asistir a la Universidad de Basilea; como respondedor a los debates lógicos de Jakob Bernoulli, Johann Bernoulli obtuvo su maestría en artes en 1685. Estudió medicina formalmente, pero en secreto persiguió la matemática bajo la tutela de Jakob Bernoulli. La relación entre los dos hermanos resultaría dura, ya que sus personalidades similares llevaron a una implacable fricción y rivalidad.

En 1687 Bernoulli fue nombrado profesor de matemática en la Universidad de Basilea, y en este tiempo estudió y dominó el cálculo diferencial de Gottfried Wilhelm Leibniz; como resultado, en 1689 Bernoulli produjo una teoría de series infinitas, estableció la ley de los grandes números de la teoría de la probabilidad, y llamó la atención sobre la importancia de la inducción completa. El análisis de la solución de Christiaan Huygens al problema de la curva de descenso constante en un campo gravitatorio proporciona un excelente ejemplo del dominio de Bernoulli del cálculo leibniziano. Fue en este contexto donde apareció por primera vez el término integral. Posteriormente investigó la elasticidad a través de una simple ecuación diferencial (1694), y también investigó las espirales parabólica y logarítmica (1691). Su procedimiento de determinación de la línea focal de rayos paralelos incidentes de luz sobre un espejo semicircular consiste en generar una curva algebraica a través de la envolvente de sus círculos de curvatura. Esto condujo más adelante a una ecuación diferencial que describió la forma de una vela que era inflada por el viento (1692, 1695). Bernoulli trabajó cuidadosamente en una amplia gama de problemas antiguos y modernos, incluyendo la llamada ecuación diferencial de Bernoulli, utilizando las herramientas del cálculo diferencial con experta facilidad.

Las fricciones entre Jakob Bernoulli y Johann Bernoulli se hicieron cada vez más frecuentes, principalmente debido a su mutuo conflicto de personalidad. Aunque inferior a su hermano menor en términos de intuición y velocidad de pensamiento, la mente de Jakob Bernoulli podía penetrar más profundamente en un tema. Un famoso problema de 1696 propuesto por Johann Bernoulli, llamado braquistócrona, se refería a la determinación de una curva de descenso más rápido entre dos puntos. Jakob Bernoulli resolvió esto en 1697, y también corrigió la solución de Johann Bernoulli del problema isoperimétrico en 1701, que este último se negó a reconocer hasta mucho después de la muerte de Jakob Bernoulli. Su antipatía mutua pronto llevó a la crítica del trabajo de cada uno, y continuó la discusión a través de la imprenta de 1699 a 1700.

Los principales logros de Bernoulli radican en su inteligente análisis de problemas particulares de interés matemático, clásico y mecánico. Desarrolló una teoría de fenómenos naturales basada en la colisión de partículas de éter, discutió el punto central de oscilación y descubrió las propiedades de la resistencia de los cuerpos elásticos. El centro de gravedad de dos cuerpos en movimiento uniforme, la forma de un cordón estirado, un movimiento acelerado centralmente y el impulso colectivo de muchos choques son algunos de los problemas mecánicos que él consideró. En ingeniería, él trató el problema del puente levadizo en 1695, que consistía en determinar la curva de un peso deslizante que cuelga en un cable que sostiene el puente levadizo en equilibrio.

En Theory of Series (publicado en cinco disertaciones de 1682 a 1704), desarrolla series para pi y el logaritmo de 2, investigó el interés compuesto, las series exponenciales y las series armónicas. La obra más original de Bernoulli, Ars conjectandi, publicada póstumamente en 1713 contiene la teoría de combinaciones, las series exponenciales, los números de Bernoulli, el beneficio esperado de varios juegos de azar, la probabilidad como medida de confianza, y la ley de grandes números. Murió en Basilea, el 27 de diciembre de 1705, de tuberculosis.

Tal vez su contribución a la probabilidad es su legado más significativo, ya que este campo ha sido ampliamente desarrollado a partir de sus primeros esfuerzos. Ciertamente, él avanzó también en álgebra, cálculo infinitesimal, cálculo de variaciones, mecánica y series infinitas. Bernoulli fue ampliamente leído por generaciones posteriores de matemáticos, y es reconocido hoy por sus contribuciones al cálculo y la probabilidad.

 


Fuente bibliográfica:

  • McElroy, Tucker (2005) A to Z of Mathematicians. Facts On File, Inc.

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Isaac Barrow fue el primero en descubrir ciertos aspectos del cálculo diferencial. Hay una cierta controversia sobre esto, y también sobre la extensión de su influencia en Sir Isaac Newton, que fue su sucesor en Cambridge. Sin embargo, las conferencias de Barrow sobre geometría contienen algunos de los primeros teoremas del cálculo, y por esto es recordado.

Barrow nació en octubre de 1630 (la fecha exacta es desconocida), hijo de Thomas Barrow, un próspero drapeador de lino y fiel realista. Su madre, Anne, murió en el parto. Un rebelde en su juventud, Barrow más tarde se disciplinó y aprendió griego, latín, lógica y retórica. En 1643 ingresó en el Trinity College, donde permanecería durante 12 años. Barrow, como su padre, era un partidario del rey, pero en Trinity la atmósfera se hizo cada vez más anti-realista. Se ganó su grado B.A. en 1648, fue elegido fellow de la universidad en 1649, y recibió su grado M.A. en matemática en 1652. Con estas credenciales, ingresó a su posición final como conferenciante y examinador en la universidad.

Es probable que su próximo puesto hubiera sido una cátedra de griego, pero Barrow fue expulsado de su posición por el gobierno de Cromwell en 1655. Barrow vendió sus libros y emprendió una gira por Europa que duró cuatro años. Cuando regresó de sus viajes, Carlos II acababa de volver al poder; Barrow tomó órdenes sagradas y obtuvo así la cátedra Regius. En 1662 él también aceptó la cátedra Gresham de geometría en Londres, y el año siguiente fue designado como primer profesor Lucasiano de matemática en Cambridge. Durante los seis años siguientes, Barrow concentró sus esfuerzos en escribir las tres series de Lectiones, una colección de conferencias.

La educación de Barrow había sido bastante tradicional, centrada en Aristóteles y los pensadores del Renacimiento, y en algunos temas seguía siendo muy conservador. Pero estaba muy intrigado por el renacimiento del atomismo y la filosofía natural de René Descartes: en la tesis de su maestría estudió a Descartes en particular. Hacia 1652 había leído muchos comentarios de Euclides de Alejandría, así como autores griegos más avanzados como Arquímedes de Siracusa. Su Euclidis elementorum libri XV (los primeros principios de Euclides en 15 libros), escrito en 1654, fue diseñado como un texto de pregrado, haciendo hincapié en la estructura deductiva sobre el contenido. Más tarde produjo comentarios sobre Euclides, Arquímedes y Apolonio de Perga

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Aparentemente, la fama científica de Barrow se debió a sus Lectiones, aunque no han sobrevivido. La primera serie Lucasiana, Lectiones mathematicae -dada de 1664 a 1666- se ocupa de los fundamentos de la matemática desde un punto de vista griego. Barrow considera el estado ontológico de los objetos matemáticos, la naturaleza de la deducción, la magnitud espacial y la cantidad numérica, el infinito y el infinitesimal, la proporcionalidad y la inconmensurabilidad, así como las entidades continuas y discretas. Sus Lectiones geometricae fueron un estudio técnico de geometría superior.

En 1664 encontró un método para determinar la línea tangente a una curva, problema que debía ser resuelto completamente por el cálculo diferencial; su técnica implica la rotación y la traslación de líneas. Las conferencias posteriores de Barrow son una generalización de procedimientos de tangencia, cuadratura y rectificación compilados a partir de su lectura de Evangelista Torricelli, Descartes, Frans van Schooten, Johann Hudde, John Wallis, Christopher Wren, Pierre de Fermat, Christiaan Huygens, Blaise Pascal y James Gregory. El material de estas conferencias no fue totalmente original, basándose fuertemente en los autores anteriores, especialmente en Gregory, y las Lectiones geometricae de Barrow no fueron ampliamente leídas.

Barrow también contribuyó al campo de la óptica, aunque sus Lectiones opticae pronto fue eclipsado por la obra de Newton. La introducción describe un cuerpo lúcido, que consiste en “colecciones de partículas diminutas casi imposibles de concebir”, como la fuente de los rayos de luz; el color es una dilución de grosor. El trabajo se desarrolla a partir de seis axiomas, incluyendo la ley euclidiana de la reflexión y la ley seno de la refracción. Gran parte del material se toma de Abū ‘Alī al-Ḥasan ibn al-Ḥasan ibn al-Hayṯam, Johannes Kepler y Descartes, pero el método de Barrow para encontrar el punto de refracción en una interfaz plana es original.

Mucho se ha planteado la hipótesis de la relación entre Barrow y Newton; algunos dicen que Newton derivó muchas de sus ideas sobre el cálculo de Barrow, pero hay poca evidencia de esto. A finales de 1669 los dos colaboraron brevemente, pero no está claro si tuvieron alguna interacción antes de ese tiempo. En ese año Barrow había renunciado a su silla, siendo reemplazado por Newton, con el fin de convertirse en el Real Capellán de Londres, y en 1675 se convirtió en vicerrector de la universidad.

Barrow nunca se casó, contentándose con la vida de soltero. Su personalidad era contundente y sus sermones teológicos eran extremadamente lúcidos y perspicaces, aunque no fue un predicador popular. Barrow era también uno de los primeros miembros de la sociedad real, incorporada en 1662. Era pequeño pero fuerte, y gozó de buena salud; su muerte temprana el 4 de mayo de 1677 se debió a una sobredosis de drogas.

La contribución matemática de Barrow parece algo marginal comparada con la producción prodigiosa de su contemporáneo Newton. Sin embargo, él fue un matemático importante en su tiempo, ganando fama a través de su popular  Lectiones, y fue el primero en derivar ciertas proposiciones del cálculo diferencial.

 


Fuente bibliográfica:

  • McElroy, Tucker (2005) A to Z of Mathematicians. Facts On File, Inc.

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