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Posts Tagged ‘Joseph-Louis Lagrange’

Jean-Baptiste-Joseph Fourier era hijo de un sastre. Nació el 21 de marzo de 1768, en la ciudad de Auxerre, Francia. A los nueve años había perdido a sus padres, Joseph y Edmée. El arzobispo lo colocó en la escuela militar local, donde desarrolló una fuerte inclinación hacia la matemática. Antes del final de su vida, Fourier fundaría la teoría de series trigonométricas y realizaría grandes avances en la comprensión de la dinámica del calor. 

Fourier nació en un período tranquilo de la historia de Francia, que pronto estallaría en el caos de la Revolución Francesa. Inicialmente, el joven deseaba unirse a la artillería o ingenieros, pero en cambio fue enviado a una escuela Benedectina en St.-Benoît-sur-Loire. Cuando la revolución comenzó en 1789, regresó a Auxerre como maestro en su antigua escuela militar. Se hizo prominente en asuntos locales, y desafió al gobierno a través de su valiente defensa de las víctimas del Terror. En 1794 fue arrestado, pero fue liberado después de la ejecución de Robespierre y brevemente asistió a la École Normale. Aunque esta escuela solo existió durante un año, parece que Fourier causó una fuerte impresión en la facultad, y fue nombrado profesor asistente en 1795 en la École Polytechnique. Allí cayó en conflicto con la reacción al régimen anterior (contra el que realmente había luchado) y fue encarcelado, pero sus colegas lograron obtener su liberación. En 1798 fue elegido para acompañar a Napoleón en su campaña egipcia, donde se convirtió en secretario del Institut d’Égypte y llevó a cabo diversas misiones diplomáticas. A pesar de estos deberes, Fourier encontró tiempo para atender sus intereses matemáticos. 

En 1801, Fourier regresó a Francia, pero su deseo de regresar a su puesto en la École Polytechnique no se realizó: Napoleón, habiendo determinado el talento administrativo de Fourier, lo nombró prefecto del departamento de Isère. Tuvo éxito en esta designación y Napoleón lo nombró barón en 1808. En esta época, escribió el prefacio histórico de la Description de l’Égypte, completado en 1809, que era un registro de la obra del Institut d’Égypte. Cuando Napoleón fue derrotado en 1814, el grupo que lo escoltaba a Elba planeó pasar por Grenoble, donde Fourier se instaló como prefecto. Fourier negoció un desvío del grupo con el fin de salvar a Napoleón de un encuentro embarazoso. En el regreso de Napoleón de Elba en 1815, Fourier cumplió con sus deberes como prefecto organizando una resistencia simbólica en Lyon. Más tarde, los dos amigos se encontraron en Bourgoin, y Napoleón restableció su confianza en el matemático haciéndole conde y prefecto del Ródano. 

Sin embargo, el nuevo régimen fue brutal, y antes del final de la breve restauración de Napoleón, Fourier había renunciado a su comisión y volvió a París para continuar su investigación sin distracciones. Las cosas fueron difíciles para Fourier, ya que estaba desempleado con una mala reputación política. Pronto, un viejo amigo le aseguró un puesto como director de la Oficina de Estadísticas en el departamento del Sena, obligación que le dejaba tiempo suficiente para progresar en sus estudios matemáticos. 

Los principales logros de Fourier se encuentran en el área de la difusión del calor. Gran parte del trabajo se completó durante su mandato en Grenoble, aunque sus intereses en el calor se remontan a su estancia en Egipto. En 1807 presentó a la Academia un extenso trabajo sobre difusión de calor en cuerpos continuos especiales; el contenido se basó en la ecuación de difusión (o del calor) en tres variables. Debido al uso de las llamadas series de Fourier en el artículo, uno de los revisores, Joseph-Louis Lagrange, impidió la publicación de la obra: Lagrange consideró que las series trigonométricas eran de poca utilidad. En 1810 se presentó una versión revisada del artículo con motivo de un premio en disputa, y la actualización contenía nuevo material sobre difusión del calor en cuerpos infinitos. Las últimas secciones del documento trataban los aspectos físicos del calor, como la radiación, que ocuparía a Fourier cada vez más en años posteriores. Este excelente trabajo ganó el premio, y más tarde se expandió al libro Théorie analytique de la chaleur (Teoría analítica del calor). 

La importancia de las contribuciones de Fourier se puede ver en dos aspectos: primero, la formulación del problema físico como un problema de valor límite en la teoría de ecuaciones en derivadas parciales lineales; y segundo, las poderosas herramientas matemáticas para la solución de estos problemas. Estas herramientas tendrían una gran influencia en el posterior desarrollo de la matemática, dejando atrás a numerosos descendientes. 

Las primeras nociones sobre mecánica del calor implicaban la idea de que algo transfería calor entre partículas discretas. Finalmente, Fourier pudo descubrir una ecuación diferencial que describía suavemente la dinámica del calor: esta era la llamada ecuación de difusión. El dominio para esta ecuación era una franja “semi-infinita”, esencialmente la parte positiva del eje x, que era uniformemente caliente en un extremo y uniformemente fría en los lados. Esta configuración del problema era simple y físicamente significativa. En este contexto, Fourier construyó una solución en serie al problema que involucraba términos trigonométricos. Era consciente de las dificultades de convergencia involucradas con este tipo de enfoque, y manejó estos problemas con bastante eficacia. Lo sorprendente de su trabajo fue que demostró que para muchas funciones genéricas se podían construir series trigonométricas que eran idénticas a la función en un intervalo. Para funciones no periódicas, parece extraño que uno pueda expresarlas como una suma de senos y cosenos. 

Fourier luego generalizó sus soluciones a tres dimensiones y a otras configuraciones, como un cilindro. Algunos de sus últimos trabajos creativos se produjeron en 1817 y 1818, en los que desarrolló una relación entre las soluciones de transformación integral y el cálculo operativo. La llamada transformada de Fourier de una función, tan útil para la solución de ecuaciones diferenciales, se derivó de estos trabajos. 

En muchos sentidos, Fourier fue muy práctico en su enfoque de la matemática: cada afirmación tenía que poseer un significado físico, y fue guiado en sus investigaciones por su excelente intuición física. Desarrolló un camino coherente a través de un revoltijo de técnicas ad hoc para resolver ecuaciones diferenciales, y un don para interpretar las propiedades asintóticas de sus soluciones en el ámbito de la física. Cuando era posible, probaba sus resultados a través de la experimentación. Su legado matemático es enorme, con gigantes como Bernhard Riemann, George Cantor y Henri-Léon Lebesgue siguiendo su trabajo en análisis matemático. 

En 1817, Fourier fue elegido para la reconstituida Académie des Sciences después de algunos problemas políticos. Poco a poco avanzó en su carrera, a pesar de su enemistad con Siméon Denis Poisson y la oposición de los realistas. Sus honores posteriores incluyen la elección para la Académie Française en 1827 y la elección como miembro extranjero de la Royal Society. A lo largo de su vida ganó el apoyo de muchos amigos a través de su apoyo desinteresado y aliento, y ayudó a muchos matemáticos y científicos en sus últimos años.

Mientras estaba en Egipto, había desarrollado alguna enfermedad, posiblemente mixedema, por lo que cada vez más estaba confinado a su propio cuarto caliente. El 4 de mayo de 1830 tuvo un ataque mientras bajaba unas escaleras en su casa de París. Él murió 12 días después. Sin duda es uno de los mejores matemáticos, ya que el análisis de Fourier es un método enormemente exitoso en ingeniería y estadística; sus aplicaciones a ecuaciones diferenciales, llamadas análisis armónico, son una rama hermosa y próspera de la matemática.

 


Fuente bibliográfica:

  • McElroy, Tucker (2005) A to Z of Mathematicians. Facts On File, Inc.
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La profundidad de Cauchy se puede comparar con la de Carl Friedrich Gauss, en cuanto a la cantidad, calidad y variedad del material matemático considerado. Hizo contribuciones sobresalientes al análisis real y al cálculo, a la teoría de funciones complejas, a las ecuaciones diferenciales y al álgebra, así como a la teoría de la elasticidad y la mecánica celeste. Su extraña personalidad, descrita alternativamente como infantilmente ingenua y extravagantemente melodramática, junto con su profuso estilo literario se combinan para formar un personaje singular en la historia de la matemática. De hecho, el nombre de Cauchy está vinculado a más teoremas y conceptos matemáticos que el de cualquier otro matemático. 

Augustin-Louis Cauchy nació el 21 de agosto de 1789 en París, hijo de Louis-François Cauchy, un poderoso funcionario administrativo, y Marie-Madeleine Desestre. La pareja se casó en 1787 y tuvo cuatro hijos y dos hijas. Su padre, que era un experto en clásicos, fue quien se dedicó en primera instancia de la educación de Augustin Cauchy, el hijo mayor. Más tarde conoció a varios científicos destacados, como Pierre-Simon Laplace. Cauchy luego asistió a la École Central du Panthéon, y fue admitido en la École Polytechnique a los 16 años de edad. Unos años más tarde dejó la École para convertirse en ingeniero, y en 1810 trabajó en el puerto de Cherbourg, donde Napoleón estaba construyendo sus operaciones navales contra Inglaterra. En 1813 Cauchy había regresado a París. 

Mientras tanto, en 1811 Cauchy resolvió un problema geométrico planteado por Joseph-Louis Lagrange: la determinación de los ángulos de un poliedro convexo a partir de sus caras. En 1812 descubrió un problema de Pierre de Fermat -si cada número esla suma de números n-agonales. Su tratado de 1814 sobre integrales definidas fue presentado a la Academia Francesa, y este ensayo se convertiría más tarde en la base de la teoría de las funciones complejas. Dos años después, Cauchy ganó un concurso de la Academia Francesa sobre el tema de la propagación de ondas en la superficie de un líquido. Hacia 1819 había inventado el método de características utilizado para resolver ecuaciones diferenciales parciales, y en 1822 sentó las bases para la teoría de la elasticidad. 

Esto representa una pequeña muestra de las extensas escrituras de Cauchy. Había obtenido el cargo de profesor adjunto de la École Polytechnique en 1815, y al año siguiente fue ascendido a profesor titular y fue nombrado miembro de la Académie des Sciences; antes de 1830 tenía sillas tanto en la Faculté des Sciences como en el Collège de France. Mientras tanto, escribió muchos libros de texto notables, que fueron dignos de destacar por su precisión. 

En 1818, Cauchy se casó con Aloïse de Bure, con quien tuvo dos hijas; la familia se instaló en las cercanías de Sceaux. Fue un devoto católico, dedicado a varias obras de caridad durante toda su vida y ayudando a fundar el Institut Catholique. Su personalidad ha sido descrita como intolerante, egocéntrica y fanática; otros lo pintan como meramente infantil. Por ejemplo, Cauchy escribió una defensa de los jesuitas, sosteniendo que eran odiados por su virtud. Su tratamiento de las memorias de Niels Henrik Abel y Evariste Galois ha sido citado como prueba de su egotismo, aunque en general reconoció el trabajo de otras personas y fue cuidadoso en sus referencias. Antes de presentar el trabajo de otro en la academia, Cauchy a menudo generalizaba y mejoraba los resultados del autor; parece que su obsesión por la matemática transgredió los límites de la propiedad, lo que lo llevó a publicar una idea tan pronto como la desarrollaba. Y Cauchy fue prodigioso: ¡produjo al menos siete libros y más de 800 artículos! 

En la revolución de julio de 1830, la monarquía borbónica fue reemplazada por Luis Felipe. Un realista, Cauchy se negó a jurar lealtad al nuevo rey. Como resultado, perdió sus sillas y se exilió a sí mismo a Friburgo, Cerdeña y finalmente a Praga, donde fue tutor del príncipe heredero de los Borbones y más tarde recompensado siendo nombrado barón. En 1834, su esposa y sus hijas se unieron a él en Praga, pero Cauchy regresó a París en 1838, reanudando su actividad matemática en la academia. Varios amigos intentaron conseguir un puesto para Cauchy, pero su firme negativa a hacer el juramento de lealtad hizo abortar estos esfuerzos. Después de la Revolución de febrero de 1848, los republicanos retomaron el poder y Cauchy pudo ocupar una silla en la Sorbona. Continuó publicando a un ritmo enorme hasta su muerte el 22 de mayo de 1857. 

Cauchy había escrito un magistral texto de cálculo en 1821, notable por su rigor y por su excelente estilo. Este acercamiento a la matemática fue característico de él: rechazó la “generalidad del álgebra”, que era un argumento ilógico para tratar las cantidades infinitesimales lo mismo que las finitas. Cauchy distinguió entre una serie convergente y divergente (y se negó a tratar este último tipo), estableciendo condiciones específicas para la convergencia, como la llamada propiedad de Cauchy para la convergencia de una sucesión, así como la raíz, la razón y las pruebas integrales. Cauchy definió los límites superior e inferior para las sucesiones no convergentes, estableció las representaciones de límite y serie para el número trascendental e, y fue el primero en usar la notación de límite. Derivó varias reglas para la manipulación de series convergentes y radios de convergencia calculados para series de potencias, advirtiendo contra el uso imprudente de la aproximación de Taylor. Cauchy demostró un teorema del resto para series, inventó el concepto moderno de continuidad y obtuvo una versión del teorema del valor medio, que posteriormente probó Bernhard Bolzano. Cauchy hizo hincapié en la definición de límite de la derivada y la integral definida, así como en la discusión de integrales indefinidas y singulares. Hizo un uso extensivo de la transformada de Fourier (descubierta antes de Jean Baptiste Joseph Fourier) en ecuaciones diferenciales, inventó el llamado Jacobiano (un determinante especial) y dio una prueba del teorema fundamental del álgebra. 

En estadística, la teoría de regresión tratada por Cauchy usa errores absolutos, en contraste con la teoría de mínimos cuadrados de Gauss; uno de los resultados de esta investigación es la creación de la llamada distribución de Cauchy. En álgebra, Cauchy investigó la inversa de una matriz, proporcionó teoremas sobre determinantes e investigó las transformaciones ortogonales. Él contrastó la construcción geométrica y algebraica del número complejo. También estableció los fundamentos de la teoría de grupos, incluidos los conceptos de grupo, subgrupo, conjugación y orden, y probó el teorema de Cauchy para grupos finitos. También intentó sin éxito la prueba del último teorema de Fermat, que solo se demostró en 1994. 

Los métodos de Cauchy en la teoría de las ecuaciones diferenciales incluyen el uso de la transformada de Fourier y el método de las características. Cauchy enfatizó que no todas las ecuaciones tenían soluciones, y que la unicidad solo podía estipularse bajo importantes condiciones iniciales y de frontera; una ecuación diferencial parcial bien especificada con datos iniciales y de límites se denomina problema de Cauchy. También fundó la teoría de la elasticidad, generalizándola a partir de los ejemplos unidimensionales considerados por los matemáticos del siglo XVIII; esta fue una de sus contribuciones más elegantes y encomiables a la ciencia. Cauchy también escribió sobre el tema de la mecánica celeste, resolviendo la ecuación de Kepler. 

La teoría de las funciones complejas está, quizás, más fuertemente endeudada con Cauchy. Primero justificó el límite y las operaciones algebraicas con números complejos, y luego desarrolló la fórmula integral de Cauchy y el cálculo de residuos. Estas herramientas tienen una notable variedad de aplicaciones. Es interesante que Cauchy no pudo deducir el teorema de Liouville (que las funciones enteras acotadas deben ser constantes). Sin embargo, sus numerosas contribuciones y perspectivas avanzaron mucho en el campo del análisis complejo.

 


Fuente bibliográfica:

  • McElroy, Tucker (2005) A to Z of Mathematicians. Facts On File, Inc.

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Un problema pendiente de principios del siglo XIX, que más tarde resultaría en los desarrollos radicales de George Cantor, era determinar los cimientos del sistema de los números reales. No se habían comprendido aún propiedades como la divisibilidad infinita de los números reales y la densidad de los números racionales entre los irracionales, y como resultado no se entendía bien la teoría básica de las funciones, incluidos temas como la continuidad y la diferenciabilidad. Bernhard Bolzano, un activo defensor de fundamentos rigurosos para la ciencia y la matemática, hizo contribuciones significativas al conocimiento del análisis; su énfasis en la necesidad de un sistema preciso de números reales llevó a su desarrollo a manos de Richard Dedekind, y sus otras investigaciones también fueron precursoras de una aritmética de la lógica infinita y moderna. 

Bernardus Placidus Johann Nepumuk Bolzano fue el cuarto hijo de Caecilia Maurer y un comerciante de arte cívico llamado Bernhard Bolzano. Nació el 5 de octubre de 1781, en un antiguo distrito de Praga, uno de 12 niños; su padre era un inmigrante italiano con gran interés en el trabajo social que más tarde lo  llevó a establecer un orfanato. Como resultado de este ambiente, el joven Bolzano estuvo preocupado por la ética a lo largo de su vida, poseyendo una aguda sensibilidad a la injusticia. 

En 1791, Bolzano ingresó al Piarist Gymnasium. Estudió filosofía en la Universidad de Praga en 1796. Su interés por la matemática se vio estimulado por la lectura de Kästner, quien se preocupó por probar proposiciones que comúnmente se percibían como evidentes. Después de 1800, Bolzano pasó de la filosofía a la teología, aunque tenía continuas dudas sobre la verdad del cristianismo. En cambio, se volvió hacia el moralismo y se alejó de la religión sobrenatural, creyendo que la ética suprema residía en la acción que más beneficiaba a la sociedad. Sin embargo, reconcilió esta perspectiva personal con su compromiso con el catolicismo. 

El emperador de Austria había decidido establecer una cátedra de filosofía de la religión en todas las universidades, como parte del movimiento de restauración católico contra la Ilustración. Mucho del libre pensamiento se había extendido a través de Bohemia, y el emperador temía las consecuencias de tales ideas radicales en vista de la destrucción causada por la Revolución Francesa. Bolzano fue nombrado presidente de la Universidad de Praga en 1805, a pesar de sus propias simpatías ilustradas. Sus conferencias sobre religión contaban con una entusiasta audiencia, y exponía allí sus puntos de vista personales sin reservas.  

Bolzano fue respetado por sus colegas, y se convirtió en decano de la facultad de filosofía en 1818. Mientras tanto, Viena presentó una acusación contra él en 1816, ya que sus puntos de vista ilustrados lo habían hecho impopular con el gobierno conservador; fue despedido en 1819, se le prohibió publicar y se lo puso bajo supervisión policial. Bolzano tercamente se negó a arrepentirse de sus herejías, y la situación finalmente cesó en 1825 por la intercesión del líder nacionalista Dobrovsky. 

Aunque Bolzano estaba principalmente preocupado por cuestiones sociales y religiosas, ya se sentía atraído por la precisión metodológica de la matemática y la lógica. Esto condujo a algunas excelentes contribuciones al análisis matemático, aunque estos logros raramente tuvieron un reconocimiento significativo. Dos problemas no resueltos -la prueba del postulado de las paralelas de Euclides de Alejandría y la base del análisis a través de la clarificación de  los infinitesimales- reclamaron la atención de Bolzano. Su Betrachtungen über einige Gegenstände der Elementargeometrie de 1804 intentó describir una teoría de triángulos y paralelas a través de una teoría puramente lineal, que nunca llegó a concretarse completamente. Ignorante del trabajo de Nicolay Ivanovich Lobachevsky y János Bolyai sobre la geometría no euclidiana, Bolzano desarrolló una crítica metodológica de los Elementos de Euclides en su manuscrito “Anti-Euklid”. Por ejemplo, requirió una prueba de la afirmación de que cualquier curva cerrada divide el plano en dos porciones disjuntas; este resultado más tarde se conoció como el teorema de la curva de Jordan, probado por Camille Jordan. Parcialmente a través de las objeciones y preguntas planteadas por Bolzano, el campo de la matemática conocido como topología comenzó a existir a fines del siglo XIX. 

Su Rein analitischer Beweis de 1817 obtuvo importantes resultados relevantes para la base del análisis matemático, más tarde completados en su Theorie der Reellen Zahlen de 1832-1835. Muchos otros matemáticos, como Joseph-Louis LaGrange y Jean Le Rond d’Alembert, habían intentado liberar la matemática de la noción de infinitesimal introducida por Sir Isaac Newton y Gottfried Leibniz en el siglo XVII, pero Bolzano se encontró con el primer logro exitoso en Rein analtischer Beweis. Aquí da la definición de una función continua que todavía está en uso hoy en día, y obtiene un resultado de la propiedad de asumir valores intermedios. También introduce la noción de supremo de un conjunto de números reales que tienen una propiedad dada, un concepto que es una piedra angular en la teoría de los números reales. Bolzano también analiza el “criterio de convergencia de Cauchy”, por el cual una sucesión de funciones tiende a cierto límite si los miembros de la sucesión se acercan entre sí. 

Aunque las pruebas son incompletas, esto se debió a la inadecuación del  momento del concepto de número real. En su Functionenlehre presenta una teoría de funciones más completa, que incluye varios resultados redescubiertos más tarde por Karl Weierstrass en la segunda mitad del siglo XIX. Bolzano demostró que una función continua en un intervalo cerrado debe alcanzar un valor extremo, ahora llamado Teorema del valor extremo en cálculo; la demostración requiere el teorema de Bolzano-Weierstrass sobre los puntos de acumulación de sucesiones acotadas. Él distingue entre la continuidad y la propiedad de asumir valores intermedios como características más fuertes y más débiles, respectivamente. Desarrolla la conexión entre monotonía y continuidad, y da la construcción de la función de Bolzano, que era continua pero en ningún lugar diferenciable, significativamente anterior al propio ejemplo de Weierstrass. El Functionenlehre contenía muchos errores, incluida la falsa noción de que el límite de una sucesión de funciones continuas debe ser necesariamente continuo, y que la integración a largo plazo de una serie infinita siempre es posible. 

Su teoría de las cantidades se completó en Theorie der Reelen Zahlen, pero este manuscrito no se publicó y, por lo tanto, no pudo influir en el posterior desarrollo del análisis. Bolzano describe tales números reales como capaces de una aproximación arbitrariamente precisa por números racionales. Además, su Paradoxien des Unendlichen (Paradojas del infinito) contiene muchos intrigantes fragmentos de la teoría de conjuntos, y lleva el tema al límite de la aritmética cardinal. Bolzano observa que un conjunto infinito se puede poner en correspondencia uno a uno con un subconjunto propio, y que esto realmente caracteriza a los conjuntos infinitos. Sin embargo, él no da el siguiente paso en la definición de cardinales del infinito; Dedekind (1882) usaría más tarde esta propiedad de conjuntos infinitos para definir el infinito, y Cantor desarrollaría una clasificación de infinitos. 

Desde 1820 Bolzano trabajó en el tratado Wissenschaftslehre de 1837, que era una teoría de la ciencia basada en la lógica. Sus cuatro volúmenes trataban la prueba de la existencia de verdades abstractas, la teoría de ideas abstractas, la condición de la facultad humana del juicio, las reglas del pensamiento humano en la búsqueda de la verdad y las reglas para dividir las ciencias. Aunque este trabajo pasó desapercibido en su momento, existe una gran similitud con la lógica moderna, especialmente en las nociones de Bolzano de proposición abstracta, idea y derivabilidad. 

Desde 1823 Bolzano pasó sus veranos en la propiedad de su amigo Hoffmann en el sur de Bohemia. Luego vivió allí por más de una década. En 1842 regresó a Praga, donde continuó sus estudios matemáticos y filosóficos hasta su muerte el 18 de diciembre de 1848. Bolzano fue un importante matemático del siglo XIX, cuya búsqueda de la verdad llevó a un excelente trabajo sobre los cimientos de la recta numérica real. Su nombre se encuentra en muchas áreas del análisis, como el teorema de Bolzano-Weierstrass y la función de Bolzano; es considerado como uno de los fundadores de la teoría moderna del análisis real.

 


Fuente bibliográfica:

  • McElroy, Tucker (2005) A to Z of Mathematicians. Facts On File, Inc.

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