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Posts Tagged ‘Magnus Mittag-Leffler’

Henri Poincaré ha sido descrito como el último de los grandes matemáticos adeptos en varias ramas de la matemática y la ciencia; sin embargo, podría hacerse una afirmación similar sobre David Hilbert. Poincaré fue un genio de primer rango, cuyas innovadoras contribuciones moldearon (y en algunos casos, esencialmente, fundaron) varias áreas de la matemática, incluida la geometría algebraica, la topología algebraica, la teoría de las funciones automórficas en el análisis complejo y la dinámica no lineal. Su trabajo continúa ejerciendo influencia en estudios modernos de topología y geometría.

Jules-Henri Poincaré nació el 29 de abril de 1854 en Nancy, Francia, hijo de Léon Poincaré, profesor de medicina en la Universidad de Nancy, y Eugénie Launois. Henri Poincaré era físicamente débil, sufría de miopía y falta de coordinación; estuvo enfermo por un tiempo de difteria. Sin embargo, sus dones intelectuales compensaron con creces estas deficiencias. Su madre le enseñó a escribir a una edad temprana, y Poincaré más tarde se convirtió en un poderoso autor.

Cuando Poincaré aún era joven, comenzó a trabajar en la escuela local de Nancy en 1862 (esta escuela más tarde pasó a llamarse Lycée Henri Poincaré en su honor). Durante los siguientes 11 años, Poincaré demostró ser el mejor estudiante, sobresaliendo en todos los temas, especialmente en matemática; a menudo ganaba el primer premio en las competiciones a las que se presentaba. Ingresó en la École Polytechnique en 1873 y se graduó dos años después. Poincaré fue mucho más allá de sus compañeros en la mayoría de los temas intelectuales; también le interesaba mucho la música, especialmente el piano. Leyó ampliamente sobre ciencia, y así obtuvo un conocimiento profundo de electricidad, óptica y termodinámica.

A continuación, Poincaré realizó estudios adicionales en la École des Mines y trabajó brevemente como ingeniero de minas mientras trabajaba en su doctorado en la Universidad de París. Su mentor fue Charles Hermite, y Poincaré completó una tesis sobre ecuaciones diferenciales en 1879. Desde aquí, Poincaré pasó por varios puestos: profesor de análisis en la Universidad de Caen, catedrático en la Facultad de Ciencias de París en 1881, y profesor de la cátedra de física matemática y probabilidad en la Sorbona en 1886. Sus conferencias eran desorganizadas, pero abordaban material nuevo cada año; Poincaré condimentó sus temas matemáticos con aplicaciones de óptica, astronomía, electricidad y otras ciencias afines.

Además de su trabajo científico, que incluye contribuciones a la mecánica celeste, la fluidez de canales y filosofía de la ciencia, también se le acreditó como co-inventor de la teoría especial de la relatividad junto con Albert Einstein: Poincaré profundizó en varias de las más grandes ramas de la matemática pura. Su trabajo de tesis condujo a la definición de función automórfica, que ahora es un componente clásico de la teoría del análisis complejo (los automorfismos también desempeñan un papel importante en el álgebra abstracta). Estas son funciones complejas cuyos valores son invariantes en ciertos grupos de transformaciones del espacio dominio. Poincaré tuvo una correspondencia fluida con Felix Klein en relación con estas funciones nuevas e intrigantes, que tenían conexiones con la geometría no euclidiana.

El Analysis Situs de Poincaré de 1895 fue un tratamiento sistemático de topología (el estudio de mapeos continuos que operan en superficies de alta dimensión), un tema incipiente a fines del siglo XIX. En este y en otros artículos de la próxima década, Poincaré desarrolló el tema de la topología algebraica. Esencialmente, esta asignatura usa herramientas algebraicas, como grupos y anillos, para describir y clasificar objetos topológicos. La famosa  conjetura de Poincaré, probada en 2003 por Grigori Perelman, establece que cualquier variedad tridimensional con un grupo de homotopía igual al de una esfera debe ser topológicamente equivalente (es decir, puede deformarse continuamente sin desgarrarse) en una forma de esfera tridimensional. Poincaré lo conjeturó después de probarlo en el campo intuitivo de dos dimensiones, y lo conjeturó para dimensión tres. Es intrigante que la conjetura haya sido verificada para dimensiones más altas, pero una prueba para la dimensión tres fue eludida por tanto tiempo. El trabajo de Poincaré dominó la escena de la topología algebraica durante las siguientes cuatro décadas: sus métodos, sus preguntas y sus resultados fueron enormemente influyentes.

Poincaré inició el estudio de las funciones de varias variables complejas a través de su trabajo de 1883 sobre el principio de Dirichlet. Este  difícil tema todavía está siendo estudiado hoy. Trabajó en el campo de la geometría algebraica, el estudio de variedades dadas como solución de ecuaciones algebraicas en varias variables. En 1910 y 1911 desarrolló métodos poderosos que le permitieron probar resultados conjeturados previamente relacionados con curvas algebraicas embebidas en superficies algebraicas. Poincaré estudió la teoría de números en 1901 examinando ecuaciones diofánticas. Más tarde afirmó que un enfoque axiomático de los fundamentos de la aritmética sería incapaz de proporcionar una prueba rigurosa de la consistencia de la teoría de números; su opinión fue reivindicada décadas más tarde a través del trabajo de Kurt Gödel.

Poincaré también estudió óptica, electricidad, telegrafía, capilaridad, elasticidad, termodinámica, teoría del potencial, teoría cuántica y teoría de la relatividad y cosmología. En una competencia de 1889 en Suecia, desarrolló nuevas ideas en dinámicas no lineales sobre el problema de los tres cuerpos de la mecánica celeste. Aunque ganó el premio, un error percibido en su manuscrito lo condujo a una extensa correspondencia con el matemático Magnus Mittag-Leffler. Algunos datan el nacimiento de la teoría del caos en esta comunicación. Además de su otro trabajo sobre mecánica de fluidos, Poincaré también escribió artículos científicos dirigidos a un público popular, y avanzó un largo camino hacia la matemática y la ciencia de interés para la gente común de Francia.

Poincaré también contribuyó a la filosofía de la ciencia, y fue una influencia guía en la lógica matemática, donde destacó la importancia de la intuición sobre la axiomatización. El proceso de pensamiento de Poincaré fue el tema de un estudio psicológico realizado por Toulouse, quien lo describió como un verdadero genio que se basa en una sorprendente intuición matemática. Poincaré dejaba los problemas por un tiempo, dejando que su mente reflexionara inconscientemente sobre ellos; luego, volvía al proyecto con vigor, dando saltos repentinos del intelecto. De esta manera pudo lograr una notable diversidad y profundidad de material matemático. Por lo tanto, la lógica sola era infructuosa según Poincaré, y solo era útil como herramienta para la corrección de la intuición. Esta mentalidad es bastante similar a la filosofía de Luitzen Egbertus Jan Brouwer.

Poincaré fue muy honrado durante su vida, recibió muchos premios: fue elegido para la Academia de Ciencias en 1887 y se convirtió en presidente en 1906. Debido a la amplitud de sus investigaciones fue el único miembro de la academia elegido para las cinco secciones: geometría, física, geografía, navegación y mecánica. Murió de manera algo prematura el 17 de julio de 1912, en París, Francia. Aunque sus contribuciones a la matemática fueron fenomenales, no tuvo su propia escuela, ya que no fue mentor de estudiantes. Sin embargo, las ideas y los métodos de Poincaré han demostrado tener una gran influencia en la matemática moderna, especialmente en la topología algebraica, el análisis complejo y la geometría diferencial.

 


Fuente bibliográfica:

  • McElroy, Tucker (2005) A to Z of Mathematicians. Facts On File, Inc.

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La teoría de ecuaciones integrales, que se ocupa de encontrar una función desconocida que satisfaga una ecuación que involucra su integral, tiene amplias aplicaciones a la física matemática, y se ha convertido en un campo de interés por derecho propio. Ivar Fredholm hizo algunas contribuciones significativas en este campo, y su trabajo ha alcanzado una importancia clásica para esta rama de la matemática. 

Ivar Fredholm nació en Estocolmo, Suecia, el 7 de abril de 1866, hijo de una familia de clase alta. Su padre era un rico comerciante, y su madre provenía de la élite de Suecia; como resultado, Fredholm recibió la mejor educación. Mostró su brillantez a una temprana edad, pasando su bachillerato en 1885. Un año en el Instituto Politécnico de Suecia fomentó un interés perdurable en la matemática aplicada y la mecánica práctica. Se matriculó en la Universidad de Uppsala al año siguiente, obtuvo su licenciatura en ciencias en 1888 y su doctorado en 1898. Fredholm también tomó clases en la Universidad de Estocolmo, estudiando con el reconocido Magnus Mittag-Leffler, y recibió un puesto allí en 1898; en 1906 se convirtió en profesor de física matemática. Murió el 17 de agosto de 1927 en Estocolmo. 

La tesis de Fredholm trataba un tema de teoría de ecuaciones diferenciales parciales, que tenía aplicaciones al estudio de deformaciones de objetos sometidos a fuerzas interiores o exteriores. Una década más tarde, Fredholm generalizó por completo su trabajo para resolver la ecuación diferencial parcial elíptica general (un tipo particular de ecuación diferencial). 

Fredholm adquirió fama por su solución de la llamada ecuación integral de Fredholm, que tiene amplias aplicaciones en física; por ejemplo, estas ecuaciones surgen en el estudio de la membrana vibratoria. Muchos matemáticos, como Niels Henrik Abel y Vito Volterra, ya habían atacado este problema con un éxito parcial. Fredholm presentó una solución completa en 1903 después de reconocer una analogía fundamental entre la ecuación de Fredholm y una ecuación de matrices; esta observación se convertiría más tarde en una piedra angular en el análisis funcional. Al examinar la analogía del determinante de la matriz para el operador integral, Fredholm fue capaz de formular condiciones precisas bajo las cuales la ecuación era incluso resoluble, y de dar una fórmula para la solución cuando existía. 

Este trabajo ciertamente constituye un hito en el análisis funcional y la teoría de las ecuaciones integrales. Cuando estos avances se comunicaron a David Hilbert, éste se inspiró para avanzar en el estudio de estas ecuaciones; poco después, Hilbert inventó una teoría de autovalores para operadores integrales, en analogía con matrices, y construyó los llamados espacios de Hilbert. Por lo tanto, Fredholm inspiró la construcción de algunas de las herramientas más valiosas del análisis funcional.

 


Fuente bibliográfica:

  • McElroy, Tucker (2005) A to Z of Mathematicians. Facts On File, Inc.

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