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Posts Tagged ‘Kurt Gödel’

Norbert Wiener fue uno de los grandes matemáticos estadounidenses del siglo XX. Sus ideas fueron profundas y ricas, aunque mal expresadas, y aún así revolucionaron la teoría de las comunicaciones y el análisis armónico. Wiener también es famoso por fundar la disciplina de la cibernética o la aplicación de ideas estadísticas a la comunicación.

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Norbert Wiener nació el 26 de noviembre de 1894 en Columbia, Missouri. Su padre, Leo Wiener, era un judío ruso que había emigrado a los Estados Unidos, y ejercía como profesor de idiomas modernos en la Universidad de Missouri en el momento del nacimiento de su hijo. La madre de Wiener era una judía alemana originalmente llamada Bertha Kahn. Tenía una hermana menor. Debido a los extensos intereses intelectuales de su padre (publicó varios libros y fue ampliamente leído en ciencias), Wiener recibió una excelente educación en su hogar que lo situó mucho más allá de los niños de su misma edad. De hecho, Wiener comenzó la escuela secundaria a la edad de nueve años y se graduó en 1906.

Parece que el padre de Wiener fue en gran parte responsable del desarrollo del genio de su hijo. De niño era bastante torpe y tenía problemas en la vista; cuando el médico le recomendó que dejara de leer durante seis meses, su padre continuó su educación matemática. Como resultado, Wiener desarrolló grandes capacidades para la memorización y el cálculo mental a una edad temprana. La familia de Wiener se había mudado a Boston, Leo Wiener enseñaba en Harvard, y el niño asistió al Tufts College. Se graduó en 1909 con una licenciatura en matemática, y comenzó la escuela de posgrado en Harvard con solo 14 años de edad.

Originalmente Wiener estudió zoología, pero luego cambió a filosofía, obteniendo su doctorado en Harvard a los 18 años. Luego viajó a Inglaterra para continuar sus estudios filosóficos con Bertrand Arthur William Russell, quien le dijo que necesitaba aprender más matemática. Entonces Wiener estudió con Godfrey Harold Hardy, y pasó la mayor parte de 1914 en la Universidad de Gotinga estudiando ecuaciones diferenciales con David Hilbert. Regresó a los Estados Unidos antes del estallido de la Primera Guerra Mundial, y emprendió varios trabajos extraños: enseñó filosofía en Harvard, trabajó para la General Electric y también fue redactor de la Encyclopedia Americana. Al final de la guerra obtuvo un puesto en el Instituto de Tecnología de Massachusetts (MIT).

Fue en el MIT que Wiener comenzó a estudiar el movimiento browniano, un concepto importante en la probabilidad (es un proceso estocástico de tiempo continuo utilizado para modelar una variedad de fenómenos, desde el movimiento de pequeñas partículas hasta la evolución del mercado de valores) y otros temas de probabilidad También investigó el análisis armónico y su aplicación a la teoría estadística de series de tiempo. Gran parte del trabajo que encontró Wiener resultó de conversaciones con sus colegas de ingeniería, que estaban ansiosos por obtener asistencia matemática con sus propios problemas de ingeniería.

Wiener viajaba con frecuencia a Francia, Alemania e Inglaterra para colaborar con matemáticos europeos: trabajó con René-Maurice Fréchet y Paul-Pierre Lévy. Se casó con Margaret Engemann en 1926. Pasó 1931–32 en Inglaterra trabajando con Hardy, donde también conoció a Kurt Gödel.

El genio de Wiener ciertamente cumplió muchos de los estereotipos comunes de los matemáticos. Sus artículos a menudo eran difíciles de leer, y los descubrimientos brillantes no eran suficientes; a veces, se lanzaba con gran detalle sobre asuntos triviales. A pesar de sus pobres habilidades de escritura, las contribuciones de Wiener fueron sobresalientes. Su trabajo de 1921 sobre el movimiento browniano estableció esta importante idea de la física de partículas sobre una base teórica sólida; su investigación adicional sobre el espacio de curvas continuas y unidimensionales condujo a la intuitivamente atractiva medida de Wiener, que facilitó el cálculo de las probabilidades de los caminos del movimiento browniano. En 1923 investigó la ecuación diferencial parcial conocida como problema de Dirichlet, y esto condujo a grandes avances en la teoría del potencial. Desde 1930 trabajó en análisis armónico, ganando el premio Bôcher de la American Mathematical Society en 1933. Wiener profundizó en las diversas aplicaciones de la transformada de Fourier: una gran aplicación fue el llamado análisis espectral de series de tiempo. Con las herramientas que desarrolló fue posible filtrar, pronosticar y suavizar los flujos de datos. Su Cybernetics: Or, Control and Communication in the Animal and the Machine de 1948 aplicó ideas en campos tales como sistemas mecánicos hasta biología. Aparentemente, este trabajo fue un desastre caótico de texto mal escrito y destellos brillantes de perspicacia.

Wiener murió el 18 de marzo de 1964 en Estocolmo, Suecia. Este niño prodigio fue un conferenciante notoriamente pobre, un escritor descuidado y un pensador sobresaliente. Su trabajo más importante fue en la teoría de la probabilidad y el análisis armónico, y su influencia todavía se siente hoy en temas como ecuaciones diferenciales parciales, procesos estocásticos y el análisis estadístico de series de tiempo.

 


Fuente bibliográfica:

  • McElroy, Tucker (2005) A to Z of Mathematicians. Facts On File, Inc.

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Bertrand Russell fue una de las personalidades matemáticas más coloridas del siglo XX, y se encuentra entre los lógicos más importantes de la era moderna. Creía en el potencial de que toda la matemática se redujera a la lógica y ejerció mucho esfuerzo para validar este paradigma. Russell también fue un activo filósofo y revolucionario social, aplicando sus ideas lógicas a la ciencia, la ética y la religión.

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Bertrand Russell nació el 18 de mayo de 1872 en Ravenscroft, Gales. Era nieto de lord John Russell. Su madre y su padre murieron en 1874 y 1876, respectivamente, por lo que sus abuelos lo criaron. Este abuelo había servido dos veces como primer ministro bajo la reina Victoria, pero murió en 1878 y su abuela continuó con la educación del niño. Recibió educación privada al principio, y luego fue instruido en el Trinity College, en Cambridge, donde obtuvo los primeros logros en la matemática.

Russell se convirtió en académico, y finalmente fue elegido miembro de la Royal Society en 1908. Pasó sus primeros años en su programa centrado en la lógica, creyendo que toda la matemática podía reducirse a afirmaciones lógicas. En este sentido, era seguidor de Friedrich Ludwig Gottlob Frege, quien tenía una filosofía similar. El trabajo de Russell de 1910 sobre los Principia Mathematica, escrito junto con Alfred North Whitehead, estableció que las pruebas matemáticas podrían reducirse a pruebas lógicas. Los primeros volúmenes de este trabajo trataron sobre teoría de conjuntos, aritmética y lateoría de la medida; un cuarto volumen, sobre geometría, no fue completado. Parte de este enfoque, inspirado en las ideas de Frege, fue expresar los números y otros objetos matemáticos como conjuntos de clases que comparten una propiedad común. Este ambicioso proyecto perdió fuerza en los últimos años, probablemente debido a las tendencias filosóficas que se alejan del logicismo.

Antes de los Principia, Russell adquirió fama a través de la construcción de la llamada paradoja de Russell. Formó el conjunto (conjunto A) de todos los conjuntos que tienen la propiedad de que no son miembros de sí mismos. Luego uno hace la pregunta: ¿Es A (visto como un elemento) un miembro del conjunto A? Esto no se puede resolver como verdadero o falso, ya que cualquiera de las respuestas conduce a una contradicción. Esto demostró el problema fundamental de tomar colecciones de conjuntos y suponer que dicha colección es en sí misma un conjunto. Kurt Gödel utilizará posteriormente este concepto de autorreferencia para producir sus teoremas de incompletitud. 

La solución de Russell a la paradoja fue desarrollar su teoría de tipos, principalmente desarrollada en su lógica matemática de 1908, basada en la teoría de tipos. En esto Russell describió una jerarquía de clases para la cual la idea de conjunto está especialmente definida en cada nivel. Otras resoluciones a la paradoja han resultado del debilitamiento del poder del axioma básico de comprensión formulado por George Cantor, que establece que siempre se pueden reunir objetos que comparten una propiedad común en un conjunto. La consecuencia inmediata de la paradoja fue poner en duda el programa lógico propuesto por David Hilbert, que buscaba establecer rigurosamente los fundamentos de la lógica matemática y la teoría de conjuntos. Parecía que incluso el concepto intuitivo de conjunto se proyectaba en la sombra.

Además de estas importantes contribuciones a la lógica, Russell también fue famoso por su “filosofía analítica”, que intentaba plantear cuestiones filosóficas en el riguroso marco de la lógica matemática. Por supuesto, este enfoque computacional de la filosofía tiene una larga historia, que se remonta a René Descartes y otros matemáticos.

La vida personal y pública de Russell interfirió con el avance de su carrera. Fue declarado culpable de actividad contra la guerra en 1916, y esto resultó en su despido del Trinity College. Dos años más tarde fue nuevamente condenado y sometido a una breve pena de prisión. Durante su encarcelamiento, escribió su famosa Introducción a la Filosofía Matemática (1919). Tropezó con cuatro matrimonios que estuvieron plagados de asuntos extra matrimoniales, e incluso fue despedido de un puesto de profesor en el City College de Nueva York en 1940 después de que un juez dictaminó que era moralmente incapaz. Se postuló (pero no fue elegido) para el Parlamento tres veces; se convirtió en Earl Russell en 1931 después de la muerte de su hermano. Abrió una escuela experimental con su segunda esposa a finales de los años veinte. Sus sentimientos contra la guerra ganaron una mejor aceptación en las décadas de 1950 y 1960, cuando fue reconocido como líder en el movimiento antinuclear. El manifiesto de Russell-Einstein de 1955 exigía el abandono de las armas nucleares. En 1957, Russell organizó la Conferencia Pugwash, una convención de científicos contra las armas nucleares, y se convirtió en presidente de la Campaña por el Desarme Nuclear en 1958. Russell fue arrestado nuevamente en 1961 por protestas nucleares. 

Después de una vida llena de matemática, filosofía y protesta pública, Russell murió el 2 de febrero de 1970 en Penrhyndeudraeth, Gales. Fue reconocido por sus extensas contribuciones a la literatura y la ciencia, ganando el Premio Nobel de literatura en 1950. Es mejor conocido por su paradoja y su posterior resolución a través de la teoría de tipos, pero también a través de sus investigaciones posteriores sobre el logicismo y el problema de la incompletitud estudiado por Gödel. El pensamiento de Russell ha sido enormemente influyente en la lógica, la matemática y la filosofía, así como en la ética, la religión y la responsabilidad social. 

 


Fuente bibliográfica:

  • McElroy, Tucker (2005) A to Z of Mathematicians. Facts On File, Inc.

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Henri Poincaré ha sido descrito como el último de los grandes matemáticos adeptos en varias ramas de la matemática y la ciencia; sin embargo, podría hacerse una afirmación similar sobre David Hilbert. Poincaré fue un genio de primer rango, cuyas innovadoras contribuciones moldearon (y en algunos casos, esencialmente, fundaron) varias áreas de la matemática, incluida la geometría algebraica, la topología algebraica, la teoría de las funciones automórficas en el análisis complejo y la dinámica no lineal. Su trabajo continúa ejerciendo influencia en estudios modernos de topología y geometría.

Jules-Henri Poincaré nació el 29 de abril de 1854 en Nancy, Francia, hijo de Léon Poincaré, profesor de medicina en la Universidad de Nancy, y Eugénie Launois. Henri Poincaré era físicamente débil, sufría de miopía y falta de coordinación; estuvo enfermo por un tiempo de difteria. Sin embargo, sus dones intelectuales compensaron con creces estas deficiencias. Su madre le enseñó a escribir a una edad temprana, y Poincaré más tarde se convirtió en un poderoso autor.

Cuando Poincaré aún era joven, comenzó a trabajar en la escuela local de Nancy en 1862 (esta escuela más tarde pasó a llamarse Lycée Henri Poincaré en su honor). Durante los siguientes 11 años, Poincaré demostró ser el mejor estudiante, sobresaliendo en todos los temas, especialmente en matemática; a menudo ganaba el primer premio en las competiciones a las que se presentaba. Ingresó en la École Polytechnique en 1873 y se graduó dos años después. Poincaré fue mucho más allá de sus compañeros en la mayoría de los temas intelectuales; también le interesaba mucho la música, especialmente el piano. Leyó ampliamente sobre ciencia, y así obtuvo un conocimiento profundo de electricidad, óptica y termodinámica.

A continuación, Poincaré realizó estudios adicionales en la École des Mines y trabajó brevemente como ingeniero de minas mientras trabajaba en su doctorado en la Universidad de París. Su mentor fue Charles Hermite, y Poincaré completó una tesis sobre ecuaciones diferenciales en 1879. Desde aquí, Poincaré pasó por varios puestos: profesor de análisis en la Universidad de Caen, catedrático en la Facultad de Ciencias de París en 1881, y profesor de la cátedra de física matemática y probabilidad en la Sorbona en 1886. Sus conferencias eran desorganizadas, pero abordaban material nuevo cada año; Poincaré condimentó sus temas matemáticos con aplicaciones de óptica, astronomía, electricidad y otras ciencias afines.

Además de su trabajo científico, que incluye contribuciones a la mecánica celeste, la fluidez de canales y filosofía de la ciencia, también se le acreditó como co-inventor de la teoría especial de la relatividad junto con Albert Einstein: Poincaré profundizó en varias de las más grandes ramas de la matemática pura. Su trabajo de tesis condujo a la definición de función automórfica, que ahora es un componente clásico de la teoría del análisis complejo (los automorfismos también desempeñan un papel importante en el álgebra abstracta). Estas son funciones complejas cuyos valores son invariantes en ciertos grupos de transformaciones del espacio dominio. Poincaré tuvo una correspondencia fluida con Felix Klein en relación con estas funciones nuevas e intrigantes, que tenían conexiones con la geometría no euclidiana.

El Analysis Situs de Poincaré de 1895 fue un tratamiento sistemático de topología (el estudio de mapeos continuos que operan en superficies de alta dimensión), un tema incipiente a fines del siglo XIX. En este y en otros artículos de la próxima década, Poincaré desarrolló el tema de la topología algebraica. Esencialmente, esta asignatura usa herramientas algebraicas, como grupos y anillos, para describir y clasificar objetos topológicos. La famosa  conjetura de Poincaré, probada en 2003 por Grigori Perelman, establece que cualquier variedad tridimensional con un grupo de homotopía igual al de una esfera debe ser topológicamente equivalente (es decir, puede deformarse continuamente sin desgarrarse) en una forma de esfera tridimensional. Poincaré lo conjeturó después de probarlo en el campo intuitivo de dos dimensiones, y lo conjeturó para dimensión tres. Es intrigante que la conjetura haya sido verificada para dimensiones más altas, pero una prueba para la dimensión tres fue eludida por tanto tiempo. El trabajo de Poincaré dominó la escena de la topología algebraica durante las siguientes cuatro décadas: sus métodos, sus preguntas y sus resultados fueron enormemente influyentes.

Poincaré inició el estudio de las funciones de varias variables complejas a través de su trabajo de 1883 sobre el principio de Dirichlet. Este  difícil tema todavía está siendo estudiado hoy. Trabajó en el campo de la geometría algebraica, el estudio de variedades dadas como solución de ecuaciones algebraicas en varias variables. En 1910 y 1911 desarrolló métodos poderosos que le permitieron probar resultados conjeturados previamente relacionados con curvas algebraicas embebidas en superficies algebraicas. Poincaré estudió la teoría de números en 1901 examinando ecuaciones diofánticas. Más tarde afirmó que un enfoque axiomático de los fundamentos de la aritmética sería incapaz de proporcionar una prueba rigurosa de la consistencia de la teoría de números; su opinión fue reivindicada décadas más tarde a través del trabajo de Kurt Gödel.

Poincaré también estudió óptica, electricidad, telegrafía, capilaridad, elasticidad, termodinámica, teoría del potencial, teoría cuántica y teoría de la relatividad y cosmología. En una competencia de 1889 en Suecia, desarrolló nuevas ideas en dinámicas no lineales sobre el problema de los tres cuerpos de la mecánica celeste. Aunque ganó el premio, un error percibido en su manuscrito lo condujo a una extensa correspondencia con el matemático Magnus Mittag-Leffler. Algunos datan el nacimiento de la teoría del caos en esta comunicación. Además de su otro trabajo sobre mecánica de fluidos, Poincaré también escribió artículos científicos dirigidos a un público popular, y avanzó un largo camino hacia la matemática y la ciencia de interés para la gente común de Francia.

Poincaré también contribuyó a la filosofía de la ciencia, y fue una influencia guía en la lógica matemática, donde destacó la importancia de la intuición sobre la axiomatización. El proceso de pensamiento de Poincaré fue el tema de un estudio psicológico realizado por Toulouse, quien lo describió como un verdadero genio que se basa en una sorprendente intuición matemática. Poincaré dejaba los problemas por un tiempo, dejando que su mente reflexionara inconscientemente sobre ellos; luego, volvía al proyecto con vigor, dando saltos repentinos del intelecto. De esta manera pudo lograr una notable diversidad y profundidad de material matemático. Por lo tanto, la lógica sola era infructuosa según Poincaré, y solo era útil como herramienta para la corrección de la intuición. Esta mentalidad es bastante similar a la filosofía de Luitzen Egbertus Jan Brouwer.

Poincaré fue muy honrado durante su vida, recibió muchos premios: fue elegido para la Academia de Ciencias en 1887 y se convirtió en presidente en 1906. Debido a la amplitud de sus investigaciones fue el único miembro de la academia elegido para las cinco secciones: geometría, física, geografía, navegación y mecánica. Murió de manera algo prematura el 17 de julio de 1912, en París, Francia. Aunque sus contribuciones a la matemática fueron fenomenales, no tuvo su propia escuela, ya que no fue mentor de estudiantes. Sin embargo, las ideas y los métodos de Poincaré han demostrado tener una gran influencia en la matemática moderna, especialmente en la topología algebraica, el análisis complejo y la geometría diferencial.

 


Fuente bibliográfica:

  • McElroy, Tucker (2005) A to Z of Mathematicians. Facts On File, Inc.

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