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Posts Tagged ‘Julius Plücker’

Una de las ramas más populares y elegantes de la matemática en el siglo XX ha sido la teoría de grupos de Lie. Esta disciplina combina ideas de álgebra, geometría y análisis, y es relevante para la física teórica. Sophus Lie descubrió estos objetos por primera vez y, por lo tanto, fundó una arena fructífera para futuras investigaciones. 

Marius Sophus Lie, comúnmente conocido como Sophus Lie, nació el 17 de diciembre de 1842 en Nordfjordeide, Noruega. Fue el sexto y más joven hijo de Johann Lie, un pastor luterano. Asistió a una escuela local y, desde 1857 hasta 1859, estudió en la Private Latin School de Nissen en Oslo. De 1859 a 1865 continuó su educación en la Universidad de Christiania en Oslo. Originalmente mostró poco interés en la matemática. Después de su examen en 1865, Lie dio lecciones privadas y se interesó por la astronomía. 

La vida de Lie adquirió una nueva dirección después de que descubriera en 1868 algunos artículos geométricos de los matemáticos Jean-Victor Poncelet y Julius Plücker. La idea de que el espacio podría estar formado por líneas en lugar de puntos tuvo un profundo impacto en la concepción de la geometría de Lie. Obtuvo una beca en el extranjero, viviendo en Berlín durante el invierno de 1869, donde conoció a Felix Klein. Los esfuerzos científicos de ambos hombres se beneficiaron enormemente de la amistad que siguió. Klein era un algebraista intrigado por problemas particulares, mientras que Lie era un geómetra y analista interesado en generalizar conceptos. 

Pasaron el verano de 1870 en París, donde entraron en contacto con Camille Jordan y Gaspard Monge, así como con otros matemáticos franceses. Lie descubrió su famosa transformación, que fue un importante descubrimiento geométrico inicial: fue un primer paso hacia su posterior desarrollo de la teoría de los grupos de Lie. La guerra franco-prusiana estalló el mismo año, y Lie fue arrestado como espía mientras caminaba por el campo. Pronto fue liberado y logró escapar de Francia antes del bloqueo de París. En 1871 regresó a Oslo, donde enseñó en la Private Latin School de Nissen. Obtuvo su doctorado en 1872.  

En este momento, Lie desarrolló la teoría de integración de las ecuaciones diferenciales parciales, que todavía se enseña como método clásico en textos matemáticos. Su trabajo inicial sobre geometría diferencial más tarde lo llevó a su importante trabajo sobre grupos de transformación y ecuaciones diferenciales. El grupo de transformación, más tarde conocido como grupo Lie, trajo herramientas algebraicas para abordar problemas geométricos y analíticos, y en particular resultó ser un poderoso enfoque de las ecuaciones diferenciales parciales. Aunque estas ideas no fueron aceptadas inicialmente, en gran parte debido al estilo engorroso de presentar ideas analíticas que estaba de moda en ese momento, su importancia para la matemática moderna no se puede sobreestimar. Completó su trabajo sobre los grupos de Lie en la década de 1870, pero su publicación llevó varias décadas de esfuerzo. 

En 1872 se creó una cátedra de matemática para Lie en la Universidad de Christiania. Además de la investigación mencionada sobre las transformaciones de contacto, estaba ocupado editando los trabajos recopilados de Niels Henrik Abel. Lie se casó con Anna Birch en 1874, y juntos criaron dos hijos y una hija. 

En Oslo Lie se mantuvo aislado de otros matemáticos; no tenía alumnos, y solo dos matemáticos, Klein y Emile Picard, prestaron atención a su trabajo. Friedrich Engel ayudó a Lie en la publicación de un extenso texto sobre grupos de transformación, que apareció dividido en tres partes entre 1888 y 1893. Su trabajo paralelo sobre la transformación de contacto y las ecuaciones diferenciales parciales con Felix Hausdorff no se completó. En 1886, Lie llegó a Leipzig sucediendo a Klein, y su situación de colaboración mejoró. 

La salud de Lie había sido excelente, y fue descrito como un hombre de corazón abierto y de gran estatura. Sin embargo, en 1889 fue golpeado con una enfermedad mental. Cuando reanudó el trabajo en 1890, su carácter había cambiado mucho, ahora era paranoico y beligerante. Finalmente, regresó a la Universidad de Christiania con el atractivo de una silla especial en 1898. Murió un año después, el 18 de febrero de 1899 en Oslo, por anemia. 

El trabajo de Lie revolucionó el estudio de la geometría y las ecuaciones diferenciales, ya que las técnicas teóricas y algebraicas de grupo ahora podían resolver problemas. El estudio de los grupos de Lie finalmente se convirtió en una disciplina propia. El aprecio por el trabajo de Lie creció gradualmente. Inicialmente, Engel e Issai Schur desarrollaron aún más sus ideas, y más tarde Picard, Killing, Élie-Joseph Cartan y Hermann Weyl continuaron el trabajo teórico de Lie en el siglo XX. A principios del siglo XX, se descubrieron las álgebras de Lie, y el trabajo original de Lie se ha generalizado de muchas maneras. Una razón para la popularidad perdurable de su pensamiento es la aplicación de los grupos de Lie a la física cuántica.

 


Fuente bibliográfica:

  • McElroy, Tucker (2005) A to Z of Mathematicians. Facts On File, Inc.

 

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La Revolución Francesa provocó un replanteamiento radical de la educación en Francia, y la matemática recibió un papel destacado. La École Polytechnique fue fundada en 1794 con la ambiciosa tarea de preparar a todos los candidatos para las escuelas especializadas de ingenieros civiles y militares de la república. Los matemáticos de más alto nivel resultaron involucrados. El resultado fue un desarrollo rápido y sostenido del tema. La inspiración para la École fue Gaspard Monge, quien creía firmemente que la matemática debía servir a las necesidades científicas y técnicas del estado. Para tal fin se diseñó un programa que promovía su propia geometría descriptiva, útil en el diseño de fortalezas, en los emplazamientos de armas y el diseño de máquinas, la cual fue utilizada con gran efecto en la epopeya napoleónica de los sitios históricos de Egipto.

Gaspard Monge

En la geometría descriptiva de Monge, los objetos tridimensionales son descritos por sus proyecciones ortogonales sobre un plano horizontal y vertical, la planta y la alzada del objeto. Un alumno de Monge, Jean-Victor Poncelet, fue tomado prisionero durante la retirada de Napoleón de Moscú y trató de mantener su espíritu en la cárcel en Saratov pensando sobre la geometría que había aprendido. Prescindió de la restricción a las proyecciones ortogonales y decidió investigar qué propiedades las figuras tienen en común con sus sombras. Existen varias de estas propiedades: una línea recta proyecta una sombra recta, y una tangente a una curva proyecta una sombra que es tangente a la sombra de la curva. Sin embargo, algunas propiedades se pierden: las longitudes y ángulos de una figura no guardan relación con las longitudes y ángulos de su sombra. Poncelet sintió que las propiedades que sobreviven eran dignas de estudio y, considerando sólo aquellas propiedades que una figura comparte con todas sus sombras, Poncelet esperaba poder presentar un razonamiento geométrico verdaderamente a la altura de la geometría algebraica.

Jean-Victor Poncelet

En 1822 Poncelet publicó el Traité des propriétés projectives des figures (“Tratado de las propiedades proyectivas de las figuras”). Desde su punto de vista cada sección cónica es equivalente a un círculo, por lo que su tratado contenía un tratamiento unificado de la teoría de las secciones cónicas. También estableció varios nuevos resultados. Los geómetras que tomaron su trabajo se dividían en dos grupos: los que aceptaban sus términos y los que, buscando los oscuros, reformulaban sus ideas en el espíritu de la geometría algebraica. Del lado algebraico estaban en Alemania el matemático August Möbius, que parece haber llegado a sus ideas de forma independiente de Poncelet, y Julius Plücker. Mostraron lo rica que era la geometría proyectiva de curvas definidas por ecuaciones algebraicas y con ello dieron un gran impulso al estudio de las curvas algebraicas, comparable con el ímpetu original proporcionado por Descartes. Alemania también produjo geómetras proyectivos sintéticos, entre los que podemos citar especialmente a Jakob Steiner (nacido en Suiza, pero educado en Alemania) y a Karl Georg Christian von Staudt, quien hizo hincapié en lo que puede ser entendido de una figura a partir de una cuidadosa consideración de todas sus transformaciones.

August Möbius

Julius Plücker

Jakob Steiner

Karl Georg Christian von Staudt

Dentro de los debates acerca de la geometría proyectiva surgió una de las pocas ideas sintéticas descubiertas desde los tiempos de Euclides, la de dualidad. Esta asocia a cada punto una línea y a cada línea  un punto, de tal manera que (1) tres puntos pertenecientes a una línea dan lugar a tres líneas que se intersectan en un punto y, recíprocamente, tres líneas que se intersectan en un punto dan lugar a tres puntos que se intersectan en una línea y (2) si se parte de un punto (o una línea) y se pasa a la línea asociada (punto) y luego se repite el proceso, se regresa al punto (línea) original. Una forma de utilizar la dualidad (presentada por Poncelet) es escoger una cónica arbitraria y luego asociar a un punto P que se encuentra fuera de la cónica la línea que une los puntos R y S en los que las tangentes a la cónica a través de P tocan a la cónica.

Se necesita un segundo método para puntos sobre o dentro de la cónica. La característica de la dualidad que la hace tan interesante es que se puede aplicar mecánicamente a toda prueba en geometría, intercambiando “punto y línea” y “colineal” y “concurrente” en todas partes, obteniendo así un nuevo resultado. A veces un resultado resulta ser equivalente al original, a veces es su recíproco, pero de un solo golpe el número de teoremas más o menos se duplicó.

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