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Posts Tagged ‘Logaritmos’

El desarrollo de nuevos métodos de cálculo numérico fue una respuesta a las crecientes exigencias prácticas del cálculo numérico, en particular en la trigonometría, la navegación y la astronomía. Las nuevas ideas se propagaron rápidamente a través de Europa y para el año 1630 se convirtieron en una gran revolución en la práctica numérica.

Simon Stevin de Holanda, en su breve folleto La Disme de 1585, presentó las fracciones decimales a Europa y mostró cómo extender los principios de la aritmética hindú-arábiga al cálculo con estos números. Stevin hizo hincapié en la utilidad de la aritmética decimal «para todas las cuentas que aparecen en los asuntos de los hombres», y explicó en un apéndice cómo se podía aplicar a la topografía, la estereometría, la astronomía y  la medición. Su idea era extender el principio posicional de base 10 a números con partes fraccionarias, con una extensión correspondiente en la notación para cubrir estos casos. En su sistema denotó al número 237.578 por

en donde los dígitos a la izquierda del cero son la parte entera del número. A la derecha del cero están los dígitos de la parte fraccionaria, con cada dígito seguido por un número rodeado con un círculo que indica la potencia negativa a la que se eleva 10. Stevin demostró cómo la aritmética habitual de los números enteros podía extenderse a fracciones decimales, utilizando las reglas que determinan el posicionamiento de las potencias negativas de 10.

Simon Stevin

Además de su utilidad práctica, La Disme fue significativa por la forma en que socavó el estilo dominante de la geometría clásica griega en la matemática teórica. La propuesta de Stevin requería rechazar la distinción en la geometría euclidiana entre la magnitud, que es continua, y el número, que es una multitud de unidades indivisibles. Para Euclides, la unidad, o uno, era un tipo especial de cosa, no un número sino el origen o principio del número. La introducción de las fracciones decimales parecía dar a entender que la unidad podía subdividirse y que una magnitud arbitraria continua podía ser representada numéricamente. Se suponía implícitamente el concepto de número real positivo en general.

En 1614 el escocés lord John Napier  publicó por primera vez tablas de logaritmos  en su tratado Description of the Marvelous Canon of Logarithms. Este trabajo fue seguido (postumamente) cinco años después por otro en el que Napier estableció los principios utilizados en la construcción de sus tablas. La idea básica detrás de los logaritmos es que la suma y la resta son más fáciles de realizar que la multiplicación y la división que, como observó Napier, requieren un «gasto de tiempo tedioso» y están sujetos a «errores resbaladizos». Por la ley de los exponentes,

a_{n}a_{m} = a_{n+m};

es decir, en la multiplicación de números, los exponentes se relacionan de forma aditiva. Por correlación, la secuencia geométrica de números

a, a_{2}, a_{3},\ldots

(con a la base) y la secuencia aritmética

1, 2, 3, \ldots

e interpolando valores fraccionarios, es posible reducir el problema de la multiplicación y la división a uno de sumas y restas. Para ello Napier escogió una base que fuera muy cercana a 1, que difiera de él solamente en 1/107. Por tanto, la secuencia geométrica resultante produjo un conjunto denso de valores, adecuado para la construcción de una tabla.

John Napier

En su obra de 1619 Napier presentó un modelo cinemático interesante para generar las secuencias geométricas y aritméticas utilizadas en la construcción de sus tablas. Asume dos partículas que se mueven a lo largo de líneas separadas desde puntos iniciales dados. Las partículas comienzan a moverse en el mismo instante con la misma velocidad. La primera partícula continúa moviéndose con una velocidad que va disminuyendo, proporcional en cada instante a la distancia que queda entre ella y algún punto fijo dado sobre la línea. La segunda partícula se mueve con una velocidad constante igual a su velocidad inicial. Dado cualquier incremento de tiempo, las distancias recorridas por la primera partícula en los sucesivos incrementos forman una sucesión geométricamente decreciente. Las correspondientes distancias recorridas por la segunda partícula forman una sucesión aritmética creciente. Napier fue capaz de utilizar este modelo para derivar teoremas que producen límites precisos para aproximar valores en las dos sucesiones.

El modelo cinemático de Napier indicaba cómo los matemáticos expertos se habían volcado a principios del siglo XVII al análisis del movimiento no uniforme. Las ideas cinemáticas, que aparecían con frecuencia en la matemática de la época, proporcionaban un medio claro y visible para la generación de magnitudes geométricas. La concepción de una curva trazada por una partícula que se mueve a través del espacio jugó más tarde un papel significativo en el desarrollo del cálculo.

Las ideas de Napier fueron recogidas y revisadas por el matemático inglés Henry Briggs, el primer profesor saviliano de geometría en Oxford. En 1624 Briggs publicó una extensa tabla de logaritmos comunes, o logaritmos de base 10. Debido a que la base ya no era cercana a 1, la tabla no se podía obtener en la forma más sencilla de Napier, y por tanto Briggs ideó técnicas que implicaban el cálculo de diferencias finitas para facilitar el cálculo de las entradas. También ideó procedimientos de interpolación de gran eficiencia computacional para obtener valores intermedios.

Henry Briggs

En Suiza, el fabricante de instrumentos llegó a la idea de los logaritmos de Napier de forma independiente, aunque no publicó sus resultados hasta 1620. Cuatro años más tarde, una tabla de logaritmos preparada por Kepler apareció en Marburg. Tanto Bürgi como Kepler eran observadores astronómicos, y Kepler incluyó tablas logarítmicas en su famoso Tabulae Rudolphinae de 1627, tabulaciones astronómicas del movimiento planetario derivadas mediante el uso de la suposición de órbitas elípticas alrededor del Sol.

Joost Bürgi

 

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