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Posts Tagged ‘Marin Mersenne’

Blaise Pascal es famoso por su brillante trabajo fundacional en probabilidad, geometría e hidrostática, así como por sus reflexiones sobre la filosofía y la religión. El trabajo de Pascal en la matemática del juego, junto con el de Pierre de Fermat, sentó las bases de la teoría moderna de la probabilidad y la estadística y provocó un movimiento en Europa occidental hacia una sociedad «estocástica». Sus trabajos en el campo de la hidrostática fueron innovadores, proporcionando gran parte de la teoría detrás de la moderna tecnología hidráulica, mientras que sus esfuerzos en la apologética cristiana son notables por su claridad de pensamiento y comprensión de la naturaleza humana.

Pascal nació el 19 de junio de 1623 en Clermont (ahora Clermont-Ferrand) en la región francesa de Auvernia. Blaise fue el tercer hijo de Étienne Pascal, un matemático, quien educó a su único hijo. Antoinette Begon, su madre, murió cuando Pascal tenía solo tres años. Curiosamente, al joven Pascal no se le permitió estudiar matemática hasta los 12 años, cuando comenzó a leer los Elementos de Euclides de Alejandría. Sin embargo, incluso antes de este tiempo, el precoz niño estaba investigando la geometría por su cuenta.

Blaise acompañaría a su padre a las reuniones celebradas en París por Marin Mersenne, un sacerdote que promovió en gran medida la difusión y la comunicación de la matemática. En este contexto, Pascal desarrolló aún más sus habilidades matemáticas, siendo influenciado por el pensamiento de Girard Desargues. Pascal pronto se convirtió en el principal discípulo de Desargues en el estudio de la geometría, y en junio de 1639 descubrió el «hexagrama místico». Había encontrado que los lados opuestos de un hexágono inscritos en una sección cónica forman tres puntos que son colineales.

En diciembre de 1639 la familia Pascal se mudó a Rouen, donde Étienne logró un puesto como recaudador de impuestos. En 1640, Blaise publicó su primer trabajo, Ensayo sobre secciones cónicas, un resumen de un tratado sobre cónicas. Poco después, en 1642, comenzó un intento de mecanizar la suma y la resta para ayudar a su padre con sus cálculos contables. En 1645, Pascal había completado la construcción de la primera calculadora digital (aunque Wilhelm Schickard había diseñado un prototipo anterior en 1623 que no fue fabricado). El dispositivo, aunque no tuvo éxito financiero debido al costo de la construcción, era bastante similar a una calculadora mecánica de los años cuarenta.

Después de varios experimentos con la presión atmosférica, Pascal concluyó que a medida que la altitud aumenta, la presión del aire disminuye y que existe un vacío por encima de la atmósfera. Aunque cierto, estos hallazgos, publicados en 1647 como New Experiments Concerning Vacuums resultaron controvertidos en la comunidad científica, y hubo cierto debate sobre quién tenía prioridad en los descubrimientos, ya que varios científicos estaban investigando la hidrostática, que se define como el estudio de los fluidos en reposo y las presiones que ejercen, y el Treatise on the Equilibrium of Liquids de Pascal de 1654 dio una descripción rigurosa del tema. Este tratado demostró claramente los efectos del peso del aire, así como varias leyes de la hidrostática, incluida la ley de de la presión de Pascal. Este principio es la base de la prensa hidráulica, esencialmente un tipo de palanca. Su tratamiento dio una síntesis de conocimientos previos y nuevos trabajos, y presentó lúcidamente el concepto de presión.

El joven Pascal había estado interesado en la religión desde 1646, y cuando su padre murió en 1651 se volvió profundamente contemplativo sobre los asuntos espirituales. Sus ideas se publicaron más tarde en su obra filosófica Pensées de Monsieur Pascal sur la religion et surquelques autres sujets (Pensamientos de Monsieur Pascal sobre la religión y algunos otros temas) de 1670. Su trabajo sobre geometría proyectiva, el estudio matemático de la perspectiva, quedó plasmado en la obra The Generation of Conic Sections (1654). Sección cónica es el nombre de una curva obtenida al cortar un cono por un plano en ciertos ángulos. Este gran trabajo abordó la generación proyectiva de cónicas y sus propiedades, la definición del hexagrama místico y la teoría proyectiva de centros y diámetros. Además, su Treatise on the Arithmetical Triangle apareció en el mismo año, donde trata el llamado triángulo de Pascal, un triángulo de números en el que cada entrada se obtiene sumando las dos entradas que se encuentran arriba. Aunque no inventó el triángulo aritmético, su trabajo fue bastante influyente en el desarrollo del teorema binomial general.

En 1654, Pascal estaba trabajando en algunos problemas de juego con Fermat. Las dos preguntas principales que investigaron fueron: el problema de los dados, calcular la probabilidad de obtener un par de seises en un número dado de lanzamientos; y el problema de las apuestas, relacionado con cómo dividir el pozo de manera justa entre los jugadores si se interrumpe un juego de azar. Al formular este tipo de problemas, Pascal se convirtió en el padre fundador de la teoría occidental de la probabilidad. En los siglos siguientes, la cultura occidental se volvería cada vez más cuantitativa, abarcando un enfoque estocástico (es decir, relacionado con la probabilidad y la posibilidad) de los fenómenos. Se hizo evidente, después de estos humildes orígenes, que se podía obtener información confiable de eventos inciertos, siempre que se pudiera realizar y medir un gran número de ensayos repetidos. Pascal trabajó en un cálculo de probabilidades, utilizando el razonamiento inductivo para encontrar soluciones. Su trabajo sobre juegos parece haber afectado la visión de Pascal de la apologética cristiana (defensas retóricas o racionales de una creencia), ya que Pensées incluye la famosa «apuesta de Pascal»:

Si Dios no existe, uno no perderá nada creyendo en él, mientras que si existe, perderá todo al no creer.

De hecho, el enfoque de Pascal de la probabilidad prefigura la teoría moderna de la decisión, en la cual la elección está íntimamente relacionada con la probabilidad de eventos inciertos. Uno puede ver el método apologético de Pascal como un problema clásico en la teoría de la decisión.

Pascal sufrió durante mucho tiempo de mala salud (indigestión y dolores de cabeza constantes), estuvo enfermo durante su juventud y se temía que no tuviera mucho tiempo para vivir. En 1654 fue arrastrado más profundamente por las preocupaciones religiosas; en la noche del 23 de noviembre, designado como su «noche de fuego», experimentó una segunda conversión al cristianismo; a partir de este momento, se apartaría de la ciencia y la matemática para adentrarse  de lleno en la religión y la epistemología (el estudio del conocimiento y las estructuras de creencias). En 1656 y 1657 compuso sus Lettres provinciales (Cartas provinciales), una polémica jansenista contra los jesuitas. Fueron publicadas de forma anónima, y se dice que su rigor de pensamiento y claridad de presentación causaron una herida al jesuitismo de la que nunca se recuperó. Su defensa del cristianismo a los incrédulos, formulada en Pensées, fue escrita en este momento.

Animado incluso por sus amigos jansenistas, Pascal hizo un trabajo final en matemática. En 1657 preparó los Elementos de Geometría, que desafortunadamente no fue completado. Su último trabajo en 1658 y 1659 fue sobre la cicloide, una curva trazada por la trayectoria de un punto marcado en la circunferencia de un círculo rodante. En sus investigaciones de esta curva, desarrolló la «teoría de los indivisibles», siendo un precursor del cálculo integral que pronto formularon Sir Isaac Newton y Gottfried Leibniz, Pascal consideró problemas tales como calcular áreas bajo curvas, y centros de gravedad para superficies y volúmenes debajo de superficies de revolución (la superficie obtenida al girar una curva alrededor de un eje fijo). Curiosamente, parece que este trabajo se desarrolló a lo largo de varios concursos matemáticos públicos, en los que Pascal planteó problemas de cálculo a la comunidad.

En 1659, Pascal cayó gravemente enfermo y buscó la soledad, dedicándose a obras de caridad. Su último proyecto fue el desarrollo de un proyecto de transporte público en París que involucraba carruajes tirados por caballos. Murió a los 39 años con gran dolor, el 19 de agosto de 1662, en París. Por sus contribuciones a la matemática, así como a la física y la religión, Pascal se ubica como uno de los intelectos más grandes de Occidente. Parece que su alma estaba dividida entre el orgullo por sus habilidades y logros intelectuales y la abnegación de una austera marca agustiniana, pero tal vez fue esta misma tensión la que produjo un trabajo tan brillante. Aunque algunos matemáticos pueden exceder a Pascal en términos de originalidad, profundidad o volumen, la sistematización de gran parte de la ciencia y la matemática de Pascal debe llamar la atención y ser motivo de admiración.

 


Fuente bibliográfica:

  • McElroy, Tucker (2005) A to Z of Mathematicians. Facts On File, Inc.

 

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Entre el momento de René Descartes y Sir Isaac Newton, se dice que Christiaan Huygens fue el matemático más grande de Europa. Hizo contribuciones sustanciales a la mecánica, la astronomía, la medición del tiempo, la teoría de la luz y la geometría. Su trabajo demostró la eficacia de un enfoque matemático para el estudio de la naturaleza, y Huygens desarrolló muchas herramientas matemáticas sofisticadas. 

Christiaan Huygens nació en La Haya, Países Bajos, el 14 de abril de 1629. Su familia era prominente y tenía una larga historia de servicio diplomático a la casa real. El padre de Christiaan, Constantijn Huygens, educó a sus dos hijos personalmente, cubriendo temas como música, idiomas antiguos, matemática y mecánica. Christiaan Huygens mostró sus considerables talentos intelectuales a una edad temprana, y tenía un don para aplicar la teoría a las construcciones reales: a los 13 años construyó un torno. 

En 1645 Huygens asistió a la Universidad de Leiden, donde estudió Derecho y Matemática. Durante sus dos años allí, se familiarizó con las obras recientes de Francois Viète, Pierre de Fermat y Descartes. Huygens comenzó a investigar la mecánica de la caída de los cuerpos y comenzó una correspondencia con Marin Mersenne. Después de completar sus estudios universitarios, se matriculó en el Colegio de Orange de 1647 a 1649, donde ejerció la abogacía. Sin embargo, Huygens no siguió una carrera en la diplomacia, sino que eligió ser un científico. 

Huygens vivió en su casa hasta 1666, recibiendo el apoyo financiero de su padre que le permitió centrarse en su investigación científica. Primero investigó sobre matemática, considerando cuadraturas de curvas y problemas algebraicos. Las contribuciones matemáticas de Huygens son importantes, ya que mejoró los métodos existentes y tuvo éxito en la aplicación de estos a fenómenos naturales. También desarrolló la nueva teoría de las evolutas y fue uno de los fundadores de la teoría de la probabilidad. 

En 1651, Huygens produjo un manuscrito que refutaba la cuadratura del círculo de Gregory de St. Vincent. En el mismo trabajo, derivó una conexión entre la cuadratura y el centro de gravedad para círculos, elipses e hipérbolas. Su próxima publicación, en 1654, aproxima el centro de gravedad de cualquier arco de un círculo y así obtiene una cuadratura aproximada. Una técnica similar, desarrollada más de una década después, produjo un método rápido para calcular logaritmos.  

Al enterarse del trabajo de probabilidad de Blaise Pascal, Huygens comenzó a estudiar problemas de juego en 1656, como la división justa de apuestas en un juego interrumpido. Inventó el concepto de expectativa matemática, que representa las ganancias a largo plazo en un juego de azar. Esta idea, expresada por Huygens en una forma primitiva, ahora es de importancia central para la teoría moderna de la probabilidad. 

En 1657 Huygens relacionó la longitud del arco de la parábola con la cuadratura de la hipérbola, y utilizó esta propiedad para encontrar el área de la superficie de un paraboloide de revolución. Un año después, descubrió un teorema vital del cálculo moderno: que el cálculo del área superficial de una superficie de revolución podía reducirse a encontrar la cuadratura de la curva normal. 

Su teoría de las evolutas, que se refiere a la geometría de las cuerdas que cuelgan de una superficie convexa, se desarrolló en 1659 como un componente de su investigación sobre los relojes de péndulo. Su método de evolutas determina esencialmente el radio de curvatura de una curva algebraica dada. Huygens también estudió logaritmos, comenzando en 1661, y en este sentido introdujo la función exponencial natural.  

Huygens también contribuyó a otras áreas de la ciencia. Completó un manuscrito sobre hidrostática en 1650, en el cual derivó la ley de Arquímedes de Siracusa a partir de un axioma básico. En 1652 formuló las reglas de la colisión elástica y comenzó su estudio sobre óptica. Más tarde, en 1655, junto con su hermano, recurrió al pulido de lentes y la construcción de telescopios y microscopios. Construyó algunos de los mejores telescopios de su época y pudo detectar los anillos de Saturno. Huygens también observó bacterias y otros objetos microscópicos. 

En 1656 Huygens inventó el reloj de péndulo como una herramienta para medir el tiempo. Se había vuelto cada vez más importante medir con precisión el tiempo, ya que esta tecnología era necesaria para la astronomía y la navegación. La invención de Huygens tuvo mucho éxito. En su investigación teórica de la oscilación del péndulo, Huygens descubrió que el período podía hacerse independiente de la amplitud si la trayectoria del péndulo fuera cicloide. Luego construyó el reloj de péndulo de forma tal que se induciría que el balanceo del péndulo tuviera una trayectoria cicloidal. Este llamado tautocronismo de la cicloide es uno de los descubrimientos más famosos de Huygens.  

A continuación, Huygens comenzó a estudiar la fuerza centrífuga y el centro de oscilación en 1659, obteniendo varios resultados fundamentales. Derivó rigurosamente las leyes de descenso a lo largo de planos y curvas inclinadas y obtuvo el valor de la aceleración debida a la gravedad en la Tierra, que es de aproximadamente 9,8 metros por segundo al cuadrado. Huygens volvió a considerar caídas resistiendo distintos medios (como el aire) en 1668, y concibió la resistencia (o fricción) como proporcional a la velocidad del objeto. Huygens también investigó la teoría ondulatoria de la luz; explicó la reflexión y la refracción en 1676 mediante su concepción de la luz como una serie de ondas de choque de movimiento rápido.  

Es interesante que Huygens no aceptara el concepto newtoniano de fuerza, y fue capaz de eludirlo por completo. También criticó el concepto de fuerza de Gottfried Leibniz, aunque estaba de acuerdo con el principio de la conservación en los sistemas mecánicos. En su filosofía natural, estuvo de acuerdo con Descartes, tratando de llegar a una explicación mecanicista del mundo. Una de sus obras más populares especuló sobre la existencia de vida inteligente en otros planetas, lo que Huygens pensó que era altamente probable. 

Durante el período 1650-1666, Huygens conoció a muchos científicos y matemáticos franceses, y visitó París varias veces. En 1666 Huygens aceptó la membresía en la recién fundada Académie Royale des Sciences y se mudó a París, donde permaneció hasta 1681. Fue el miembro más destacado de la academia y recibió un estipendio generoso. Pasó este tiempo desarrollando un programa científico para el estudio de la naturaleza, observando los cielos y exponiendo sus teorías de la gravedad y la luz.  

Huygens sufría de mala salud y varias veces se vio obligado a regresar a La Haya. En 1681 se fue de nuevo debido a una enfermedad y, debido a tensiones políticas y religiosas, no fue invitado a regresar a Francia. Huygens nunca se casó, pero pudo vivir en la propiedad familiar. En la última década de su vida, regresó a la matemática, habiéndose convencido de la fecundidad del cálculo diferencial de Leibniz. Sin embargo, el conservadurismo matemático de Huygens lo llevó a emplear sus viejos métodos geométricos, y esto de alguna manera inhibió su progreso y comprensión del cálculo. Sin embargo, Huygens pudo resolver varios problemas matemáticos planteados públicamente, como la isócrona de Leibniz, la tractriz y la catenaria. 

Huygens finalmente sucumbió a su constitución enferma, y murió el 8 de julio de 1695. Fue el científico y matemático más prominente de su tiempo (al menos antes que Newton y Leibniz se volvieran más productivos), e hizo contribuciones brillantes a diversas áreas de la ciencia. Sin embargo, la renuencia de Huygens a publicar teorías insuficientemente desarrolladas limitó su influencia en el siglo XVIII; tampoco tuvo ningún alumno para que llevara a cabo su pensamiento. Su trabajo en mecánica abrió nuevas fronteras de investigación, pero su trabajo matemático extendió principalmente técnicas más antiguas en lugar de abrir nuevas perspectivas para la exploración. Sin embargo, Huygens fue un maestro en la aplicación de métodos matemáticos a problemas científicos, como lo demuestra su trabajo sobre la medición del tiempo.

 


Fuente bibliográfica:

  • McElroy, Tucker (2005) A to Z of Mathematicians. Facts On File, Inc.

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A fines del siglo XVI, la matemática estaba en vísperas de un renacimiento dramático. Emergería de la oscuridad de la edad medieval, y los principales matemáticos de esta época buscaron refundir y desarrollar la matemática griega clásica. Simultáneamente con el poderoso enfoque algebraico de la geometría desarrollado por René Descartes, Desargues abogó por una perspectiva gráfica unificada. Sus ideas influyeron en grandes pensadores como Blaise Pascal y Sir Isaac Newton, a pesar de que fueron inevitablemente eclipsados por el poder del sistema cartesiano. 

Girard Desargues nació en una familia de nueve hijos el 21 de febrero de 1591 en Lyon. Su padre era un rico  coleccionista de diezmos, y los primeros estudios de Girard tuvieron lugar en Lyon. Sin embargo, se sabe poco de sus primeros años y educación, y su primera actividad científica registrada tuvo lugar en 1626, cuando propuso que el estado construyera máquinas para elevar el nivel del agua del Sena. 

Alrededor de 1630 Desargues entabló amistad con varios matemáticos de París, como Marin Mersenne y Gilles de Roberval; asistía regularmente a las reuniones de la Académie Parisienne, en las que más tarde participaría el joven Blaise Pascal. En 1636 Desargues publicó una obra describiendo su llamado método universal de la perspectiva. Allí esbozó un vasto programa de investigación: unificar las diversas técnicas gráficas (como las utilizadas por los arquitectos y dibujantes) a través de sus «métodos universales», y al mismo tiempo incorporar la geometría proyectiva en el cuerpo del conocimiento matemático a través del estudio riguroso de la perspectiva. La geometría proyectiva tuvo pocos seguidores hasta el siglo XIX, y el trabajo de Desargues fue muy pasado por alto (e incluso ridiculizado) durante su propia vida; su significado se entendería siglos después. 

Una obra en competencia de Jean de Beaugrand evocó discusiones intelectuales sobre los temas de centro de gravedad, óptica y tangentes, así como otros temas geométricos. Desargues fue un ávido participante en estas disputas, distinguiéndose por su intención de comprender el aspecto más general de los problemas dados. Aunque alienó a Beaugrand, ganó la estima de Descartes y Mersenne. En contraste con el programa de Descartes para dar a la geometría una base algebraica, Desargues deseaba extender la influencia de los métodos geométricos a las técnicas gráficas a través de la mecánica. Su Brouillon projet d’une atteinte aux événements des recontres du cône avec un plan (Borrador aproximado de un ensayo sobre los resultados de tomar secciones planas de un cono) de 1639 dio una descripción de las secciones cónicas desde la perspectiva de la geometría proyectiva; este trabajo no fue popular, tal vez debido a su divergencia del enfoque cartesiano. Sin embargo, Blaise Pascal pudo apreciar el valor del Brouillon projet de Desargues, y Pascal escribió su Essay pour les coniques (Ensayo sobre secciones cónicas) como un tributo. Aunque este trabajo influyó en otros grandes matemáticos, como Newton, su impacto total no se percibió hasta el siglo XIX, cuando los geómetras adquirieron un renovado interés en la geometría proyectiva. Esta falta de popularidad fue seguramente el resultado del creciente interés en los problemas del cálculo infinitesimal. 

Beaugrand criticó el trabajo de Desargues con vehemencia, aparentemente por razones personales más que profesionales. En 1640 Desargues publicó un ensayo sobre el tallado de la piedra, aplicando sus técnicas a métodos gráficos prácticos. Sin embargo, sus útiles innovaciones eran contrarias a la práctica establecida de los poderosos gremios comerciales, y por lo tanto Desargues atrajo la animosidad de los veteranos artesanos. 

En 1641, Desargues se interesó por el problema de determinar varias secciones circulares de conos que tenían una base cónica. Su solución general dependía únicamente de la geometría pura. Roberval, Descartes y Pascal se interesaron en este problema, y Desargues luego generalizó su técnica. 

Posteriormente, Desargues se involucró en una disputa sobre la prioridad de sus métodos. Había trabajado para difundir sus técnicas gráficas entre picapedreros, pero en 1642 una publicación anónima plagió y distorsionó su trabajo. El debate resultante dañó la credibilidad y la confianza de Desargues. Desargues designó la tarea de diseminación de su obra a su discípulo Abraham Bosse, un grabador, quien más tarde publicó dos tratados que discutían el método de Desargues. Una nueva disputa surgió en 1644 con un cantero llamado Curabelle, con el aparente resultado de que Desargues decidió renunciar a publicar más. Sin embargo, Bosse continuó componiendo tratados sobre el método de la perspectiva de su maestro.  

Después de 1644 la actividad científica de Desargues disminuyó. Comenzó una nueva carrera como arquitecto, formando algunas estructuras espectaculares de una delicada figura. Por ejemplo, Desargues usó su conocimiento matemático para construir escaleras curvas que eran tanto funcionales como elegantes. Implementó sus técnicas directamente en aplicaciones prácticas, y de esta manera silenció la acusación de sus enemigos de que sus métodos eran puramente teóricos. Sus hazañas de ingeniería fueron extensas, incluyendo un sistema para elevar agua, que se instaló cerca de París. Murió en París en octubre de 1661. 

Se debe dar crédito a Desargues por ser uno de los fundadores de la geometría proyectiva: el estudio de espacios de líneas rectas que se encuentran infinitamente lejos del observador. También contribuyó al conocimiento de las cónicas, introdujo transformaciones proyectivas y fomentó el desarrollo de técnicas gráficas útiles en los dibujos. Lamentablemente, su trabajo fue salvajemente impugnado en su propia vida, e incluso entre los matemáticos que lo apoyaban recibió poca circulación debido a su engorroso estilo de escritura. Sus trabajos dieron frutos solo siglos después de su muerte, cuando sus papeles fueron redescubiertos por agradecidos geógrafos del siglo XIX.

 


Fuente bibliográfica:

  • McElroy, Tucker (2005) A to Z of Mathematicians. Facts On File, Inc.

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