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Posts Tagged ‘Ley de reciprocidad cuadrática’

Mientras que la teoría de las funciones elípticas tipifica el entusiasmo del siglo XIX por la matemática pura, algunos matemáticos contemporáneos dijeron que los acontecimientos simultáneos en teoría de números llevaron al entusiasmo a su punto máximo. No obstante, durante el siglo XIX, la teoría algebraica de números pasó de tener un interés minoritario a la actual importancia central en la matemática pura. Las investigaciones anteriores de Fermat finalmente habían llamado la atención de Euler y Lagrange. Euler demostró algunas de las afirmaciones no probadas de Fermat y descubrió muchos hechos nuevos y sorprendentes. Lagrange no sólo suministró pruebas de muchos comentarios que Euler sólo había conjeturado sino que también los transformó en algo así como una teoría coherente. Por ejemplo, Fermat sabía que los números que se pueden escribir como suma de dos cuadrados son el número 2, los propios cuadrados, los primos de la forma 4n + 1 y los productos de estos números. Por lo tanto 29, que es 4\times 7 + 1, es 5^2+2^2, pero 35, que no es de esta forma, no se puede escribir como suma de dos cuadrados. Euler había demostrado este resultado y había considerado casos similares, como primos de la forma x^2+2y^2 o x^2+3y^2. Pero quedó para Lagrange la tarea de proporcionar una teoría general que abarque todas las expresiones de la forma ax^2 +bxy+cy^2, las llamadas formas cuadráticas.

La teoría de las formas cuadráticas de Lagrange hacía un uso considerable de la idea de que una forma cuadrática dada a menudo podía simplificarse a otra con las mismas propiedades pero con coeficientes más pequeños. Para ello, en la práctica, a menudo era necesario considerar si un entero dado dejaba un resto que fuera un cuadrado cuando era dividido por otro número entero dado. (Por ejemplo, 48 deja un resto 4 en la división por 11, y 4 es un cuadrado.) Legendre descubrió una notable conexión entre la pregunta “¿Deja el entero p un resto cuadrado en la división por q?” y la siguiente cuestión aparentemente no relacionada “¿el número entero q deja un resto cuadrado en la división por p?” Él, de hecho, dijo que cuando p y q son números primos, las dos preguntas tienen la misma respuesta a menos que ambos números primos sean de la forma 4n - 1. Debido a que esta observación conecta dos preguntas en las que los números enteros p y q juegan papeles opuestos entre sí, se la dio en llamar ley de reciprocidad cuadrática. Legendre también dio una manera efectiva de extender su ley a los casos en que p y q no son primos.

Todo este trabajo sentó las bases para el surgimiento de Carl Friedrich Gauss, cuya Disquisitiones Arithmeticae (1801) no sólo consumó lo que había pasado antes, sino que también dirigió la teoría de números hacia direcciones nuevas y más profundas. Con razón, mostró que la prueba de la ley de reciprocidad cuadrática de Legendre era fundamentalmente defectuosa y dio la primera prueba rigurosa. Su trabajo sugiere que había profundas conexiones entre la pregunta original y otras ramas de la teoría de números, un hecho que él percibió como de notable importancia para el tema. Él extendió la teoría de las formas cuadráticas de Lagrange, al mostrar cómo dos formas cuadráticas pueden ser “multiplicadas” para obtener una tercera. Los matemáticos que le siguieron volvieron a trabajar esto en un importante ejemplo de la teoría conmutativa de grupos finitos. Y en la sección final de su libro Gauss dio la teoría subyacente detrás de su primer descubrimiento como matemático: que una figura regular de 17 lados se puede construir mediante el círculo y una regla solamente.

El descubrimiento de que el  “17-ágono” regular es construible de este modo fue el primer descubrimiento de este tipo desde los griegos -que lo conocieron solamente para  el triángulo equilátero, el cuadrado, el pentágono regular, la figura regular de 15 lados, y las figuras que pueden ser obtenidas de estos bisecando sucesivamente todos los lados. Pero lo que fue mucho más importante que el descubrimiento fue la teoría que sustenta la ahora llamada teoría de los números algebraicos, la que trataremos en la próxima entrega.

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