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Posts Tagged ‘Leonhard Euler’

En la ola de esfuerzo que siguió al trabajo pionero de Sir Isaac Newton en mecánica, muchos matemáticos intentaron profundizar los aspectos matemáticos de la nueva ciencia. Jean d’Alembert se destacó como uno de estos intelectuales, que contribuyeron a la astronomía, a la mecánica de fluidos y al cálculo; fue uno de los primeros en darse cuenta de la importancia del límite en el cálculo.

Jean Le Rond d’Alembert nació en París el 17 de noviembre de 1717. Era el hijo ilegítimo de una famosa anfitriona de salón y un oficial de caballería llamado Destouches-Canon. Un artesano llamado Rousseau crió al joven d’Alembert, pero su padre supervisó su educación; asistió a una escuela jansenista, donde aprendió los clásicos, retórica y matemática. 

D’Alembert decidió seguir una carrera como matemático y comenzó a comunicarse con la Académie des Sciences en 1739. Durante los años siguientes escribió varios artículos sobre la integración de ecuaciones diferenciales. Aunque no tenía ningún entrenamiento formal en matemáticas superiores, d’Alembert estaba familiarizado con las obras de Newton, así como con las obras de Jakob Bernoulli y Johann Bernoulli.

En 1741 fue nombrado miembro de la Academia, y concentró sus esfuerzos en algunos problemas de mecánica racional. El Traité de dynamics fue el fruto de su trabajo, una obra científica significativa que formalizó la nueva ciencia de la mecánica. El largo prólogo revelaba la filosofía de d’Alembert del sensacionalismo (esta idea afirma que la percepción sensorial, no la razón, es el punto de partida para la adquisición del conocimiento). Desarrolló la mecánica a partir de los conceptos simples de espacio y tiempo, y evitó la noción de fuerza. D’Alembert también presentó sus tres leyes del movimiento, que trataban la inercia, la ley del paralelogramo del movimiento y el equilibrio. Cabe destacar que D’Alembert produjo demostraciones matemáticas para estas leyes.

El conocido principio de d’Alembert también fue introducido en este trabajo, que establece que cualquier movimiento restringido puede ser descompuesto en términos de su movimiento inercial y una fuerza de resistencia (o restricción). Él tuvo cuidado de no sobrevalorar el impacto de la matemática en la física -dijo que el rigor de la geometría estaba ligado a su sencillez. Puesto que la realidad es siempre más complicada que una abstracción matemática, es más difícil establecer su verdad. 

En 1744 produjo un nuevo volumen llamado Traité de l’équilibre et du mouvement des fluides (Tratado sobre el equilibrio y el movimiento de fluidos). En el siglo XVIII una gran cantidad de interés se centraba en la mecánica de fluidos, ya que los fluidos se utilizan para modelar el calor, el magnetismo y la electricidad. Su tratamiento fue diferente al de Daniel Bernoulli, aunque las conclusiones fueron similares. D’Alembert también examinó la ecuación de la onda, considerando los problemas de oscilación de cuerdas en 1747. Luego, en 1749, se volvió hacia la mecánica celeste, publicando las Recherches sur la précession des équinoxes et sur la nutation de l’axe de la terre que trataban el tema del cambio gradual de la posición de la órbita terrestre.

A continuación, d’Alembert compitió por un premio en la Academia Prusiana, pero culpó a Leonhard Euler por su fracaso. D’Alembert publicó su Essai d’une nouvelle théorie de la résistance des fluides  en 1752, en el que las ecuaciones diferenciales hidrodinámicas se expresaron primero en términos de un campo. La así llamada paradoja hidrodinámica se formuló aquí, es decir, que el flujo antes y detrás de una obstrucción debe ser el mismo, dando por resultado la ausencia de cualquier resistencia. D’Alembert no resolvió este problema, y hasta cierto punto se inhibió por su parcialidad hacia la continuidad; cuando surgían discontinuidades en las soluciones de ecuaciones diferenciales, él simplemente arrojaba la solución.

En la década de 1750, interesado en varios temas no científicos, d’Alembert se convirtió en el editor científico de la Enciclopedia. Más tarde escribió sobre temas de música, derecho y religión, presentándose como un ávido defensor de los ideales de la Ilustración, incluyendo un desprecio por el pensamiento medieval.

Entre sus contribuciones originales a la matemática, se destaca el test de la razón para la convergencia de una serie infinita; D’Alembert consideró las series divergentes como absurdas y las desatendió (esto difiere marcadamente del punto de vista de Euler). D’Alembert estaba prácticamente solo en su visión de la derivada como el límite de una función, y su énfasis en la importancia de la continuidad probablemente lo llevó a esta perspectiva. En la teoría de la probabilidad, d’Alembert estaba bastante discapacitado, siendo incapaz de aceptar las soluciones estándar de los problemas de juego.

D’Alembert era conocido por ser un hombre encantador e ingenioso. Nunca se casó, aunque vivió con su amante Julie de Lespinasse hasta su muerte en 1776. En 1772 se convirtió en el secretario de la Académie Française (Academia Francesa), y cada vez se volcó más hacia preocupaciones humanitarias. Sus últimos años fueron marcados por la amargura y la desesperación; murió en París el 29 de octubre de 1783.

Aunque fue bien conocido como preeminente científico y filósofo, los logros matemáticos de d’Alembert merecen un reconocimiento especial. Él dio grandes avances en la teoría de la mecánica en varias de sus ramas, contribuyendo a su formulación matemática y a la consideración de varios problemas concretos.

 


Fuente bibliográfica:

  • McElroy, Tucker (2005) A to Z of Mathematicians. Facts On File, Inc.

 

 

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El matemático noruego Niels Abel hizo contribuciones excepcionales a la teoría de las funciones elípticas, uno de los temas matemáticos más populares del siglo XIX. La lucha, las dificultades y la incertidumbre caracterizaron su vida, pero bajo condiciones difíciles él todavía pudo producir un cuerpo prolífico y brillante de investigación matemática. Tristemente murió joven, sin poder alcanzar la gloria y el reconocimiento por los que había trabajado.

Niels Henrik Abel era hijo de Sören Abel, un pastor Luterano, y Ane Marie Simonson, hija de un rico comerciante. La primera parroquia del pastor Abel estuvo ubicada en la isla de Finnöy, donde Niels Abel nació en 1802. Poco después, el padre de Abel se involucró en política.

Hasta ese momento Abel y sus hermanos habían recibido instrucción por parte de su padre, pero en 1815 fueron enviados a la escuela en Oslo. El rendimiento de Abel en la escuela fue marginal, pero en 1817 la llegada de un nuevo profesor de matemática, Bernt Holmboe, cambió grandemente el destino de Abel. Holmboe reconoció el don de Abel para la matemática, y comenzó a estudiar a Leonhard Euler y a los matemáticos franceses. Pronto Abel había superado a su maestro. En este momento se interesó mucho por la teoría de las ecuaciones algebraicas. Holmboe estaba encantado con su descubrimiento del joven matemático.

Durante su último año en la escuela Abel intentó resolver la ecuación de quinto grado, un problema pendiente de la antigüedad, pero falló (la ecuación no tiene soluciones racionales). Sin embargo, sus esfuerzos le introdujeron en la teoría de las funciones elípticas. Mientras tanto, el padre de Abel cayó en desgracia pública debido al alcoholismo, y después de su muerte en 1820 la familia quedó en circunstancias financieras difíciles.

Abel entró en la Universidad de Suecia en 1821, y se le concedió una habitación libre debido a su extrema pobreza. La facultad incluso lo apoyó con sus propios recursos; él era huésped frecuente de la casa de Christoffer Hansteen, el principal científico de la universidad. En el primer año, Abel había terminado su grado preliminar, lo que le permitió contar con tiempo suficiente para seguir sus propios estudios avanzados. Vorazmente leyó todo lo que pudo encontrar con respecto a la matemática, y publicó sus primeros artículos en el diario de Hansteen después de 1823.

En el verano de 1823 Abel recibió ayuda de la facultad para viajar a Copenhague con el fin de conocer a los matemáticos daneses. El viaje fue inspirador; también conoció allí a su futura prometida, Christine Kemp. Cuando volvió a Oslo, Abel comenzó a trabajar una vez más en la ecuación quíntica, pero esta vez intentó demostrar que no había una expresión radical para su solución. Él tuvo éxito, y publicó su resultado en francés a sus expensas. Por desgracia no tuvo reacción por parte de su audiencia, incluso el mismísimo Carl Friedrich Gauss fue indiferente.

Los problemas financieros de Abel se complicaron por su compromiso con Kemp, pero consiguió un pequeño estipendio para estudiar idiomas con el fin de prepararse para viajar al extranjero. Después de esto, recibiría una modesta beca por dos años para estudios en el extranjero. En 1825 partió con algunos amigos hacia Berlín, y en su camino a través de Copenhague conoció a August Crelle, un influyente ingeniero con un vivo interés por  la matemáticas. Los dos se convirtieron en amigos de por vida, y Crelle acordó comenzar una revista alemana para la publicación de matemática pura. Muchos de los artículos de Abel fueron publicados en los primeros volúmenes, incluyendo una versión ampliada de su trabajo sobre la ecuación de quinto grado.

Uno de los notables artículos de Abel en el Diario de Crelle generalizaba la fórmula binomial, que da una expansión para la enésima potencia de una expresión binomial. Abel volvió su pensamiento hacia las series infinitas, y se preocupó por el hecho de que las sumas nunca habían sido rigurosamente determinadas. El resultado de su investigación fue un trabajo clásico sobre series de potencias, con la determinación de la suma de la serie binomial para exponentes arbitrarios. Mientras tanto, Abel no consiguió un puesto que estaba vacante en la Universidad de Suecia; su ex profesor Holmboe fue seleccionado. Cabe señalar que Abel mantuvo su nobleza de carácter a lo largo de su frustrante vida. 

En la primavera de 1826 Abel viajó a París y presentó un artículo a la Academia Francesa de Ciencias que consideró su obra maestra: trataba la suma de las integrales de una función algebraica dada, y por lo tanto generalizaba la relación de Euler para integrales elípticas. Este trabajo, sobre el cual Abel trabajó durante muchos meses pero nunca fue publicado, fue presentado en octubre de 1826, y Augustin-Louis Cauchy  y Adrien-Marie Legendre fueron nombrados árbitros. Ningún informe fue publicado, y nada fue publicado hasta después de la muerte de Abel. Parece que Cauchy fue el culpable de la tardanza, y al parecer perdió el manuscrito. Abel más tarde reescribió el artículo (y tampoco se publicó este trabajo), y el teorema descrito anteriormente llegó a ser conocido como el teorema de Abel.

Después de esta decepcionante temporada en Francia, Abel regresó a Berlín y cayó enfermo con su primer ataque de tuberculosis. Crelle le ayudó con su enfermedad, y trató de conseguirle un puesto en Berlín, pero Abel anhelaba regresar a Noruega. La nueva investigación de Abel transformó la teoría de las integrales elípticas en la teoría de las funciones elípticas usando sus inversas. A través de esta dualidad, las funciones elípticas se convirtieron en una importante generalización de las funciones trigonométricas. Como estudiante en Oslo, Abel ya había desarrollado gran parte de la teoría, y este artículo presentaba  su pensamiento con gran detalle.

A su regreso a Oslo en 1827, Abel no tenía perspectivas de ocupar una posición allí, y logró sobrevivir impartiendo tutorías. Por unos cuantos meses Hansteen se fue de vacaciones a Siberia y Abel se convirtió en su sustituto en la universidad. Mientras tanto, el trabajo de Abel había comenzado a estimular el interés entre los matemáticos europeos. A principios de 1828 Abel descubrió que tenía un joven competidor alemán, Carl Jacobi, en el campo de las funciones elípticas. Consciente de ello Abel escribió una rápida sucesión de artículos sobre funciones elípticas y preparó un libro de memorias que sería publicado póstumamente. 

Parece que Abel tuvo la prioridad de descubrir a Jacobi en el ámbito de las funciones elípticas; sin embargo, también se sabe que Gauss era consciente de los principios de las funciones elípticas mucho antes de Abel o Jacobi, y había decidido no publicar. En este momento Abel comenzó una correspondencia con Legendre, que también estaba interesado en las funciones elípticas. Los matemáticos de Francia, junto con Crelle, intentaron asegurarle un empleo a Abel, e incluso se lo solicitaron al monarca de Suecia.

La salud de Abel se estaba deteriorando, pero siguió escribiendo frenéticamente. Pasó el verano de 1828 con su prometida, y cuando la visitó en Navidad tuvo un cuadro febril debido a la exposición al frío. Mientras se preparaba para su regreso a Oslo, Abel sufrió una violenta hemorragia que lo obligó a estar en cama. A la edad de 26 años murió de tuberculosis el 26 de abril de 1829; dos días más tarde, Crelle le escribió con júbilo que le había asegurado un puesto en Berlín. En 1830 la Academia Francesa de Ciencias concedió su Gran Premio a Abel y Jacobi por sus brillantes descubrimientos matemáticos.

Abel fue reconocido como uno de los matemáticos más grandes después de su muerte, y realmente logró mucho a pesar de su corta vida. La teoría de las funciones elípticas se expandiría mucho durante el siglo XIX, y la obra de Abel contribuyó significativamente a este desarrollo.

En el año 2002 el gobierno noruego creó el Premio Abel en conmemoración del bicentenario de su nacimiento. La Academia Noruega de Ciencias y Letras es la encargada cada año de designar al merecedor de tal galardón, vía el consenso de un comité conformado por cinco matemáticos de varios países. El  primero en recibir el Premio Abel fue el matemático francés Jean-Pierre Serre (2003), mientras que este año, 2017, el agasajado con este honor fue también un matemático francés, Yves Meyer, por sus contribuciones al conocimiento y desarrollo de la teoría de las ondículas.

 

 


Fuente bibliográfica:

  • McElroy, Tucker (2005) A to Z of Mathematicians. Facts On File, Inc.

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Mientras que muchos matemáticos usan computadoras sólo como procesadores de texto y con el propósito de comunicarse, los cálculos asistidos por computadora pueden ser útiles para descubrir potenciales teoremas. Por ejemplo, el teorema del número primo fue sugerido por primera vez como resultado de extensivos cálculos manuales sobre los números primos hasta 3.000.000 por el matemático suizo Leonhard Euler (1707-1783), un proceso que habría sido grandemente facilitado por la disponibilidad de una moderna computadora. Las computadoras también pueden ser útiles para completar demostraciones cuando hay un gran número de casos a considerar. La reconocida demostración asistida por ordenador del teorema de la cartografía de los cuatro colores por los matemáticos estadounidenses Kenneth Appel (1932) y Wolfgang Haken (1928) va incluso más allá, ya que el ordenador ayudó a determinar qué casos se debían considerar en el siguiente paso de la demostración. Sin embargo, en principio, no se puede pedir a las computadoras que descubran demostraciones, excepto en áreas muy restringidas de la matemática -como la geometría elemental euclidiana- donde el conjunto de teoremas pasa a ser recursivo, como lo demostró Tarski.

Leonhard Euler

Kenneth Appel y Wolfgang Haken

Como resultado de investigaciones anteriores de Alan Turing, Alonzo Church y del matemático estadounidense Haskell Brooks Curry (1900-1982) y otros, la informática se ha convertido en una rama de la matemática. Así, en la informática teórica, los objetos de estudio no son sólo los teoremas, sino también sus demostraciones, así como cálculos, programas y algoritmos. La informática teórica resulta tener una estrecha relación con la teoría de categorías.

Haskell Brooks Curry

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