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Posts Tagged ‘Leonardo da Vinci’

Leonardo da Vinci es una de las personas más famosas de la época medieval. Artista, ingeniero y científico, era diverso y profético. Hizo importantes contribuciones al arte, la anatomía, la tecnología, la mecánica, la geología y la matemática. 

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Leonardo da Vinci nació el 15 de abril de 1452 en Empolia, Italia. Era el hijo ilegítimo de Piero da Vinci, un ciudadano florentino. Su madre era una niña campesina llamada Caterina. El padre de Leonardo pronto se casó con una respetable mujer italiana, Albiera di Giovanni Amadori. Leonardo recibió una educación rudimentaria, y mostró su talento para la música y el arte a una edad temprana. En 1467 fue aprendiz de Andrea del Verrocchio, con quien estudió pintura, escultura y mecánica. 

Leonardo completó algunas de sus primeras pinturas durante este tiempo, incluido el Bautismo de Cristo.

En 1482 partió para trabajar para el duque de Milán; en ese momento él ya era un experto en arquitectura, pintura y escultura, así como en ingeniería militar. Permaneció en Milán hasta 1499, tiempo durante el cual se interesó más en la física y la mecánica y en las propiedades de la luz. También aumentó su escasa educación matemática, estudiando latín y geometría al mismo tiempo. 

Leonardo formuló su teoría de la supremacía de la pintura sobre los principios matemáticos de la proporción y la perspectiva. Su interés en la proporción lo llevó a realizar más investigaciones en física y matemática. Algunos de sus primeros trabajos en matemática fueron bastante erróneos, ya que no tenía una comprensión adecuada del cálculo aritmético; un ejemplo es su afirmación de que la fracción 2/2 es la raíz cuadrada de 2, ya que afirma falsamente que 2/2 por 2/2 es 4/2. 

Sus otros proyectos durante el tiempo en Milán incluyen la física de la luz, la física de la visión y el problema del vuelo mecánico. Colaboró con el matemático Pacioli en la Divina proporción. Es probable que Leonardo haya leído los Elementos de Euclides de Alejandría antes de hacer los dibujos de este libro. Los cuadernos de Leonardo contienen pruebas de varias proposiciones en los Elementos, y es probable que su amigo Pacioli lo haya alentado y lo haya ayudado en su estudio de Euclides. 

Leonardo partió para Venecia después de que los franceses capturaron al duque de Milán, y más tarde regresó a Florencia. Sirvió brevemente con Cesare Borgia como ingeniero militar, y más tarde completó su famosa Mona Lisa.

De 1500 a 1506 realizó una investigación sobre anatomía humana y dedicó una mayor parte de su tiempo a la matemática y la mecánica. Después de completar su estudio de Euclides (Leonardo estaba especialmente interesado en el tratamiento de la proporción en el Libro X de los Elementos), comenzó su propia investigación sobre la equiparación. Estaba interesado principalmente en la cuadratura de las superficies curvilíneas (transformando estas regiones curvas en cuadrados con la misma área), aunque su método de prueba era a menudo mecánico más que estrictamente geométrico. Leonardo propuso varios métodos para cuadrar el círculo; estaba familiarizado con el método de Arquímedes  de Siracusa, pero rechazó la aproximación del número pi de este último por 22/7. Intentó mejorar la aproximación al inscribir un polígono de 96 lados en el círculo. 

Animado por su supuesto descubrimiento de la cuadratura del círculo el 30 de noviembre de 1504, realizó una investigación similar sobre duplicar cuadrados y cuadruplicar círculos. También se interesó en la duplicación del cubo (problema que ya había sido resuelto por Eratóstenes de Cirene hace siglos), insatisfecho por una solución reciente dada por Valla. Eventualmente, Leonardo concibió una solución que eliminó la necesidad de un aparato mecánico, y de ese modo pudo obtener aproximaciones extremadamente precisas para la raíz cúbica de dos. Sin embargo, no pudo proporcionar una prueba rigurosa de su método. 

Muchos de sus escritos matemáticos están incluidos en el Codex Atlanticus. Leonardo continuó investigando las propiedades de las superficies curvilíneas, como las porciones que quedan entre un círculo y un cuadrado o hexágono inscrito. También exploró la posibilidad del vuelo humano mediante el estudio de la anatomía de las aves, así como el movimiento del agua.

En 1506 regresó a Milán, donde sirvió bajo el mando del gobernador francés. En este último período de su vida, produjo algunos de sus mejores dibujos anatómicos, y sus esfuerzos científicos se extendieron a la hidrología, la geología, la meteorología, la biología y la fisiología humana. En todas estas áreas, sintió que la matemática tenía las claves del conocimiento y trató de formular leyes geométricas para estas disciplinas. Los franceses fueron expulsados ​​en 1513, y Leonardo se fue a Roma, esperando encontrar trabajo con el Papa León X; esto no se materializó, y volvió al servicio de Francia en 1516, trabajando con Francisco I. Sufrió un derrame cerebral en Amboise y murió el 2 de mayo de 1519.  

El enfoque de Leonardo para el estudio de la naturaleza no puede considerarse científico en el sentido moderno. Creía en la importancia de la investigación empírica, pero muchas de sus ideas eran puramente especulativas, sin un razonamiento sólido detrás de ellas. Por supuesto, muchos de sus conceptos fueron contribuciones brillantes también. En matemática, parece haber sido un aficionado. Ciertamente hizo algunos descubrimientos valiosos, y respetó profundamente el papel de la matemática en la investigación de la naturaleza. Pero muchas de sus obras tenían fallas profundas, y su enfoque de las pruebas era más típico de su identidad como artista. Además, sus trabajos matemáticos no han influido en el progreso posterior del pensamiento matemático. Su investigación geométrica sobre áreas curvilíneas desarrolló un aspecto del trabajo de Euclides, pero sus escritos no eran muy conocidos en su época y, por lo tanto, no ejercieron influencia sobre otros pensadores matemáticos.

 


Fuente bibliográfica:

  • McElroy, Tucker (2005) A to Z of Mathematicians. Facts On File, Inc.

 

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El Renacimiento fue una época de audaces viajes intelectuales, donde el hombre de ciencia podía investigar todas las ramas de la filosofía; Girolamo Cardano personificó este espíritu intrépido, orgulloso e inquisitivo. El nombre de Cardano es algo infame entre los matemáticos, debido a sus cuestionables relaciones con el matemático Niccolò Tartaglia. Sin embargo, sus contribuciones a la matemática y la ciencia son numerosas, incluida una vaga formulación preliminar de números imaginarios, así como las reglas básicas de la probabilidad. En su propia época, tenía fama de ser un gran médico, y sus escritos han influido en diversas áreas de la ciencia, como la geología y la mecánica. 

Girolamo Cardano nació el 24 de septiembre de 1501, hijo de un jurista italiano, Fazio Cardano, y una viuda, Chiari Micheri. El chico era ilegítimo, y su madre poseía un temperamento desagradable; la infancia de Cardano fue desagradable, marcada por la enfermedad. Su padre, amigo de Leonardo da Vinci, animó a Cardano a estudiar los clásicos, matemática y astrología, y comenzó sus estudios universitarios en 1520 en Pavía. Seis años después, Cardano había completado sus estudios en Padua con un doctorado en medicina. 

La medicina iba a ser la principal carrera de Cardano; más tarde adquiriría gran fama por sus remedios. Comenzó su práctica en Saccolongo, cerca de Padua, donde permaneció durante seis años. Aparentemente Cardano no pudo casarse debido a un problema de impotencia, pero al liberarse de esta aflicción se casó con Lucía Bandareni en 1531, y ella le dio dos hijos y una hija. Tres años más tarde, Cardano se convirtió en profesor de matemática en Milán gracias a la intervención y aliento de los amigos aristocráticos de su padre. Simultáneamente, Cardano continuó practicando medicina, y logró un notable éxito, de modo que sus colegas generaron una gran envidia hacia él; poco después de 1536, cuando publicó su primer trabajo De malo recentiorum medicorum usu libellus (Un libro sobre la mala práctica de los médicos modernos), fue el médico más destacado de Milán. En 1552 incluso viajó a Escocia para curar al arzobispo de Edimburgo de asma. 

La obra de 1539 Practica arithmeticae et mensurandi singularis (Práctica de matemática y medidas individuales) de Cardano estaba dedicada al cálculo numérico, y en este trabajo revela su talento en la manipulación de expresiones algebraicas. Podía resolver algunas ecuaciones de tercer grado y superiores (la solución de la cuadrática era bien conocida) antes de encontrarse con Tartaglia. Cardano pronto se familiarizó con este último matemático, que había dominado la solución de la fórmula cúbica (ecuación de tercer grado) por un método general. Después de mucha insistencia, Cardano obtuvo el secreto de la solución cúbica de parte de Tartaglia al jurar que no lo revelaría. Sin embargo, Tartaglia no fue el creador de este método, y lo había aprendido de Scipione del Ferro; cuando Cardano se enteró del descubrimiento previo de del Ferro, consideró que su juramento era irrelevante y posteriormente publicó el método en su Artis magnae sive de regulis algebraicis liber unus (Libro del gran arte o sobre las reglas del álgebra) en 1545. Por supuesto, esta acción enfureció a Tartaglia, quien sintió que había sido traicionado; sus publicaciones posteriores acusaron a Cardano de perjurio, y Tartaglia continuó castigando a este personaje. 

El Artis magnae sive de regulis algebraicis liber unus presentaba muchas ideas nuevas en el campo del álgebra. La llamada regla de Cardano proporciona la solución de ecuaciones cúbicas que carecen de un término de segundo grado, y Cardano también explicó cómo transformar linealmente una cúbica arbitraria a esta forma reducida. Él observa que una ecuación de grado mayor a uno debe tener más de una raíz, y que conocer una raíz es equivalente a reducir el grado del polinomio en uno. Estos hechos serían luego formulados como parte del teorema fundamental del álgebra, probado por Carl Friedrich Gauss en el siglo XVIII. Cardano también discute la solución de la ecuación cuártica o de cuarto grado, atribuida a su yerno Ludovico Ferrari. Por supuesto, el polinomio quíntico, o de quinto grado, no admitía un método de solución, como lo probarían Niels Henrik Abel y Evariste Galois siglos después. 

Cardano también investigó la aproximación numérica a la solución de una ecuación, utilizando el método de las partes proporcionales junto con un esquema de iteración. La idea de aproximación (al menos para ecuaciones) aparece por primera vez con Cardano, y mucho después se desarrollaría sistemáticamente a través del método de Sir Isaac Newton y la posterior teoría del análisis numérico. También observó la relación entre las raíces de un polinomio y sus coeficientes, y por ello se lo considera el padre de la teoría de las ecuaciones algebraicas. En algunas situaciones,incluso utilizó números imaginarios, que no se desarrollarían formalmente durante siglos.  

Además de este famoso trabajo en álgebra, Cardano también era conocido por su pasión por los juegos de azar, como los dados, el ajedrez y las cartas. Su Liber de ludo aleae (Libro sobre juegos de azar), completado en su vejez, ofrece un primer tratamiento de la teoría de la probabilidad. Esto es anterior al trabajo pionero de Blaise Pascal y Pierre de Fermat, aunque estos dos desconocían el trabajo previo de Cardano y, por lo tanto, no fueron influenciados por él. La idea importante en este trabajo es que incluso el azar sigue ciertas reglas: las leyes de la probabilidad. La probabilidad como una cantidad numérica y medible se introduce como la razón entre resultados en los que un evento puede ocurrir y todos los posibles resultados; hoy, esto se conoce como la definición clásica de probabilidad, y ha sido reemplazada por una formulación teórica de la medida, ya que la concepción de Cardano solo puede tratar con resultados igualmente probables. Él enuncia la ley de los grandes números, así como varias otras reglas de probabilidad, como la ley de multiplicación para eventos independientes. 

Mientras tanto, Cardano avanzó en su carrera como médico; en 1543 aceptó la cátedra de medicina en la Universidad de Pavía, donde enseñó hasta 1560. En este año, su hijo mayor fue ejecutado por envenenar a su esposa, y en esa época Cardano estaba cansado de la condena pública de sus enemigos, así como de la vida disoluta de su segundo hijo. Como resultado, Cardano se fue a la Universidad de Bolonia, donde obtuvo la cátedra de medicina en 1562. 

Sus intereses en la astrología y la magia lo condujeron a una acusación de herejía, y la Inquisición en 1570 encarceló a Cardano; aparentemente él había lanzado el horóscopo de Jesucristo. Después de unos meses en prisión, Cardano se arrepintió y obtuvo el favor del Papa Pío V. En Roma, durante el último año de su vida, Cardano escribió De propria vita (Libro de mi vida), una exhaustiva autobiografía; murió el 21 de septiembre de 1576. 

Cardano escribió unas 200 obras sobre medicina, matemática, física, religión, filosofía y música, representando al típico pensador del Renacimiento en la diversidad de su pensamiento. Además de sus escritos matemáticos, publicó dos enciclopedias de ciencias naturales, un compendio de conocimiento, superstición y lo oculto, contribuyó a la mecánica y la hidrodinámica, y desarrolló teorías tempranas para la formación de montañas por la erosión del agua, así como la concepción del ciclo de evaporación, condensación y precipitación. Dedujo la elevación del fondo oceánico frente a la presencia de fósiles marinos en tierra firme, estimó experimentalmente la proporción de densidades de aire y agua, y describió numerosos dispositivos mecánicos, incluida la «suspensión de Cardano». Señaló que la trayectoria de un proyectil era similar a la de una curva parabólica, y afirmó la imposibilidad del movimiento perpetuo (excepto los cuerpos celestes). Las numerosas ediciones de sus obras dan testimonio de su influencia duradera y generalizada en la próxima generación de pensadores.

 


Fuente bibliográfica:

  • McElroy, Tucker (2005) A to Z of Mathematicians. Facts On File, Inc.

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Los artistas y comerciantes italianos influyeron en la matemática de finales de la Edad Media y el Renacimiento de varias maneras. En el siglo XV un grupo de artistas Toscanos, como Filippo, Leon Battista Alberti y Leonardo da Vinci, incorporaron la perspectiva lineal en su práctica y enseñanza alrededor de un siglo antes de que el tema fuera tratado formalmente por los matemáticos.

El maestri d’ábaco italiano, Rechenmeister, intentó aunque sin éxito resolver ecuaciones cúbicas no triviales. De hecho, la primera solución general fue encontrada por Scipione del Ferro a principios del siglo XVI y fue redescubierta por Niccolò Tartaglia varios años más tarde. La solución fue publicada por Gerolamo Cardano en su Ars magna (o Reglas del álgebra) en 1545, junto con la solución de la ecuación de cuarto grado de Ludovico Ferrari.

Tartaglia

Cardano

Por el año 1380 se había desarrollado en Italia un simbolismo algebraico en el que se utilizaban letras por la incógnita, para su cuadrado y para las constantes. Los símbolos utilizados en la actualidad por la incógnita(por ejemplo, x), el signo de la raíz cuadrada y los signos + y – generalizaron su uso en el sur de Alemania, comenzando alrededor del año 1450. Ellos fueron utilizados por Regiomontano y por Fridericus Gerhart y recibieron un impulso por el año 1486 en la Universidad de Leipzig con Johann Widman. La idea de distinguir entre cantidades conocidas y desconocidas en el álgebra fue aplicada primero con regularidad por François Viète, con vocales y consonantes para las incógnitas y para las cantidades conocidas. Viète encontró algunas relaciones entre los coeficientes de una ecuación y sus raíces. Esto fue sugerido por la idea, que estableció explícitamente Albert Girard en 1629 y que demostró Carl Friedrich Gauss en 1799, de que una ecuación de grado n tiene n raíces. Los números complejos, que están implícitos en tales ideas, fueron gradualmente aceptados en la época de Rafael Bombelli (muerto en 1572), que los utilizó en relación con la cúbica.

François Viète

Las Cónicas de Apolonio y las investigaciones sobre áreas (cuadraturas) y volúmenes (cubaturas) de Arquímedes formaron parte del aprendizaje humanista del siglo XVI. Estos estudios influyeron sobre los desarrollos posteriores de la geometría analítica, el cálculo infinitesimal y la teoría de funciones, temas que se desarrollaron en el siglo XVII.

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