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Posts Tagged ‘Leonhard Euler’

John Venn contribuyó tanto a la probabilidad como a la lógica a través de su investigación, y fue uno de los primeros matemáticos en introducir el simbolismo de la lógica en el estudio de la probabilidad. Es más conocido por los diagramas de Venn que son útiles en el estudio de la lógica.

John Venn nació el 4 de agosto de 1834 en Hull, Inglaterra. Su familia pertenecía al ala evangélica de la Iglesia de Inglaterra, y Venn se convirtió brevemente en ministro. Asistió a las dos escuelas de Londres, Highgate e Islington, y estudió en Cambridge desde 1853 hasta 1857. Fue elegido miembro de su universidad y mantuvo su lugar durante toda su vida.

Venn tomó las órdenes sagradas en 1859 y trabajó por un corto tiempo como ministro antes de regresar a Cambridge como profesor de filosofía moral. Renunció a sus órdenes de oficina en 1883, debido a su creciente desacuerdo con el dogma anglicano, aunque siguió siendo un miembro devoto de la iglesia. En el mismo año también fue elegido miembro de la Royal Society.

Venn escribió varios textos sobre probabilidad y lógica, que fueron bastante populares a finales del siglo XIX y principios del XX. La lógica del azar de Venn atrajo las críticas de Augustus De Morgan y George Boole; fue especialmente crítico con el enfoque algebraico de Boole a la lógica. Venn también construyó la definición empírica de probabilidad, que establece que la probabilidad de que ocurra un evento se define como el límite a largo plazo de la razón de las veces que ocurrió históricamente. Esta definición tiene muchas ventajas sobre el enfoque más clásico, ya que permite eventos que no son igualmente probables. Sin embargo, un inconveniente es que la noción de tal límite no está bien definida. Esto llevó a un trabajo posterior sobre leyes de grandes números y la formulación moderna (o axiomática) de la teoría de la probabilidad.

Los trabajos sobre lógica de Venn también contienen diagramas geométricos para representar situaciones lógicas: no fue el primero en usarlos, ya que Gottfried Leibniz los había usado previamente de manera sistemática, y Leonhard Euler desarrolló la noción aún más. Por lo tanto, los diagramas de Venn se basaron en una tradición histórica existente de tales ayudas geométricas; sin embargo, Venn desarrolló sistemáticamente estas representaciones geométricas. Estos dibujos se han utilizado ampliamente en matemáticas elementales para que los jóvenes entrenen la lógica.

Venn murió el 4 de abril de 1923, en Cambridge. Además de sus esfuerzos por mejorar los fundamentos de la lógica, destaca su trabajo sobre representaciones esquemáticas de eventos lógicos y sus aplicaciones a la probabilidad. Su enfoque se ha vuelto bastante estándar en los estudios elementales de probabilidad.

 


Fuente bibliográfica:

  • McElroy, Tucker (2005) A to Z of Mathematicians. Facts On File, Inc.

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Pocos matemáticos pueden compararse con Bernhard Riemann en términos de creatividad y profundidad de conocimiento. No solo encontró la nueva disciplina de la geometría riemanniana que se volvería tan importante para la teoría de la relatividad general un siglo más tarde, sino que también avanzó significativamente en otros campos de la matemática, incluido el análisis complejo, la teoría de funciones elípticas, las ecuaciones diferenciales y la teoría de la integración y topología. Es quizás más famoso por descubrir la función zeta de Riemann, que es importante para la teoría analítica de números. Como las de muchos genios, las ideas de Riemann eran tan avanzadas que pocos podían aceptarlas inmediatamente; después de su temprana muerte, el impacto de su investigación comenzó a apreciarse.

Georg Friedrich Bernhard Riemann nació el 17 de septiembre de 1826 en Breselenz, Alemania. Su madre fue Charlotte Ebell, y su padre Friedrich Bernhard Riemann. Riemann mantuvo una estrecha relación con su padre, un ministro luterano, durante toda su vida. Fue el segundo de seis hijos. Su padre lo educó personalmente hasta que tenía 10 años, y en 1842 el niño ingresó en el Johanneum Gymnasium en Lüneburg. Era un buen alumno, pero aún no mostraba un talento extraordinario en la matemática. Aunque sus estudios principales fueron clásicos y teológicos, se interesó por la matemática después de devorar rápidamente un libro de teoría de números de Adrien-Marie Legendre.

En 1846, Riemann se matriculó en la Universidad de Göttingen, donde siguió estudiando matemática. Aunque Carl Friedrich Gauss enseñaba allí en ese momento, no reconoció el talento de Riemann, al igual que algunos de sus otros maestros. Al año siguiente, Riemann se trasladó a la Universidad de Berlín, donde pudo estudiar con Carl Jacobi y Peter Lejeune Dirichlet; este último fue especialmente influyente en Riemann, quien adoptó su enfoque intuitivo y no computacional para las ideas matemáticas. Gran parte del trabajo de Riemann carecía del rigor preciso común en ese momento: centró sus energías en desarrollar conceptos y marcos correctos para comprender la matemática. Durante este tiempo formuló los principios básicos de su teoría de variables complejas.

Riemann regresó a Göttingen en 1849 para un trabajo de doctorado, y presentó su tesis, dirigida bajo la supervisión de Gauss, en 1851. Este trabajo presenta los objetos geométricos que se conocieron como superficies de Riemann. Fue influenciado por ideas de la física y la topología, y aplicó estas técnicas en su análisis de estas superficies, basándose en la teoría más básica de las variables complejas de Augustin-Louis Cauchy. Algunos de sus resultados se probaron utilizando una técnica variacional conocida como principio de Dirichlet (Riemann atribuyó el método a Dirichlet, aunque Gauss y otros lo habían desarrollado anteriormente). Esta tesis fue sorprendente por su originalidad, incluso el soberano Gauss quedó impresionado.

Para su trabajo postdoctoral, Riemann comenzó a investigar la representación de funciones en términos de una base de funciones trigonométricas (análisis de Fourier); en el curso de su investigación, desarrolló una rigurosa teoría de la integración, construyendo lo que más tarde se conocería como la integral de Riemann de una función. Estaba trabajando en Göttingen, y Gauss le exigió que diera una conferencia sobre geometría para completar su beca; la conferencia de Riemann sobre geometría más tarde se hizo muy famosa, ya que estableció los principios básicos y las ideas claves detrás de la teoría de la geometría diferencial. Esta conferencia de 1854 desarrolló conceptos generales de espacio, dimensión, líneas rectas, métricas, ángulos y lugares tangentes para superficies curvas. El resultado de esta exposición notablemente original fue el establecimiento de la geometría diferencial como un campo importante de investigación matemática (hubo trabajos anteriores sobre geometría diferencial, pero Riemann plantó las ideas principales que continuarían guiando el tema a lo largo del próximo siglo), que luego resultó tener una aplicación notable a la teoría general de la relatividad: Albert Einstein, a principios del siglo XX, describió la fuerza de la gravedad como esencialmente una curvatura del espacio, y la teoría geométrica de Riemann fue la base matemática perfecta para esta importante nueva rama de la física.

Esta conferencia probó el concepto fundamental de espacio con una profundidad notable, y pocos científicos y matemáticos pudieron apreciar el genio extraordinario del pensamiento penetrante de Riemann; quizás solo Gauss fue capaz de comprender verdaderamente el significado del nuevo paradigma. Riemann luego pasó a la teoría de las ecuaciones diferenciales parciales, tema sobre el que dio un curso con poca asistencia. Obtuvo una cátedra en Göttingen en 1857, el mismo año en que publicó la teoría de las funciones abelianas. Este trabajo investiga más a fondo las propiedades topológicas de las superficies de Riemann, así como los llamados problemas de inversión. Aunque otros matemáticos, incluido Karl Weierstrass, trabajaban en esta área, el trabajo de Riemann fue tan amplio que se convirtió en un pensador destacado en esta rama de la matemática. Riemann utilizó nuevamente el principio de Dirichlet para sus resultados, y Weierstrass declaró que no era válido para las aplicaciones de Riemann. La búsqueda de una prueba alternativa durante las siguientes décadas condujo a varios otros desarrollos algebraicos fructíferos; David Hilbert finalmente dio la formulación correcta y la prueba de los resultados de Riemann a finales de siglo. Como resultado de la correcta crítica de Weierstrass, muchos matemáticos abandonaron las teorías desarrolladas por Riemann, quien sostuvo que eran ciertas.

En 1858, Riemann recibió la visita de Enrico Betti, quien importó las ideas topológicas de Riemann a su propio trabajo. El año siguiente murió Dirichlet, y Riemann lo reemplazó como presidente de matemática en Göttingen; también fue elegido para la Academia de Ciencias de Berlín a través de las fuertes recomendaciones de Ernst Eduard Kummer y Weierstrass. La siguiente área de investigación de Riemann fue la teoría de números: exploró la función zeta, ya definida por Leonhard Euler, extendiéndola primero al plano complejo. Esta función zeta da la suma de varias series infinitas y ya se sabía que estaba relacionada con el conjunto de números primos. El trabajo de Riemann amplió enormemente el conocimiento de esta función, así como sus aplicaciones; la famosa hipótesis de Riemann, que sigue sin resolverse hoy en día, establece que todas las raíces no triviales de la función zeta se encuentran en la línea en el plano complejo definida por los números complejos cuya parte real es igual a un medio. Esta extraña conjetura ha sido ampliamente verificada numéricamente, pero una prueba completa ha escapado a los esfuerzos concertados de cientos de matemáticos. La función zeta tiene varias aplicaciones para la teoría numérica analítica, como estimar el número de primos menores que un entero dado.

Riemann sufrió de mala salud durante toda su vida. Su constitución débil más tarde impediría su investigación y le quitaría la vida prematuramente. Se casó con Elise Koch en 1862, pero poco después contrajo un resfriado y luego desarrolló tuberculosis. Pasó gran parte de su tiempo en los próximos años en el extranjero, en Italia, con la esperanza de que el clima más suave alivie su enfermedad. Regresó a Göttingen en 1865, y su salud declinó rápidamente a partir de entonces; viajó a Italia en 1866 nuevamente por razones de salud, pero no se recuperó. Murió el 20 de julio de 1866 en Selasca, Italia.

Riemann fue fácilmente uno de los matemáticos más influyentes y creativos del siglo XIX y, de hecho, de toda la historia. Afectó de manera significativa la geometría y el análisis complejo sobre todo, proporcionando esencialmente el marco a través del cual se estudian estos temas hoy. Y las preguntas y los problemas profundos que abordó en el campo de la geometría son extremadamente relevantes para las concepciones modernas del universo físico. Su trabajo en teoría de números ha estimulado un esfuerzo de investigación sin igual: la investigación de la función zeta de Riemann debe ser uno de los campos de actividad matemática más concurridos. Gauss estaría de acuerdo en que Riemann fue sin duda uno de los mejores matemáticos que este mundo ha visto.

En Septiembre del año pasado (2018) ocurrió un hecho de gran trascendencia en Heidelberg Laureate Forum. El matemático Michael Atiyah (1929-2019) anunciaba haber demostrado finalmente la Hipótesis de Riemann. Su conferencia fue vista por decenas de miles de personas por internet y numerosos ciudadanos mostraron su entusiasmo en Twitter, alabando al octogenario experto: “Los héroes a veces no llevan capa”.

 


Fuente bibliográfica:

  • McElroy, Tucker (2005) A to Z of Mathematicians. Facts On File, Inc.

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Inglaterra sufrió una sequía de matemáticos en la última parte del siglo XVIII, y Maclaurin representa al último gran matemático de la era newtoniana. Contribuyó a la defensa del cálculo de Sir Isaac Newton e hizo algunos descubrimientos impresionantes, incluida el desarrollo de la serie de una función. 

Colin Maclaurin nació en febrero de 1698, en Kilmodan, Escocia. Era el menor de tres hijos y su padre, John Maclaurin, era el ministro local. Poco después del nacimiento de Maclaurin, su padre murió, y su madre murió cuando él tenía nueve años. Después de la muerte de sus padres Maclaurin fue criado por su tío. En 1709 ingresó en la Universidad de Glasgow donde se interesó por la matemática. Defendió su tesis en 1715, On the Power of Gravity, obteniendo su título de maestría. En 1717 fue nombrado profesor de matemática en el Marischal College, aunque todavía era muy joven.

Visitó Londres en 1719 y conoció a Newton, cuyo trabajo le causó una profunda impresión. Para 1720 Maclaurin publicó su Geometrica organica, que contenía muchas pruebas de los resultados no demostrados de Newton, así como muchos de los propios descubrimientos de Maclaurin. Su enfoque, como el de Newton, fue altamente geométrico. 

En 1722, Maclaurin dejó Escocia para servir como tutor del hijo de Lord Polwarth. Viajaron a Francia, donde Maclaurin continuó su investigación, ganando un premio de la Academia de Ciencias de Francia en 1724. En este año, su alumno murió inesperadamente, y Maclaurin se vio obligado a regresar a Escocia, donde obtuvo la cátedra de matemática en el Universidad de Edimburgo a través de la intervención de Newton. Allí, Maclaurin dio una conferencia sobre Euclides de Alejandría, trigonometría esférica, secciones cónicas, fortificación, astronomía y perspectiva. También fue uno de los principales expositores del cálculo de Newton. En 1733 se casó con Anne Stewart, con quien crió a siete hijos.

En 1742 Maclaurin publicó su Tratado de Fluxiones, que era una defensa de los métodos de Newton y una respuesta a las críticas de George Berkeley. Muchos científicos y matemáticos se mostraban escépticos de los infinitesimales, y Maclaurin se comprometió a proporcionar a la teoría de las fluxiones una base lógica rigurosa. Cabe destacar que Maclaurin rechazó la ventajosa notación de Gottfried Leibniz en favor de la torpe nomenclatura de Newton, debido a su lealtad y partidismo. Como resultado, el estilo newtoniano llegó a dominar el pensamiento en Inglaterra y, en consecuencia, afectó las capacidades computacionales y analíticas de los matemáticos posteriores. En este sentido, Maclaurin fue hasta cierto punto responsable de retrasar el progreso matemático en Inglaterra.

El tratado contenía las soluciones de una serie de problemas en geometría, estática y series infinitas. Tenía también  la prueba de Maclaurin para la convergencia y, más importante, el desarrollo en serie de una función diferenciable en torno al origen. Aunque la serie de Taylor es más general, la serie de Maclaurin fue el primer paso para desarrollar una herramienta analítica de gran utilidad.

Maclaurin también investigó cuerpos de atracción, y compitió por un premio francés con su “On the Tides” en 1740, compartiendo el premio con Leonhard Euler y Daniel Bernoulli. También es reconocido por ser el primer matemático en distinguir correctamente entre máximos y mínimos de una función. Era un experto experimentalista e inventor, y realizó observaciones astronómicas y cálculos actuariales. En 1745 un ejército de las Tierras Altas marchó en Edimburgo, y Maclaurin organizó vigorosamente la defensa de la ciudad. Como resultado de sus esfuerzos su salud comenzó a fallar. Murió el 14 de enero de 1746 en Edimburgo. 

Maclaurin fue descrito como un hombre benevolente y piadoso, y en sus controversias fue cortés con sus adversarios. Su defensa de los métodos y la notación newtoniana condujo en parte al abandono inglés del cálculo, que privó a Inglaterra de buenos analistas para el próximo siglo. Sin embargo, contribuyó positivamente al desarrollo riguroso del cálculo newtoniano, y fue fácilmente uno de los matemáticos británicos más talentosos de su época.

 


Fuente bibliográfica:

  • McElroy, Tucker (2005) A to Z of Mathematicians. Facts On File, Inc.

 

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