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Posts Tagged ‘Luitzen Egbertus Jan Brouwer’

Hermann Weyl, uno de los grandes matemáticos de principios del siglo XX, desarrolló con éxito las ideas de otros en teorías rigurosas. Sus documentos son notables por su originalidad y profundidad de conocimiento, y su trabajo ha ejercido una gran influencia en la investigación actual.

Hermann Weyl nació el 9 de noviembre de 1885 en Elmshorn, Alemania. Cuando era niño, asistió al Gymnasium en Altona e ingresó a la Universidad de Gotinga a los 18 años. Permaneció allí durante varios años estudiando matemática. Después de obtener su título, se convirtió en profesor en la Universidad de Zurich en 1913.

Weyl había estudiado con David Hilbert en Gotinga y seguramente fue uno de sus alumnos más talentosos. El primer trabajo importante de Weyl, que data de 1910, fue sobre la teoría espectral de las ecuaciones diferenciales, que era un área que Hilbert también estaba investigando. En 1911 comenzó a estudiar la teoría espectral de ciertos operadores en los llamados espacios de Hilbert. Sus métodos proporcionaron una idea geométrica de estos espacios abstractos y se convirtieron en técnicas importantes dentro del análisis funcional.

En 1916 Weyl publicó un famoso artículo sobre teoría analítica de números, que trata la distribución de ciertas secuencias especiales de números. Con un ingenio característico, dio una solución novedosa a preguntas no resueltas haciendo conexiones con la teoría de la integración. Sus técnicas han seguido siendo relevantes para la teoría aditiva de números.

Después de este trabajo en teoría de números, Weyl volvió a la geometría (anteriormente, en 1913, había dado una base rigurosa para la definición intuitiva de una variedad riemanniana). En 1915 atacó un problema relacionado con ciertas deformaciones de superficies convexas, y describió un método de demostración que finalmente resultaría fructífero. Weyl vió interrumpido su trabajo a raíz de la Primera Guerra Mundial, pero fue liberado del servicio militar en 1916. En Zurich trabajó con Albert Einstein y, en consecuencia, se interesó en la teoría general de la relatividad. Se propuso proporcionar una base matemática para las ideas físicas, descubriendo el concepto de conexión lineal. Élie-Joseph Cartan desarrolló aún más esta importante idea.

En la década de 1920, Weyl se interesó en los grupos de Lie, y sus artículos sobre este tema son probablemente los más importantes e influyentes. Parte del genio de su enfoque fue el uso de métodos topológicos sobre objetos algebraicos como los grupos de Lie. Sophus Lie había introducido los grupos de Lie como un nuevo e interesante campo de la matemática, pero Weyl avanzó mucho en esta rama a través de su nueva metodología.

Como matemático, Weyl creía en la importancia de las teorías abstractas, y creía que eran capaces de resolver problemas clásicos cuando se combinaban con un pensamiento cuidadoso y penetrante. Difirió con el formalista Hilbert en la filosofía de los fundamentos matemáticos, y en su lugar aceptó el intuicionismo de Luitzen Egbertus Jan Brouwer. Sin embargo, en muchos otros aspectos, mostró la influencia de Hilbert. En 1930 sucedió a Hilbert en Gotinga, pero decidió abandonar la Alemania nazi en 1933, llegando al Instituto de Estudios Avanzados de Princeton. Permaneció en los Estados Unidos hasta que se retiró en 1951. Dividió los últimos años de su vida entre Princeton y Zurich. Murió el 8 de diciembre de 1955.

Hermann Weyl realizó varias contribuciones significativas a la teoría de números, la geometría y las ecuaciones diferenciales. Cuando resolvía un problema difícil, a menudo ideaba una técnica completamente nueva para la demostración; Estos nuevos métodos generalmente se convirtieron en herramientas estándar o, a veces, condujeron a nuevas áreas de investigación. Su trabajo sobre la teoría de los grupos de Lie proporcionó una base para avances posteriores.

 


Fuente bibliográfica:

  • McElroy, Tucker (2005) A to Z of Mathematicians. Facts On File, Inc.

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Henri Poincaré ha sido descrito como el último de los grandes matemáticos adeptos en varias ramas de la matemática y la ciencia; sin embargo, podría hacerse una afirmación similar sobre David Hilbert. Poincaré fue un genio de primer rango, cuyas innovadoras contribuciones moldearon (y en algunos casos, esencialmente, fundaron) varias áreas de la matemática, incluida la geometría algebraica, la topología algebraica, la teoría de las funciones automórficas en el análisis complejo y la dinámica no lineal. Su trabajo continúa ejerciendo influencia en estudios modernos de topología y geometría.

Jules-Henri Poincaré nació el 29 de abril de 1854 en Nancy, Francia, hijo de Léon Poincaré, profesor de medicina en la Universidad de Nancy, y Eugénie Launois. Henri Poincaré era físicamente débil, sufría de miopía y falta de coordinación; estuvo enfermo por un tiempo de difteria. Sin embargo, sus dones intelectuales compensaron con creces estas deficiencias. Su madre le enseñó a escribir a una edad temprana, y Poincaré más tarde se convirtió en un poderoso autor.

Cuando Poincaré aún era joven, comenzó a trabajar en la escuela local de Nancy en 1862 (esta escuela más tarde pasó a llamarse Lycée Henri Poincaré en su honor). Durante los siguientes 11 años, Poincaré demostró ser el mejor estudiante, sobresaliendo en todos los temas, especialmente en matemática; a menudo ganaba el primer premio en las competiciones a las que se presentaba. Ingresó en la École Polytechnique en 1873 y se graduó dos años después. Poincaré fue mucho más allá de sus compañeros en la mayoría de los temas intelectuales; también le interesaba mucho la música, especialmente el piano. Leyó ampliamente sobre ciencia, y así obtuvo un conocimiento profundo de electricidad, óptica y termodinámica.

A continuación, Poincaré realizó estudios adicionales en la École des Mines y trabajó brevemente como ingeniero de minas mientras trabajaba en su doctorado en la Universidad de París. Su mentor fue Charles Hermite, y Poincaré completó una tesis sobre ecuaciones diferenciales en 1879. Desde aquí, Poincaré pasó por varios puestos: profesor de análisis en la Universidad de Caen, catedrático en la Facultad de Ciencias de París en 1881, y profesor de la cátedra de física matemática y probabilidad en la Sorbona en 1886. Sus conferencias eran desorganizadas, pero abordaban material nuevo cada año; Poincaré condimentó sus temas matemáticos con aplicaciones de óptica, astronomía, electricidad y otras ciencias afines.

Además de su trabajo científico, que incluye contribuciones a la mecánica celeste, la fluidez de canales y filosofía de la ciencia, también se le acreditó como co-inventor de la teoría especial de la relatividad junto con Albert Einstein: Poincaré profundizó en varias de las más grandes ramas de la matemática pura. Su trabajo de tesis condujo a la definición de función automórfica, que ahora es un componente clásico de la teoría del análisis complejo (los automorfismos también desempeñan un papel importante en el álgebra abstracta). Estas son funciones complejas cuyos valores son invariantes en ciertos grupos de transformaciones del espacio dominio. Poincaré tuvo una correspondencia fluida con Felix Klein en relación con estas funciones nuevas e intrigantes, que tenían conexiones con la geometría no euclidiana.

El Analysis Situs de Poincaré de 1895 fue un tratamiento sistemático de topología (el estudio de mapeos continuos que operan en superficies de alta dimensión), un tema incipiente a fines del siglo XIX. En este y en otros artículos de la próxima década, Poincaré desarrolló el tema de la topología algebraica. Esencialmente, esta asignatura usa herramientas algebraicas, como grupos y anillos, para describir y clasificar objetos topológicos. La famosa  conjetura de Poincaré, probada en 2003 por Grigori Perelman, establece que cualquier variedad tridimensional con un grupo de homotopía igual al de una esfera debe ser topológicamente equivalente (es decir, puede deformarse continuamente sin desgarrarse) en una forma de esfera tridimensional. Poincaré lo conjeturó después de probarlo en el campo intuitivo de dos dimensiones, y lo conjeturó para dimensión tres. Es intrigante que la conjetura haya sido verificada para dimensiones más altas, pero una prueba para la dimensión tres fue eludida por tanto tiempo. El trabajo de Poincaré dominó la escena de la topología algebraica durante las siguientes cuatro décadas: sus métodos, sus preguntas y sus resultados fueron enormemente influyentes.

Poincaré inició el estudio de las funciones de varias variables complejas a través de su trabajo de 1883 sobre el principio de Dirichlet. Este  difícil tema todavía está siendo estudiado hoy. Trabajó en el campo de la geometría algebraica, el estudio de variedades dadas como solución de ecuaciones algebraicas en varias variables. En 1910 y 1911 desarrolló métodos poderosos que le permitieron probar resultados conjeturados previamente relacionados con curvas algebraicas embebidas en superficies algebraicas. Poincaré estudió la teoría de números en 1901 examinando ecuaciones diofánticas. Más tarde afirmó que un enfoque axiomático de los fundamentos de la aritmética sería incapaz de proporcionar una prueba rigurosa de la consistencia de la teoría de números; su opinión fue reivindicada décadas más tarde a través del trabajo de Kurt Gödel.

Poincaré también estudió óptica, electricidad, telegrafía, capilaridad, elasticidad, termodinámica, teoría del potencial, teoría cuántica y teoría de la relatividad y cosmología. En una competencia de 1889 en Suecia, desarrolló nuevas ideas en dinámicas no lineales sobre el problema de los tres cuerpos de la mecánica celeste. Aunque ganó el premio, un error percibido en su manuscrito lo condujo a una extensa correspondencia con el matemático Magnus Mittag-Leffler. Algunos datan el nacimiento de la teoría del caos en esta comunicación. Además de su otro trabajo sobre mecánica de fluidos, Poincaré también escribió artículos científicos dirigidos a un público popular, y avanzó un largo camino hacia la matemática y la ciencia de interés para la gente común de Francia.

Poincaré también contribuyó a la filosofía de la ciencia, y fue una influencia guía en la lógica matemática, donde destacó la importancia de la intuición sobre la axiomatización. El proceso de pensamiento de Poincaré fue el tema de un estudio psicológico realizado por Toulouse, quien lo describió como un verdadero genio que se basa en una sorprendente intuición matemática. Poincaré dejaba los problemas por un tiempo, dejando que su mente reflexionara inconscientemente sobre ellos; luego, volvía al proyecto con vigor, dando saltos repentinos del intelecto. De esta manera pudo lograr una notable diversidad y profundidad de material matemático. Por lo tanto, la lógica sola era infructuosa según Poincaré, y solo era útil como herramienta para la corrección de la intuición. Esta mentalidad es bastante similar a la filosofía de Luitzen Egbertus Jan Brouwer.

Poincaré fue muy honrado durante su vida, recibió muchos premios: fue elegido para la Academia de Ciencias en 1887 y se convirtió en presidente en 1906. Debido a la amplitud de sus investigaciones fue el único miembro de la academia elegido para las cinco secciones: geometría, física, geografía, navegación y mecánica. Murió de manera algo prematura el 17 de julio de 1912, en París, Francia. Aunque sus contribuciones a la matemática fueron fenomenales, no tuvo su propia escuela, ya que no fue mentor de estudiantes. Sin embargo, las ideas y los métodos de Poincaré han demostrado tener una gran influencia en la matemática moderna, especialmente en la topología algebraica, el análisis complejo y la geometría diferencial.

 


Fuente bibliográfica:

  • McElroy, Tucker (2005) A to Z of Mathematicians. Facts On File, Inc.

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August Möbius fue un excelente matemático, pionero de muchas ideas en topología, el estudio de mapas continuos que actúan sobre superficies de alta dimensión. Este campo de la matemática se estudió poco a poco a principios del siglo XIX y, de hecho, solo recibiría una investigación sistemática por parte de Henri Poincaré, Luitzen Egbertus Jan Brouwer y otros a principios del siglo XX. El trabajo de Möbius presentó las primeras investigaciones de orientación, superficies unilaterales y coordenadas homogéneas.

August Möbius nació el 17 de noviembre de 1790 en Schulpforta, Alemania. Su padre, Johann Heinrich Möbius, era un instructor de baile que murió cuando Möbius tenía solo tres años. Fue criado por su madre, descendiente de Martín Lutero, y fue educado por ella hasta los 13 años. Möbius siguió estudiando en la universidad local y se matriculó en la Universidad de Leipzig en 1809.

En Leipzig, Möbius siguió la preferencia de su familia de que estudiara leyes, pero después de su primer año abandonó este programa para dedicarse a la matemática, la física y la astronomía. Allí Karl Mollweide, un astrónomo con inclinaciones matemáticas, influyó en Möbius. En 1813 viajó a la Universidad de Gotinga para estudios de posgrado, y fue enseñado por el mismo Carl Friedrich Gauss. Como resultado de tener este gran mentor, Möbius adquirió una sólida formación en matemática y astronomía. En 1815, Möbius completó su tesis doctoral, que trataba de la ocultación de las estrellas fijas, y luego comenzó su investigación posdoctoral. Aunque su trabajo en este momento estaba en el campo de la astronomía, tenia un alto sabor matemático.

Evitando la posibilidad de ser reclutado en el ejército prusiano, Möbius completó su segunda tesis sobre ecuaciones trigonométricas, y pronto fue nombrado profesor de astronomía en Leipzig en 1816. El avance de la carrera de Möbius llegó lentamente, esencialmente debido a su pobre capacidad para impartir clases, aunque su trabajo matemático fue de gran calidad y originalidad.

Möbius trabajó de manera silenciosa y constante en una variedad de proyectos matemáticos, produciendo trabajos de gran calidad e integridad. Además de sus artículos sobre mecánica celeste y principios astronómicos, Möbius escribió sobre geometría proyectiva, teoría de números, topología y poliedros. Su trabajo clásico sobre geometría analítica de 1827 introdujo las coordenadas homogéneas (una forma de describir superficies proyectivas) y la red de Möbius (una cierta configuración en el espacio proyectivo). Esta investigación fue fundamental para estudios más modernos en geometría proyectiva. La función de Möbius y la fórmula de inversión de Möbius son significativas en el estudio de los números primos y la factorización en la teoría de números. Pero en el incipiente campo de la topología, Möbius demostró su genio creativo, con investigaciones innovadoras de superficies de un solo lado y el tema de la orientación (la determinación de las direcciones en el sentido de las agujas del reloj y en el sentido contrario a las agujas del reloj sobre una superficie). En particular, redescubrió la llamada banda de Möbius en 1858 (previamente había sido explorada por Johann Listing). Este objeto es esencialmente una tira de papel torcida que tiene un solo lado. 

En 1844, Möbius se convirtió en profesor titular en Leipzig. Mientras tanto, asumió tareas astronómicas, supervisando la reconstrucción del observatorio local desde 1818 hasta 1821. Se casó en 1820 y tuvo una hija y dos hijos. También en 1844 interactuó brevemente con Hermann Günter Grassmann, cuyo trabajo sobre topología y geometría algebraica fue bastante similar al de Möbius. Murió el 26 de septiembre de 1868 en Leipzig, Alemania.

Möbius es quizás más conocido por la banda  de Möbius y la fórmula de inversión de Möbius, aunque su trabajo más importante fue probablemente en geometría proyectiva. Su trabajo se distinguió por su originalidad y cohesión, así como por su profundidad.

 


Fuente bibliográfica:

  • McElroy, Tucker (2005) A to Z of Mathematicians. Facts On File, Inc.

 

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