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Posts Tagged ‘Joseph-Louis Lagrange’

Después de la muerte de Carl Friedrich Gauss, Augustin-Louis Cauchy, Carl Jacobi y Peter Lejeune Dirichlet en la década de 1850, Europa se vio privada de sus mejores matemáticos. En las áreas de aritmética y análisis, Charles Hermite se convirtió en el único sucesor de estos gigantes, conservando su posición de gloria durante muchos años. No solo fue extremadamente influyente en su tiempo, sino que Hermite también sentó las bases para la investigación del siglo XX. 

Charles Hermite nació en Dieuze, Francia, el 24 de diciembre de 1822, siendo el sexto hijo de siete. Su madre era Madeleine Lallemand y su padre era Ferdinand Hermite, un artista e ingeniero. En 1829 la familia se mudó a Nancy, donde Charles asistió al Collège allí. Continuó sus estudios en París en el Collège Henri IV y el Collège Louis-le-Grand, pero su actuación no fue espectacular. Hermite se centraba en leer los trabajos de Leonhard Euler, Joseph-Louis Lagrange y Gauss en lugar de prepararse para sus exámenes. 

De 1840 a 1841, mientras estaba en Louis-le-Grand, Hermite publicó sus dos primeros trabajos, en los que intentaba demostrar la imposibilidad de resolver la ecuación de quinto grado mediante radicales. Cabe aclarar que desconocía los resultados de Niels Henrik Abel. A pesar de tener un puntaje bajo en sus exámenes de ingreso, Hermite fue admitido en la École Polytechnique en 1842. No se le permitió llevar a cabo estudios adicionales debido a una cojera en su pie derecho que lo obligaba a usar un bastón; sin embargo la intervención de ciertas personas influyentes permitió revertir esta situación. Aproximadamente en esta época, Hermite ingresó en el círculo social del matemático Joseph Louis François Bertrand, y más tarde se casaría con la hermana de éste. 

Hermite comenzó a trabajar seriamente en el famoso problema de inversión de Jacobi para las integrales hiperelípticas, y en 1843 logró generalizar el trabajo de Abel sobre las funciones elípticas a las funciones hiperelípicas. Comunicó su resultado a Jacobi, con quien inició una correspondencia de seis años ganando así fama en la comunidad matemática. 

Hermite se convirtió en examinador de admisiones en la École Polytechnique en 1848, y adquirió un puesto más permanente en 1862, llegando a ser profesor de análisis en 1869. Durante estos años fue enormemente productivo, y a la vez ya había ampliado su círculo de contacto epistolar con muchos matemáticos. De 1843 a 1847 se centró en la función elíptica. Uno de los problemas más intrigantes de la época era la inversión de integrales de funciones algebraicas, y Hermite avanzó en esta cuestión al introducir las funciones theta. 

Luego, en 1847, Hermite recurrió a la teoría de números, generalizando algunos de los resultados de Gauss sobre formas cuadráticas. A partir de aquí, extendió sus resultados a números algebraicos (que incluían raíces cuadradas), derivando algunas de sus propiedades fundamentales. En 1854 estudió la teoría de invariantes, descubriendo la ley de reciprocidad, que establecía una correspondencia entre formas binarias. Hermite luego aplicó la teoría de invariantes a funciones abelianas en 1855, y sus resultados se convirtieron en la base de la teoría de “grupos abelianos” de Camille Jordan. Desde 1858 hasta 1864 investigó la ecuación de quinto grado y las relaciones numéricas de clase, y en 1873 recurrió a la aproximación de funciones. Es digno de mención que Hermite demostró la trascendencia del número e en 1873; sus métodos luego se extenderían para establecer la trascendencia del número pi. Su trabajo cubrió temas tan diversos como funciones de Legendre, series para integrales elípticas, fracciones continuas, funciones de Bessel, integrales de Laplace y ecuaciones diferenciales especiales.  

Hermite era conocido como un hombre alegre, desinteresado al compartir sus descubrimientos con los demás. Cayó enfermo de viruela en 1856, y más tarde se convirtió en un devoto católico bajo la influencia de Cauchy. Durante su vida, recibió muchos honores y se le otorgó la membresía en varias sociedades científicas. Murió en París el 14 de enero de 1901. 

Hermite es principalmente recordado como algebraista y analista. Inventó las llamadas formas hermitianas, que son una generalización compleja de las formas cuadráticas, así como los polinomios hermitianos, que son útiles en la aproximación de funciones. Su trabajo ha sido absorbido por estructuras más generales, y en este sentido su pensamiento sigue vivo en la matemática más abstracta del siglo XX.

 


Fuente bibliográfica:

  • McElroy, Tucker (2005) A to Z of Mathematicians. Facts On File, Inc.
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Sophie Germain es conocida como una de las mejores matemáticas de Francia. Hizo contribuciones importantes a la teoría de números, a las ecuaciones diferenciales parciales y a la geometría diferencial. Germain pudo lograr mucho a pesar de la falta de educación formal y la oposición de sus padres. 

Nacida como hija de Ambroise-François Germain y Marie-Madeleine Gruguelu el 1 de abril de 1776, en París, Sophie Germain vivió en una casa acomodada durante tiempos turbulentos. Su padre era diputado por los Estados Generales, y era de profesión comerciante; más tarde se convirtió en director del Banco de Francia. Bajo esta cómoda situación, Germain creció con la extensa biblioteca de su padre a su disposición. En un momento en que las mujeres no recibían regularmente educación, Germain se las arreglaba leyendo en casa. A los 13 años leyó un relato de la muerte de Arquímedes de Siracusa en manos de un descuidado soldado, y el matemático siciliano se convirtió en un símbolo heroico para ella. A esta edad tan joven, decidió ser matemática. Aunque sus padres se opusieron a esta dirección de sus energías, primero dominó el latín y el griego, y luego comenzó a leer a Sir Isaac Newton y a Euclides de Alejandría

Eventualmente, la biblioteca en el hogar se volvió insuficiente para las necesidades intelectuales de Germain, y a los 18 años buscó una mejor situación. Pudo obtener notas de conferencias de los cursos impartidos en la École Polytechnique, y estaba particularmente interesada en las conferencias de análisis de Joseph-Louis Lagrange. Aunque no está registrado, Germain fingió ser un estudiante, tomando el seudónimo de Le Blanc, y presentó un trabajo a largo plazo sobre análisis a Lagrange. Éste quedó debidamente impresionado por su originalidad, y buscó a su autor. Al descubrir que el escritor era en realidad Germain, Lagrange se convirtió en su patrocinador y consejero matemático. 

Germain obtuvo educación superior puramente por correspondencia con los grandes eruditos de Europa; por este medio ella se hizo muy versada en matemática, literatura, biología y filosofía. Se interesó en ciertos problemas de la teoría de números después de leer la Théorie des nombres (1798) de Adrien-Marie Legendre, y pronto surgió una correspondencia voluminosa entre los dos. En el curso de estas comunicaciones, colaboraron en resultados matemáticos, y algunos de los descubrimientos de Sophie se incluyeron en la segunda edición de la Théorie

También en este momento ella leyó Disquisitiones arithmeticae (Investigaciones aritméticas) de Carl Friedrich Gauss, y entró en una correspondencia con él bajo el seudónimo de Le Blanc. En 1807, cuando las tropas francesas ocuparon Hannover, temió por la seguridad de Gauss en Göttingen. Esperando que no se repitiera la muerte de Arquímedes en la persona de Gauss, se comunicó con un comandante francés que era amigo de su familia. De esta manera, Gauss llegó a conocer su verdadera identidad. 

Entre su trabajo en teoría de números, Germain trabajó en el famoso problema llamado último teorema de Fermat, que fue resuelto por Andrew Wiles en 1994. El teorema es una conjetura de Pierre de Fermat, que establece que no hay soluciones enteras x, y, z a la ecuación x^{n}+y^{n}=z^{n} si n es un número entero mayor que dos. Germain pudo demostrar que no existen soluciones enteras positivas si x, y, z son relativamente primos (no tienen divisores comunes) entre sí y n, donde n es cualquier primo menor que 100. 

Germain estaba interesada en matemática más allá de la teoría de números; de hecho, hizo contribuciones a la matemática aplicada y la filosofía. En 1808, el físico alemán Ernst Chladni visitó París y realizó experimentos de acústica y elasticidad. Tomaría una placa horizontal de metal o vidrio, rociaría arena uniformemente sobre ella y luego causaría vibraciones en la placa frotando el borde con un arco de violín. Las oscilaciones resultantes moverían las partículas de arena a ciertos grupos estables, llamados figuras de Chladni. En 1811, la Académie des Sciences ofreció un premio por la mejor explicación del fenómeno; el desafío era formular una teoría matemática de las superficies elásticas que estuviera de acuerdo con las figuras de Chladni. 

Germain intentó resolver el problema, y después de una serie de revisiones y concursos subsecuentes, ganó el premio en 1816 con un artículo que llevaba su propio nombre. Su trabajo trataba las vibraciones de las superficies elásticas curvas y planas en general. En 1821, ella produjo una versión mejorada de su trabajo premiado, en la que afirmó que la ley para la superficie elástica vibratoria general está dada por una ecuación diferencial parcial de cuarto orden. Uno de los conceptos que desempeña un papel en este trabajo fue la noción de curvatura media, que era un promedio de las curvaturas principales, es decir, las curvaturas de una superficie en dos direcciones perpendiculares. 

En trabajos posteriores, Germain amplió la física de las superficies elásticas curvadas vibrantes, teniendo en cuenta el efecto de grosor variable. También contribuyó a la filosofía, desarrollando el concepto de unidad de pensamiento: que la ciencia y las humanidades siempre estarían unificadas con respecto a su motivación, metodología e importancia cultural. Ella murió el 27 de junio de 1831 en París.   

El trabajo de Germain no ha recibido muchos seguidores, y esto puede deberse en parte a su género. Su trabajo sobre teoría de números y ecuaciones diferenciales fue de la más alta calidad, y ella contribuyó al desarrollo de la geometría diferencial a través de su noción de curvatura media.

 


Fuente bibliográfica:

  • McElroy, Tucker (2005) A to Z of Mathematicians. Facts On File, Inc.

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Jean-Baptiste-Joseph Fourier era hijo de un sastre. Nació el 21 de marzo de 1768, en la ciudad de Auxerre, Francia. A los nueve años había perdido a sus padres, Joseph y Edmée. El arzobispo lo colocó en la escuela militar local, donde desarrolló una fuerte inclinación hacia la matemática. Antes del final de su vida, Fourier fundaría la teoría de series trigonométricas y realizaría grandes avances en la comprensión de la dinámica del calor. 

Fourier nació en un período tranquilo de la historia de Francia, que pronto estallaría en el caos de la Revolución Francesa. Inicialmente, el joven deseaba unirse a la artillería o ingenieros, pero en cambio fue enviado a una escuela Benedectina en St.-Benoît-sur-Loire. Cuando la revolución comenzó en 1789, regresó a Auxerre como maestro en su antigua escuela militar. Se hizo prominente en asuntos locales, y desafió al gobierno a través de su valiente defensa de las víctimas del Terror. En 1794 fue arrestado, pero fue liberado después de la ejecución de Robespierre y brevemente asistió a la École Normale. Aunque esta escuela solo existió durante un año, parece que Fourier causó una fuerte impresión en la facultad, y fue nombrado profesor asistente en 1795 en la École Polytechnique. Allí cayó en conflicto con la reacción al régimen anterior (contra el que realmente había luchado) y fue encarcelado, pero sus colegas lograron obtener su liberación. En 1798 fue elegido para acompañar a Napoleón en su campaña egipcia, donde se convirtió en secretario del Institut d’Égypte y llevó a cabo diversas misiones diplomáticas. A pesar de estos deberes, Fourier encontró tiempo para atender sus intereses matemáticos. 

En 1801, Fourier regresó a Francia, pero su deseo de regresar a su puesto en la École Polytechnique no se realizó: Napoleón, habiendo determinado el talento administrativo de Fourier, lo nombró prefecto del departamento de Isère. Tuvo éxito en esta designación y Napoleón lo nombró barón en 1808. En esta época, escribió el prefacio histórico de la Description de l’Égypte, completado en 1809, que era un registro de la obra del Institut d’Égypte. Cuando Napoleón fue derrotado en 1814, el grupo que lo escoltaba a Elba planeó pasar por Grenoble, donde Fourier se instaló como prefecto. Fourier negoció un desvío del grupo con el fin de salvar a Napoleón de un encuentro embarazoso. En el regreso de Napoleón de Elba en 1815, Fourier cumplió con sus deberes como prefecto organizando una resistencia simbólica en Lyon. Más tarde, los dos amigos se encontraron en Bourgoin, y Napoleón restableció su confianza en el matemático haciéndole conde y prefecto del Ródano. 

Sin embargo, el nuevo régimen fue brutal, y antes del final de la breve restauración de Napoleón, Fourier había renunciado a su comisión y volvió a París para continuar su investigación sin distracciones. Las cosas fueron difíciles para Fourier, ya que estaba desempleado con una mala reputación política. Pronto, un viejo amigo le aseguró un puesto como director de la Oficina de Estadísticas en el departamento del Sena, obligación que le dejaba tiempo suficiente para progresar en sus estudios matemáticos. 

Los principales logros de Fourier se encuentran en el área de la difusión del calor. Gran parte del trabajo se completó durante su mandato en Grenoble, aunque sus intereses en el calor se remontan a su estancia en Egipto. En 1807 presentó a la Academia un extenso trabajo sobre difusión de calor en cuerpos continuos especiales; el contenido se basó en la ecuación de difusión (o del calor) en tres variables. Debido al uso de las llamadas series de Fourier en el artículo, uno de los revisores, Joseph-Louis Lagrange, impidió la publicación de la obra: Lagrange consideró que las series trigonométricas eran de poca utilidad. En 1810 se presentó una versión revisada del artículo con motivo de un premio en disputa, y la actualización contenía nuevo material sobre difusión del calor en cuerpos infinitos. Las últimas secciones del documento trataban los aspectos físicos del calor, como la radiación, que ocuparía a Fourier cada vez más en años posteriores. Este excelente trabajo ganó el premio, y más tarde se expandió al libro Théorie analytique de la chaleur (Teoría analítica del calor). 

La importancia de las contribuciones de Fourier se puede ver en dos aspectos: primero, la formulación del problema físico como un problema de valor límite en la teoría de ecuaciones en derivadas parciales lineales; y segundo, las poderosas herramientas matemáticas para la solución de estos problemas. Estas herramientas tendrían una gran influencia en el posterior desarrollo de la matemática, dejando atrás a numerosos descendientes. 

Las primeras nociones sobre mecánica del calor implicaban la idea de que algo transfería calor entre partículas discretas. Finalmente, Fourier pudo descubrir una ecuación diferencial que describía suavemente la dinámica del calor: esta era la llamada ecuación de difusión. El dominio para esta ecuación era una franja “semi-infinita”, esencialmente la parte positiva del eje x, que era uniformemente caliente en un extremo y uniformemente fría en los lados. Esta configuración del problema era simple y físicamente significativa. En este contexto, Fourier construyó una solución en serie al problema que involucraba términos trigonométricos. Era consciente de las dificultades de convergencia involucradas con este tipo de enfoque, y manejó estos problemas con bastante eficacia. Lo sorprendente de su trabajo fue que demostró que para muchas funciones genéricas se podían construir series trigonométricas que eran idénticas a la función en un intervalo. Para funciones no periódicas, parece extraño que uno pueda expresarlas como una suma de senos y cosenos. 

Fourier luego generalizó sus soluciones a tres dimensiones y a otras configuraciones, como un cilindro. Algunos de sus últimos trabajos creativos se produjeron en 1817 y 1818, en los que desarrolló una relación entre las soluciones de transformación integral y el cálculo operativo. La llamada transformada de Fourier de una función, tan útil para la solución de ecuaciones diferenciales, se derivó de estos trabajos. 

En muchos sentidos, Fourier fue muy práctico en su enfoque de la matemática: cada afirmación tenía que poseer un significado físico, y fue guiado en sus investigaciones por su excelente intuición física. Desarrolló un camino coherente a través de un revoltijo de técnicas ad hoc para resolver ecuaciones diferenciales, y un don para interpretar las propiedades asintóticas de sus soluciones en el ámbito de la física. Cuando era posible, probaba sus resultados a través de la experimentación. Su legado matemático es enorme, con gigantes como Bernhard Riemann, George Cantor y Henri-Léon Lebesgue siguiendo su trabajo en análisis matemático. 

En 1817, Fourier fue elegido para la reconstituida Académie des Sciences después de algunos problemas políticos. Poco a poco avanzó en su carrera, a pesar de su enemistad con Siméon Denis Poisson y la oposición de los realistas. Sus honores posteriores incluyen la elección para la Académie Française en 1827 y la elección como miembro extranjero de la Royal Society. A lo largo de su vida ganó el apoyo de muchos amigos a través de su apoyo desinteresado y aliento, y ayudó a muchos matemáticos y científicos en sus últimos años.

Mientras estaba en Egipto, había desarrollado alguna enfermedad, posiblemente mixedema, por lo que cada vez más estaba confinado a su propio cuarto caliente. El 4 de mayo de 1830 tuvo un ataque mientras bajaba unas escaleras en su casa de París. Él murió 12 días después. Sin duda es uno de los mejores matemáticos, ya que el análisis de Fourier es un método enormemente exitoso en ingeniería y estadística; sus aplicaciones a ecuaciones diferenciales, llamadas análisis armónico, son una rama hermosa y próspera de la matemática.

 


Fuente bibliográfica:

  • McElroy, Tucker (2005) A to Z of Mathematicians. Facts On File, Inc.

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