Aportes de los egipcios a la matemática

Los papiros egipcios dan cuenta de una tradición matemática estrechamente ligada a la práctica de la contabilidad y a actividades de prospección de los escribas. De vez en cuando los escribas se relajaron un poco: a modo de ejemplo un problema (el Problema 79 del Papiro Rhind) busca el total de siete casas, siete gatos por casa, siete ratones por gato, siete espigas de trigo por ratón, y siete hekat de granos por espiga (resultado: ). Ciertamente el interés del escriba por las progresiones va más allá de las consideraciones prácticas. Aparte de esto, sin embargo, la matemática egipcia cae firmemente dentro de la gama práctica.

 Aun teniendo en cuenta la escasez de documentación que sobrevive, el logro egipcio en la matemática debe ser visto como modesto. Sus características más notables son la competencia y continuidad. Los escribas lograron calcular la aritmética y la geometría básica necesaria para sus funciones oficiales en tanto administradores civiles, y sus métodos persistieron con pocos cambios evidentes durante al menos un milenio, tal vez dos. De hecho, cuando Egipto cayó bajo la dominación griega en el período helenístico (desde el siglo III a.C. en adelante), los métodos de la antigua escuela perduraron. Muy notablemente, los antiguos métodos de las fracciones unitarias son todavía prominentes en papiros egipcios escritos en los idiomas demótico (Egipto) y griego hasta el siglo VII, por ejemplo.

La matemática egipcia dejó un legado en la emergente tradición matemática griega entre los siglos IV y VI a.C. Debido a que la documentación de este período es limitada, la forma y el significado de esta influencia sólo puede conjeturarse. Sin embargo, el informe sobre Tales y la medida de la altura de las pirámides es sólo uno de los varios relatos de intelectuales griegos que aprendieron de los egipcios. Herodoto y Platón describen con aprobación prácticas egipcias en la enseñanza y la aplicación de la matemática. Esta evidencia literaria tiene apoyo histórico, ya que los griegos mantuvieron operaciones comerciales y militares continuas con Egipto desde el siglo VII a.C. en adelante. Por tanto, es plausible que los precedentes básicos para la matemática inicial griega, como la forma en que abordaron las fracciones  o las medidas de áreas y volúmenes, o el uso de proporciones semejantes en relación con las figuras, provengan de la ciencia de los antiguos escribas egipcios.

A modo de resumen de las últimas entradas donde se reseñaron la matemática en Mesopotamia y Egipto…

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Astronomía matemática en Mesopotamia

El método sexagesimal desarrollado por los babilonios tiene un potencial mucho mayor de cálculo que lo que realmente se necesita para los antiguos textos de problemas. Sin embargo, con el desarrollo de la astronomía matemática en el período seléucida se hizo indispensable. Los astrónomos trataron de predecir futuras apariciones de fenómenos importantes, como los eclipses lunares y los puntos críticos en los ciclos planetarios (conjunciones, oposiciones, puntos estacionarios y primera y última visibilidad). Idearon una técnica para el cálculo de estas posiciones (expresadas en términos de grados de latitud y longitud, medidas con relación a la trayectoria del movimiento anual aparente del Sol) por sumas sucesivas de términos apropiados en progresión aritmética. Los resultados se organizaron luego en una tabla que lista las posiciones con la antelación que el escriba elegía. (Aunque el método es puramente aritmético, se puede interpretar gráficamente: los valores tabulados forman una aproximación lineal «zig-zag» a lo que es en realidad una variación sinusoidal.) Si bien se requerían observaciones que se extienden durante siglos para encontrar los parámetros necesarios (por ejemplo, períodos, rango angular entre valores máximos y mínimos y similares), sólo el aparato computacional a su disposición hizo posible la previsión de los astrónomos.

 Dentro de un tiempo relativamente corto (quizás un siglo o menos) los elementos de este sistema llegaron a manos de los griegos. Aunque Hiparco (siglo II  a.C.) favoreció el enfoque geométrico de sus predecesores griegos, se hizo cargo de los parámetros de los mesopotámicos y adoptó su estilo de cálculo sexagesimal. A través de los griegos pasó a los científicos árabes durante la Edad Media y de allí a Europa, donde permaneció prominente en la astronomía matemática durante el Renacimiento y la Edad Moderna. Al día de hoy persiste en el uso de los minutos y los segundos para medir el tiempo y los ángulos.

Aspectos de la matemática babilónica antigua pueden haber llegado a los griegos incluso antes, tal vez en el siglo V a.C., durante el período formativo de la geometría griega. Hay una serie de paralelismos que los estudiosos han observado: por ejemplo, la técnica griega de la «aplicación de áreas» correspondía a los métodos cuadráticos de Babilonia (aunque en una forma geométrica, no aritmética). Además, la regla babilónica para calcular raíces cuadradas fue ampliamente utilizada en los cálculos geométricos griegos, y también puede haber habido algunos matices compartidos de la terminología técnica. Aunque los detalles del momento y la manera de una tal transmisión son oscuros debido a la ausencia de documentación explícita, parece que la matemática occidental, derivada fundamentalmente de los griegos, está considerablemente endeudada con la matemática mesopotámica antigua.

 

 

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Problemas aritméticos y geométricos en Mesopotamia

En una tablilla de Babilonia ahora en Berlín, la diagonal de un rectángulo de lados y se resuelve como . Aquí se utiliza una regla de aproximación muy eficaz (que la raíz cuadrada de la suma puede ser estimada como ), la misma regla que se encuentra con frecuencia en escritos geométricos griegos posteriores. Estos dos ejemplos ilustran cómo los babilonios se acercaron a raíces aritméticas desde la geometría. También muestran que los babilonios eran conscientes de la relación entre la hipotenusa y los dos catetos de un triángulo rectángulo (ahora comúnmente conocida como teorema de Pitágoras) más de mil años antes de que los griegos la utilizaron.

Un tipo de problema que aparece con frecuencia en las tablillas babilónicas es el de buscar la base y la altura de un rectángulo, cuando su producto y su suma son valores especificados. A partir de la información proporcionada, el escriba obtenía la diferencia, ya que . De la misma manera, si se dan el producto y la diferencia, se puede determinar la suma. Y una vez que se conocen tanto la suma como la diferencia, cada lado se puede determinar por y . Este procedimiento es equivalente a una solución de la ecuación cuadrática general en una variable. En algunos lugares, sin embargo, los escribas babilónicos resolvieron problemas cuadráticos en términos de una sola incógnita, al igual que ahora se hace por medio de la fórmula cuadrática.

Aunque estos procedimientos cuadráticos babilónicos a menudo se han descrito como la primera aparición del álgebra, hay diferencias importantes. Los escribas carecían de un simbolismo algebraico. A pesar de que sin duda deben haber comprendido que sus procedimientos de solución eran generales, siempre los presentan en términos de casos particulares, en lugar de como un trabajo mediante fórmulas generales e identidades. De este modo, carecían de los medios para presentar derivaciones generales y demostraciones de sus procedimientos de solución.

 Como se mencionó, los escribas babilonios sabían que la base (), la altura () y la diagonal () de un rectángulo satisfacen la relación . Si uno selecciona los valores al azar para dos de los términos, el tercero será normalmente irracional, pero es posible encontrar casos en los que los tres términos son números enteros: por ejemplo, y . ( Este tipo de soluciones se denominan a veces ternas pitagóricas.) Una tablilla de la Colección de la Universidad de Columbia, conocida como Plimpton 322, presenta una lista de 15 de estas ternas.

Los estudiosos aún debaten sobre los matices de la construcción y el uso previsto para esta tablilla, pero nadie pone en duda el alto nivel de conocimientos implícitos en ella.

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