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Posts Tagged ‘Kurt Gödel’

La matemática moderna, en todas sus ramas, se basa en la teoría de conjuntos; es decir, el material introductorio en campos tales como la probabilidad y el álgebra invariablemente comienza con una discusión de conjuntos y lógica. Sin embargo, antes del siglo XX este no era el caso, ya que la matemática se concebía en tiempos anteriores en tonos menos formales; la verdad matemática se veía inseparablemente unida a la verdad metafísica. Los resultados actuales en la teoría de conjuntos han demolido este idealismo, atestigua el trabajo de Kurt Gödel sobre el carácter incompleto y la independencia de la hipótesis del continuo. Georg Cantor fue una figura fundamental en esta transición, proporcionando los primeros pasos hacia la teoría de conjuntos moderna y, al mismo tiempo, permaneciendo como un defensor final del pensamiento clásico en matemática antes de la avalancha de formalismo axiomático. 

Georg Cantor nació el 3 de marzo de 1845 en San Petersburgo de padres alemanes; su padre, también llamado Georg Cantor, era un acaudalado comerciante protestante, y su madre, Marie Böhm, era una católica de una estirpe de renombrados violinistas. La religión formaría un componente importante del pensamiento de Cantor, ya que relacionó su estudio del infinito matemático con la infinidad teológica de Dios. 

Cantor asistió al Gymnasium en Wiesbaden, y más tarde a la Realschule en Darmstadt, donde se despertó por primera vez su interés por la matemática. Sus estudios universitarios en Zurich comenzaron en 1862 y se reanudaron en Berlín en 1863 después de la muerte repentina de su padre. Karl Weierstrass era el principal matemático en Berlín en ese momento, y atrajo a numerosos estudiantes como discípulos. Cantor estudió diferentes ramas de la matemática e incluso escribió una disertación sobre teoría de números, pero su principal interés fue la teoría de los números reales y las series infinitas.  

A lo largo de su vida, Cantor tuvo numerosas amistades, algunas de las cuales (como su larga asociación con Richard Dedekind) se vieron impulsadas por la correspondencia científica y la colaboración. Fue presidente (1864-1865) de la Mathematical Society, una organización que intentaba unificar el trabajo de diversos matemáticos, y más tarde fue un activo promotor del intercambio científico. Más tarde, fundó la Asociación de Matemáticos Alemanes (1890), convirtiéndose en el presidente en 1893; el primer congreso internacional de matemáticos, resultado de sus esfuerzos, se celebró en Zurich en 1897.  

En 1867, Cantor obtuvo su doctorado. Se convirtió en profesor en la Universidad de Halle dos años más tarde. El puesto era mal pago, pero Cantor pudo sobrevivir debido a la herencia recibida de su padre. Se casó con Vally Guttmann en 1874, y juntos construyeron un hogar feliz con cinco hijos: el buen humor de su esposa contrastaba con las tendencias melancólicas de Cantor. Logró una cátedra en 1879 y continuó sus trabajos en teoría de conjuntos hasta su muerte; Cantor había esperado obtener una posición más prestigiosa en Berlín, pero Leopold Kronecker bloqueó continuamente sus esfuerzos. Kronecker fue uno de los antiguos maestros de Cantor que menospreció la radical teoría de conjuntos. 

El primer trabajo significativo de Cantor se encuentra en el área del análisis matemático. El concepto básico del sistema de números reales todavía era deficiente en algunos aspectos, y los primeros trabajos de Cantor en las llamadas series fundamentales (ahora llamadas sucesiones de Cauchy) reforzaron los cimientos. Como resultado, uno podía representar cualquier número real como el límite de una sucesión de números racionales, aunque Cantor también describió formulaciones que involucran series infinitas y productos infinitos. 

Después de un intercambio con Dedekind en 1873, Cantor se volvió hacia la cuestión de si el conjunto de números reales podía colocarse en correspondencia uno a uno con los números naturales (cualquier conjunto de ese tipo se llamaría, por lo tanto, “numerable”). Ya se sabía que los números racionales eran numerables, pero nadie había considerado esta nueva pregunta; su solución fue iniciar la teoría moderna de conjuntos. El famoso argumento de diagonalización de Cantor muestra que los números reales son no numerables y, como corolario, vino la existencia de la no numerabilidad de números trascendentales (los números que no son solución a cualquier ecuación algebraica con coeficientes enteros, como pi). 

En 1874 Cantor recurrió a problemas más difíciles, como el establecimiento de la imposibilidad de una correspondencia uno a uno entre un cuadrado y un segmento de recta. Después de tres años de esfuerzo, Cantor construyó un contraejemplo, dando una función explícitamente invertible que mapeaba la recta en el cuadrado; esta construcción parecía desafiar todos los conceptos intuitivos de dimensión, y el resultado irritó severamente a muchos matemáticos conservadores. Hoy en día, el concepto topológico de dimensión está vinculado a correspondencias uno a uno continuas (con inversa continua) llamadas homeomorfismos: el extraño mapeo de Cantor era discontinuo.  

La teoría de topología de conjuntos de puntos está profundamente endeudada con el genio de Cantor: abordó temas tales como conjuntos de puntos, clausura y densidad, y en muchos casos creó las definiciones él mismo. La noción de conjunto perfecto (uno que es a la vez cerrado y denso en sí mismo) tiene una génesis en Cantor, y el ejemplo más famoso de eso es el “conjunto de Cantor” que se forma eliminando iterativamente tercios medios sucesivos de un segmento de recta. Un siglo después, este mismo conjunto motivaría el estudio de la geometría fractal y la definición métrica de dimensión. El concepto de continuo, un término de lenguaje filosófico que existe desde la época medieval, recibió una definición matemática exacta de Cantor: Un continuo era un conjunto continuo perfecto. 

Gran parte de su trabajo fundamental se puede encontrar en su “Über eine Eigenschaft des Inbegriffes aller reellen algebraischen Zahlen” de 1874. Aquí comienza la delineación de las jerarquías del infinito: los conjuntos numerables versus aquellos que tienen la “potencia” del continuo (y son no numerables); el último tipo es una especie superior de infinito. Para cada conjunto hay una potencia más alta, obtenida al tomar el conjunto de todos los subconjuntos de un conjunto dado (llamado conjunto potencia). Más tarde, Cantor prueba que no puede haber una correspondencia uno-a-uno entre un conjunto y su conjunto potencia; este el último siempre es “más grande”. De esta manera, se puede construir y estudiar un reino de infinitos; una pregunta pendiente es si existe un conjunto infinito con cardinalidad (nivel de infinito) entre los números naturales y el continuo. La afirmación de que no existe tal conjunto se conoce como la hipótesis del continuo, y Cantor se consumió con su demostración, quizás incluso contribuyendo a su posterior caída en la locura. Estos números cardinales tenían su propia aritmética transfinita, en la cual declaraciones trinitarias como “uno más uno más uno es igual a uno” tenían cierta validez. 

Muchos de sus pares se burlaron de las teorías de Cantor, ya que fácilmente alteran la intuición clásica sobre cómo deben comportarse los objetos matemáticos. Sin embargo, el trabajo ganó aceptación hacia el comienzo del siglo XX, y Cantor más tarde se convirtió en miembro honorario de varias sociedades matemáticas. Desde 1884, la depresión lo afligió, tal vez debido a su intenso esfuerzo por resolver varios problemas, como la hipótesis del continuo. Murió el 6 de enero de 1918 en la clínica psiquiátrica de la Universidad de Halle. 

El audaz trabajo de Cantor en teoría de conjuntos abrió nuevas perspectivas del pensamiento matemático, alimentando la investigación del siglo XX (y del siglo XXI) sobre los fundamentos, la teoría de conjuntos, el análisis real, la lógica y la geometría fractal. El giro hacia los fundamentos resultó en la fundación de cada rama de la matemática sobre la teoría axiomática de conjuntos, y esto a su vez dio lugar a la filosofía matemática del formalismo: la creencia de que la matemática consiste de reglas semánticas cuidadosamente manipuladas, como en un juego, para llegar a nuevos conocimientos. Esto difiere sustancialmente del pensamiento platónico de Cantor, que concibió la existencia abstracta de estructuras matemáticas concretadas a través de diversas realizaciones en nuestro propio universo.  El límite absoluto de la operación potencia dio como resultado un infinito último, la visión de Dios de Cantor, en la que lo concreto y lo abstracto estaban casados. Es irónico que quien contribuyó indirectamente al avance del formalismo sea uno de los últimos grandes defensores del pensamiento platónico.

 


Fuente bibliográfica:

  • McElroy, Tucker (2005) A to Z of Mathematicians. Facts On File, Inc.
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Uno de los temas más controvertidos de la matemática del siglo XX fue la base lógica de la disciplina; específicamente, ciertos matemáticos estaban trabajando para demostrar que la formulación axiomática de la matemática era consistente (que cualquier proposición podría ser verdadera o falsa, pero no ambas). Brouwer representó una oposición a esta agenda, presentando su matemática intuicionista como una alternativa deseable.  

Luitzen Brouwer nació el 27 de febrero de 1881, en la ciudad de Overschie en los Países Bajos. Era intelectualmente precoz, completando su educación secundaria a la edad de 14 años; en 1897 ingresó en la Universidad de Ámsterdam, donde estudió matemática durante los siguientes siete años. Brouwer dominó rápidamente la matemática contemporánea, y obtuvo nuevos resultados con respecto a los movimientos continuos en variedades. 

Los intereses de Brouwer eran diversos. Su actividad matemática incluía topología, mapeos y lógica, así como filosofía mística. Su visión personal de la matemática como una actividad mental libre era constructivista y difería mucho del enfoque formalista defendido por David Hilbert y Bertrand Russell. Brouwer participó en el debate sobre los fundamentos de la matemática; rechazó la idea de que la lógica debería ser el pilar de la matemática; más bien, la lógica era solo una expresión de regularidades y patrones notorios en los sistemas construidos. La extrañeza de este punto de vista se hizo evidente cuando Brouwer atacó la ley del tercero excluido, que establece que o bien una declaración dada o su negación lógica debe ser verdadera (que se utiliza en el método “prueba por contradicción”). 

La tesis doctoral de Brouwer de 1907, On the Foundations of Mathematics, expresa sus opiniones. De estas ideas nació la “matemática intuicionista”, que pone énfasis en la capacidad de construir objetos matemáticos. Rechazó la ley del tercero excluido en su sistema y criticó el intento de Hilbert de probar la coherencia de la aritmética. 

En los cinco años desde 1907 hasta 1912, Brouwer descubrió varios valiosos resultados. Estudió el quinto problema de Hilbert, la teoría de grupos continuos, y en el proceso descubrió el teorema de la traslación plano y el “teorema de la bola peluda“. 

Brouwer también estudió varios mapeos topológicos, desarrollando la técnica de usar las llamadas “simplices” para aproximar mapeos continuos. El grado asociado condujo a la noción de clase de homotopía, que permitió la clasificación topológica de muchas variedades. Como resultado, la noción de dimensión (en el sentido topológico) se asentó en una posición más rigurosa.  

En 1912 fue nombrado profesor de matemática en la Universidad de Ámsterdam, y pronto reanudó su investigación sobre los fundamentos de la matemáticas En 1918 publicó una teoría de conjuntos diferente, que no se basaba en la ley del tercero excluido, seguida de nociones similares de medida y función en los años siguientes. Como era de esperar, los teoremas que obtuvo son algo diferentes (por ejemplo, las funciones reales son siempre uniformemente continuas). Por estas razones, sus resultados no fueron totalmente aceptados, y muchos matemáticos simplemente han ignorado su punto de vista. La prueba por contradicción es un método de demostración muy poderoso y comúnmente utilizado; los matemáticos no están dispuestos a renunciar a los muchos teoremas que pueden establecer abrazando el sistema potencialmente más riguroso de Brouwer. 

A partir de 1923, Brouwer se centró en su agenda intuicionista, intentando persuadir a los matemáticos para que rechazaran la ley del tercero excluido. A fines de la década de 1920, los lógicos comenzaron a investigar la conexión de la lógica de Brouwer con la lógica clásica; después de que los teoremas de incompletitud de Kurt Gödel aniquilaran el programa de David Hilbert, más personas se interesaron en el enfoque intuicionista de la matemática. 

Brouwer ganó el reconocimiento internacional de varias sociedades y academias. Murió en Blaricum, Países Bajos, el 2 de diciembre de 1966. Aunque sus esfuerzos por persuadir a los matemáticos de su propio punto de vista no tuvieron éxito (nuevamente, esto se debió en parte a la renuencia a abandonar la poderosa herramienta de la prueba por contradicción, y también porque el marco intuicionista está enraizado en la filosofía mística), Brouwer concientizó sobre las limitaciones de cualquier sistema matemático y predijo correctamente la desaparición de cualquier intento de establecer la consistencia y la integridad de un sistema axiomático. Es un personaje importante en la historia de la lógica matemática, que representa el contramovimiento antirracionalista de la mística que surgió en el siglo XX.

 


Fuente bibliográfica:

  • McElroy, Tucker (2005) A to Z of Mathematicians. Facts On File, Inc.

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En el programa de Hilbert estaba implícita la esperanza de que la noción sintáctica de la demostración captara la noción semántica de la verdad. Kurt Gödel se topó con el sorprendente descubrimiento de que este no era el caso de la teoría de tipos y lenguas relacionadas adecuadas para la aritmética, siempre que se insistan en las siguientes suposiciones:

  1. El conjunto de teoremas (enunciados probables) es efectivamente enumerable, en virtud de la noción de la prueba que es decidible.
  2. El conjunto de afirmaciones verdaderas de la matemática es ω-completo en el siguiente sentido: dada cualquier fórmula φ(x), que contiene una variable libre x de tipo N, la sentencia universal ∀x ε N, φ(x) será verdadera si φ(n) Es verdadera para cada número n.
  3. El lenguaje es consistente.

En realidad, Gödel también hizo una suposición algo más fuerte, que, como el matemático estadounidense John Barkley Rosser más tarde mostró, podía ser reemplazada asumiendo la consistencia. El ingenioso argumento de Gödel se basó en la observación de que las declaraciones sintácticas sobre el lenguaje de la matemática pueden traducirse en declaraciones de la aritmética, por lo tanto, en el lenguaje de la matemática. Fue inspirado en parte por un argumento que supuestamente se remonta a los antiguos griegos y que fue algo como esto: Epiménides dice que todos los cretenses son mentirosos; Epiménides es un cretense; por lo tanto Epiménides es un mentiroso. Bajo los supuestos 1 y 2, Gödel construyó una declaración matemática g que es verdadera pero no demostrable. Si se supone que todos los teoremas son verdaderos, se deduce que ni g ni ¬g es un teorema.

Ningún matemático duda de la suposición 1. Al mirar una supuesta prueba de un teorema, adecuadamente formalizado, es posible para un matemático, o incluso para un ordenador, decir si es una prueba. Al enumerar todas las pruebas en, digamos, orden alfabético, se obtiene una enumeración efectiva de todos los teoremas. Los matemáticos clásicos también aceptan la suposición 2 y, por tanto, de mala gana acuerdan con Gödel que, contrariamente a la expectativa de Hilbert, hay verdaderas declaraciones matemáticas que no son demostrables.

Sin embargo, los intuicionistas moderados podrían sacar una conclusión diferente, porque no están comprometidos con la suposición 2. Para ellos, la verdad de la afirmación universal ∀x ε N, φ(x) sólo puede conocerse si se conoce la verdad de φ(n) para cada número natural n, de manera uniforme. Este no sería el caso, por ejemplo, si la prueba de φ(n) aumenta en dificultad, por lo tanto en longitud, con n. Por lo tanto, los intuicionistas moderados podrían identificar la verdad con la probabilidad y no sentirse molestados por el hecho de que ni g ni ¬g sean verdaderos, ya que en primer lugar no creerían en el principio del tercero excluido.

Los intuicionistas siempre han creído que, para que una declaración sea verdadera, su verdad debe ser cognoscible. Por otra parte, los intuicionistas moderados podrían conceder a los formalistas que decir que una afirmación se sabe que es verdadera es decir que se ha demostrado. Sin embargo, algunos intuicionistas no aceptan el argumento anterior. Al afirmar que la matemática es independiente del lenguaje, los intuicionistas afirmarían que en la demostración metamatemática de Gödel de su teorema de la incompletitud, citar la ω-completitud para establecer la verdad de una declaración universal produce después de todo una prueba uniforme de ésta última.

Gödel se consideraba un platónico, en la medida en que creía en una noción de verdad absoluta. Él tomó por hecho, como hacen muchos matemáticos, que el conjunto de afirmaciones verdaderas es ω-completo. Otros lógicos son más escépticos y quieren reemplazar la noción de verdad por la de la verdad en un modelo. De hecho, el propio Gödel, en su teoría de la integridad, había demostrado que para que un enunciado matemático fuera demostrable es necesario y suficiente que sea cierto en cada modelo. Su teorema de la incompletitud demostró ahora que la verdad en cada modelo ω-completo no es suficiente para la demostración.

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