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Posts Tagged ‘Leonhard Euler’

El campo de la astronomía se había desarrollado rápidamente en el siglo XIX, y la matemática conservaba su importancia vital para esta ciencia hermana. Friedrich Bessel no sólo se convirtió en uno de los más grandes astrónomos, calculando con precisión varias distancias astronómicas y siendo calificado como el fundador de la escuela alemana de astronomía práctica, sino que también desarrolló teorías matemáticas sobresalientes para explicar las perturbaciones de las órbitas planetarias. 

El 22 de julio de 1784, Friedrich Bessel nació en Minden, Alemania. Su padre era un funcionario público de esa ciudad, y su madre era hija de un ministro. Bessel tenía una familia grande, conformada por seis hermanas y dos hermanos. Bessel asistió al Gymnasium (instituto alemán) en Minden, pero después de cuatro años lo abandonó para convertirse en aprendiz de comerciante. Mientras estaba en la escuela, tuvo una inclinación hacia la matemática y la física, pero no mostró ningún grado digno de ser  destacado hasta que alcanzó los 15 años de edad. En 1799 comenzó su aprendizaje con Kulenkamp, una firma famosa mercantilista; rápidamente demostró su facilidad con los cálculos y la contabilidad, y como resultado se le proporcionó un sueldo escaso, que permitió que se emancipara de la dependencia de sus padres.

Mientras tanto, Bessel pasaba las noches estudiando varios temas como preparación para su futura carrera como oficial de carga. Pronto dominó la geografía, el español y el inglés, así como el arte de la navegación; esta disciplina despertó por primera vez su fascinación por la astronomía. No contento simplemente con conocer la tecnología de su comercio, Bessel comenzó a investigar los aspectos más profundos de la astronomía y la matemática, considerando que este conocimiento fundamental era esencial. Entre sus primeros logros en el campo de la astronomía encontramos la determinación de la longitud de Bremen, utilizando un sextante que había construido. Él también comenzó a leer literatura astronómica, y de esta manera descubrió las observaciones de 1607 del astrónomo Thomas Harriot del cometa Halley. Después de completar la reducción de las observaciones de Harriot (un proceso que implica compensar la refracción de la luz causada por la atmósfera terrestre y generalmente liberar las observaciones de errores), se la presentó al astrónomo Heinrich Olbers con su propio cálculo de la órbita en 1804. El resultado estaba en estrecho acuerdo con el trabajo de Halley, y Olbers alentó a Bessel a complementar estas reducciones con algunas observaciones adicionales; el fruto de este trabajo fue un artículo impreso en el Monatliche Correspondenz. Con la profundidad digna de un material de tesis doctoral, este artículo atrajo la atención de muchos lectores y marcó una transición en la vida de Bessel.

A principios de 1806, antes de terminar su aprendizaje, Bessel se convirtió en asistente en un observatorio privado cerca de Bremen, que era propiedad de un rico funcionario con interés en la astronomía que tenía contactos con muchos científicos. En el observatorio Bessel adquirió una escolarización completa en la observación de planetas y cometas, y mientras tanto hizo otras contribuciones al cálculo de órbitas de cometas. En 1807 comenzó la reducción de observaciones de James Bradley para 3.222 estrellas, lo que marcó uno de los logros más grandes de Bessel. Friedrich Wilhelm III de Prusia construyó un nuevo observatorio en Königsberg y Bessel fue nombrado director y profesor de astronomía en 1809. Dado que no tenía doctorado, la Universidad de Göttingen le dio uno por sugerencia de Carl Friedrich Gauss, quien había conocido a Bessel en 1807.

Durante la construcción del observatorio, Bessel continuó su trabajo en la reducción de los datos de Bradley; por sus tablas de refracción resultantes, fue galardonado con el Premio Lalande en 1811 por el Institut de France. En 1813 comenzó sus observaciones en el observatorio ya terminado, y permaneció en Königsberg como profesor e investigador por el resto de su vida. En 1812 se casó con Johanna Hagen, con quien tuvo dos hijos y tres hijas. Este afortunado matrimonio fue ensombrecido por la enfermedad y las muertes tempranas de sus hijos, y Bessel encontró distracción en caminar y cazar.

Bessel logró mucho en el campo de la astronomía. La reducción de los datos de Bradley permitió una correcta determinación de las posiciones y movimientos de las estrellas, pero el propio programa de observación y reducción inmediata de Bessel dio como resultado datos altamente precisos. También dio la primera estimación precisa de la distancia a una estrella fija, utilizando técnicas de triangulación y un heliómetro. También participó en la geodesia, la medición de la Tierra, completando una triangulación de Prussia del Este en 1830 con un nuevo aparato de medición y el método de mínimos cuadrados de Gauss. La estimación resultante de Bessel de los parámetros de las dimensiones de la Tierra le valió fama internacional.

Bessel estaba interesado en la matemática a través de su estrecha conexión con la astronomía. El problema de la perturbación en la astronomía era susceptible de análisis utilizando ciertas funciones hipergeométricas confluentes especiales, más tarde llamadas funciones de Bessel. Hubo dos efectos de un planeta intruso en la órbita elíptica de un planeta dado: el efecto directo de la perturbación gravitacional y el efecto indirecto que surge del movimiento del sol causado por el planeta perturbador. Bessel separó las dos influencias, y las funciones de Bessel aparecen como coeficientes en el desarrollo en serie del efecto indirecto. En su estudio del problema, Bessel hizo un estudio intensivo de estas funciones especiales que se describen en su tratado de Berlín de 1824. Casos especiales de estas funciones se conocían desde hacía más de un siglo, descubiertos por Johann Bernoulli y Gottfried Leibniz; Daniel Bernoulli (1732) y Leonhard Euler (1744) también habían investigado los coeficientes de Bessel. Pero la motivación de Bessel surgió de su aplicación a la astronomía, no como un estudio separado en matemática pura.

Su salud fue en declive a partir de 1840, y su último viaje importante a Inglaterra fue en 1842; como resultado de su participación en el Congreso de la Asociación Británica en Manchester, Bessel se animó a completar y publicar algunas investigaciones restantes. Después de dos años agonizantes luchando contra el cáncer, murió el 17 de marzo de 1846, en Königsberg.

Aunque Bessel es conocido principalmente como astrónomo, al igual que Gauss, hizo contribuciones sobresalientes a la matemática pura que podrían aplicarse a la astronomía. Su nombre está ligado a las funciones especiales mencionadas anteriormente, así como a una desigualdad que se utiliza hoy en el análisis de Fourier y la teoría de los espacios de Hilbert. Tanto las funciones de Bessel como la desigualdad de Bessel tienen una relevancia perdurable para los matemáticos modernos.

 


Fuente bibliográfica:

  • McElroy, Tucker (2005) A to Z of Mathematicians. Facts On File, Inc.
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El segundo de los famosos hermanos Bernoulli, Johann Bernoulli, formaba parte de una notable familia de matemáticos. Fue su destino pasar su primera carrera bajo la sombra de su consumado hermano Jakob Bernoulli, pero finalmente se hizo famoso por su propio genio. Bernoulli, uno de los principales proponentes del cálculo diferencial leibniziano en la vida posterior, fue en cierto punto el matemático más eminente de Europa. 

Johann Bernoulli nació el 6 de agosto de 1667 en Basilea, décimo hijo de una rica familia mercantil. Los Bernoulli eran originarios de Holanda, pero el padre de Johann Bernoulli, Nikolaus Bernoulli, se había establecido en Suiza como y se casó con la rica Margaretha Schönauer. Originalmente, Johann Bernoulli estaba destinado a una carrera en los negocios, pero después de un aprendizaje fallido como vendedor, se le permitió en 1683 inscribirse en la universidad. Su hermano mayor Jakob Bernoulli estaba dando conferencias allí sobre física experimental, y Johann Bernoulli se benefició de la tutela de su hermano mayor en matemática. Respondiendo a una de las disputas lógicas en 1685 de Jakob Bernoulli, Johann Bernoulli fue elevado a magister artium y comenzó el estudio de la medicina. Su primera publicación de procesos de fermentación apareció en 1690, y obtuvo su doctorado en 1694 con una disertación matemática en el campo de la medicina.

Mientras tanto, Johann Bernoulli seguía ávidamente estudiando matemática (sin la aprobación de su padre) y, junto con Jakob Bernoulli, dominó el cálculo diferencial de Gottfried Leibniz. La solución de Johann Bernoulli al problema de la catenaria, planteado por Jakob Bernoulli en 1691, mostró su talento y lo marcó como un matemático líder de Europa. En ese momento estaba en Ginebra, pero pronto se trasladó a París, donde obtuvo reconocimiento gracias a su “teorema de oro”: la determinación de una fórmula para el radio de curvatura de una curva arbitraria. Bernoulli se reunió con Guillaume de L’Hôpital, y fue empleado por este último para darle clases de cálculo infinitesimal, por lo que Bernoulli fue recompensado magníficamente. Cuando Bernoulli volvió más tarde a Basilea, la correspondencia entre ambos continuó y se convirtió en la fuente de un primer libro de cálculo titulado Analyze des infiniment petits (Análisis de los infinitos pequeños). Bernoulli fue un fiel y ávido comunicador, escribiendo 2.500 cartas con 110 eruditos a lo largo de su vida; entre estas personas estaba Leibniz, con quien Bernoulli intercambió sus opiniones científicas a partir de 1693.

Durante este período, un hiato de sus estudios médicos, Bernoulli obtuvo varios resultados matemáticos que fueron publicados como artículos cortos. De principal importancia es su trabajo sobre las funciones exponenciales y el desarrollo en serie de ellas por integración. La integración era vista como la operación inversa a la diferenciación, y por lo tanto podía ser utilizada para resolver ecuaciones diferenciales. La penetrante intuición de Johann Bernoulli permitió una elegancia de solución que las técnicas más brutales de Jakob Bernoulli no lograron, lo que ilustró el contraste entre los dos hermanos. La formulación vía cálculo exponencial de Johann Bernoulli, que es simplemente la aplicación del cálculo diferencial de Leibniz a funciones exponenciales, amplió aún más la aplicabilidad de métodos infinitesimales. En 1695 sumó la serie armónica infinita, desarrolló teoremas de suma para funciones trigonométricas e hiperbólicas, y describió la generación geométrica de pares de curvas. La suma de los cuadrados de los recíprocos permaneció impermeable a ambos esfuerzos de los Bernoulli, y fue calculada más adelante por Leonhard Euler, el estudiante más capaz de Johann Bernoulli.

Habiendo completado su licenciatura en medicina, Bernoulli aceptó la cátedra de matemáticasen la Universidad de Groningen. Ya se había casado con Dorothea Falkner cuando partió para Holanda y estaba lleno de resentimiento hacia Jakob Bernoulli. La relación con su hermano ya había comenzado a desintegrarse: ambos hombres tenían personalidades pendencieras, y Johann Bernoulli era un ávido debatidor y polémico. Sin embargo, la feistiness de Johann Bernoulli extendió más allá de su hermano; en 1702 participó en disputas teológicas con profesores de Groningen, y fue etiquetado un seguidor de Spinoza.

En junio de 1696 Bernoulli planteó el siguiente problema, conocido como la braquistócrona: determinar el camino de descenso más rápido entre dos lugares fijos. Dedicando el problema “a los matemáticos más sagaces de todo el mundo”, Bernoulli dio un plazo de medio año para encontrar la solución; Leibniz, que solucionó inmediatamente el problema, predijo con exactitud que sólo cinco personas en el mundo eran capaces de éxito: Sir Isaac Newton, el propio Leibniz, los hermanos Bernoulli y L’Hôpital. La braquistócrona proporciona otro contraste de las habilidades de los hermanos: el análisis engorroso de Jakob Bernoulli puso los fundamentos para el cálculo de variaciones, mientras que el acercamiento de Johann Bernoulli redujo ingeniosamente el problema a una pregunta en óptica, y dedujo la ecuación diferencial correcta de la ley de la refracción. Jakob Bernoulli planteó posteriormente el problema isoperimétrico, cuya solución requería el nuevo cálculo de variaciones, que había sido característicamente subestimado por Johann Bernoulli. Su solución publicada era por lo tanto inadecuada, dando por resultado el desprestigio desenfrenado de Jakob Bernoulli. No fue hasta muchos años después de la muerte de Jakob Bernoulli que Johann Bernoulli admitió la supremacía del cálculo de variaciones. En 1718, Johann Bernoulli produjo una solución elegante del problema isoperimétrico utilizando la metodología de Jakob Bernoulli, y este trabajo contenía las nociones tempranas para el cálculo moderno de variaciones.

El trabajo de Johann Bernoulli sobre la cicloide, en su descripción de la “fatídica curva del siglo XVII”, promulga su desarrollo de la integración de funciones racionales a través del método de las fracciones parciales. Un acercamiento algebraico formal a tales cálculos era típico de Johann Bernoulli, y su influencia en las técnicas comunes del cálculo se ha sentido con los tiempos modernos.

Después de la muerte de Jakob Bernoulli en 1705, Johann Bernoulli le sucedió en la cátedra de matemática en Basilea, al parecer una decisión motivada por su familia. Pronto se vio envuelto en la polémica disputa de prioridad entre Newton y Leibniz, y criticó abiertamente el apoyo de Taylor al método de fluxiones (el cálculo newtoniano). En debates y concursos posteriores, Bernoulli pudo analizar con éxito algunos problemas, como la trayectoria de la curva balística en el caso general, para la que el cálculo newtoniano era insuficiente. Después de la muerte de Newton en 1727, Bernoulli sería reconocido como el principal matemático de Europa. En Basilea estudió mecánica teórica y mecánica aplicada, y en 1714 publicó su único libro, Théorie de la manoeuvre des vaisseaux. En este trabajo critica las teorías de navegación francesas y desarrolla el principio de velocidades virtuales, con aplicaciones a sistemas mecánicos conservadores. En otros trabajos investigó la transmisión del momento, el movimiento de los planetas y el fenómeno del barómetro luminoso.

Bernoulli fue sumamente honrado durante su vida, siéndole concedida la calidad de miembro de las academias de París, de Berlín, de Londres, de San Petersburgo y de Bolonia. Se benefició de un alto estatus social en Basilea, debido a sus conexiones maritales y la riqueza de la familia, y ocupó varias oficinas cívicas allí. Murió el 1 de enero de 1748, en Basilea. Su ingenio al resolver problemas matemáticos particulares lo convirtió en uno de los mejores matemáticos de su época. En términos de legado, no fue tan exitoso como su hermano Jakob Bernoulli, pero sin embargo dejó un influyente trabajo sobre mecánica y ecuaciones diferenciales.

 


Fuente bibliográfica:

  • McElroy, Tucker (2005) A to Z of Mathematicians. Facts On File, Inc.

 

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El siglo XVIII estaba relativamente desprovisto de talento matemático en comparación con la riqueza intelectual de los años 1600; sin embargo, Daniel Bernoulli fue uno de los pocos genios raros de ese tiempo, haciendo importantes contribuciones a la medicina, la matemática y las ciencias naturales. En particular, sus trabajos en los aspectos mecánicos de la fisiología, las series infinitas, la mecánica racional, la hidrodinámica, los sistemas oscilatorios y la probabilidad le han ganado gran renombre como científico excepcional.

Daniel Bernoulli nació el 8 de febrero de 1700 en Groningen, Holanda, en la conocida familia Bernoulli: su padre era el famoso matemático Johann Bernoulli, que era entonces profesor en Groningen, y su madre era Dorothea Falkner, miembro de una familia suiza. Daniel Bernoulli estaba cerca de su hermano mayor Nikolaus, pero más tarde cayó víctima de la celosa competitividad de su padre. En 1705 Johann Bernoulli reubicó a la familia en Basilea, haciéndose cargo de la cátedra de matemática recientemente ocupada por su difunto hermano Jakob. Daniel Bernoulli comenzó el estudio de la lógica y la filosofía en 1713 y aprobó su bachillerato en 1716. Mientras tanto, estudió matemática bajo la supervisión de su padre y Nikolaus. Daniel Bernoulli no estaba destinado a los negocios, como testificó un fracasado aprendizaje en el comercio; en cambio, continuó sus estudios de Basilea en medicina, viajando después a Heidelberg (1718) y Estrasburgo (1719) para perseguir el conocimiento. Al año siguiente regresó a Basilea, y obtuvo su doctorado en 1721 con la disertación De respiratione (De la respiración).

Su solicitud para la cátedra de anatomía y botánica fue negada, y tampoco pudo obtener la cátedra de lógica. En 1723 viajó a Venecia para continuar sus estudios médicos bajo Michelotti. Su publicación de Exercitationes mathematicae en 1724 le valió la fama de recibir una oferta de la Academia de San Petersburgo, y se quedó en Rusia de 1725 a 1732, conociendo a Leonhard Euler. Su querido hermano Nikolaus murió repentinamente, y el clima severo no fue a gusto de Bernoulli; estos factores alentaron a Bernoulli a regresar a casa. Después de tres aplicaciones fallidas a Basilea, obtuvo la cátedra de anatomía y botánica en 1732.

El período ruso fue muy fructífero para Bernoulli. Durante este tiempo realizó importantes trabajos en hidrodinámica, teoría de las oscilaciones y probabilidad. Su regreso a Basilea se convirtió en una gira por Europa, donde fue recibido cordialmente por numerosos estudiosos. En este momento su padre competía con Bernoulli por la prioridad del trabajo sobre hidrodinámica llamado Hydrodynamica; completado en 1734 y publicado en 1738, la Hydraulica de su padre  era anterior a 1732.

En el campo de la medicina, al que se vio obligado a trabajar durante algunos períodos de su vida, Bernoulli volvió su intelecto hacia los aspectos mecánicos de la fisiología. Su disertación de 1721 fue una revisión de la mecánica de la respiración, y un artículo de 1728 abordó la mecánica de la contracción muscular, prescindiendo de la noción de fermentación en los glóbulos sanguíneos. Bernoulli también determinó la forma y ubicación de la entrada del nervio óptico en el bulbo, y dio una conferencia sobre el cálculo del trabajo realizado por el corazón; más tarde estableció la cantidad máxima de trabajo (actividad durante un período sostenido) que un ser humano podía realizar en un día.

Sin embargo, los intereses de Bernoulli fueron absorbidos por problemas matemáticos motivados por cuestiones científicas. Sus cuatro volúmenes de Exercitationes  mathematicae  tratan una variedad de temas: el juego del faro, el flujo de agua, las ecuaciones diferenciales y las lúnulas (figuras delimitadas por dos arcos circulares). Posteriormente investigó series divergentes. Bernoulli obtuvo sumas para series trigonométricas e investigó la teoría de las fracciones continuas infinitas. 

Su contribución a la mecánica estaba en las áreas de oscilaciones de cuerpos rígidos y mecánica de cuerpos flexibles y elásticos; estas nuevas áreas fueron abordadas a fondo por los esfuerzos de colaboración de Bernoulli y Euler. Bernoulli explica el principio de la gravedad y el magnetismo, prescindiendo de la teoría del vórtice de René Descartes y Christiaan Huygens. La teoría de los cuerpos giratorios, el centro de la rotación instantánea y la conservación de la fuerza viva son algunas de sus otras contribuciones, así como la fricción de cuerpos sólidos. Obtuvo una amplia fama mediante su Hydrodynamica, donde da una historia de la hidráulica, fórmulas para la salida de un fluido, oscilaciones de agua en un tubo, teoría para maquinaria hidráulica (tales como bombas, incluido el tornillo de Arquímedes de Siracusa), movimientos de ” fluidos elásticos “(gases), y la derivación de la ecuación de Bernoulli para corrientes estacionarias. Este libro también contiene la determinación de la presión sobre un contenedor causada por un fluido y la presión de un chorro de agua sobre un plano inclinado -puesto en práctica para propulsar barcos muchos años después.

Junto con Euler, Bernoulli dominó la mecánica de los cuerpos elásticos, derivando curvas de equilibrio para tales cuerpos en 1728. Determinó la curvatura de una banda elástica horizontal fijada en un extremo y definió los “modos simples” y las frecuencias de oscilación de un sistema con más de un cuerpo. Después de salir de San Petersburgo, la continua correspondencia de Bernoulli con Euler dio lugar a más literatura: las pequeñas vibraciones de una placa sumergida en agua y una varilla suspendida de un hilo flexible. Aquí destacó la diferencia entre las vibraciones simples y las compuestas. En trabajos escritos entre 1741 y 1743, Bernoulli trata las vibraciones transversales de las cuerdas elásticas, considerando una barra horizontal fijada a una pared vertical. Para derivar la ecuación de vibración, implementó la relación entre curvatura y momento. Su tratado de 1753 sobre las oscilaciones resultó en una descripción del movimiento general como la superposición de numerosas vibraciones únicas, dada por una serie trigonométrica infinita. Más tarde Bernoulli consideró las oscilaciones de los tubos de un órgano y las vibraciones de las cuerdas de grosor desigual.

Bernoulli también avanzó en la teoría de la probabilidad y la estadística; su obra más novedosa en esta área fue De mensura sortis (Sobre la medida del azar), que aborda un problema en las ganancias de capital, e introduce el concepto de una función de utilidad, descrita por Bernoulli como el valor moral de una cantidad de capital. En 1760 examinó un problema de mortalidad en las estadísticas médicas, dando una ecuación diferencial relacionando las variables relevantes. Más tarde utilizó un modelo de urna en aplicaciones a estadísticas de población, tratando de determinar la duración media del matrimonio para cada grupo de edad. Es interesante que Bernoulli utilice el cálculo infinitesimal en la probabilidad, dando un primer paso hacia la noción de una variable aleatoria continua y la teoría estadística de los errores.

En 1743 Bernoulli pasó a dar conferencias en fisiología, y en 1750 obtuvo finalmente la cátedra de física; continuó dando conferencias hasta 1776, mostrando fascinantes experimentos de física que atraían a una gran audiencia en Basilea. Por ejemplo, fue capaz de conjeturar la ley de Coulomb de la electrostática como resultado de la evidencia experimental de sus conferencias. Murió el 17 de marzo de 1782, habiendo recibido numerosos premios y honores en vida, por ejemplo ganando el Gran Premio de la Academia de París en 1734 y 1737. De hecho, Bernoulli ganó 10 premios por ensayos inscritos en las competiciones de la Academia de París, que generalmente se daban sobre temas de interés público, como la mejor forma de anclaje y la relación entre las mareas y la atracción lunar. Ganó dos premios sobre el tema del magnetismo y mejoró la construcción de la brújula.

Bernoulli fue un destacado científico y matemático. Sus principales contribuciones matemáticas fueron en las ecuaciones diferenciales, la mecánica y la probabilidad. Los esfuerzos de Bernoulli, junto con la obra de Euler, influirían en los matemáticos posteriores del siglo XIX.

 


Fuente bibliográfica:

  • McElroy, Tucker (2005) A to Z of Mathematicians. Facts On File, Inc.

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