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Posts Tagged ‘Los Nueve Capítulos sobre el Arte Matemático’

Por razones que aún no están claras, las explicaciones del conocimiento matemático presupuestadas por Los Nueve Capítulos (como el sistema de numeración y las operaciones aritméticas) aparecieron por primera vez en libros posteriores que eventualmente fueron incluidos en los «Diez Clásicos de Matemática». La mayoría de los temas tratados en las últimas obras canónicas de matemática de la antigua China se basaban en algoritmos presentados en Los Nueve Capítulos, aunque a veces utilizaban versiones de estos algoritmos que tenían un rango más limitado de aplicaciones.

Sin embargo, es posible ver una evolución continua de algunos de estos temas, como la extracción de raíces y la solución de ecuaciones. Por ejemplo, el Sunzi suanjing («Matemática clásica de Sunzi») y el Zhang Qiujian suanjing («Clásico Matemático de Zhang Qiujian»), probablemente escritos antes del siglo V e incluidos en los «Diez Clásicos», emplearon nuevas descripciones de algoritmos para la extracción de raíces cuadradas y cúbicas. Los procedimientos subyacentes eran los mismos y todavía se describían de manera paralela, pero las nuevas descripciones mostraban con mayor claridad el objeto matemático subyacente que es responsable de su similitud, a saber, la ecuación. Lo que cambió en las descripciones fue que, así como la división implicaba un único divisor, la extracción de la raíz cuadrada se demostró que tenía dos divisores y la extracción de la raíz cúbica tres divisores. (Estos divisores son en realidad los coeficientes de las ecuaciones que subyacen a las extracciones de raíces.) Se demostró que los divisores desempeñan papeles similares en los algoritmos. Por otra parte, al configurar los algoritmos, los divisores fueron dispuestos uno encima del otro, dando una notación posicional para las ecuaciones subyacentes: la fila en la que aparece un número se asoció con la potencia de la incógnita a cuyo coeficiente corresponde. Sin embargo, en ese momento las ecuaciones no fueron escritas ni conceptualizadas en términos de tal notación posicional. A principios del siglo VII, Wang Xiaotong generalizó el método de extracción de raíz cúbica para resolver algunas ecuaciones de tercer grado usando varillas de conteo. Fue sólo mucho más tarde que el concepto y la representación de las ecuaciones engendró una notación posicional plena.

Los «Diez Clásicos» también atestiguan la investigación de temas que no fueron mencionados en Los Nueve Capítulos, pero que fueron objeto de algunos de los más altos logros matemáticos de las dinastías Song y Yuan (960-1368). Por ejemplo, «Matemática clásica de Sunzi» presenta este problema de congruencia:

Supongamos que uno tiene un número desconocido de objetos. Si uno los cuenta de a tres, quedan dos de ellos. Si uno los cuenta de a cinco, quedan tres. Si uno los cuenta de a siete, quedan dos de ellos. ¿Cuántos objetos hay?

El procedimiento utilizado para resolver el problema es difícil de entender, porque se describe de una manera muy condensada. Pero pertenece claramente a la tradición que condujo eventualmente a un algoritmo general para resolver tales problemas.

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El comentario del siglo III de Liu Hui sobre Los Nueve Capítulos es el texto más importante que data de antes del siglo XIII que contiene pruebas en el sentido moderno. Su comentario sobre los algoritmos para calcular los volúmenes de cuerpos ejemplifica el tipo de trabajo matemático que llevó a cabo a lo largo del libro por el bien de la exégesis. Liu demostró los algoritmos ya presentados en Los Nueve Capítulos, y también proporcionó y probó nuevos algoritmos para los mismos volúmenes tridimensionales. Además, organizó estos algoritmos, dados uno tras otro sin comentario en Los Nueve Capítulos, en un sistema en el que las pruebas de un algoritmo utilizan sólo algoritmos que ya se habían establecido de forma independiente. Utilizó un pequeño conjunto de técnicas de demostración, incluyendo la disección (incluso para un número infinito de piezas), la descomposición en piezas conocidas y la recomposición, y una versión simplificada de lo que se conoció más tarde en Occidente como el principio de Cavalieri, que establece que si dos sólidos de la misma altura son tales que sus correspondientes secciones en cualquier nivel tienen la misma área, entonces ellos tienen el mismo volumen. Liu dedujo el volumen de un sólido cuyas secciones transversales son círculos circunscribiendo cada sección con un cuadrado (una versión más fina del principio de Cavalieri fue utilizada por Zu Gengzhi en el siglo V para establecer la corrección del algoritmo de cálculo del volumen de una esfera.)

La gran importancia del comentario de Liu Hui sobre Los Nueve Capítulos reside en el hecho de que demostró la exactitud de algoritmos no sólo en geometría sino también en aritmética y álgebra. En el curso de probar los algoritmos dados en varias secciones del trabajo, él los comparó con otros y demostró cómo las mismas operaciones formales, que él llamó los «pasos claves» del cálculo, se ponen en juego en diversos algoritmos. Por ejemplo, al comparar los procedimientos de adición de fracciones y de resolución de ecuaciones lineales simultáneas -una comparación que se lleva a cabo al establecer su corrección- Liu mostró que los conjuntos de números que están involucrados (numerador y denominador para una fracción, coeficientes de una ecuación para sistemas de ecuaciones) comparten la propiedad de que todos los números de un conjunto pueden multiplicarse por el mismo número sin alterar el significado matemático de ese conjunto. Ambos algoritmos, demuestra Liu, proceden de  multiplicar los conjuntos de números que entran en un problema, cada uno por un factor apropiado, de tal manera que algunos números correspondientes de los conjuntos se hacen iguales y otros números se multiplican para mantener intacto el significado de los conjuntos en su totalidad. En el caso de las fracciones, los denominadores se hacen iguales, y los numeradores se cambian apropiadamente. Para las ecuaciones lineales, el procedimiento es el mismo cuando dos números en la misma fila pero en diferentes columnas se tornan  iguales mediante una multiplicación apropiada, de modo que uno de ellos pueda eliminarse mediante una resta de columna a columna. Las columnas completas se multiplican por el mismo número para que las ecuaciones sigan siendo válidas. Liu procedió a partir de estas analogías para establecer nuevos algoritmos para los mismos problemas.

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Los triángulos rectángulos también constituyeron un dominio en el cual la investigación continuó hasta el siglo XIII en China. El llamado teorema de Pitágoras se da, bajo una forma algorítmica, en Los Nueve Capítulos. Se proporcionan algoritmos para resolver diversos problemas con  triángulos rectángulos tales como los siguientes: «Dada la base y la suma de la altura y de la hipotenusa, encontrar la altura y la hipotenusa». Se dan otros algoritmos para determinar el diámetro de un círculo inscrito y el lado de un cuadrado inscrito.

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