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Posts Tagged ‘Kurt Gödel’

David Hilbert es probablemente mejor conocido por su lista de 23 problemas matemáticos sobresalientes, que guiaron gran parte de la investigación del siglo XX. Sin embargo, mucho más importantes fueron sus contribuciones a la teoría de invariantes algebraicos, la teoría de números algebraicos y los fundamentos de la matemática. Pocos matemáticos han tenido un impacto tan profundo en la investigación posterior como Hilbert. Su previsión sobre el futuro de la matemática fue asombrosamente precisa, incluso rayando lo profético. 

La familia de Hilbert estaba integrada por protestantes alemanes que vivían en Prusia Oriental. Su padre, Otto Hilbert, era juez en Königsberg, donde David Hilbert nació el 23 de enero de 1862. Se dice que heredó sus talentos matemáticos de su madre. El joven Hilbert asistió al Friedrichskolleg en Königsberg a partir de 1870, y estudió en la Universidad de Königsberg de 1880 a 1884, obteniendo su Ph.D. en 1885. Después de algunos viajes, Hilbert obtuvo un puesto en la Universidad de Königsberg en 1892, y en el mismo año se casó con Käthe Jerosch. En 1895 fue nombrado presidente de la Universidad de Göttingen, donde permaneció hasta su jubilación en 1930. 

La primera investigación de Hilbert, en el período hasta 1893, fue acerca de formas algebraicas. Estudió la teoría de invariantes algebraicos, abordando el tema desde un punto de vista simbólico revolucionario y prescindiendo de los métodos algorítmicos del pasado. Es digno de mención que el enfoque moderno del álgebra sigue el camino abstracto de Hilbert. Fue el primero en proponer estas nuevas técnicas, que más tarde se convirtieron en un clásico. Se debe hacer mención de su famoso Nullstellensatz (principio de posición cero), que da una condición para que un polinomio se incluya en un conjunto especial de funciones llamado ideal. 

De 1894 a 1899 Hilbert recurrió a la teoría de números, tomando una perspectiva algebraica del tema. Su Der Zahlbericht (Comentario sobre números) de 1897 fue un resumen de todo el conocimiento desarrollado hasta la fecha, organizado desde un punto de vista contemporáneo. Resultó ser una guía crucial para la próxima mitad de siglo de investigación sobre la teoría de números algebraicos. Las contribuciones de Hilbert a la teoría de números algebraicos fueron tan profundas y extensas que casi parece que comenzó el tema. Su trabajo se centró en la ley de reciprocidad y la noción de clase. Aunque su brillante trabajo proporcionó ideas estimulantes para las próximas décadas, Hilbert se trasladó a los cimientos de la geometría, dejando los detalles adicionales en manos de sus estudiantes y sucesores.  

De 1899 a 1903 Hilbert enfatizó el carácter axiomático de la geometría. Su Grundlagen der Geometrie (Fundamentos de la geometría) (1899) intentó establecer la consistencia de los axiomas geométricos y determinar qué teoremas eran independientes de ciertos axiomas. Por ejemplo, la geometría no euclidiana ya había sido inventada, y era un sistema geométrico que era independiente del postulado de las paralelas de Euclides de Alejandría. Hilbert llevó el álgebra a la geometría para obtener resultados relacionados con la consistencia y la independencia. Su trabajo en esta área conduciría a las futuras ideas de campo y espacio topológico. 

Aunque el principio de Dirichlet para resolver el problema del valor límite en la teoría de ecuaciones en derivadas parciales había sido desacreditado por Karl Weierstrass, Hilbert tuvo éxito en dar una prueba rigurosa. Su técnica de diagonalización más tarde se convirtió en clásica en el análisis abstracto. De 1904 a 1909 Hilbert trabajó en el cálculo de variaciones y ecuaciones integrales. Hilbert se centró en ecuaciones homogéneas, llegando a la noción de un espacio funcional con un producto interno (más tarde se llamarían espacios de Hilbert, y son de gran uso práctico en análisis funcional y estadística), y definió el espectro de un operador. El término espectro era profético, ya que los físicos unas dos décadas más tarde conectarían los espectros de los operadores a los espectros ópticos. Frigyes Riesz y John Von Neumann luego seguirían los primeros torpes pasos de Hilbert en el nuevo campo de la teoría de operadores. 

Luego, Hilbert recurrió a la física matemática, sintiendo que el tema era demasiado importante para dejarlo a los físicos, obteniendo aquí resultados no muy trascendentes. Después de 1918 Hilbert pasó a involucrarse profundamente en los fundamentos de la matemática. Estaba ansioso por demostrar en particular la consistencia de la teoría de números. Aunque algunos de sus conceptos, como la función transfinita, fueron bastante brillantes, en última instancia el programa estaba condenado al fracaso. Esencialmente, Hilbert estaba obsesionado con probar que la demostración matemática era válida, por lo que estaba involucrado en la “metamatemática” (es decir, el estudio de los procesos de pensamiento matemático, incluida la estructura de las demostraciones). Kurt Gödel dio un golpe mortal a esta tentativa de establecer la coherencia de la teoría de números en 1931. A partir de este momento se fecha la génesis de los estudios modernos en los fundamentos de la matemática. 

Hilbert enfermó de anemia en 1925, y solo se recuperó parcialmente debido a los nuevos tratamientos. Su lista de 23 problemas, establecidos como tareas para el siglo XX y expuestos en un discurso de 1900 en el Congreso Internacional de Matemáticos, ha demostrado tener una importancia perdurable. Trata una amplia gama de problemas, incluida la cardinalidad del continuo, la consistencia de la aritmética, la axiomatización de la física, la hipótesis de Riemann y el estudio de los problemas generales de valor de frontera. Algunos de ellos se han resuelto total o parcialmente, otros no se han resuelto y otros han demostrado ser insolubles (o dependientes del axioma de elección). En cualquier caso, han proporcionado un enorme estímulo para los matemáticos. Los temas enumerados en los 23 problemas han sido en su mayor parte áreas principales de investigación en matemática pura. 

Hilbert murió el 14 de febrero de 1943 en Göttingen. Era conocido por su intensa personalidad y audacia matemática. Hermann Minkowski era un amigo cercano y tuvo sobre él una significativa influencia, ya que estudiaron juntos en Königsberg. Uno de sus mentores más importantes fue Leopold Kronecker. Hilbert tuvo muchos estudiantes famosos, incluido Hermann Weyl. 

Aquí podemos conocer su voz, portadora de una obra que causó un tremendo impacto en la matemática del siglo XX.

 

 


Fuente bibliográfica:

  • McElroy, Tucker (2005) A to Z of Mathematicians. Facts On File, Inc.
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A principios del siglo XX, tres escuelas de pensamiento dominaban la lógica matemática: el formalismo, el intuicionismo y el logicismo. El formalismo enseñaba que la matemática era principalmente una sintaxis en la cual se introduce el significado, el intuicionismo enfatizaba el papel de la intuición sobre la razón pura, y el logicismo veía la matemática como parte de la lógica. Kurt Gödel estableció un nuevo modo de pensamiento, a saber, que la lógica matemática era una rama de la matemática, que tenía solo ramificaciones indirectas en la filosofía. Sus teoremas, especialmente su teorema de incompletitud, le han valido una considerable fama como matemático de primer nivel, ya que su trabajo es extremadamente relevante para las preguntas epistemológicas (preguntas relacionadas con los fundamentos del conocimiento). 

Kurt Gödel nació el 28 de abril de 1906 en Brno, República Checa, que en ese momento era parte del Imperio austriaco. Rudolf Gödel, su padre, era un tejedor que finalmente obtuvo una cantidad significativa de propiedades. Marianne Handschuh, su madre, tuvo una educación liberal, y la casa en la que crecieron Gödel y su hermano mayor Rudolf fue de clase alta. Gödel tuvo una infancia feliz, y era llamado “Sr. Por qué” por su familia, debido a sus numerosas preguntas. Fue bautizado como luterano y permaneció como teísta (creyente en un Dios personal) durante toda su vida. 

Gödel avanzó rápidamente a través de la escuela, sobresaliendo en matemáticas, idiomas y religión en una escuela secundaria alemana en Brno. También se interesó en la filosofía después de 1920, y el famoso filósofo Immanuel Kant fue influyente a lo largo de la vida de Gödel. Cuando se graduó en 1924, Gödel ya dominaba gran parte de las matemáticas universitarias, y por eso estaba muy bien preparado para ingresar a la Universidad de Viena. Inicialmente consideró tomar un título en física, pero después de algunas clases de teoría de números, Gödel se cambió a la matemática. De 1926 a 1928 estuvo involucrado en el Círculo de Viena, un grupo de positivistas lógicos interesados en la epistemología. Poco a poco, Gödel se alejó de estos filósofos debido a su propia posición platónica. El platonismo, tal como se aplica a la filosofía de la matemática, defiende la creencia en la verdadera realidad abstracta de los objetos matemáticos (como los números), que alcanzan realizaciones particulares concretas en el mundo. 

En 1929 murió el padre de Gödel, y en el mismo año Gödel completó su disertación. Recibió su doctorado en matemática en 1930. Este documento proporcionaba el teorema de completitud para la lógica de primer orden, que mostraba que cada fórmula válida en lógica de primer orden era demostrable. El término completitud se refiere a la cuestión de si cada teorema matemático verdadero tiene una prueba; por lo tanto, los sistemas incompletos son algo místicos, ya que contienen afirmaciones verdaderas que no pueden establecerse solo a través de la razón y la lógica. Más tarde, en 1930, Gödel anunció su famoso teorema de la incompletitud: existen proposiciones verdaderas de la teoría de números para las cuales no existe ninguna prueba. Este resultado tuvo enormes ramificaciones en la matemática, ya que destruyó efectivamente los esfuerzos de los matemáticos para construir un cálculo lógico que probaría todas las afirmaciones verdaderas; también influyó en la filosofía y la epistemología. La versión filosófica del teorema dice que en cualquier sistema de pensamiento, uno no puede producir una prueba para cada enunciado verdadero, siempre y cuando uno esté restringido a ese sistema. 

En los años siguientes, Gödel publicó numerosos artículos sobre lógica y trabajó como profesor en la Universidad de Viena. Aunque la extrema timidez lo convirtió en un pobre orador público, el contenido de sus conferencias incluía la investigación más reciente sobre los fundamentos de la matemática. En 1933 visitó el Instituto de Estudios Avanzados en Princeton donde pasaría cada vez más tiempo a medida que empeoraba la situación política en Europa. Gödel también sufría de depresión mental, y estuvo internado en un sanatorio en Europa en 1934 después de un ataque de nervios. En 1935 regresó a los Estados Unidos y continuó su importante trabajo nuevo en la teoría de conjuntos, obteniendo un avance significativo en relación con el axioma de elección. Poco después renunció, sufriendo de exceso de trabajo y depresión, y regresó a Austria. Su trabajo de este período de tiempo mostró que el axioma de elección y la hipótesis del continuo, dos postulados importantes de la teoría de conjuntos, eran relativamente consistentes (consistencia significa que un postulado dado no contradice los otros axiomas del sistema). 

En 1938 Gödel se casó con Adele Porkert Nimbersky, una bailarina de discoteca. Pronto se vieron obligados a huir a los Estados Unidos debido a la persecución nazi en Austria: la asociación de Gödel con judíos y liberales lo convirtió en blanco de la discriminación. Se le impidió continuar su cátedra en Viena, e incluso fue atacado por estudiantes de derecha. Como resultado, Gödel y su esposa regresaron a Princeton en 1940, escapando de Austria hacia el este a través del Ferrocarril Transiberiano. 

En Princeton, el introvertido Gödel tenía una vida social tranquila; sin embargo, desarrolló algunas amistades cercanas con sus colegas, incluido Albert Einstein. Fuera de esta relación, Gödel se interesó cada vez más por la teoría de la relatividad; más tarde, después de 1947, contribuyó a la cosmología presentando modelos matemáticos en los que el viaje en el tiempo era lógicamente posible. En 1943, Gödel recurrió cada vez más a la investigación filosófica, donde expresó sus puntos de vista platónicos y criticó el logicismo de Bertrand Russell. 

En la última parte de su vida, Gödel recibió numerosos honores y premios, como el Einstein Award en 1951 y la National Medal of Science en 1974. Es interesante que se negó rotundamente a recibir honores de las instituciones académicas austriacas debido al tratamiento previo que recibió. En 1953 se convirtió en profesor titular en el instituto, continuó su trabajo sobre lógica y cosmología, y en 1976 se retiró como profesor emérito. Murió el 14 de enero de 1978, en Princeton, después de sufrir depresión, paranoia y desnutrición: creyendo que su comida estaba siendo envenenada, Gödel se negó a comer y murió de hambre. 

Kurt Gödel hizo descubrimientos extraordinarios en lógica matemática y teoría de conjuntos. Su trabajo en cosmología y filosofía también es digno de mención. Gödel estableció esencialmente el marco para las investigaciones modernas. Como demostró que la teoría de números era incompleta, el proyecto de David Hilbert y los lógicos anteriores para mecanizar la demostración de la matemática se volvió impráctico. En cambio, los lógicos comenzaron a enfocarse en las preguntas de integridad y consistencia de varios tipos de sistemas lógicos. Este cambio de paradigma se debió al épico teorema de incompletitud de Gödel. Sus resultados sobre el axioma de elección y la hipótesis del continuo enfatizaron la naturaleza relativa de cualquier respuesta a estas preguntas; también aquí un nuevo y rico campo de investigación teórica se generó a partir de los descubrimientos iniciales de Gödel. En un sentido más amplio, las ideas de Gödel han influido en innumerables filósofos y científicos informáticos, con ramificaciones en epistemología e inteligencia artificial.

 


Fuente bibliográfica:

  • McElroy, Tucker (2005) A to Z of Mathematicians. Facts On File, Inc.

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Gottlob Frege realizó un trabajo sustancial en lógica matemática durante el siglo XIX; de hecho, es visto por muchos como el padre de la lógica matemática moderna. El lenguaje que creó para analizar rigurosamente la aritmética se desarrollaría luego en la sintaxis y la notación de la teoría de la demostración moderna. 

Gottlob Frege nació el 8 de noviembre de 1848 en Wismar, Alemania, hijo de Alexander Frege y Auguste Bialloblotzky. Su padre era director de una escuela secundaria para niñas en Wismar, y Gottlob asistió al Gymnasium allí. De 1869 a 1871 fue alumno en Jena, y después de este período se matriculó en la Universidad de Göttingen, donde tomó cursos de matemática, física, química y filosofía. Dos años más tarde obtuvo su doctorado en filosofía con la tesis Über eine geometrische Darstellung der imaginaren Gebilde in der Ebene (Sobre una representación geométrica de cosas imaginarias en el plano). Su disertación de 1874 se refería a ciertos grupos de funciones. En esta época, comenzó a trabajar en el proyecto de proporcionar una base rigurosa a la aritmética. Frege deseaba definir el número y la cantidad de una manera satisfactoria, y recurrió a la lógica como un vehículo apropiado.  

En este período de la historia, había poco en el camino acerca de un tratamiento coherente de la lógica matemática. Como Frege quería ser preciso en su desarrollo de la teoría de números, decidió construir un lenguaje de lógica para formular sus ideas. Las herramientas para analizar demostraciones matemáticas se publicaron en Begriffschrift en 1879, y algunas de las ideas de su disertación en Jena entraron en su concepto de cantidad. En el mismo año, fue nombrado profesor extraordinario en Jena, y fue nombrado profesor honorario en 1896. Su diligente trabajo hacia la construcción lógica de la aritmética a lo largo de los años dio lugar a su Grundgesetze der Arithmetik en dos volúmenes (Leyes básicas de la aritmética) ) (1893-1903). En 1902 Bertrand Russell señaló una contradicción en el sistema de la aritmética de Frege; este comentario resultó ser desastroso, ya que Frege no pudo encontrar ninguna forma de remediar el problema. De hecho, como demostraría el trabajo posterior de Kurt Gödel, cualquier esfuerzo para construir teorías de números completas y consistentes estaba condenado al fracaso. 

El Begriffschrift debe verse como un lenguaje formal, como un vehículo, para el pensamiento puro. Este lenguaje consistía en varios símbolos (como letras) que podían combinarse de acuerdo con ciertas reglas (la gramática) para formar enunciados. Al igual que con la aritmética, después de la cual se modeló el lenguaje de Frege, se podían realizar cálculos cuyo resultado sería un cálculo lógico en lugar de una cantidad numérica. La idea de un cálculo lógico se remonta al menos a Gottfried Leibniz, quien supuso que un día todo el debate filosófico podría reducirse a cálculos lógicos. El cálculo de Frege podía usarse para formalizar la noción de una demostración matemática, de modo que uno pudiera, esencialmente, calcular la conclusión.  

Los componentes básicos del cálculo de Frege son un símbolo de afirmación (representado por un trazo vertical), un símbolo condicional (por ejemplo, A implica B) y una regla de deducción que establece lo siguiente: si afirmamos A y A implica B, entonces podemos afirmar B. Frege también desarrolló la notación para la negación, y demostró que el “y” y el “o” podían expresarse en términos de los símbolos condicional y de negación. Además de estas nociones básicas, añadió una teoría de la cantidad, definiendo rigurosamente nociones tales como “para todo” y “existe”.

Hay una escuela de matemática llamada formalismo, cuyos partidarios creen que no hay un significado verdadero o inherente a la matemática, sino que la matemática es puramente un lenguaje formal con el cual otras ideas pueden expresarse, y la verdad matemática puede alcanzarse solo jugando de acuerdo a las reglas del juego. Frege no era un formalista y no estaba interesado en aplicar su sistema a las preguntas relacionadas con una agenda formalista. Irónicamente, su trabajo fue bastante adecuado como base para la lógica formal.

El trabajo de Frege Grundlagen der Arithmetik (Fundamentos de la aritmética) (1884) define la noción de número y se basa en el lenguaje introducido en Begriffschrift. Aquí hace una crítica a las teorías de números anteriores, señalando sus insuficiencias; él argumenta que la igualdad de número es un componente esencial de la noción de número. Grundgesetze incorpora y refina su trabajo anterior, incluidas las mejoras basadas en varios artículos. Muchas de estas ideas tuvieron una gran influencia en la discusión filosófica subsiguiente, en particular influyendo en la filosofía de Wittgenstein.

Después de 1903, la potencia del pensamiento de Frege estaba en declive; parecía incapaz de mantenerse al día con una cultura matemática cada vez más moderna y extraña. En este último período, gastó su energía reaccionando contra varios nuevos desarrollos en matemática, y especialmente entró en conflicto con David Hilbert y su programa para la axiomatización de la matemática. En 1917 Frege se retiró, y después de esto produjo Logische Untersuchungen (Investigaciones lógicas) como una extensión del trabajo anterior. Murió en Bad Kleinen, Alemania, el 26 de julio de 1925.

Frege es principalmente recordado por su trabajo en lógica matemática, que condujo a la teoría moderna de la demostración. Otros grandes lógicos como Russell y Gödel continuaron su trabajo. Aunque el esfuerzo de Frege para construir una teoría de números completa y consistente estaba condenado al fracaso, las ideas que formuló en el curso de su investigación influyeron mucho en las generaciones posteriores de matemáticos.

 


Fuente bibliográfica:

  • McElroy, Tucker (2005) A to Z of Mathematicians. Facts On File, Inc.

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